DUALITÉ LOCALE ET HOLONOMIE POUR LES D-MODULES

Transcription

Bull. Soc. math. France,
128, 2000, p. 1–68.
DUALITÉ LOCALE ET HOLONOMIE
POUR LES D-MODULES ARITHMÉTIQUES
PAR
Anne VIRRION (*)
RÉSUMÉ. — L’objet de cet article est l’étude du foncteur de dualité D dans le cadre de
la théorie des D-modules développée par Berthelot en caractéristique mixte. Le premier point
est de dégager les structures nécessaires à une définition satisfaisante de ce foncteur, puis
d’établir le théorème de bidualité et la commutation de la dualité à l’extension des scalaires.
Dans un deuxième temps, sous l’hypothèse d’existence d’un relèvement de Frobenius F , on
montre la commutation des foncteurs D et F ∗ pour les D-modules à gauche, et des foncteurs
D et F ! pour les D-modules à droite. Un outil essentiel ici est la théorie du foncteur image
inverse exceptionnelle développée par Grothendieck et Hartshorne. La troisième et dernière
partie est consacrée à l’étude de la dimension cohomologique de certains D-modules, munis
d’un isomorphisme avec leur image inverse par Frobenius. Grâce au théorème de descente par
Frobenius établi par Berthelot, on déduit une caractérisation homologique de l’holonomie, de
la même façon qu’en caractéristique nulle.
ABSTRACT. — LOCAL DUALITY AND HOLONOMY FOR ARITHMETIC D-MODULES. — The
object of this article is the study of the duality functor D in the context of D-modules developed
by Berthelot in mixed characteristic. The first part consists in extracting the required structures
to obtain a good definition of this functor; next we establish the biduality theorem and prove
the commutation of duality to scalar extension. In the second part we show the commutation of
D and F ∗ for left D-modules and that of D and F ! for right D-modules, under the hypothesis of
the existence of a pull-back by Frobenius F . An essential point here is the theory of exceptional
inverse image functor developed by Grothendieck and Hartshorne. The third and last part
consists in the study of the cohomological dimension of some D-modules endowed with an
isomorphism with their inverse image under Frobenius. Through the theorem of Frobenius
descent established by Berthelot, we deduce a homological characterisation of holonomy as in
characteristic zero.
(*) Texte reçu le 7 avril 1998, révisé le 19 janvier 1999, accepté le 18 juin 1999.
A. VIRRION, IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes CEDEX
(France). Email : [email protected].
Classification AMS : 14 F 30.
Mots clés : D-module, dualité, holonomie, morphisme de Frobenius, dimension cohomologique.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037–9484/2000/1/$ 5.00
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A. VIRRION
Sommaire
Introduction
0. Rappels et définitions
1. Opérateurs différentiels de niveau fini
2. Passages à la limite
3. Image inverse par Frobenius
4. Dimension cohomologique de D†X,Q
I. Dualité, bidualité et extension des scalaires
1. Quelques notations et résultats préliminaires
2. Foncteurs de passage de gauche à droite et de droite à gauche
3. Complexe dual et théorème de bidualité
4. Compatibilité à l’extension des scalaires
5. Applications aux opérateurs différentiels
II. Dualité et Frobenius
1. Les foncteurs F ∗ et F 2. Passages à la limite
3. Commutation des foncteurs D et D à F ∗ et F III. Caractérisations homologiques et F-D†X,Q -modules holonomes
1. Dimension des F -D†X,Q -modules cohérents
2. Théorèmes de nullité des Ext i
3. Dimension cohomologique et filtration par la codimension
4. Caractérisation homologique de l’holonomie
Bibliographie
Introduction
Le sujet de cet article est l’étude du foncteur de dualité locale dans le
cadre de la théorie des D† -modules développée par P. Berthelot [Be3] pour des
variétés algébriques X sur un corps k de caractéristique p. Il s’agit d’une part de
prolonger à ce contexte la théorie des D-modules en caractéristique nulle, dans
l’esprit des travaux de Bernstein [Bo1], Björk [Bj1], Kashiwara [Ka1], Malgrange
[Ma1], Mebkhout [Me1], [Me2], [Me3], [Me4], Saito [Sa1], [Sa2], Schneiders [Sc1],
[Sc2], [Sc3], etc. D’autre part, il faut s’assurer que ce foncteur est compatible
aux données spécifiques à la caractéristique positive, comme le morphisme
de Frobenius ou certains morphismes d’anneaux d’opérateurs différentiels qui
apparaissent naturellement. On s’attachera d’abord à dégager les hypothèses et
données nécessaires à une définition satisfaisante du foncteur de dualité D dans
ce contexte. On montrera ensuite le théorème de bidualité et la compatibilité
de D à l’extension des scalaires et à l’action de Frobenius. On étudiera enfin les
propriétés cohomologiques des D† -modules cohérents munis d’un Frobenius (qui
généralisent la notion de F -isocristal).
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DUALITÉ LOCALE ET HOLONOMIE EN CARACTÉRISTIQUE p
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Supposons X relevable en un schéma formel X lisse sur le spectre formel
d’un anneau de valuation discrète V, d’inégales caractéristiques (0, p), de corps
résiduel k, d’idéal maximal m, complet pour la topologie m-adique. Notons Xi
sa réduction modulo l’idéal mi+1 , pour i ≥ 0. On considère alors une famille de
(m)
(m)
faisceaux d’anneaux d’opérateurs différentiels DX (resp. DXi ), pour m ≥ 0,
sur X (resp. sur Xi ), engendrés localement par un nombre fini d’opérateurs
(m) le complété m-adique de D(m) et par passage à la
différentiels. On note D
X
X
limite inductive sur m, on définit le faisceau D†X . En tensorisant par Q, on obtient
l’objet central D†X,Q de la théorie de Berthelot. C’est un faisceau d’anneaux
cohérent [Be3, 3.6.1] et de dimension cohomologique finie [Be4, 4.4.7].
De façon plus générale on s’intéresse aux opérateurs différentiels de D†X,Q
à coefficients dans une OX -algèbre B, munie d’une structure compatible de
D†X,Q -module à gauche. La principale motivation pour cette généralisation est
de pouvoir utiliser ces résultats pour les faisceaux d’opérateurs différentiels
à coefficients dans des algèbres de fonctions à singularités surconvergentes
[Be3, 4.2]. Rappelons que ces objets apparaissent naturellement dans l’étude de
la cohomologie rigide [Be2]. En effet, soit K le corps des fractions de V, XK la
fibre générique de X au sens des espaces rigides analytiques [Ra1], et sp : XK → X
le morphisme de spécialisation. Si Z est un diviseur de X, on définit dans [Be3]
(m) (Z) qui sont naturellement munis d’une structure de D
(m) des OX -algèbres B
X
X
module à gauche. Localement, si f est une section locale de OX définissant le
m+1
(m) (Z) ∼
diviseur, B
T − p), cet isomorphisme étant indépendant
= OX {T }/(f p
X
du choix de f (voir [Be3, 4.2.3]). Le faisceau des fonctions sur X à singularités
surconvergentes le long de Z, noté OX († Z), est obtenu comme limite inductive
(m) (Z) et est par conséquent muni d’une structure naturelle de D† -module
des B
X
à gauche. On considère alors le faisceau d’anneaux D†X († Z)Q , où
(m)
(Z) ⊗
(m)
OX D
D†X († Z) = lim B
X
−→ X
X
m
(voir [Be3, 4.2.5.3]). Il est cohérent [Be3, 4.3.6], de dimension cohomologique finie
[Hu1] et le foncteur sp∗ transforme un isocristal surconvergent le long de Z en
un D†X († Z)Q -module cohérent [Be3, 4.4.3, 4.4.5]. Notons également que OX († Z)Q
est un D†X,Q -module cohérent [Be7, 3.1].
Ainsi, les OX -algèbres B introduites ici nous permettront de traiter le cas de
ces anneaux d’opérateurs différentiels.
On va donc s’intéresser aux modules cohérents sur ces différents faisceaux
d’anneaux. Remarquons que certains d’entre eux ne sont pas nécessairement
(m)
de dimension cohomologique finie ; en particulier les DXi , pour i ≥ 1, ou les
B ⊗ D†X,Q lorsque B n’est pas supposé de dimension cohomologique finie.
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On travaillera donc avec des complexes parfaits (voir [Il1]), les notions de
perfection et de cohérence coı̈ncidant lorsque les anneaux sont de dimension
cohomologique finie.
Dans un chapitre préliminaire, on détaillera la construction de ces faisceaux
d’opérateurs différentiels et on rappellera un certain nombre de définitions et de
résultats dus à Berthelot et qui seront nécessaires pour la suite.
Le premier chapitre sera consacré à définir un foncteur de dualité D adapté à ce
contexte. La théorie classique de la dualité développée par Illusie [Il1] transforme
les complexes parfaits de modules à gauche en complexes parfaits de modules à
droite. On supposera donc que l’on dispose d’axiomes supplémentaires, qui seront
vérifiés dans les cas qui nous intéressent, permettant de définir un foncteur de
dualité à valeurs dans les complexes parfaits de modules à gauche. Notons que
l’on travaillera dans des catégories dérivées sur des anneaux de bimodules dont le
centre ne contient pas de corps, ce qui engendre des difficultés qui n’apparaissent
pas dans le cas complexe. On montrera ensuite le théorème de bidualité dans
ce contexte et on vérifiera que D commute à l’extension des scalaires. Dans le
cas d’un V-schéma formel lisse, on en déduira en particulier une suite exacte des
coeffcients universels [CE1].
