La fiche de cours de M. Haguet
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La fiche de cours de M. Haguet
Le cours de M. Haguet collège des flandres : http://www5.ac-lille.fr/~clgflandres/maths/mathsCOURS.html Proportionnalité I) Proportionnalité a) Définition ° Grandeurs proportionnelles 2 grandeurs sont proportionnelles quand il existe un coefficient multiplicateur qui permet de passer d'une grandeur à l'autre. Ce coefficient est appelé coefficient de proportionnalité ex : Le périmètre d'un carré et le côté d'un carré sont 2 grandeurs proportionnelles. Acarré = 4 × Côté coefficient de proportionnalité = 4 ° Tableau de proportionnalité Un tableau (2 lignes) est dit de proportionnalité quand il existe un coefficient multiplicateur qui permet de passer d'une ligne à l'autre. ex : ligne1 5 10 0,2 ligne2 30 60 1,2 6 ligne 1 27 6 5 ligne 2 18 4 10 3 2 3 ° Quatrième proportionnelle Considérons un tableau de proportionnalité La valeur manquante est appelée 4ème proportionnelle a c 4ème prop a b 4ème prop c b b) Déterminer une quatrième proportionnelle. ° Par combinaison ou multiplication par un nombre Combinaison : Dans un tableau de proportionnalité (en lignes ) on peut additionner 2 colonnes pour en trouver une 3ème Multiplication par un nombre : Dans un tableau de proportionnalité (en lignes ) on peut multiplier une colonne par un nombre en trouver une 2ème a Ligne 1 x y x+y Ligne 2 kx ky kx+ky k Ligne 1 x ax Ligne 2 kx kax k k (x + y) = k x + k y a ° Par passage à l'unité (recherche du coefficient) Trouver la quatrième proportionnelle correspondant à la valeur 1 revient à déterminer le coefficient de proportionnalité. Ligne 2 Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la ligne 1 à la ligne 2 se détermine grâce à la formule : Ligne 1 exemple : Compléter le tableau de proportionnalité 4 5 10,6 11 1 18,55 2,65 ° Produit en croix Ligne 1 a c Ligne 2 b d k c ×b =d a (voir démonstration du prof) 2,65 c) Représentation graphique d'une situation de proportionnalité ° Propriété Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Grandeur 1 1 2 3 5 Grandeur 2 k 2k 3k 5k k Poids des tomates 0,6 1,2 prix 1,5 3 2,5 prix Grandeur 2 5 2 2k 1 k poids Grandeur 1 1 2 3 0,2 0,4 5 1 2 II) Vitesse Dans un mouvement uniforme ("régulier"), la distance (d) parcourue est proportionnelle au temps (t) mis pour la parcourir. Le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne Temps (t) en h Distance (d) en km 2 0,5 1 150 37,5 75 La vitesse moyenne est de 75 km/h (ou 75 kmh-1) Formule : Soit d = distance parcourue 75 = (v) 75 150 37,5 75 = = 2 0,5 1 t = temps mis pour la parcourir kmh v = la vitesse moyenne d d t= ) ( Ou d = v ×t ou t v Les unités généralement utilisées pour exprimer une vitesse moyenne sont : km/h et On a alors : v = m/s III) Agrandissement – réduction Lorsqu'on agrandit ou on réduit une figure géométrique, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles à à celles de la figure de départ. Le coefficient d'agrandissement ou de réduction est aussi appelé échelle exemple: Longueurs triangle départ Longueurs triangle reproduit 9 8 6 7,2 6,4 4,8 0,8 Le triangle reproduit est une réduction du triangle de départ à l'échelle 0,8 Formule : l'échelle e d'une reproduction se calcule grâce à la formule e= longueur reproduite longueur initiale et on a : Longueur de la reproduction = e × longueur initiale si e < 1 , c'est une réduction si e > 1 , c'est un agrandissement remarque : Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, les angles sont conservés. IV) Utiliser ou déterminer un pourcentage un pourcentage est une situation de proportionnalité Exemple 1: Un article qui coûtait 84€ vient de subir une baisse de 15 %. Quel est son nouveau prix ? Méthode 1: Article avant réduction 84 100 Montant de la réduction 12,6 15 0,15 Sur 84 €, on a une réduction de 12,60 € Le nouveau prix est donc de 71,40 € Méthode 2: Si on a une réduction de 15%, le nouveau prix représente 85% de l'ancien prix Article avant réduction 84 100 Article après réduction 71,4 85 0,85 Le nouveau prix est donc de 71,60 € Exemple 2: Un article qui coûtait 56 € il y a un mois, coûte aujourd'hui 60,48 €. de quel pourcentage a-t-il augmenté ? L'article a augmenté de 4,48 € Article avant augmentation 56 100 Montant de l'augmentation 4,48 8 L'article a augmenté de 8 % 0,08