Numération

Les systèmes de numération
La numération égyptienne
Ce système est l’un des deux utilisés par la civilisation égyptienne ancienne entre 3100 et 322
avant J.C. Il utilise des symboles hiéroglyphiques.
Ce système de numération possède 7 symboles qui représentent chacun une puissance de dix.
100 est représenté par un trait vertical : I
101 est représenté par une anse de panier (dans lequel on peut mettre par exemple dix œufs)
102 est représenté par une corde enroulée (quelque chose qui représente 100 pas)
103 est représenté par une fleur de lotus
104 est représenté par un doigt levé
105 est représenté par un têtard (ils sont en grand nombre)
106 est représenté par une divinité qui lève les bras vers la voûte céleste
Ce système permet d’écrire les nombres uniquement jusqu’à 9 999 999 (qui était un très grand
nombre à l’époque et suffisait aux besoins).
C’est un système additif : les unités de chaque ordre sont indiquées par la répétition des symboles
qui les représentent .Toutes les puissances sont représentées autant de fois que nécessaire mais
sans dépasser 9 fois.
Ce système exige l’écriture de nombreux signes .par exemple 9 999 s’écrit avec 36 signes dans ce
système.
L’ordre dans lequel on écrit les symboles n’a pas d’importance puisque chacun d’eux a une valeur
intrinsèque qui ne dépend pas de sa place dans l’écriture du nombre.
Ce n’est pas une numération de position .Mais elle utilise le groupement par dix.
Ce système ne nécessite pas l’utilisation d’un symbole pour désigner l’absence des unités
manquantes. Il n’y a donc pas de « 0 ».
La numération sino-japonaise
Pour écrire les nombres, les chinois se servent d’un système comportant 13 symboles.9 symboles
désignant les unités et 4 symboles désignant les puissances de dix jusqu’à 104.
Ce système remonte à la seconde partie du deuxième millénaire avant l’ère chrétienne .Il est aussi
ancien que l’écriture chinoise elle-même.
Le système standard d’écriture des nombres s’est stabilisé vers 200 avant l’ère chrétienne et n’a
plus changé depuis.
Cette numération est basée sur l’addition et la multiplication. : 325= 3 x 100 + 2 x 10 + 5
La position des chiffres dans l’écriture du nombre n’a pas un rôle important : La valeur du chiffre
ne dépend pas de la place qu’il occupe dans l’écriture du nombre.
Dans ce système, on écrit les nombres comme on les parle.630 : 6 100 3 10 (4 symboles)
Il n’y a pas de symbole pour marquer l’absence des unités manquantes.
Cette numération ne connaissait pas de signe particulier pour marquer le million. Un million se dit
simplement : 100 x 10 000 et dix millions : 1000 x 10 000.Ce n’est que plus tard qu’un symbole
particulier a été introduit pour désigner 100 000 000.
Ce système de numération est un système hybride :
Dans les numérations hybrides, on utilise à la fois l’addition et la multiplication pour désigner les
nombres. La multiplication intervient pour déterminer la quantité de chacun des groupements.
Les systèmes hybrides représentent une économie de symboles dans l’écriture des nombres par
rapport aux systèmes additifs. Mais pour chaque nouvelle position ou groupement exprimé, un
nouveau signe ou symbole s’impose.
La numération romaine
Les peuples qui ont utilisé la notation numérique consistant à représenter un nombre entier par
autant de traits ou de points semblables placés les uns à côté des autres ont marqué un temps
d’arrêt à quatre .Tout se passe comme si le pouvoir naturel de perception directe des quantités
dépassait rarement quatre.
Les romains comme l’ont fait d’autres peuples, usèrent d’un chiffre spécial pour désigner cinq.
I, V et X sont les plus anciens chiffres de la série .Ils sont antérieurs à toute forme d’écriture. Ces
symboles semblent issus de la pratique de l’entaille : encoches sur des os ou des morceaux de
bois.
La numération romaine est un exemple de numération additive : la juxtaposition des chiffres se
traduit par l’addition de leurs valeurs.
Chaque chiffre représente la même valeur quelle que soit sa position. De ce fait, il n’y a pas
besoin de symbole pour représenter l’absence des unités d’ordre manquantes.