Sous l’hypothèse d’existence d’un relèvement de Frobenius F , on montrera
dans le second chapitre que D commute à F ∗ . Pour ce faire, on utilise la théorie
du foncteur image inverse exceptionnelle F ! développée par Grothendieck et
Hartshorne [Ha1], qui fournit une caractérisation infinitésimale des modules à
droite. On montrera que les foncteurs F ∗ et F ! sont d’une certaine manière
compatibles et possèdent des propriétés de descente [Be4] similaires, propriétés
qui constituent le point clé du théorème de commutation.
Supposons ici que k soit un corps parfait, que V = W (k) et qu’il existe un
relèvement de Frobenius F : X → Xσ . Dans la théorie classique des D-modules,
on sait [Ma1] que
dim coh(DX ) = dim(X),
résultat qui repose en partie sur l’inégalité de Bernstein. De plus, tout DX module cohérent admettant localement une bonne filtration, on peut définir
sa variété caractéristique. On s’intéresse alors aux modules dont la variété
caractéristique est de même dimension que X, les modules holonomes. Ceuxci jouent un rôle essentiel dans cette théorie, notamment dans la correspondance
de Riemann-Hilbert [Bo1].
Dans le cadre de la caractéristique p, les choses sont un peu plus compliquées.
En particulier on ne dispose plus de la filtration par l’ordre sur D†X,Q , ni de
l’inégalité de Bernstein modulo p, et on sait seulement que
dim coh(D†X,Q ) ≤ 2 dim(X) + 1.
On se restreint alors à la catégorie des D†X,Q -modules E munis d’un isomorphisme
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†
E ∼
= F ∗ E, les F -DX,Q -modules. On peut alors grâce au théorème de descente
par Frobenius [Be4] leur associer canoniquement une variété caractéristique
(0)
(0)
définie sur le gradué de DX , le faisceau DX jouant en caractéristique p le
rôle de DX en caractéristique 0. On vérifie alors que l’on dispose encore de
l’inégalité de Bernstein pour les F -D†X,Q -modules cohérents et, par conséquent
d’une définition géométrique de l’holonomie [Be6]. Précisons que ces résultats,
établis par Berthelot, ne sont pas encore publiés.
L’objet du dernier chapitre est d’étudier la dimension cohomologique des
F -D†X,Q -modules cohérents et de donner une caractérisation homologique de
l’holonomie. Grâce aux résultats des chapitres précédents, notamment la suite
exacte des coefficients universels et la commutation de D et F ∗ , on se ramène
(0)
dans un premier temps au cas des DX -modules cohérents. Ensuite, puisque le
(0)
faisceau DX , engendré par les dérivations, admet un gradué régulier pour la
filtration par l’ordre, on peut conserver les méthodes utilisées par Malgrange
[Ma1] pour DX en caractéristique 0. On montre donc que les F -D†X,Q -modules
cohérents vérifient les mêmes propriétés de dimension qu’en caractéristique 0.
On en déduit notamment que leur dimension cohomologique est majorée par d,
la dimension de X sur k, qu’ils sont munis d’une filtration par la codimension
et qu’un F -D†X,Q -module cohérent E est holonome si et seulement
Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0 pour i = d.
X,Q
Cet article est issu des travaux effectués dans la première partie de ma thèse
de doctorat [Vi1], [Vi2], et que j’ai parfois modifiés ou améliorés. La seconde
partie donnera lieu à un prochain article, [Vi3], dans lequel je montrerai que l’on
dispose encore du théorème de dualité relative pour les morphismes propres.
Pour cela je construirai une résolution canonique du type Čech-Alexander qui
jouera le rôle du complexe de de Rham, [Vi2], [Be1], [Il2], [Gr1].
Je tiens à remercier Pierre Berthelot pour l’attention qu’il a prêtée à la
préparation de ce premier article et pour les différentes discussions que nous
avons eues à ce sujet. Je remercie également les membres de l’Institut Henri
Poincaré pour leur accueil lors du semestre Cohomologie p-adiques et applications
arithmétiques, qui a eu lieu en 1997 et durant lequel j’ai rédigé la majeure
partie de cet article. Je remercie enfin le Centre Émile Borel et le Réseau
p-adic methods in arithmetic algebraic geometry, du programme HCM de la
Communauté Européenne, pour le financement de ce séjour.
0. Rappels et définitions
Soit p un nombre premier fixé. On note Z(p) le localisé de Z par rapport à
l’idéal (p) et V un anneau de valuation discrète d’inégales caractéristiques (0, p),
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d’idéal maximal m, complet pour la topologique m- adique. Soient S un Z(p) schéma (resp. V-schéma formel) et X un S-schéma (resp. schéma formel) lisse.
On supposera, dans le cas formel, que m · OS (resp. m · OX ) est un idéal de
définition de S (resp. de X).
Il s’agit dans ce chapitre de rappeler les définitions des différents anneaux
d’opérateurs différentiels, construits par Berthelot [Be3], que nous étudirons
dans la suite de cet article. On considérera, de façon plus générale, leur produit
tensoriel sur OX avec des algèbres B sur lesquelles ils opèrent, qui seront, par
exemple, des algèbres de fonctions à singularités surconvergentes. On rappelera
également le théorème de descente par Frobenius et la majoration de la dimension
cohomologique de certains de ces anneaux en fonction de la dimension de X
(voir [Be4]).
1. Opérateurs différentiels de niveau fini.
1.1. — Soient m, n et r trois entiers. On considère l’immersion diagonale
X → X r+1 /S et on note I(r) l’idéal de OX r+1 /S correspondant. On définit
en [Be3, 2.1] l’enveloppe à puissances divisées partielles de niveau m (resp. et
d’ordre n) de (OX r+1 /S , I(r)) et on la note PX,(m) (r) (resp. PnX,(m) (r)). Pour
i = 0, . . . , r, les projections pi : X r+1 /S → X munissent PnX,(m) (r) de r + 1
structures de OX -algèbre. On définit alors le faisceau des opérateurs différentiels
de niveau m et d’ordre ≤ n sur X relativement à S comme étant le dual OX linéaire de PnX,(m) (1) pour sa structure gauche
(m)
DX,n = Hom OX p0∗ PnX,(m) (1), OX .
Lorsque n varie, on dispose des injections DX,n → DX,n pour n ≤ n , et le
faisceau des opérateurs différentiels de niveau m [Be3, 2.2.1] est défini par
(m)
(m)
DX
=
(m)
(m)
DX,n .
n∈N
Supposons que l’on ait des coordonnées locales t1 , . . . , td sur X relativement à S.
On note
τi = p∗1 (ti ) − p∗0 (ti ), i = 1, . . . , d.
Alors PnX,(m) (1) est un OX -module libre de base les
{k1 }
τ {k} = τ1
{kd }
· · · τd
,
d
i=1
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ki ≤ n,
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{k }
les τi i , ki ∈ N, désignant les puissances divisées partielles des τi [Be3, 1.3.5].
d
(m)
Pour k ∈ Nd et i=1 ki ≤ n, on note (∂ k ) la base de DX,n duale de la base
(τ {k} ) de PnX,(m) (1). Pour k ∈ Nd , les ∂ k forment une base de DX .
(m)
1.2. — Soit (B(m) )m≥0 un système inductif de OX -algèbres commutatives,
(m)
muni d’une structure compatible de (DX )m≥0 -module à gauche. Alors [Be3,
(m)
2.3.5], pour tout m ≥ 0, B(m) ⊗OX DX est muni d’une structure naturelle de
faisceau d’anneaux sur X, telle que les morphismes naturels B(m) → B(m) ⊗OX
(m)
(m)
(m)
DX et DX → B(m) ⊗OX DX soient des homomorphismes d’anneaux, que
(m)
(b ⊗ 1)(1 ⊗ P ) = b ⊗ P pour tous b ∈ B et P ∈ DX , et que, pour tout système
de coordonnées locales sur X, tout k, et tout b ∈ B(m) , on ait
k
(1 ⊗ ∂ k ) · (b ⊗ 1) =
∂ k−i b ⊗ ∂ i .
i
i≤ k
2. Passages à la limite.
2.1. — Supposons que l’on soit dans le cas formel. On note par un indice i
les différentes réductions modulo l’idéal mi+1 et, pour tout m ≥ 0, on pose
(m) ⊗
(m) = lim B(m) ⊗O D(m) .
OX D
B
Xi
X
Xi
←− i
i
(m)
Alors les B
sur X et on
(m) définissent un
OX D
⊗
X
note B† ⊗OX D†X la limite
système inductif de faisceaux d’anneaux
inductive obtenue.
2.2. — Supposons alors, toujours dans le cas formel, que les OX -algèbres B(m)
vérifient les conditions suivantes [Be3, 3.1.1] :
a) Pour tout ouvert affine U , Γ(U, B(m) ) est un anneau noethérien.
b) Pour tous ouverts affines U et V tels que V ⊂ U , l’homomorphisme
Γ(U, B(m) ) → Γ(V, B(m) ) est plat.
(m)
(m) ⊗
(m) sont cohérents
OX D
Alors les faisceaux d’anneaux B(m) ⊗OX DX et B
X
(m+1) ⊗
(m+1) ) ⊗Z Q est
O D
à gauche et à droite [Be3, 3.1.2, 3.3.4]. Si de plus (B
X
X
(m) )⊗Z Q, alors, d’après [Be3, 3.6.1, 3.5.4], (B† ⊗† D† )⊗Z
(m) ⊗
OX D
plat sur (B
X
OX X
Q est cohérent à gauche et à droite et, pour tout m ≥ 0, (B† ⊗†OX D†X ) ⊗Z Q est
un (B
(m)
(m) ) ⊗Z Q-module plat.
