serie d`exercices 3 2012/2013 lycee technique mohammedia suptsi3

LYCEE TECHNIQUE
MOHAMMEDIA
SUPTSI3
2012/2013
SERIE D’EXERCICES3
Exercice 1
Mettre entre les deux propriétés (a) et (b) de chacune des questions suivantes le bon signe :
1. (a)
n
(b) (n est multiple de 4 ou
2. (a)
α ≡ π/2[π].
√
x2 + 4x − 5 = 0.
(b)
α ≡ π/2[2π].
3. (a)
(b)
x2 + 4x − 5 = 0.
4. (a)
x − 3 = x2 + 2x.
(b)
ex−3 = ex e2x .
5. (a)
z ∈ C.
(b)
∃r ∈ R+∗ , ∃θ ∈ R
est multiple de 2.
7. (a)
f une fonction dénie sur un
f admet des primitives sur I .
cos(x) = 0
(un )n∈N
8. Soit
(a)
(un )n∈N
ou
⇔.
est multiple de 6)
2
6. Soit
(a)
n
⇒, ⇐
(b)x
intervalle
f
(b)
I
de
tels que
R,
z = reiθ .
à valeurs dans
est continue sur
R.
I.
= π/2
une suite de nombres réels.
converge vers le réel
l.
(b)
1
1
≤ |un − l| ≤ .
2
n
n
∀n ≥ 3,
Exercice 2
Soit
u = (un )n∈N
une suite à valeurs réelles. Traduire les phrases suivantes en termes mathématiques puis
les nier (en termes mathématiques puis en français si possible).
1.
La suite
3.
La suite
5.
La suite
(un )n∈N
(un )n∈N
(un )n∈N
(un )n∈N
(un )n∈N
est croissante.
2.
La suite
est majorée.
4.
La suite
est constante.
est stationnaire
(une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang).
est positive.
Exercice 3
Soit
f : [a, b] → R
une fonction. Traduire les phrases suivantes en termes mathématiques puis les nier (en
termes mathématiques puis en français si possible).
f
f
1.
4.
est croissante.
2.
est bornée.
5.
f
f
est décroissante.
3.
est constante.
6.
f
f
est monotone.
est la fonction nulle.
Exercice 4
Soit
a)
n
(n, k) ∈ N2 .
est pair.
Traduire les phrases suivantes en termes mathématiques puis les nier.
b)
n
est multiple de 3.
c)
n
est multiple de
Exercice 5
Ecrire la contraposée des propositions suivantes.
1. Si la suite
2. Soit
∫
f
(un )n∈N
converge, alors elle est bornée.
une fonction continue et positive sur
[a, b].
b
f (t)dt = 0,
Si
a
alors
f
est identiquement nulle sur
[a, b].
k.
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SERIE D’EXERCICES3
Exercice 6
D désigne l’ensemble des droites du plan, D1 et D2 sont deux éléments de D parallèles entre elles. Dire si
les propositions suivantes sont vraies ou fausses et écrire la négation quand elles sont fausses.
a)
∀ i ∈ {1, 2} ,
∀ D ∈D ,
D // Di
b)
∃ i ∈ {1, 2} ,
∃D ∈ D /
D // Di
c)
∀ D ∈D ,
∃ i ∈ {1, 2} /
D // Di
d)
∃ D ∈D /
∀ i ∈ {1, 2} ,
D // Di
Exercice 7
Que dire de deux sous-ensembles A et B de E tels que A ∪ B = A ∩ B ?
Exercice 8
Soient A, B, C trois ensembles.
A quoi équivaut l’égalité A ∪ B = A ∩ C ?
Exercice 9
Soient A, B, C trois ensembles.
A∪B ⊂A∪C
⇒ B ⊂ C.
Montrer que
A∩B ⊂A∩C
Exercice 10
Soient A, B, C trois ensembles.
Montrer que (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
Exercice 11
Pour toutes parties A et B d’un ensemble E, on pose A ∆ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
A ∆ B est appelé différence symétrique de A et de B.
1. Montrer qu’une définition équivalente est : A ∆ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
2. Vérifier que A ∆ B = B ∆ A,
A ∆ B = Ā ∆ B = A ∆ B̄,
et
Ā ∆ B̄ = A ∆ B.
3. Calculer A ∆ ∅, A ∆ A et A ∆ E.
On désigne par A, B et C trois parties de E.
4. Montrer que A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C).
5. Vérifier également que A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C.
6. Quel signifie alors A1 ∆ A2 ∆ · · · ∆ An , si A1 , A2 , . . . , An sont n parties de E, avec n ≥ 2 ?