Ce système utilise 7 symboles I, V, X, L, C, D, M .Le principal inconvénient est l’écriture des
grands nombres. Pour palier à l’utilisation d’un grand nombre de symboles, les romains se mirent
alors à utiliser le principe soustractif. IIII=IV
Ce système utilise alternativement les bases 2 et 5 : IIIII=V et VV=X
Il utilise un symbole différent pour désigner chaque puissance de dix jusqu’à 1000 et des
symboles pour désigner 5,50, et 500 et il utilise une juxtaposition des symboles qui sous-tend
l’utilisation de l’addition et la multiplication.
Les romains ont aussi utilisé (certainement à partir de l’époque d’Hadrien vers 200 après l’ère
chrétienne) l’idée du principe multiplicatif : tout symbole surligné était multiplié par 100.
LXXXIII = 83 000.
La numération babylonienne
Deux systèmes sont à distinguer : la numération assyro babylonienne et la numération savante
babylonienne.
La numération assyro babylonienne :
Les chiffres de base sont représentés par le clou : l’unité et le chevron : la dizaine .Les nombres
100 et 1000 ont aussi une représentation spécifique.
100= un clou vertical et un clou horizontal
1000= un chevron, un clou vertical et un clou horizontal.
La décomposition repose sur le principe hybride, selon une décomposition :
Exemple : 7659 = (1 +1+1+1+1+1+1) x1000 + (1+1+1+1+1+1) x 100 +(1+1+1+1+1) x10
+(1+1+1+1+1+1+1+1+1) ce qui donnera juxtaposés les symboles suivants :
7 clous, le symbole de 1000, un espace, 6 clous, le symbole de 100, un espace, 5 chevrons un
espace, 9 clous.
Cette numération a réussi à s’étendre à la notation des milliers grâce à la considération du millier
comme nouvelle unité de compte et à l’utilisation de la règle multiplicative :
Un chevron et le symbole représentant 1000 = 10 000
Le symbole représentant 100 et le symbole représentant 1000 = 100 000
305 412 = 3 x 100 000 + 5 x 1000 + 4 x 100 + 10 + 2 soit (3 clous et le symbole représentant 100
et le symbole représentant 1000), un espace, 5 clous et le symbole représentant 1000, un espace, 4
clous et le symbole représentant 100, un chevron et 2 clous.
La numération savante babylonienne :
La civilisation babylonienne est l’une des plus anciennes civilisations connues. Elle débuta vers
5000 ans avant l’ère chrétienne et se poursuivit jusqu’au début de cette ère. On lui doit l’une des
premières formes de l’écriture .C’est chez les savants de Babylone qu’est apparue pour la
première fois l’idée de la règle de position.
Ce système comporte deux symboles : le clou vertical pour l’unité et le chevron pour la dizaine.
Dans ce système, l’écriture des nombres de 1 à 59 repose sur la base 10 et un principe additif :
18 = 1 chevron et 8 clous verticaux ; 30= 3 chevrons ;
Pour les nombres supérieurs à 60, le système devient positionnel, c’est-à-dire que la valeur de
chaque symbole dépend de sa position :
65 = un clou vertical, un espace, 5 clous verticaux.
Le premier clou vertical représentant 60.La base utilisée étant la base 60 .c’est-à-dire que 60 est le
nombre d’unités nécessaires pour former une unité supérieure.
Exemples :
102= 60+40+2 soit un clou vertical, un espace, 4chevrons et 2 clous verticaux
125= 2x60 +5 soit 2 clous verticaux, un espace, et 5 clous verticaux
642= 10x60 +40+3 soit un chevron, un espace, 4 chevrons et 3 clous verticaux.
Il n’y a pas vraiment eu de symbole pour représenter l’absence d’unité manquante ou de symbole
« 0 » et ici ce serait nécessaire.
Les scribes babyloniens ménageaient quelquefois un espace libre, vide entre les symboles pour
marquer l’absence d’unité d’ordre donné mais il est bien souvent oublié et il restait difficile de
symboliser l’absence de plusieurs unités d’ordre donné consécutif.
A partir d’une époque qu’il est difficile de situer avec exactitude, les astronomes et les
mathématiciens ont utilisé un symbole pour bien marquer cette absence des unités manquantes.
Néanmoins ce symbole ne fut guère considéré comme un « 0 » mais plutôt comme symbole
désignant une place vide.
L’idée de position est apparue pour la première fois avec ce système de numération. Ce système a
été construit à partie de l’ancienne numération sexagésimale sumérienne. Elle est presque
analogue à notre système actuel mais elle en diffère par le nombre de ses chiffres, le mode de
formation de l’écriture des nombres, et l’absence du zéro.