OX D
⊗
X
NOTA BENE. — Ces hypothèses sont vérifiées lorsque B(m) = OX , mais on ne
sait pas si D†X lui-même est cohérent (voir [Be3, 3.6.1, i]).
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3. Image inverse par Frobenius.
3.1. — Soit m un entier. On suppose à présent que l’on se trouve dans l’une
des deux situations suivantes :
1) S est un schéma, muni d’un m-PD-idéal (a, b, α), et p est localement
nilpotent sur S.
2) S = Spf V et l’idéal maximal m de V est muni d’une m-PD-structure,
auquel cas on pose a = m.
On suppose de plus que p ∈ a et que l’on dispose d’un morphisme F : X → X de S-schémas (resp. formels) lisses tel que sa réduction modulo l’idéal a soit le
morphisme de Frobenius relatif de X0 = X ×S S0 sur S0 , où S0 = V (a).
3.2 (voir [Be4, 2.3]). — Si E est un DX -module à gauche, alors F ∗ E est
(m+1)
muni d’une structure naturelle de DX
-module à gauche. Ainsi, si B(m) est
(m)
une OX -algèbre commutative munie d’une structure de DX -module à gauche
(m+1)
-module à gauche
compatible, F ∗ B(m) est munie d’une structure de DX
compatible avec sa structure de OX -algèbre. On note B(m+1) cette OX -algèbre
et on a [Be4, 2.3.6] :
(m)
PROPOSITION. — F ∗ induit
(m)
DX -modules à gauche et les
une équivalence de catégories entre les B(m) ⊗OX (m+1)
Bm+1 ⊗OX DX
-modules à gauche.
3.3 (voir [Be4, 4.1.1]). — De même, dans le cas formel 2), soit (B(m) )m≥0
(resp. (B(m) )m≥0 ) un système inductif de OX -algèbres (resp. de OX -algèbres)
(m)
commutatives munies d’une structure compatible de (DX )m≥0 -module (resp.
(m)
(DX )m≥0 -module) à gauche et d’un système compatible d’isomorphismes
(m+1)
DX
-linéaires F ∗ B(m) ∼
= B(m+1) . Alors on a
(m)
(m)
(m) (m)
∼
OX D
F∗ B
⊗
= lim F ∗ Bi ⊗OXi DXi
X
←−
i
et, comme dans le cas algébrique, [Be4, 4.1.3] :
PROPOSITION. — Le foncteur F ∗
(m)
(m)
OX D
B
⊗
X -modules à gauche
induit une équivalence de catégories entre les
(m+1) -modules à gauche.
(m+1) ⊗
O D
et les B
X
X
NOTA BENE. — On verra dans le chapitre II que l’on peut également, à
partir du Frobenius, définir un foncteur pour les modules à droite, induisant
une nouvelle équivalence de catégories.
4. Dimension cohomologique de D†X,Q .
Supposons encore que l’on soit dans le cas formel § 3.1, 2). On note alors
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S = Spf V, X le S-schéma formel considéré, X sa réduction modulo l’idéal a et A
un faisceau d’anneaux cohérent sur X.
4.1. —Soient x un point de X, U un voisinage ouvert de x dans X et M un A Umodule cohérent. Rappelons la définition de la dimension cohomologique de M
et de A, au voisinage de x,
• dim cohx (M) = inf n ∈ N ; ∀ V ⊂ U ouvert, x ∈ V,
pour tout A V-module N,
on a ExtiAx (Mx , Nx ) = 0 pour tout i > n .
• dim cohx (A) = sup dim cohx (M), ∀M un A U-module cohérent,
U étant un voisinage ouvert de x .
Si M est un A-module cohérent, on pose :
dim coh(M) = sup {dim cohx (M)},
x∈X
fermé
dim coh(A) = sup {dim cohx (A)}.
x∈X
fermé
On dira qu’un A U-module P est localement projectif si le foncteur Hom A (P, ·)
U
est exact. On vérifie facilement le résultat suivant :
4.2. PROPOSITION.
a) Les conditions suivantes sont équivalentes :
i) dim coh(M) ≤ n ;
ii) pour tout U ⊂ X ouvert, M admet localement une résolution de
longueur ≤ n par des A U-modules localement projectifs et cohérents.
b) Les conditions suivantes sont équivalentes :
i) dim coh(A) ≤ n ;
ii) pour tout U ⊂ X ouvert, tout A U-module cohérent M admet localement une résolution de longueur ≤ n par des A U-modules localement
projectifs et cohérents.
4.3. THÉORÈME (voir [Be4, 4.4.4, 4.4.7]). — Supposons que la dimension relative dX de X sur S soit constante sur X. Alors :
(m)
i) dim coh(DX ) = dim coh(D
X ) = 2dX + 1 pour tout m ≥ 0 ;
(0)
ii) dim coh(D†X ⊗Z Q) ≤ 2dX + 1.
Idée de la démonstration. — Supposons pour simplifier que V = W (k), où k
est un corps parfait de caractéristique p et S = Spf V.
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(0) et D(0) . Alors, on a
i) On considère la filtration m-adique sur D
X
X
(0) ∼
(0)
m
(0) ∼
gr m D
X = gr DX = DX ⊗k k[p̄],
où p̄ est la classe de p. Ainsi, on a
(0) = dim coh gr m D(0) ≤ 2dX + 1.
dim coh gr m D
X
X
De plus
dim coh DX ≤ dim coh gr m DX ≤ 2dX + 1,
(0)
(0)
(0)
(0)
≤ 2dX + 1.
≤ dim coh gr m D
dim coh D
X
X
Soit I l’idéal de OX engendré par les coordonnées locales tp1 , . . . , tpd et par p. Alors
(0)
m = OX /I est un DX -module cohérent et on vérifie que
(0)
X +1
(M, DX ) = 0 et
Ext 2d(0)
DX
X +1
(0) ) = 0.
Ext 2d(0)
(M, D
X
X
D
Donc,
(0)
) = 2dX + 1.
dim coh(DX ) = dim coh(D
X
(0)
En outre, grâce à l’équivalence de catégories (3.3), on montre par récurrence sur
(m) ) = 2dX + 1.
m ≥ 0 que dim coh(D
X
(m) ) ≤ 2dX + 1. Enfin, par
ii) Puisque Q est plat sur Z, on a dim coh(D
X,Q
(m)
†
sur D
(voir [Be3, 3.5.4]), on conclut que l’on a la majoration
platitude de D
X,Q
X,Q
dim coh(D†X,Q ) ≤ 2dX + 1.
NOTA BENE. — Rappelons que, comme on l’a vu dans l’introduction, on
conjecture que dim coh(D†X,Q ) = dX .
I. Dualité, bidualité et extension des scalaires
Cette partie est consacrée à établir le théorème de bidualité ainsi que la
commutation du foncteur de dualité à l’extension des scalaires, dans la situation
du chapitre 0.
Afin d’obtenir ces résultats pour les différents faisceaux d’anneaux qui nous
intéressent, on les montrera de façon générale pour un faisceau d’anneaux A, ce
qui nous amènera à dégager les structures nécessaires dans le cas non commutatif.
En outre, ces anneaux n’étant pas nécessairement de dimension cohomologique
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1
11
finie, on travaillera avec des complexes parfaits. On rappelle qu’un complexe de
A-modules M est parfait s’il admet localement une résolution à degrés bornés et
à termes localement projectifs de type fini [Il1, § 2]. Ainsi, si A est de dimension
cohomologique finie, les notions de perfection et de cohérence coı̈ncident.
On considère un anneau de valuation discrète V d’inégales caractéristiques
(0, p), d’idéal maximal m, complet pour la topologie m-adique, S un Z(p) -schéma
(resp. un V-schéma formel) et X un S-schéma (resp. schéma formel) lisse.
On supposera, dans le cas formel, que m · OS (resp. m · OX ) est un idéal de
définition de S (resp. de X).
1. Quelques notations et résultats préliminaires.
1.1. — On considère un faisceau d’anneaux commutatifs R et deux faisceaux
de R-algèbres plates A et B sur X (non nécessairement commutatives). Notons
f : R → A et g : R → B les morphismes canoniques et fixons quelques notations :
g
d
• D( A) (resp. D(A )) désigne la catégorie dérivée des complexes de Amodules à gauche (resp. à droite) ;
g
d
d
d
g
g
• D( A, B ) (resp. D(A , B ), resp. D( A, B)) la catégorie dérivée des complexes de (A, B)-bimodules (resp. à droite, resp. à gauche) tels que les deux
actions de R induites coı̈ncident ;
g
d
d
• Dparf ( A) (resp. Dparf (A ), resp. Dtdf (A )) la sous-catégorie pleine de
g
d
D( A) (resp. D(A )) formée des complexes parfaits (resp. de Tor-dimension
finie), D(.,parf) (., Bd ) (resp. D(.,tdf) (., Bd )) la sous-catégorie pleine de D(., Bd )
formée des complexes parfaits à droite (resp. de Tor-dimension finie à droite),
c’est-à-dire localement isomorphes à un complexe borné de bimodules à termes
localement projectifs de type fini (resp. plats) comme B-modules à droite.
Lorsque l’on considèrera aussi bien une structure droite qu’une structure
gauche, on remplacera l’exposant g par * . On notera Db la catégorie dérivée
b
la catégorie Dparf ∩Dtdf . Notons que
des complexes à cohomologie bornée et Dparf
b
b
Dparf est une sous-catégorie de Dparf ∩ D et que ces deux catégories coı̈ncident
lorsque X est quasi-compact.
