Exercices supplémentaires

Exercices supplémentaires - Développements limités
Exercice 1. Donner le développement limité des fonctions suivantes en 0 à l’ordre n.
b) ex cos x (n = 2)
a) ch(x) (n = 2p + 1)
1 + x2 + x3 − x5
(n = 2)
1 − x + x2 + x6
g) arccos(x) (n = 5)
d)
x
sin x
h) ecos x
e)
(n = 4)
c) tan x (n = 5)
f ) arctan(x) (n = 5)
(n = 5)
Exercice 2. Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner le développement limité à
l’ordre n au voisinage de 0.
2x
n=3
a) ln(1 − x)
n quelconque
i)
1 − x2
√
√
1+x− 1−x
n=3
j) sin(2x)(e−1 − 1) n = 3
b)
c)
d)
ln(1 − x2 )
1 + 2x
1
cos2 x
n=3
x ln(1 + x)
tan(x)
l) ln
x
1
m) arctan
1+x
√
n) ex 1 + x
n=4
1
e) (1 − 3 sin x) x
n=2
1
1
−
2
x2 sin (x)
n=1
f)
k)
n=5
n=2
n=3
n=3
x2 x3
g) ln(1 − x) + x +
+
n=3
2
3
1 − x + x2
h) ln
n=3
1 + 2 sin x
Exercice 3. Calculer les limites suivantes :
x2
x
sin( x2 ) + cos x
arctan(1 + x)
1
1
2
3
1) lim
, 2) lim
, 3) lim x 1 +
− ex ln 1 +
.
x→π 1 + sin2 x + cos x
x→+∞
x→+∞
arctan x
x
x
1
π
= .
On rappelle que : ∀x > 0, arctan x + arctan
x
2
Exercice 4.
a) Donner le développement limité d’ordre 4 en 0 de cos(sin x).
1
2 cos(sin x) + x2 − 2
.
x→0
x4
b) Calculer lim
Exercice 5. Donner le développement limité à l’ordre 4 en zéro de :
cos x
,
1 + tan x
1
,
cos x
xex
1 − x2
et
√
arctan( 1 + x).
Exercice 6. Calculer les limites suivantes :
1) lim
x→0
arcsin x − x
,
x3
√
sin x + cos − 2
,
2) limπ
2
x→ 4
x − π4
2
"
3) lim x
x→+∞
1+
2
x
x
2x #
1
.
− 1+
x
Solutions
Exercice 1.
x2 x3
x2p+1
a) ch x = 1 +
+
+ ··· +
+ o(x2p+1 ), b) ex cos x = 1 + x + o(x2 ),
2!
3!
(2p + 1)!
x3 2x5
1 + x2 + x 3 − x5
c) tan x = x +
+
+ o(x5 ), d)
= 1 + x + x2 + o(x2 ),
3
15
1 − x + x2 + x6
x2 7x4
x3 x5
x
=1+
+
+ o(x4 ), f ) arctan x = x −
+
+ o(x5 ),
e)
sin x
6
360
3
5
π
x3 3x5
ex2 ex4
g) arccos x = − x −
−
+ o(x5 ), h) ecos x = e −
+
+ o(x5 ).
2
6
20
2
6
Exercice 2.
√
√
x2 x3
xn
x3
−
+···−
+ o(xn ), b) 1 + x − 1 − x = x +
+ o(x3 ),
2
3
n
8
1
2x2 2x4
ln(1 − x2
= −x2 + 2x3 + o(x3 ), d)
=
1
+
+
+ o(x4 ),
c)
2x
1 + 2x
cos
3
3
1
9x 47x2
1
1
1
−3
e) (1 − 3 sin x) x = e
1+
= − + o(x),
−
+ o(x2 ), f ) 2 −
2
2
4
x sin x
3
2
2
1
−
x
+
x
5x3
5x
x2 x3
+
= o(x3 ), h) ln
−
+ o(x3 ),
= −3x +
g) ln(1 − x) + x +
2
3
1 + 2 sin x
2
3
1
1
2x
1
3
3
h) 2 −
= 2x + 2x + o(x ),
= − + o(x), i)
2
x
3
sin2 x
1 − x
3
4x
j) sin(2x)(e−1 − 1) = 2x −
(e−1 − 1) + o(x3 ),
3
2
3
x
4x
x5
tan x
x2
2
5
k) x ln(1 + x) = x −
+
−
+ o(x ), l) ln
+ o(x2 ),
=
2
3
5
x
3
1
7x3
4
+ o(x3 ),
m) arctan
= − 2x + 3x2 −
1+x
3
3
√
3x 7x2 17x3
n) ex 1 + x = 1 +
+
+
+ o(x3 ).
2
8
48
a) ln(1 − x) = −x −
Exercice 3.
1)
1
,
4
2)
2
exp
,
π
Exercice 4.
a)
cos(sin x) = 1 −
3)
1
.
8
x2 5x4
+
+ o(x4 ),
2
24
b)
Exercice 5.
cos x
x2 5x3 29x4
=1−x+
−
+
+ o(x4 ),
1 + tan x
2
6
24
3
5
.
12
1
x2 5x4
=1+
+
+ o(x4 ),
cos x
2
24
xex
3x3 7x4
2
+
+o(x4 ),
=
x+x
+
1 − x2
2
6
√
π x x2 7x3 13x4
arctan( 1 + x) = + − +
−
+o(x4 ).
6 4 8
96
384
Exercice 6.
1)
1
,
6
2)
√
2
−
,
2
3)
−e2 .
4