Les Babyloniens ont donc imaginé, 20 siècles avant notre ère, un système de position fondé sur la
base 60. Nous l’utilisons encore aujourd’hui avec les heures, minutes, secondes !
La numération indienne
Ce système comporte 9 symboles qui sont très proches de nos chiffres. Le système est
positionnel :c’est la place du symbole dans l’écriture du nombre qui détermine sa valeur. C’est un
système qui possède un zéro pour marquer l’absence d’unité dans un ordre donné.
C’est le système le plus proche du nôtre et notre système en découle.
On dit "les chiffres arabes" lorsqu’on parle des chiffres qui servent à écrire les nombres dans notre
système mais en réalité ils sont d'origine indienne. C'est à l'Inde que nous devons la numération
décimale de position. Ce système était connu dès le début du VI siècle.
Le savant d'origine persane AL-KHWARIZMI (vers 780 - vers 850) fut un mathématicien du
monde arabo-islamique. Il travaillait à la "Maison de la Sagesse" de Bagdad. Son œuvre - deux
traités l'un d'arithmétique, l'autre d'algèbre - contribua à faire connaître la numération indienne.
Son traité d'arithmétique fut le premier ouvrage connu dans lequel la numération de position et les
méthodes de calcul font l'objet d'une explication spéciale, son nom AL-KHWARITZMI a été
latinisé et a donné le nom d'algorisme qui désignait au Moyen-âge ce type d'arithmétique, puis
algorithme.
Comparaison des différents systèmes :
Pour étudier et comparer plusieurs systèmes de numération, on prendra en compte les
éléments suivants: - le nombre de signes pour écrire les nombres
- la base
- la nature du système: additif, multiplicatif, positionnel, mixte
-la présence ou l'absence de zéro, conséquence sur la lecture ou l'écriture
- aisance pour lire ou écrire un nombre (choisir quelques nombres, les écrire dans chacun des
systèmes)
- aisance pour comparer les nombres écrits (s'exercer avec des nombres)
- aisance pour calculer avec des nombres écrits
Caractéristiques
Civilisation
égyptienne
Sino-japonaise
Romaine
Nombre de Présence ou
symboles
absence du
utilisés et
zéro
leur
signification
7
9 pour les
unités et 4
pour les
puissances
de dix
7
Savante
babylonienne
2
indienne
9
Base utilisée
(nombre
d’éléments
choisis pour
constituer des
groupements)
Base dix
Base dix
Opérations
implicites liées
à la
juxtaposition
des symboles
Numération
de position
Addition
Addition et
multiplication
non
non
Pas utile
Base deux et
Base cinq
non
Utile mais
pas
vraiment
présente
oui
Base 60
Addition,
soustraction,
multiplication
Addition et
multiplication
Addition et
multiplication
oui
Pas utile
Pas utile
Base 10
oui
NOTRE SYSTEME DE NUMERATION DECIMALE
Un peu d’histoire :
Après avoir longtemps pensé que notre système de numération était d'origine arabe, on est
maintenant à peu près certain qu'il a été inventé en Inde entre le IIIe et le Ve siècle avant J.-C. Les
documents authentiques concernant l'origine de notre numération sont malheureusement fort rares. Un
texte daté de 720 d'un savant indien bouddhiste fixé en Chine, atteste avec certitude:
- du système positionnel
- de 9 chiffres s'écrivant cursivement d'un seul trait
- du zéro dont la forme était plus proche de celle d'un point que de sa forme actuelle.
Est célèbre aussi l'inscription de Gwalior, datée de 876, et dans laquelle figurent 4 nombres écrits en chiffres et
en toutes lettres. Mais le 4 et le 6 n'y sont pas attestés et le 5 a encore une forme archaïque.
C’est par l'intermédiaire des savants arabes que les connaissances des indiens nous ont été transmises.
Notamment, Al Huwarism (780-850) (de son nom est né le mot algorithme qui n’a donc rien à voir avec
rythme), dans son livre d'arithmétique, expose en détail le principe et l'utilisation du système décimal de
position « la manière de compter des indiens à raide de neuf caractères ». AI Huwarism signale que
certains chiffres ont une forme mal fixée (5, 6: 7, 8). Il donne aussi la manière de lire les grands nombres
(les puissances de la base au-delà de mille n'ont pas reçu de nom spécial mais on dit mille de mille, cent
de mille, etc.).