On a alors, comme dans le cas commutatif [Il1, § 7], les résultats suivants.
b
(gA) et
1.2.1. PROPOSITION. — Sous les hypothèses 1.1, soient E ∈ Dparf
b g
∗
F ∈ D ( A, B). On a :
i) RHomg (E, F) ∈ Db (∗ B) ;
A
b
b
(gA,∗ B) (resp. D(.,tdf)
(gA,∗ B)), alors RHomg (E, F) apparii) Si F ∈ D(.,parf)
b
b
tient à Dparf
(∗ B) (resp. Dtdf
(∗ B)).
A
Preuve.
i) Si F ∈ Db (gA, Bd ) (resp. F ∈ Db (gA, gB)), alors F est un complexe de
12
A. VIRRION
A ⊗R B0 -modules (resp. A ⊗R B-modules), où B0 est l’anneau opposé. Soit I
une résolution droite de F par des A ⊗R B0 -modules injectifs (resp. A ⊗R Bmodules injectifs). Puisque B est un R-module plat et que R est commutatif, B0
est également plat sur R. Ainsi I est un complexe à termes injectifs comme Amodules à gauche. Donc
RHomg (E, F) ∼
= Hom gA (E, I),
A
et est muni d’une structure naturelle de complexe de B-modules à droite (resp.
à gauche), induite par celle de I. De plus, E étant parfait, il admet localement
une résolution bornée par des A-modules localement projectifs de type fini de
longueur égale à parf. amp(E) (voir [Il1]). Donc, par dévissage, on se ramène
au cas où E = A et comme F est à cohomologie bornée, il en est de même
de RHom (A, F).
A
b
b
ii) L’assertion étant locale, et Dparf
(∗ B) (resp. Dtdf
(∗ B)) étant une sousb ∗
catégorie triangulée de D ( B), on peut supposer par dévissage que E est un
A-module localement projectif de type fini. Il est alors localement facteur direct
d’un A-module libre de type fini et on est ramené au cas où E = A, qui est
immédiat.
1.2.2. PROPOSITION. — Sous les hypothèses 1.1, on suppose de plus que l’on a
un troisième faisceau de R-algèbres plates C de morphisme structural h : R → C.
b
b
Soient E ∈ Dparf
(gA), F ∈ D(.,tdf)
(gA, Bd ) et G ∈ Db (g B, ∗ C). Il existe dans
b ∗
D ( C) un isomorphisme canonique
∼
RHomg (E, F) ⊗LB G −−→ RHomg (E, F ⊗LB G).
A
A
b
De plus si G ∈ D(.,tdf)
(gB, ∗ C)), c’est un isomorphisme dans la catégorie
b
b
b
Dtdf
(∗ C). De même si F ∈ D(.,parf)
(gA, Bd ) et si G ∈ D(.,parf)
(gB, ∗ C), c’est
b
un isomorphisme dans Dparf
(∗ C).
Preuve. — D’après l’assertion ii) de la proposition précédente, RHomg (E, F)
A
b
(Bd ). Donc le foncteur dérivé
appartient à Dtdf
RHomg (E, F) ⊗LB − : Db (g B, ∗ C) −→ Db (∗ C)
A
est bien défini. De plus, F ⊗LB G ∈ Db (gA, ∗ C), donc d’après 1.2.1, i), nous avons
RHomg (E, F ⊗LB G) ∈ Db (∗ C). Construisons une flèche :
A
RHomA (E, F) ⊗LB G −→ RHomA (E, F ⊗LB G).
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◦
1
13
Supposons que G ∈ Db (gB, Cd ) (resp. Db (gB, gC)). Soient I une résolution droite
de F par des A ⊗R B0 -modules à gauche injectifs et P une résolution gauche de G
par des B ⊗R C0 -modules (resp. B ⊗R C-modules) à gauche plats. Puisque C est
plat sur R, P est aussi une résolution de F par des B-modules à gauche plats et
dans Db (∗ C) on a :
∼
RHomA (E, F) ⊗LB G −−→ HomA (E, I) ⊗B P.
De plus, il existe un morphisme naturel de complexes
HomA (E, I) ⊗B P −−→ HomA (E, I ⊗B P)
d’où une flèche
RHomA (E, F) ⊗LB G −−→ RHomA (E, I ⊗B P).
Or I ⊗B P est une résolution droite de F ⊗B P, car P est à termes plats sur B.
Donc on a les isomorphismes suivants :
∼
∼
RHomA (E, I ⊗B P) −−→ RHomA (E, F ⊗B P) −−→ RHomA (E, F ⊗LB G).
On obtient ainsi, par composition, une flèche :
RHomA (E, F) ⊗LB G −−→ RHomA (E, F ⊗LB G).
Il reste à vérifier que cette flèche est un isomorphisme. On se ramène par
localisation et dévissage au cas où E est un A-module localement projectif de type
fini, donc localement facteur direct d’un A-module libre de type fini. Il suffit alors
de prendre E = A et on vérifie immédiatement que l’on obtient un isomorphisme.
b
b
De plus, si G ∈ D(.,tdf)
(gB, ∗ C), puisque F ∈ D(.,tdf)
(gA, Bd ), on a d’une part
b
b
F ⊗LB G ∈ D(.,tdf)
(gA; ∗ C) et, d’après 1.2.1, ii) RHomA (E, F ⊗LB G) ∈ Dtdf
(∗ C).
b
d
D’autre part, toujours d’après 1.2.1, ii), RHomA (E, F) ∈ Dtdf (B ). Par conséb
(∗ C), d’où l’assertion.
quent, RHomA (E, F) ⊗LB G ∈ Dtdf
b
b
(gA, Bd ) et G ∈ D(.,parf)
(gB, ∗ C).
On raisonne de même lorsque F ∈ D(.,parf)
1.3. — On considère à présent deux faisceaux d’anneaux commutatifs R et S,
un faisceau de R-algèbres plates A et un faisceau de S-algèbres plates B sur X,
de morphismes structuraux f : R → A et g : S → B. On suppose de plus qu’il
existe des morphismes d’anneaux u : R → S et v : A → B tels que v ◦ f = g ◦ u.
14
A. VIRRION
1.4. PROPOSITION. — Sous les hypothèses
b
Dparf (Bd ) des isomorphismes canoniques
b
1.3, soit E ∈ Dparf
(gA). On a dans
∼
∼
RHomg (B ⊗LA E, B) −−→ RHomg (E, B) −−→ RHomg (E, A) ⊗LA B.
B
A
A
b
(Bd ).
Preuve. — Vérifions d’abord que ces complexes appartiennent à Dparf
b
(gA), par extension des scalaires le complexe B ⊗LA E
a) Puisque E ∈ Dparf
b
g
appartient à Dparf ( B). On applique alors la proposition 1.2.1, ii) en remplaçant
b
(Bd ).
R par S et A par B. On en déduit que RHomg (B ⊗LA E, B) ∈ Dparf
B
b) De même grâce à 1.2.1, ii), où l’on remplace cette fois B par A,
b
RHomg (E, A) ∈ Dparf
(Ad ) et par extension des scalaires, RHomg (E, A) ⊗LA B
A
A
b
d
appartient à Dparf (B ).
c) Ici, B n’étant pas supposé plat sur R, on ne peut pas utiliser la proposib
(Bd ). On dispose dans le cas
tion 1.2.1 pour s’assurer que RHomg (E, B) ∈ Dparf
A
général du résultat suivant, analogue au cas commutatif, et dont on ne donnera
pas la démonstration, celle-ci étant également analogue au cas commutatif.
LEMME. — Soient f : A → C un morphisme d’anneaux, P un A-module
à gauche plat et I un C-module à gauche injectif. Alors I est un A-module à
gauche acyclique pour le foncteur Hom gA (P, −).
Reprenons la démonstration du point c). Soit I une résolution droite de B
par des B ⊗S B0 -modules à gauche injectifs. Considérons le morphisme naturel
de A-algèbres A → B ⊗S B0 qui envoie a ∈ A sur v(a) ⊗ 1. Il permet de
munir I d’une structure de complexe de A-modules à gauche. Soit P une
résolution gauche de E par des A-modules à gauches plats. Grâce au lemme
précédent, on a l’isomorphisme naturel RHomg (E, B) ∼
= Hom gA (P, I), qui
A
munit RHomg (E, B) d’une structure de complexe de B-modules à droite. Les
A
isomorphismes énoncés nous permettrons de conclure que c’est un complexe
parfait à cohomologie bornée, ce que l’on pourrait démontrer directement,
localement et par dévissage. Construisons le premier isomorphisme.
Pour cela reprenons les résolutions I de B et P de E précédentes. On a alors
les isomorphismes naturels
RHomg (b ⊗LA E, B) ∼
= Hom g B (B ⊗A P, I)
B
∼
= Hom gA (P, I) ∼
= RHomg (E, B),
A
le deuxième isomorphisme étant obtenu par adjonction. Pour définir le second
isomorphisme de la proposition, on définit d’abord un morphisme dans Db (Ad ),
par fonctorialité à partir du morphisme (A, A)-bilinéaire v : A → B
RHomg (E, A) −→ RHomg (E, B).
A
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1
A
15
b
(Bd ), par extension des scalaires ce morEt, puisque RHomg (E, B) ∈ Dparf
A
phisme se factorise par RHomg (E, A) ⊗LA B → RHomg (E, B) défini dans
A
A
b
(Bd ). On vérifie enfin localement que c’est un isomorphisme en se ramenant
Dparf
par dévissage au cas où E = A.
2. Foncteurs de passage de gauche à droite et de droite à gauche.
Comme on vient de le voir, la théorie classique de la dualité à valeurs dans
un anneau non nécessairement commutatif transforme les complexes parfaits de
modules à gauche en complexes parfaits de modules à droite.
Pour obtenir un foncteur à valeurs dans la catégorie des modules à gauche,
on est donc amené à modifier la définition du foncteur de dualité, et pour cela à
introduire certaines données supplémentaires.
