Limite `a l`infini d`une fonction rationnelle

Limite `a l`infini d`une fonction rationnelle

Limite à l’infini d’une fonction rationnelle
Sujets
Exercice 1 Soit f la fonction définie sur
i
h
√ h i
√
√ h i
√
E = −∞; 1 − 3 ∪ 1 − 3; 1 + 3 ∪ 1 + 3; +∞
par
f (x) =
−4x4 + 5x3 − x2 − x − 5
.
4 (x2 − 2x − 2)
Déterminez la limite de f en +∞.
Exercice 2 Soit f la fonction définie sur
1
1
∪ ; +∞
E = −∞;
4
4
par
f (x) =
−4x − 3
.
4x − 1
Déterminez la limite de f en +∞.
Exercice 3 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; 5[ ∪ ]5; +∞[
par
2x2 + 2x + 5
.
4(x − 5)2
f (x) =
Déterminez la limite de f en −∞.
Exercice 4 Soit f la fonction définie sur
E=R
par
f (x) =
4 (x2
x−2
.
− 10x + 27)
Déterminez la limite de f en −∞.
1
Exercice 5 Soit f la fonction définie sur
3
3
E = −∞; − ∪ − ; +∞
2
2
par
−x2 + 5x − 4
.
f (x) =
2x + 3
Déterminez la limite de f en +∞.
Exercice 6 Soit f la fonction définie sur
h
i
√
√ h i
√
√ h i
E = −∞; 3 − 2 ∪ 3 − 2; 3 + 2 ∪ 3 + 2; +∞
par
4 − 3x
.
2 (x2 − 6x + 7)
Déterminez la limite de f en −∞.
f (x) =
Exercice 7 Soit f la fonction définie sur
E=R
par
2x3 + 3x2 − 2x + 4
.
4 (x2 − 4x + 7)
Déterminez la limite de f en +∞.
f (x) =
Exercice 8 Soit f la fonction définie sur
i
h
√ h i √ √ h i√
E = −∞; − 5 ∪ − 5; 5 ∪
5; +∞
par
f (x) =
4(x + 1)
.
x2 − 5
Déterminez la limite de f en +∞.
Exercice 9 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; −5[ ∪ ]−5; +∞[
par
−5x2 + 4x − 5
.
x+5
Déterminez la limite de f en +∞.
f (x) =
Exercice 10 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[
par
f (x) =
3x − 5
.
x
Déterminez la limite de f en +∞.
2
Solutions
Solution 1 Soit f la fonction définie sur
h
i
√
√ h i
√
√ h i
E = −∞; 1 − 3 ∪ 1 − 3; 1 + 3 ∪ 1 + 3; +∞
par
f (x) =
−4x4 + 5x3 − x2 − x − 5
.
4 (x2 − 2x − 2)
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
p(x) = −x2
et
lim p(x) = −∞
x→+∞
donc
lim f (x) = −∞.
x→+∞
Solution 2 Soit f la fonction définie sur
1
1
∪ ; +∞
E = −∞;
4
4
par
−4x − 3
.
4x − 1
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
p(x) = −1
f (x) =
et
lim p(x) = −1
x→+∞
donc
lim f (x) = −1.
x→+∞
Solution 3 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; 5[ ∪ ]5; +∞[
par
f (x) =
2x2 + 2x + 5
.
4(x − 5)2
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
1
p(x) =
2
3
et
lim p(x) =
x→−∞
donc
1
2
1
lim f (x) = .
2
x→−∞
Solution 4 Soit f la fonction définie sur
E=R
par
f (x) =
x−2
.
4 (x2 − 10x + 27)
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par
p(x) =
1
4x
et
lim p(x) = 0
x→−∞
donc
lim f (x) = 0.
x→−∞
Solution 5 Soit f la fonction définie sur
3
3
E = −∞; − ∪ − ; +∞
2
2
par
−x2 + 5x − 4
.
2x + 3
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
x
p(x) = −
2
et
lim p(x) = −∞
f (x) =
x→+∞
donc
lim f (x) = −∞.
x→+∞
4
Solution 6 Soit f la fonction définie sur
h
i
√
√ h i
√
√ h i
E = −∞; 3 − 2 ∪ 3 − 2; 3 + 2 ∪ 3 + 2; +∞
par
f (x) =
4 − 3x
.
− 6x + 7)
2 (x2
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par
p(x) = −
3
2x
et
lim p(x) = 0
x→−∞
donc
lim f (x) = 0.
x→−∞
Solution 7 Soit f la fonction définie sur
E=R
par
f (x) =
2x3 + 3x2 − 2x + 4
.
4 (x2 − 4x + 7)
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
x
p(x) =
2
et
lim p(x) = +∞
x→+∞
donc
lim f (x) = +∞.
x→+∞
Solution 8 Soit f la fonction définie sur
i
h
√ h i √ √ h i√
E = −∞; − 5 ∪ − 5; 5 ∪
5; +∞
par
4(x + 1)
.
x2 − 5
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par
f (x) =
p(x) =
5
4
x
et
lim p(x) = 0
x→+∞
donc
lim f (x) = 0.
x→+∞
Solution 9 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; −5[ ∪ ]−5; +∞[
par
−5x2 + 4x − 5
.
x+5
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
p(x) = −5x
f (x) =
et
lim p(x) = −∞
x→+∞
donc
lim f (x) = −∞.
x→+∞
Solution 10 Soit f la fonction définie sur
E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[
par
3x − 5
.
x
Le quotient des monômes de plus haut degré de f est la fonction p définie
pour tout x ∈ R par
p(x) = 3
f (x) =
et
lim p(x) = 3
x→+∞
donc
lim f (x) = 3.
x→+∞
6