Dans les pays islamiques eux-mêmes, la numération indienne fut lente à s’imposer.
Elle reste longtemps en concurrence dans les ouvrages d'algèbre (même chez AI Huwarism) avec la
méthode arabe d'écriture des nombres en toutes lettres, ainsi qu'avec une méthode de numération
alphabétique.
Jusqu'au XIVe siècle les différents types de numération continueront à subsister parallèlement, y
compris à l’intérieur d’un même ouvrage. La numération décimale de position est d'ailleurs peu utilisée
dans les ouvrages destinés aux commerçants et artisans.
Au niveau du calcul, la dactylonomie - c'est-à-dire les méthodes de calcul mental basées sur l'utilisation
des doigts - joue un rôle important.
Il est aussi à peu près sûr maintenant que c'est par l'intermédiaire d'un type d'abaque indienne (planche
à sable) que les mathématiciens arabes comme Al Huwarism eurent connaissance de la numération
décimale de position.
En Europe occidentale la numération de position intervint plus tard et ne s'imposa que très
progressivement. On utilisait toujours la vieille numération romaine, et l'on se servait pour compter de
jetons posés sur « l'abaque ». C’était une numération figurée.
Aux alentours de L'An 1000, Gerbert, devenu ensuite pape sous le nom de Sylvestre Il, fut l'un des
premiers chrétiens à étudier dans les écoles d'Espagne. Il semble qu'il introduisit les chiffres indoarabes par l’intermédiaire de l'abaque, remplaçant ainsi par exemple 9 jetons d'une même ligne par un
seul jeton marqué 9 en chiffre indo-arabe. Il n'y avait pas de jeton marqué zéro, celui-ci étant superflu
sur l'abaque puisqu'une colonne sans jeton suffisait.
Entre 1000 et 1300 les savants européens accèdent (par L'Espagne) aux ouvrages arabes et en publient
les traductions. (Gérard de Crémone, Robert de Chester. Jean de Séville, etc.)
Le résultat n'est pas toujours celui escompté: ainsi, le manuscrit de Cambridge, première traduction
latine de l'arithmétique d'AI Huwarism, contient des ajouts et des erreurs et n'est pas achevé: le copiste
a presque constamment omis d'écrire les nouveaux chiffres, et laissé simplement des blancs à la place !
Pendant cette période de 3 siècles, deux écoles se dessinent: les. « algoristes» qui utilisent les chiffres
indo-arabes et le zéro, et les « abacistes » qui utilisent la vieille numération romaine et l'abaque pour le
calcul.
Il faut faire attention à ces termes « abacistes » et « algoristes » employés ici. et qui peuvent prêter
peut-être à confusion.
En effet l'abaque était utilisée à la fois par les utilisateurs de la numération romaine et par les tenants
de la numération indienne (puisque c'est par l’intermédiaire de l'abaque qu’elle a été exportée en
dehors des Indes). Tous les calculateurs de l'époque étaient donc d’une certaine manière abaciste.
En 1202. Léonard de Pise (dit Fibonacci) utilise systématiquement la numération indo-arabe, tandis
qu'à Florence, en 1299, le pape en interdit l'usage peut-être par crainte de falsifications dues à des
chiffres encore mal connus.
On peut considérer qu'à partir du XIVe siècle l'usage des chiffres indo-arabes est largement répandu en
Occident.
Et le zéro ?
La numération grecque, qui n'est pas de position, n'a aucun besoin du zéro. Mais les astronomes
grecs qui utilisaient le système sexagésimal babylonien semblent l’avoir eux-mêmes perfectionné en y
adjoignant le signe 0, première lettre du mot ouδεν (rien). Il n'est pas impossible que le zéro du système
décimal des Indiens ait eu pour origine le zéro des astronomes grecs: on sait en effet que les Indiens
avaient connaissance et du système de numération babylonien, et des textes d'astronomie grecque.
Peut-être le mérite du système indien est-il d'avoir fait la synthèse entre des systèmes en base 10,
pas forcément positionnels, et le système babylonien. Le mot indien pour zéro était «sunya» qui
signifiait vide ou nul. Les arabes traduisaient sunya par « sifr » qui veut dire vide.
En Italie, le mot devint « zephirum » (début du 13e siècle) qui après plusieurs modifications
devint « zéro». Parallèlement, en Allemagne était utilisé le mot « cifra » (employé par Gauss) et en
Angleterre « cipher ».