2.1. — Considérons ici deux faisceaux d’anneaux OA et A sur X, tels que OA
soit commutatif et A quelconque, et munis d’un morphisme d’anneaux OA → A.
On suppose que l’on dispose des données suivantes :
a) Un OA -module ωA , localement libre de rang 1, de sorte que l’on peut former
le (OA d , Ad )-bimodule ωA ⊗OA A, où f ∈ OA et a ∈ A agissent par
w ⊗ a → (wf ) ⊗ a
et w ⊗ a → w ⊗ (aa ).
b) Une deuxième structure de A-module à droite sur ωA ⊗OA A induisant
la structure de OA -module définie par la multiplication à gauche et telle que
ωA ⊗OA A, muni de plus de la structure précédente de A-module à droite, soit
un A-bimodule à droite. C’est-à-dire un (Ad , Ad )-bimodule .
∼
c) Une involution de A-bimodules à droite δA : ωA ⊗OA A −−→ ωA ⊗OA A qui
échange ces deux structures de A-module à droite.
−1
le OA -module Hom OA (ωA , OA ) localement libre de
Notons à présent ωA
rang 1. Les isomorphismes naturels
∼
∼
−1
A ⊗OA ωA
−−→ Hom OA (ωA , A) −−→ Hom Ad (ωA ⊗OA A, A)
−1
d’une structure de A-bimodule à gauche.
munissent A ⊗OA ωA
On suppose enfin de plus que l’isomorphisme naturel OA -linéaire et A-linéaire
à droite
∼
−1
ϕ : ωA
⊗OA (ωA ⊗OA A) −−→ A
est également A-linéaire à gauche. On déduit alors de l’involution δA , par
−1
fonctorialité et grâce à ϕ, une involution de bimodules à gauche βA sur A⊗OA ωA
16
A. VIRRION
qui échange les deux structures gauches. D’autre part on obtient la A-linéarité
à droite de l’isomorphisme naturel A-linéaire à gauche
∼
−1
ψ : (A ⊗OA ωA
) ⊗OA ωA −−→ A,
puisque ψ = ϕ ◦ (δA ⊗ βA ).
Soient E un A-module à gauche et F un A-module à droite. Alors, via les
isomorphismes
∼
ωA ⊗OA E −−→ (ωA ⊗OA A) ⊗A E,
∼
−1
−1
F ⊗OA ωA
−−→ F ⊗A (A ⊗OA ωA
)
−1
ωA ⊗OA − et − ⊗OA ωA
définissent des foncteurs de la catégorie des A-modules
à gauche dans celle des A-modules à droite et réciproquement. Il résulte des
isomorphismes ϕ et ψ que ces foncteurs sont quasi-inverses. D’où la proposition :
2.1.1. PROPOSITION. — Le foncteur ωA ⊗OA − est une équivalence de catégories
de la catégorie des A-modules à gauche dans celle des A-modules à droite, de
−1
.
foncteur quasi-inverse − ⊗OA ωA
Nous appellerons structures tordues les structures de A-module ainsi obtenues
−1
, et, lorsque cela sera nécessaire, nous préciserons
par tensorisation par ωA ou ωA
t
par un exposant qu’une opération s’effectue par l’intermédiaire de ces
structures.
2.1.2. NOTA BENE. — On dispose donc de la A-linéarité à droite et à gauche
pour les isomorphismes ϕ et ψ, et de deux involutions δA et βA échangeant
les structures tordues avec les structures naturelles de A-modules. En outre on
obtient deux isomorphismes A-linéaires à droite et à gauche
∼
−1
α : ωA ⊗OA A ⊗OA ωA
−−→ A,
α = ϕ ◦ (δA ⊗ id),
∼
−1
α
: (ωA ⊗OA A)t ⊗A t (A ⊗OA ωA
) −−→ A,
α
= α ◦ (δA ⊗ βA ).
En caractéristique nulle, l’anneau des opérateurs différentiels usuel DX/S , et
le faisceau inversible ωX = ∧dX Ω1X/S , où dX est la dimension de X sur S,
vérifient ces conditions, avec OA = OX , A = DX/S et ωA = ωX . En particulier
ωX ⊗OX DX/S est muni d’une involution qui échange les deux structures de
DX/S -module à droite et qui correspond localement à transformer un opérateur
différentiel en son adjoint (voir [Sa1, 1.7]).
(m)
De même ici on dispose, pour tout m ≥ 0, sur DX
données précédentes (voir [Be4, 1.3.4]).
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1
et ωX = ∧dX Ω1X/S des
17
2.2. LEMME. — i) Soient E et E deux A-modules à gauche, F et F deux
A-modules à droite. Il existe des isomorphismes canoniques :
∼
−1
θ : F ⊗A E −−→ (ωA ⊗OA E) ⊗A (F ⊗OA ωA
),
∼
θ : (ωA ⊗OA E ) ⊗A E −−→ (ωA ⊗OA E) ⊗A E ,
∼
−1
−1
θ : F ⊗A (F ⊗OA ωA
) −−→ F ⊗A (F ⊗OA ωA
).
ii) Si E est un A-module à gauche injectif (resp. localement projectif, resp.
plat, resp. de type fini), alors ωA ⊗OA E est un A-module à droite injectif
(resp. localement projectif, resp. plat, resp. de type fini). En outre la même
−1
; lorsque F est un Aconclusion s’applique au A-module à gauche F ⊗OA ωA
module à droite et vérifie les hypothèses correspondantes.
Preuve.
a) Considérons l’isomorphisme défini à partir de α
:
∼
−1
F ⊗A (ωA ⊗OA A)t ⊗A t (A ⊗OA ωA
) ⊗A E −−→ F ⊗A E.
On obtient alors θ grâce aux isomorphismes naturels suivants
−1
F ⊗A (ωA ⊗OA A)t ⊗A t (A ⊗OA ωA
) ⊗A E
∼
−1
−−→ (ωA ⊗OA A ⊗A E)t ⊗A t (F ⊗A A ⊗OA ωA
)
∼
−1
−−→ (ωA ⊗OA E) ⊗A (F ⊗OA ωA
).
Les isomorphismes θ et θ s’en déduisent en prenant F = ωA ⊗OA E et
−1
−1
, les foncteurs ωA ⊗OA − et − ⊗OA ωA
étant quasi-inverses.
E = F ⊗OA ωA
b) Puisque le foncteur ωA ⊗OA − est une équivalence de catégories, il transforme un A-module à gauche injectif en un A-module à droite injectif.
c) Supposons que E soit localement projectif. Considérons une suite exacte
N → N → N de A-modules à droite. On veut montrer que la suite
HomA (ωA ⊗OA E, N ) −→ HomA (ωA ⊗OA E, N) −→ HomA (ωA ⊗OA E, N )
est exacte. Or
∼
−1
−1
, N ⊗OA ωA
Hom Ad (ωA ⊗OA E, N) −−→ Hom gA (ωA ⊗OA E) ⊗OA ωA
∼
−1
−−→ Hom gA (E, N ⊗OA ωA
),
−1
−1
est une équivalence de catégories. Sachant que ωA
est plat sur OA ,
car −⊗OA ωA
on obtient le résultat annoncé.
18
A. VIRRION
d) Soient E un A-module à gauche plat, M1 et M2 deux A-modules à gauche,
et M1 → M2 un morphisme injectif. Considérons les isomorphismes définis au i) :
∼
θ1 : (ωA ⊗OA E) ⊗A M1 −−→ (ωA ⊗OA M1 ) ⊗A E,
∼
θ2 : (ωA ⊗OA E) ⊗A M2 −−→ (ωA ⊗OA M2 ) ⊗A E.
Comme ωA ⊗OA M1 → ωA ⊗OA M2 est un morphisme injectif de A-modules à
droite, on en déduit que ωA ⊗OA E est un A-module à droite plat.
e) Soit E un A-module à gauche de type fini. Il existe un morphisme surjectif
A-linéaire à gauche π : An → E, n ∈ N. D’où, par fonctorialité et exactitude, un
morphisme surjectif A-linéaire à droite
n
π : t (ωA ⊗OA A) −→ ωA ⊗OA E.
En composant avec l’isomorphisme
∼
n
: (ωA ⊗OA A)n −−→
δA
t
n
(ωA ⊗OA A)
qui échange les deux structures droites, on obtient un morphisme surjectif de
(ωA ⊗OA A)n dans ωA ⊗OA E, A-linéaire à droite pour la structure naturelle
de ωA ⊗OA A, qui fait de ce dernier un A-module à droite de type fini.
On montre de la même façon les résultats analogues pour un module à droite
F et on déduit de ce lemme le résultat suivant :
2.3. COROLLAIRE. — Le foncteur ωA ⊗OA − est une équivalence de catégories
b
b
de Dparf (gA) (resp. Dparf
(gA)) dans Dparf (Ad ) (resp. Dparf
(Ad )), de foncteur
−1
quasi-inverse − ⊗OA ωA
.
3. Complexe dual et théorème de bidualité.
3.1. — Considérons à présent un faisceau d’anneaux commutatifs R, un
faisceau de R-algèbres commutatives OA et un faisceau de R-algèbres plates
non nécessairement commutatives A, sur X. Notons les morphismes structuraux
f : R → A et h : R → OA . On suppose de plus que l’on dispose d’un morphisme
de R-algèbres f 0 : OA → A et qu’il existe un OA -module ωA localement libre de
rang 1 tel que (OA , A, ωA ) satisfasse les hypothèses 2.1. On peut à présent définir
le foncteur de dualité.
b
(gA). On pose
3.2. DÉFINITION. — i) Soit E ∈ Dparf
−1
D(E) = RHomg E, A[dX ] ⊗OA ωA
,
A
où dX est la dimension relative de X sur S, et on dit que D(E) est le complexe
dual de E.