LES REGLES DE NOTRE SYSTEME DE NUMERATION DECIMALE
La numération est le système qui permet d'écrire et d'énoncer les nombres. A l'école, il s'agit de
l'étude de l'organisation des signes et des mots qui permettent de désigner les nombres.
Apprendre la numération décimale, c'est acquérir la connaissance des règles qui permettent de
dire et d'écrire les nombres entiers et décimaux avec les mots et les signes conventionnels.
1 - La désignation orale des nombres
Comment désigner une infinité de nombres avec relativement peu de mots?
Avec 23 mots, on peut dire et écrire en lettres tous les nombres de la classe des unités simples,
de zéro à neuf cent quatre-vingt-dix-neuf
zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, -onze, douze, treize, quatorze,
quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent.
Organiser les mots pour dire les nombres :
1) La numération orale est une numération de position : la place des mots a une importance
Selon sa place, le mot change de valeur : cent trois ou trois cent ; le mot trois ne désigne pas la
même chose selon sa place (trois unités ou trois centaines).
2) Il y a un nombre fini de mots pour dire ou écrire tous les nombres avec des mots
Tous les nombres inférieurs ou égaux à dix ainsi que certaines puissances de dix reçoivent un
nom indépendant des autres, les noms des autres nombres sont composés à partir des précédents
suivant un principe additif ou multiplicatif.
Dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt-trois, sont composés selon le principe additif.
Quatre-vingt, trois cent, ... sont composés selon le principe multiplicatif.
Avec un mot de plus, mille, on peut énoncer 999 000 autres nombres.
Avec un mot de plus, million, on peut énoncer 999 000 000 autres nombres.
3) Le mot « zéro » n’apparaît que pour dire le nombre « 0 » et cela occasionne des erreurs dans
le passage de l’écriture littérale à l’écriture chiffrée :
Cinq mille trente six est bien souvent traduit par 500036
4)La numération orale ou écrite fait apparaître des « bases auxiliaires » :
Vingt : quatre-vingts
Cent : deux cent
Mille, million, milliard
5) La désignation des grands nombres
Règle : Depuis la IX conférence des Poids et Mesures en 1948, la France a adopté le système
suivant:
1 million = mille fois mille soit 106 unités
1 billion = 1 million de millions soit 1012 unités
1 trillion = 1 million de billions soit 10 18 unités
Le mot milliard n'appartient plus à la terminologie légale. Il est cependant toujours utilisé.
1 milliard= mille millions soit 109 unités.
6) la lecture :
Exercices classiques: organiser les mots pour dire les nombres.
Pour faciliter la lecture des grands nombres, on groupe les chiffres par classes. Cette activité se
pratique dès le CE2 et encore aux cours moyens.
Ex. : 14 203 048 502
Quatorze milliards deux cent trois millions quarante huit mille cinq cent deux quatorze mille
deux cent trois millions quarante huit mille cinq cent deux
De mille en mille, de millions en millions, nous utilisons des bases auxiliaires pour faciliter
la communication sur les grands nombres.
classe des
milliards
classe des
billions
1012
classe des
millions
109
classe des mille
106
103
classe des
unités
10°
7) Extension à la désignation orale des nombres décimaux
Pour dire les nombres décimaux, on utilise les sous-multiples de
l'unité: le dixième qui évoque le partage de l'unité en dix parties
égales.
Le centième qui évoque le partage de l'unité en cent parties égales
Le millième qui évoque le partage de l'unité en mille parties égales, ...
8) Au niveau de la syntaxe, pour construire la règle d’écriture des nombres avec des mots,
on utilise les opérations implicites correspondant aux règles de juxtaposition des symboles
:
- parfois l’addition seule : 18 = 10 + 8
- parfois la multiplication seule : 80 = 4x20 et 200 = 2x100
- parfois l’addition et la multiplication : 347 = 3x100 + 4x10 +7
9) Règles d’orthographe
Les mots pour écrire les nombres sont des adjectifs invariables sauf « vingt » et « cent ». Ces
derniers prennent un « s » au pluriel sauf quand ils sont suivis d’un autre nombre. Il faut mettre
un trait d’union entre les mots nombres pour écrire les nombres inférieurs à cent, sauf ceux qui
s’écrivent avec « et ». Le « et » remplace le trait d’union.
2 - La désignation écrite des nombres
Notre système de numération repose sur trois principes : le groupement, l’échange et la
valeur positionnelle.
Le système de numération décimale permet avec un alphabet fini de dix chiffres
[ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ] d'écrire une infinité de nombres.
Les chiffres sont au nombre ce que les lettres sont au mot. Pour écrire des mots, on dispose
d'un alphabet de vingt-six lettres, mais il y a des mots d'une lettre. De même, il y a dix
nombres d'un chiffre: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9.
Organiser les chiffres pour écrire les nombres
Lorsqu'on écrit une assez longue colonne de nombres, on s'aperçoit que les chiffres se
combinent selon des règles précises.
Règle 1 :Les chiffres s'utilisent dans l'ordre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pour écrire les nombres
En conséquence, sur les roues d'un compteur (compteur kilométrique, compteur EDF ou
compteur fabriqué en classe) après 9 c'est 0.
Règle - Tous les chiffres de 0 à 9 se combinent avec le 1 pour écrire les nombres de 10 à
19, puis avec le 2 pour écrire les nombres de.20 à 29, puis avec le 3 .... et ainsi de suite
jusqu'à 99. On obtient les nombres à trois chiffres en faisant précéder tous les nombres
de 00, 01, 02, ... jusqu'à 99 d'abord du 1, puis du 2, ... jusqu'à 999.
Cette règle se répète pour les nombres de quatre, cinq, ... chiffres.
Le mot algorithme désigne aujourd'hui une suite finie de règles à appliquer dans un
ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver avec certitude, en un
nombre fini d'étapes à un résultat. On peut parler de l'aspect algorithmique de notre
numération décimale de position. L'algorithme d'écriture des nombres est défini par les deux
règles ci-dessus.
Règle 2 : chaque chiffre a une valeur différente selon la position qu'il occupe dans
l'écriture du nombre (principe de la valeur positionnelle)
Dans 2 623
2 correspond à 20 unités
2 correspond à 2 000 unités
Règle 3 :dix unités d'un ordre donné constitue une unité de l'ordre immédiatement
supérieur. (principe du groupement par 10 et de l’échange 10 contre1)
Cela se traduit sur un boulier ou sur une abaque par le fait que dès qu'il y aura dix sur une
branche, cette valeur s'échangera contre un sur la branche à gauche de la précédente.
On peut parler de la règle d'échange "dix contre un" :
Dix unités contre une dizaine
Dix dizaines contre une centaine
Dix centaines contre une unité de mille.
Règle 4 : tout nombre peut se décomposer selon les puissances de dix
En décomposant de cette façon l'écriture d'un nombre, on met en évidence les
groupements par 10 (base 10) utilisés :
2507 = 2x1000 + 5x100 + 0x10 + 7x1 = 2x103 + 5x102 + Ox10l + 7x100
2 507 représente
2 groupements de mille, 5 groupements de cent, 0 groupement de dix et 7 unités isolées.
2 unités de mille
5 centaines
0 dizaine
7 unités
25 centaines
7 unités
250 dizaines
7 unités
2507 unités
Tout nombre entier N peut s'écrire sous la forme:
N = ∑ a n 10 n . On appelle cette écriture, l'écriture canonique.
Règle 5 : Le chiffre zéro indique l'absence de groupement d'un ordre donné
En combinant ces règles, on s'aperçoit qu'un groupement donné peut s'exprimer en fonction
des groupements précédents.
Par exemple, 2 groupements de mille correspondent à 20 groupements de cent et à 200
dizaines.
De cette façon le nombre 2 507 peut se lire et se comprendre comme 25 centaines et 7 unités
ou encore comme 250 dizaines et 7 unités.
Ce sont les relations opératoires entre les groupements qu'il faut mettre en évidence.
Un élève doit être capable d'utiliser des relations du genre:
1 centaine = 10 dizaines = 100 unités
classe des unités de
millions
...
109
108 107
c.
d.
106
u.
classe des unités de
mille
105
c.
classe des unités
104 103
100
10
l
d.
c.
d.
u.
u.
3 - Comparaison entre numération chiffrée et numération orale
Ressemblances
- systèmes positionnels
- recours à l’addition et à la multiplication (lire 38, 80, 98)
Différences
- numération chiffrée en base 10 ; la numération orale fait intervenir d’autres bases (bases 20 et
60)
- en numération orale, le zéro marquant l’absence à une position n’est pas utilisé (exemple :
cent).
- pour comparer des nombres, la longueur du nombre est parfois suffisante en numération
chiffrée,
ce qui n’est pas le cas en numération orale.