TOME
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◦
1
19
b
(Ad ). On pose
ii) Soit F ∈ Dparf
D (F) = ωA ⊗OA RHom
Ad
F, A[dX ] ,
et on dit que D (F) est le complexe dual de F.
3.3. PROPOSITION. — Le foncteur D (resp.
b
b
Dparf
(gA) (resp. Dparf
(Ad )) dans elle-même.
D ) est un foncteur de la catégorie
b
b
Preuve. — En effet, RHomA (E, A) est un foncteur de Dparf
(gA) dans Dparf
(Ad )
d’après la proposition 1.2.1, et on conclut grâce au corollaire 2.3. Même chose
pour D .
3.4. NOTA BENE. — Pour calculer ces complexes duaux on utilisera fréquemment la même résolution de A[dX ], que nous noterons I. Précisons de quelle
résolution il s’agit.
Soit I une résolution droite de A[dX ] par des A ⊗R A0 -modules injectifs.
Comme A est plat sur R, I est un complexe à termes injectifs comme A-modules
−1
à gauche et à droite. Donc d’après 2.2, I ⊗OA ωA
(resp. ωA ⊗OA I) est une
−1
résolution injective de A[dX ] ⊗OA ωA (resp. de ωA ⊗OA A[dX ]) dans la catégorie
des A-bimodules à gauche (resp. à droite).
−1
−1
→ I ⊗OA ωA
(resp.
De plus, il existe un quasi-isomorphisme βI : I ⊗OA ωA
−1
−1
δI : ωA ⊗OA I → ωA ⊗OA I) qui prolonge l’involution βA : A⊗OA ωA → A⊗OA ωA
(resp. δA : ωA ⊗OA A → ωA ⊗OA A) définie en 2.1.
b
b
(gA) (resp. F ∈ Dparf
(Ad )). Il existe un
3.5. PROPOSITION. — Soit E ∈ Dparf
isomorphisme canonique
∼
α : D (ωA ⊗OA E) −−→ ωA ⊗OA D(E)
∼
−1
−1
(resp α : D(F ⊗OA ωA
) −−→ D (F) ⊗OA ωA
).
b
Preuve. — i) Soient E ∈ Dparf
(gA) et I la résolution droite de A[dX ] introduite
en 3.4. Alors :
D (ωA ⊗OA E) = ωA ⊗OA HomAd (ωA ⊗OA E, I) ∼
= HomAd (ωA ⊗OA E, ωA ⊗OA I).
Le quasi-isomorphisme δI sur ωA ⊗OA I induit un quasi-isomorphisme δI∗ sur le
complexe de A-modules à droite HomAd (ωA ⊗OA E, ωA ⊗OA I). On obtient donc
un isomorphisme :
D (ωA ⊗OA E) ∼
= HomAd ωA ⊗OA E, (ωA ⊗OA I)t ,
20
A. VIRRION
où HomAd est pris pour les structures de A-module à droite tordues. Ainsi,
grâce à 2.3, on obtient :
−1
.
D (ωA ⊗OA E) ∼
= Hom gA (E, I) ∼
= ωA ⊗OA Hom gA (E, I) ⊗OA ωA
D’où l’isomorphisme α, puisque :
−1
.
ωA ⊗OA D(E) = ωA ⊗OA Hom gA (E, I) ⊗OA ωA
ii) On définit de façon symétrique α grâce à βI .
b
b
(gA) (resp. F ∈ Dparf
(Ad )). Il existe dans
3.6. THÉORÈME. — Soient E ∈ Dparf
b
b
Dparf
(gA) (resp. Dparf
(Ad )) un isomorphisme canonique :
∼
ι : E −−→ D ◦ D(E)
∼
resp. ι : F −−→ D ◦ D (F) .
Preuve. — i) Construisons une flèche
−1
−1
, A[dX ] ⊗OA ωA
.
ι : E −→ RHomg RHomg (E, A[dX ]) ⊗OA ωA
A
A
Soit I la résolution droite de A[dX ] introduite en 3.4. Considérons le morphisme A-linéaire à gauche défini par l’évaluation :
ev : E −→ HomAd Hom gA (E, I), I .
Grâce à 2.1.1, on a un isomorphisme A-linéaire à gauche :
∼
−1 t
−1
, (I ⊗OA ωA
) .
HomAd Hom gA (E, I), I −−→ Hom gA Hom gA (E, I) ⊗OA ωA
−1
qui échange les deux
On déduit alors du quasi-isomorphisme βI sur I ⊗OA ωA
structures de A-module à gauche 3.4 un morphisme :
−1
−1
, I ⊗OA ωA
ev : E → Hom gA Hom gA (E, I) ⊗OA ωA
−1
utilisée pour Hom gA est la structure
où la structure gauche sur I ⊗OA ωA
naturelle. Ainsi puisque, par définition :
−1
−1
, I ⊗OA ωA
,
D ◦ D(E) = Hom gA Hom gA (E, I) ⊗OA ωA
on obtient le morphime ι : E → D ◦ D(E).
On montre que c’est un isomorphisme en se ramenant au cas où E = A, par
localisation et dévissage.
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
21
b
(Ad ), on construit un morphisme
ii) De la même façon, pour F ∈ Dparf
ι : F → D ◦ D (F) à partir du morphisme d’évaluation
ev : F −→ Hom gA HomAd (F, I), I ,
puis grâce au quasi-isomorphisme δI sur ωA ⊗OA I qui échange les deux structures
de A-module à droite et on montre que c’est un isomorphisme en se ramenant
au cas où F = A, par localisation et dévissage.
3.7. PROPOSITION. — Les isomorphismes de bidualité sont compatibles avec les
isomorphismes α et α qui transforment la dualité à gauche en dualité à droite.
b
b
Preuve. — Soient E ∈ Dparf
(gA) et F ∈ Dparf
(Ad ). Il s’agit de vérifier que les
diagrammes naturels suivants sont commutatifs :
ι
(3.7.1)
ωA ⊗OA E −−−−−−→ D ◦ D (ωA ⊗OA E)



 −1
id ⊗ι D (α)
α−1
ωA ⊗OA D ◦ D(E) −−−−→ D (ωA ⊗OA D(E)),
−1
−1
F ⊗OA ωA
−−−−−−→ D ◦ D(F ⊗OA ωA
)




ι ⊗id D(α )−1
ι
(3.7.2)
α−1
−1
−1
D ◦ D (F) ⊗OA ωA
−−−−→ D(D (F) ⊗OA ωA
).
La vérification de ces deux commutations est laissée au soin du lecteur. Il ne
s’agit en effet que d’expliciter chacune des flèches et de faire les calculs explicites.
4. Compatibilité à l’extension des scalaires.
4.1. — On considère maintenant des faisceaux d’anneaux OA , OB , A et B
sur X, un OA -module ωA , un OB -module ωB , localement libres de rang 1, tels que
(OA , A, ωA ) et (OB , B, ωB ) satisfassent les hypothèses 2.1. Notons f 0 : OA → A et
g 0 : OB → B les morphismes d’algèbres considérés. Supposons de plus qu’il existe
des morphismes d’anneaux w : OA → OB et v : A → B tels que v ◦ f 0 = g 0 ◦ w,
que ωB ∼
= ωA ⊗OA OB et que le morphisme :
id ⊗v : ωA ⊗OA A −→ ωA ⊗OA B ∼
= ωB ⊗OB B
soit semi-linéaire par rapport à v pour les structures de A-module à droite
tordues. C’est-à-dire que pour tous a, a ∈ A et x ∈ ωA , on a :
(id ⊗v) (x ⊗ a)t · a = (x ⊗ v(a))t · v(a ) .
22
A. VIRRION
De même puisque
−1
ωB
= HomOB (ωB , OB ) ∼
= HomOB (ωA ⊗OA OB , OB )
−1
∼
,
= OB ⊗OA ωA
= HomOA (ωA , OB ) ∼
le morphisme naturel suivant est semi-linéaire par rapport à v pour les structures
de A-module à droite tordues
−1
−1 ∼
−1
−→ B ⊗OA ωA
.
v ⊗ id : A ⊗OA ωA
= B ⊗OB ωB
On obtient alors un isomorphisme naturel de B-modules à droite (resp. à gauche)
∼
νB/A : (ωA ⊗OA A) ⊗A B −−→ ωA ⊗OA B ∼
= ωB ⊗OB B.
∼
−1
−1
(resp. εB/A : B ⊗A (A ⊗OA ωA
) −−→ B ⊗OB ωB
).
b
(Ad )). Il existe dans
4.2. PROPOSITION. — Soient F ∈ D− (Ad ) (resp. Dparf
b
D− (g B) (resp. Dparf
(g B)) un isomorphisme canonique :
∼
−1
−1
) −−→ (F ⊗LA B) ⊗OB ωB
.
ηB/A : B ⊗LA (F ⊗OA ωA
Preuve. — Soit P une résolution gauche de F par des A-modules à droite plats.
On dispose alors des quasi-isomorphismes suivants
∼
∼
−1
−1
−1
) −−→ (P ⊗A B) ⊗OB ωB
−−→ (F ⊗LA B) ⊗OB ωB
,
P ⊗A (B ⊗OB ωB
∼
−1
−1
B ⊗A (P ⊗OA ωA
) −−→ B ⊗LA (F ⊗OA ωA
).
Il reste donc à construire un isomorphisme de complexes :
∼
−1
−1
B ⊗A (P ⊗OA ωA
) −−→ P ⊗A (B ⊗OB ωB
).