4 - Aspects techniques - changement de bases
a) Le principe de la base :
Problème : comment désigner des nombres élevés avec le moins possible de symboles ?
Solution : privilégier un groupement particulier (comme la dizaine, la douzaine, la vingtaine, la
soixantaine par exemple) et d’organiser la suite régulière des nombres selon une classification
hiérarchisée.
Le travail relatif aux changements de base doit permettre d'approfondir la connaissance du
système de numération décimale positionnelle.
Plusieurs niveaux de réflexion se conjuguent pour un enseignant de l'école élémentaire.
a) manipulation d'objets
Penser aux employés qui groupent les billets et les pièces pour compter leur caisse.
Dès que l'on doit dénombrer une très grande quantité d'objets il est prudent de choisir une manière de
grouper les objets pour éviter les erreurs.
Ce principe peut être travaillé avec les jeunes enfants dès le CP et encore en CE1, on obtient ainsi une
collection organisée qui permet de réaliser des opérations de calcul mental. Si les objets sont organisés
selon la base dix, des sachets de dix illustrent la notion de dizaine, des sachets de cent (dix sachets de
dix objets chacun) illustrent la notion de centaine, ...
b) représentation d'une collection organisée d'objets
Soit à organiser une collection de 138 objets représentés par des points en base cinq.
unités du 40 ordre
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
unités du 30 ordre
…..
…..
…..
…..
…..
1 groupement de 5x5x5
unités du 20 ordre
unités du 1erordre
•••••
•••••
•••
2 groupements de 5
0 groupement de 5x5
3 éléments isolés
La quantité d'objets de cette collection s'écrira: 1023 en base cinq.
Pour écrire un nombre en base dix dont on connaît l'écriture en base a, on utilise son
écriture développée selon les puissances de a.
Pour écrire en base a un nombre dont on connaît l'écriture en base dix, on utilise la méthode des
divisions successives de ce nombre par a. Les différents restes correspondent aux chiffres de
l'écriture du nombre en base a, le premier reste correspondant au chiffre de l'unité d'ordre le plus
bas et le dernier reste au chiffre de l'unité d'ordre le plus haut.
b)Ecriture d’un entier naturel en base B
Soit B un entier naturel fixé.
Tout entier naturel a s’écrit alors d’une seule façon sous la forme :
a= anB n + an-1B n-1+ an-2 B n-2+ ……………….+ a2B 2+ a1B 1+a0
où les entiers ai sont tous strictement inférieurs à B et an est non nul (sinon, on n’a pas unicité de
l’écriture).
La numération de position revient à représenter le nombre par la liste des ai , écrite dans l’ordre
correspondant aux puissances décroissantes de B (de an à a0).
3- Exemples
a) Quelle est la valeur en base 10 du nombre qui s’écrit 3241en base 7 ? (1156)
b) Quel est le nombre qui précède 1200 en base 7 ? (1166 )
c) Quel est le nombre qui suit 4126 en base 7 ? ( 4130 )
d) Ecrire en base 7 le nombre qui s’écrit 442 en base 10.
- 1ère méthode
Partager 442 en groupes de 7 : 442 = 63 x 7 + 1 : le chiffre des unités est donc 1.
Partager 63 en groupes de 7 : 63 = 9 x7 + 0 : le chiffre des septaines est donc 0.
Partager 9 en groupes de 7 : 9 = 1 x 7 +2 : le chiffre des 49-aines est donc 2 et le chiffres des
343-aines est 1.
Donc 442 s’écrit 1201en base 7.
- 2ème méthode
En base 7, les groupements auront :
7 éléments
7² = 49 éléments
73 = 343 éléments
74 = 2401 éléments etc.
Or 343 < 442 < 2401 donc le nombre cherché aura 4 chiffres en base 7.
Combien de 343-aines ? 442 = 1 x 343 + 99 : le chiffre des 343-aines est 1.
Combien de 49-aines ? 99 = 2 x49 + 1 : le chiffre des 49-aines est 2.
Combien de 7-aines ? 1 = 0 x 7 + 1 : le chiffre des 7-aines est 0 et celui des unités est 1.
4- Comparaison de nombres en base B
Règle 1 : un nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
Règle 2 : si les nombres à comparer ont le même nombre de chiffres, alors on compare les
chiffres de gauche à droite et le classement s’effectue aux premiers chiffres différents.
Attention : ces deux règles sont valables si les nombres à comparer sont donnés dans la même
base. Sinon, il faut se ramener à une base commune.