On considère alors les isomorphismes composés (idP ⊗βB ) ◦ θ :
∼
−1
−1
B ⊗A (P ⊗OA ωA
) −−→ P ⊗A t (B ⊗OA ωA
)
∼
−1 ∼
−1
−−→ P ⊗A (B ⊗OA ωA
) = P ⊗A (B ⊗OB ωB
).
NOTA BENE. — Soient (OA , A, ωA ), (OB , B, ωB ) et (OC , C, ωC ) vérifiant 2.1
et tels que ((OA , A, ωA ) et (OB , B, ωB )) (resp. (OB , B, ωB ) et (OC , C, ωC ))
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
23
vérifient (4.1). Alors (OA , A, ωA ) et (OC , C, ωC ) vérifient également 4.1. En effet,
d’une part :
ωC ∼
= ω B ⊗ O OC ∼
= (ωA ⊗O OB ) ⊗O OC ∼
= ωA ⊗O OC ,
B
B
A
A
et d’autre part, puisque εC/B ◦ εB/A = εC/A et que βA est une involution, on a :
ηC/A = ηC/B ◦ ηB/A .
4.3. — Montrons à présent que le foncteur de dualité commute à l’extension
des scalaires. Pour cela, toujours sous les hypothèses 4.1, reprenons deux
faisceaux d’anneaux commutatifs S et R, supposons que OA (resp. OB ) soit une
R-algèbre (resp. S-algèbre) commutative de morphisme structural h : R → OA
(resp. k : S → OB ) et que A (resp. B) soit une R-algèbre (resp. S-algèbre) plate
de morphisme structural f : R → A (resp. g : S → B). On suppose enfin qu’il
exite un morphisme d’anneaux u : R → S tel que k ◦ u = w ◦ h. On a donc le
diagramme commutatif suivant :
f0
h
R −−−−→ OA −−−−→




u
w
A


v
S −−−−→ OB −−−0−→ B.
k
4.4. PROPOSITION. — Soit E ∈
g
b
Dparf
(gA).
b
Il existe dans Dparf
(gB) un
∼
µ : B ⊗LA D(E) −−→ D(B ⊗LA E).
Preuve. — On a
−1
B ⊗LA D(E) = B ⊗LA RHomA (E, A[dX ] ⊗OA ωA
).
b
Or on a un isomorphisme ηB/A dans Dparf
(gB) d’après la proposition précédente :
−1 ∼
−1
) = RHomA (E, A[dX ]) ⊗LA B ⊗OB ωB
.
B ⊗LA RHomA (E, A[dX ] ⊗OA ωA
Éliminons le problème du décalage. À multiplication par −1 près on a :
−1 ∼
−1
B ⊗LA RHomA (E, A[dX ] ⊗OA ωA
) = RHomA (E, A) ⊗LA b [dX ] ⊗OB ωB
.
b
(gB) :
De la proposition 1.4, on déduit l’isomorphisme dans Dparf
−1 ∼
−1
.
RHomA (E, A) ⊗LA B [dX ] ⊗OB ωB
= RHomB (B ⊗LA E, B)[dX ] ⊗OB ωB
Toujours à multiplication par −1 près on a :
−1 ∼
−1
.
RHomB (B ⊗LA E, B)[dX ] ⊗OB ωB
= RHomB B ⊗LA E, B[dX ] ⊗OB ωB
On obtient ainsi le résultat énoncé.
24
A. VIRRION
b
b
4.5. COROLLAIRE. — Soit F ∈ Dparf
(Ad ). Il existe dans Dparf
(Bd ) un
∼
µ : D (F) ⊗LA B −−→ D (F ⊗LA B).
b
Preuve. — Il suffit d’après 2.3, de montrer qu’il existe dans Dparf
(gB) un
isomorphisme canonique :
∼
−1
−1
−−→ D (F ⊗LA B) ⊗OB ωB
,
(D (F) ⊗LA B) ⊗OB ωB
que l’on définit à partir de µ grâce aux isomorphismes ηB/A et α (voir 3.5).
4.6. — Soit u : S → R un morphisme de Z(p) -schémas (resp. de Vschémas formels). On considère deux morphismes de schémas (resp. formels)
lisses h : X → R et k : Y → S et un morphisme w : Y → X tel que h◦ w = u ◦ k :
w
Y

 −−−−−→ X


k
h
u
S −−−−−→ R.
On se donne un faisceau d’anneaux A (resp. B) sur X (resp. Y ), un morphisme d’anneaux f 0 : OX → A (resp. g 0 : OY → B) et un OX -module
(resp. OY -module) localement libre ωA (resp. ωB ) tels que (OR , OX , A, ωA ) (resp.
(OS , OY , B, ωB )) satisfasse 3.1 et que ωB ∼
= w∗ ωA . Notons encore
u : w−1 h−1 OR → k −1 OS ,
h : w−1 h−1 OR → w−1 OX ,
w : w−1 OX → OY ,
k : k −1 OS → OY ,
f 0 : w−1 OX → w−1 A
les morphismes canoniques. On suppose alors enfin qu’il existe un morphisme
d’anneaux v : w−1 A → B tel que v ◦ f 0 = g 0 ◦ w et que :
id ⊗v : ωA ⊗OA v −1 A −→ ωA ⊗OA B
soit semi-linéaire par rapport à v pour les structures de A-module à droite
tordues. On dispose donc du diagramme commutatif suivant :
f0
w−1 h−1 OR −−−→ w−1 OX −−−→




u
w
h
−1
wA


v
g0
k −1 OS −−−−−−→ OY −−−−−→ B.
k
De plus (w−1 h−1 OR , w−1 OX , w−1 A, w−1 ωA ) et (OS , OY , B, ωB ) vérifient les
hypothèses 4.3 sur Y . On déduit alors de la proposition 4.4 que le foncteur de
dualité est compatible aux morphismes de schémas (resp. de schémas formels).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
25
b
(gA), alors il existe
4.7. COROLLAIRE. — Sous les hypothèses 4.6, si E ∈ Dparf
b
g
dans Dparf ( B) un isomorphisme canonique :
∼
B ⊗Lw−1 w−1 D(E) −−→ D(B ⊗Lw−1 w−1 E).
A
A
b
(g w−1 A) et
Preuve. — Puisque w−1 est un foncteur exact, w−1 E ∈ Dparf
d’après 4.4, on a
∼
B ⊗Lw−1 D(w−1 E) −−→ D(B ⊗Lw−1 w−1 E).
A
A
−1
et on a un
De plus, D(w−1 E) = RHom g −1 (w−1 E, w−1 A[dY ]) ⊗w−1 OX w−1 ωA
w A
morphisme canonique :
w−1 RHom g
w −1A
E, A[dY ] −→ RHom g
w −1A
−1
w E, w−1 A[dY ] .
On vérifie alors localement et par dévissage que c’est un isomorphisme.
b
4.7.1. — On a le résultat analogue pour F ∈ Dparf
(Ad ).
5. Applications aux opérateurs différentiels.
5.1. — Supposons à présent que l’on soit dans le cas formel. Notons S (resp. X)
le V-schéma (resp. S-schéma) formel (resp. lisse) considéré et Si (resp. Xi ) sa
réduction modulo l’idéal mi+1 pour tout entier i ≥ 0. On a donc les diagrammes
cartésiens suivants :
Xi −−−→ Xi+1




(1)
Xi −−−→ X




(2) Si −−−→ Si+1 ,
Si −−−→ S.
Soit (B(m) )m≥0 un système inductif de OX -algèbres commutatives plates sur OS ,
(m)
(m)
muni d’une structure compatible de (DX )m≥0 -module à gauche. Notons Bi
(m) ⊗
(m) )m≥0
OX D
la réduction de B(m) modulo l’idéal mi+1 pour tout i ≥ 0, et (B
X
(m)
le complété m-adique du système inductif de OX -algèbres (B(m) ⊗OX DX )m≥0 .
Fixons un entier m ≥ 0. Soient
d
ωX = ∧ Ω1X/S ,
d
ωi = ∧ Ω1Xi /Si ,
26
A. VIRRION
où d est la dimension relative de X sur S. On a, pour tout i ≥ 0, les isomorphismes
OXi -linéaires canoniques (voir [Be3]) :
(m)
(m)
(m)
(m) ,
⊗
OX D
⊗OXi DXi ∼
= OXi ⊗OX B
X
(m)
(m)
(m)
(m) ⊗OXi DXi ∼
= OXi ⊗OXi+1 Bi+1 ⊗OXi+1 DXi+1 ,
Bi
Bi
ωi ∼
= OXi ⊗OX ωX ,
ωi ∼
= OXi ⊗OXi+1 ωi+1 .
(m)
Considérons l’involution δm sur ωi ⊗OXi DXi qui échange les deux structures de
(m)
(m)
DXi -module à droite (cf. [Be4, 1.3.4.1]). L’isomorphisme naturel DXi -linéaire
à droite :
(m)
(m) ∼
(m)
(m) ωi ⊗OXi Bi ⊗OXi DXi −−→ Bi ⊗OXi ωi ⊗OXi DXi
(m)
permet de définir sur ωi ⊗OXi (Bi
(m)
Bi
⊗OXi
(m)
DXi -module
(m)
⊗OXi DXi ) une deuxième structure de
à droite et une involution δm = id ⊗δm , que l’on note
(m) ) est
(m) ⊗O D
encore δm . Par passage à la limite on vérifie que ωX ⊗OX (B
X
X
(m) ⊗O D
(m) -module à droite
également muni d’une deuxième structure de B
X
X
et d’une involution δ̂ m qui échange ces deux structures. On vérifie, par des
(m)
(m)
calculs directs en coordonnées locales, que (OS i , OXi , Bi ⊗OXi DXi , ωi ) (resp.