5 - Les différents points à prendre en compte quand on envisage un
enseignement de la numération à l'école élémentaire
L'enseignement de la numération à l'école élémentaire doit tenir compte de deux aspects:
- la numération en tant qu'objet d'étude, c'est à dire la manière dont elle
fonctionne
-la numération en tant qu'outil, c'est à dire quand et où on en a besoin. On a besoin
de la numération:
pour écrire et dire les nombres entiers et décimaux
pour comparer des nombres
pour calculer et particulièrement dans la mise en place
des techniques opératoires
pour mesurer
pour résoudre certains problèmes
Quand on prend en compte l'aspect objet de la numération, on doit penser aux points suivants:
- Les propriétés algorithmiques c'est à dire la mise en évidence de la manière dont
fonctionne l'écriture des nombres en observant ses régularités sans forcément donner de sens à
chaque chiffre de l'écriture des nombres en terme de groupement.
- Le rôle des échanges et des groupements en base dix et il s'agit alors de donner du
sens aux écritures chiffrées : les activités proposées ont alors pour objectif de mettre en
évidence le rôle du groupement par dix et de leur récursivité : on groupe dix unités pour avoir
une dizaine, et on réitère cette règle sur les dizaines pour avoir une centaine ... L'attention des
enfants sera alors portée sur la signification de la position des chiffres en terme de groupement
dans l'écriture d'un nombre.
A l'issue de l'apprentissage, l'enfant devra être capable de voir dans 2649 aussi bien 2
unités de mille, 6 centaines, 4 dizaines et 9 unités que 26 centaines, 4 dizaines et 9 unités que 264
dizaines et 9 unités ....
On peut alors proposer plusieurs types d'activités dans lesquelles il s'agit de :
Organiser une grande collection d'objets en utilisant les groupements par
dix pour écrire le nombre de ses éléments.
Pratiquer des activités d'échange et de groupement.
Reconnaître l'organisation des groupements par dix dans l'écriture
chiffrée d'un nombre
Analyser une collection déjà organisée à travers l'utilisation de divers
matériels de numération.
- Le fonctionnement de la numération parlée ou écrite avec des mots.
6- Un regard sur les programmes …
1- Cycle 2
- Exprimer, garder en mémoire une quantité, une position dans une liste rangée, le résultat d’un
mesurage.
- Comparer des quantités, des grandeurs.
- Prévoir des résultats (augmentation, réunion, partage …).
=> Aspects : cardinal et ordinal
- Maîtrise de comptine orale.
- Dénombrement.
- Mise en relation oral-écrit. Suites orales et écrites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100.Suivant,
précédent. Ordre.
- Groupements par 10, 100.
- Doubles et moitiés de nombres d’usage courant.
2- Cycle 3
- Dénombrement, mesurage, graduation
- Décomposition de nombres (/dizaines, centaines). Caractère infini des suites de nombres.
- Aspect ordinal : symboles « <,> », ranger des nombres, situer un nombre dans une série
ordonnée, encadrements.
- Expressions d’usage courant (quart, 3/2 etc.)
- Multiples de 2, 5, 10 …
3- Acquisition de la chaîne numérique verbale
- Dès 2 ans ; 6 ans (1-20) ; 8-9ans (maîtrise)
Difficultés :
- Irrégularités dans le lexique des nb (structure sous-jacente de la base 10 non transparente)
- Lors du changement de dizaine.
4- Comptage & dénombrement
- Le comptage fournit une suite de nombres ordinaux. Il peut être effectué à partir de n’importe
quel objet. Le résultat du comptage est invariant.
- Le dénombrement est le résultat du comptage : il fournit le nombre cardinal de la collection. Le
dernier mot prononcé n’est pas un simple n°, mais représente à lui seul la quantité de tous les
objets de la collection.
- Subitizing (dès 5 ans).(reconnaissance globale de 1 à 5 objets)
4.1- Comptage
- Récitation du nom des nombres dans l’ordre correct avec appariement un à un.
- Pointage de chaque élément compté.
- Séparation entre ce qui a été compté et ce qui reste à compter.
- Contrôle de tout ça !
4.2- Dénombrement
- Stricte correspondance terme à terme.
- Ordre stable (des mots-nombres).
- Cardinalité.
- Abstraction : l’hétérogénéité ou l’homogénéité des objets d’une collection n’a pas
d’incidence sur le dénombrement d’où nécessité de traiter les objets comme des unités
abstraites.