(m) ⊗O D
(m) , ωX )) satisfait, pour tout i ≥ 0, les hypothèses 3.1 sur Xi
(OS , OX , B
X
X
(resp. sur X).
Reprenons le diagramme (1) (resp. (2)). On en déduit alors que
(m)
(m)
OSi , OXi , Bi ⊗OXi DXi , ωi ,
(m)
(m)
OSi+1 , OXi+1 , Bi+1 ⊗OXi+1 DXi+1 , ωi+1
(m)
(m)
(m) ⊗
(m) , ωX )) véri OX D
(resp. (OSi , OXi , Bi
⊗OXi DXi , ωi ) et (OS , OX , B
X
fient 4.5. Ainsi grâce au corollaire 4.7, on obtient les commutations suivantes :
5.2. COROLLAIRE. — Sous les hypothèses 5.1, pour tout i ≥ 0, on a :
(m)
(m)
b
(g Bi+1 ⊗OXi+1 DXi+1 ). Il existe un isomorphisme canoi) Soit E ∈ Dparf
nique
∼
OSi ⊗LOS D(E) −−→ D(OSi ⊗LOS E)
i+1
(m)
b
(g Bi
dans Dparf
i+1
(m)
⊗OXi DXi ).
b
(m) ⊗
(m) ). Il existe dans Db (g B(m) ⊗O D(m) )
OX D
ii) Soit E ∈ Dparf
(g B
Xi
parf
i
Xi
X
un isomorphisme canonique
∼
OSi ⊗LOS D(E) −−→ D(OSi ⊗LOS E).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
27
(m)
(m)
(m) . D’après 4.7,
(m) ⊗
OX D
Preuve. — Posons Di = Bi ⊗OXi DXi et D = B
X
b
(g Di+1 ),
on sait que, si E ∈ Dparf
∼
Di ⊗LDi+1 D(E) −−→ D(Di ⊗LDi+1 E)
b
et si E ∈ Dparf
(g D),
∼
Di ⊗LD D(E) −−→ D(Di ⊗LD E).
Les diagrammes (1) et (2) étant cartésiens, on sait que
Di ∼
= OXi ⊗OXi+1 Di+1 ∼
= OSi ⊗OSi+1 Di+1 ,
Di ∼
= OSi ⊗OS D.
= OXi ⊗OX D ∼
Par hypothèse, Di+1 est plat sur OSi+1 pour tout i ≥ 0, et D est plat sur OS .
Donc on a
Di ∼
= OSi ⊗LOS Di+1 ∼
= OSi ⊗LOS D.
i+1
On obtient alors le résultat annoncé.
5.3. — De plus, si m ≥ m, l’homomorphisme canonique
(m) −→ ωX ⊗O D
(m )
ωX ⊗OX D
X
X
X
(m) -module à droite définies par ωX .
est linéaire pour les structures de D
X
En effet, il suffit de le vérifier localement, ce qui est immédiat d’après la
description de celles-ci en termes d’opérateurs adjoints. On vérifie de même que
l’homomorphisme canonique
(m)
(m )
(m) −→ ωX ⊗O B
(m )
⊗
OX D
OX D
⊗
ωX ⊗OX B
X
X
X
(m) -linéaire à droite pour les structures tordues. Ainsi
(m) ⊗
OX D
est B
X
(m ) , ωX et OS , OX , B
(m) , ωX
(m ) ⊗
(m) ⊗
OX D
OX D
OS , OX , B
X
X
vérifient 4.1 et 4.3 sur X. On déduit alors de la proposition 4.4 le résultat suivant.
5.4. COROLLAIRE. — Sous les hypothèses 5.1, si m ≥ m, et si E est un élé
b
(m) ⊗
(m) ), alors il existe dans Db (g B
(m ) ⊗
(m ) ) un
OX D
OX D
ment de Dparf
(g B
parf
X
X
(m )
(m ) ⊗L (m)
OX D
D(E)
B
⊗
X
⊗
(m)
(B
OX D
)
X
(m )
∼
(m ) ) ⊗L (m)
OX D
−−→ D (B
E .
⊗
X
⊗
(m)
(B
OX D
)
X
28
A. VIRRION
NOTATIONS. — Soit A un faisceau sur X muni d’une structure de OX -module.
On pose :
AQ = A ⊗Z Q.
(m)
b
5.5. COROLLAIRE. — Sous les hypothèses 5.1, si E ∈ Dparf
(g B
(m) )
OX D
⊗
X
(m) ⊗
(m) ) ⊗ Q, on a un isomorphisme
OX D
et si DQ est le dual à valeurs dans (g B
X
canonique
∼
DQ (E ⊗Z Q) −−→ D(E) ⊗Z Q.
NOTA BENE. — Ceci se déduit aussi directement de 1.2.2, du fait de la platitude
(m) ; alors
(m) ⊗
OX D
de Q sur Z. En effet, posons A = B
X
DQ (E ⊗ ZQ ) = RHom g
AQ
−1
(E ⊗Z Q, AQ ) ⊗OX,Q ωA,Q
[dX ]
b
et d’après 1.2.2, on a les isomorphismes dans Dparf
(AdQ )
RHom g
AQ
(E ⊗Z Q, AQ ) ∼
= RHom g (E, AQ ) ∼
= RHomg (E, A)Q .
A
A
5.6. — Soit m0 ∈ N. On pose :
(m)
⊗
(m) .
OX D
B† ⊗†OX D†X = lim B
X
−→
m≥m0
Ainsi, on a :
(m)
(m) ⊗Z Q .
⊗
OX D
B† ⊗†OX D†X,Q = B† ⊗†OX D†X ⊗Z Q ∼
= lim B
X
−→
m≥m0
Alors, par passage à la limite, (OS,Q , OX,Q , B† ⊗†OX D†X,Q , wX,Q ) satisfait 3.1 sur X
et on vérifie aisément que
(m) , wX,Q
(m) ⊗
OX D
et OS,Q , OX,Q , B
OS,Q , OX,Q , B† ⊗ †OX D†X,Q , wX,Q
X,Q
b
(m0 ) ⊗
0 ), on pose :
OX,Q D
vérifient 4.1, pour tout m ≥ m0 . Si E(m0 ) ∈ Dparf
(B
X,Q
(m )
(m) ⊗
(m) ) ⊗L
OX D
E(m) = (B
X,Q
(m0 )
(B
X,Q0 )
⊗
OX D
(m )
E(m0 ) ,
∀m ≥ m0 ,
∼
E = lim E(m) −−→ (B† ⊗ †OX D†X,Q ) ⊗L (m0 )
E(m0 ) .
0)
(m
⊗
OX D
)
(B
−→
X,Q
m≥m0
On déduit alors directement de la proposition 4.4 le corollaire suivant.
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
29
5.7. COROLLAIRE. — Sous les hypothèses de 5.1, il existe un isomorphisme
b
(g B† ⊗†OX D†X,Q ) :
canonique dans Dparf
∼
D(E) −−→ (B† ⊗†OX D†X,Q ) ⊗L (m0 )
(B
X,Q0 )
⊗
OX D
(m )
D(E(m0 ) ).
5.8. Suite exacte des coefficients universels.
Reprenons les hypothèses 5.1 ; supposons que S = Spf V, que les OX -algèbres
B(m) vérifient les conditions a) et b) de [Be3, 3.1.1], pour tout m ≥ 0, et que les
(m) sont de dimension cohomologique finie.
(m) ⊗
O D
faisceaux d’anneaux B
X
X
(m) sont cohérents à gauche et à droite (voir
(m) ⊗
OX D
On sait alors que les B
X
[Be3, 3.3.4]) et que les catégories
g (m)
b
⊗
(m)
OX D
B
Dparf
et
X
g (m)
b
⊗
(m)
OX D
B
Dcoh
X
coı̈ncident (chap. 0, § 4.3).
Soit X0 la réduction de X modulo m et k le corps résiduel de V. Notons
(m) et
(m) ⊗
OX D
respectivement D et D0 les foncteurs de dualité relatifs à B
X
(m)
(m)
B0 ⊗OX0 DX0 , et posons
(m) ,
(m) ⊗O D
D=B
X
X
(m)
D0 = B0
(m)
⊗OX0 DX0 .
On déduit alors du corollaire 5.2 la suite exacte des coefficients universels
suivante.
b
(D). On a la suite exacte
COROLLAIRE. — Soit E ∈ Dcoh
0 → D0 ⊗D Hi D(E) −→ Hi D0 (D0 ⊗LV E)) −→ Tor 1D D0 , Hi+1 (D(E)) → 0.
Preuve. — On déduit de [CE1, VI, 3.3] la suite exacte des coefficients universels
0 → k ⊗V Hi D(E) −→ Hi k ⊗LV D(E) −→ Tor 1V k, Hi+1 (D(E)) → 0.
Puisque D
est sans p-torsion et que par hypothèse B(m) est plate sur V, D est
X
plate sur V et le morphisme naturel k⊗LV D → k⊗V D est un quasi-isomorphisme.
De plus, k ⊗V D ∼
= D0 . Ainsi d’une part, on a l’isomorphisme D0 -linéaire
∼
k ⊗V Hi D(E) −−→ D0 ⊗D Hi D(E) ,
(m)
b
et d’autre part dans Dparf
(D0 ) les isomorphismes
∼
k ⊗LV D(E) −−→ D0 ⊗LD D(E),
∼
D0 (k ⊗LV E) −−→ D0 (D0 ⊗LD E).
30
A. VIRRION
Or d’après 5.2, ii), il existe un isomorphisme canonique
∼ D0 (k ⊗L E).
k ⊗L D(E) =
V
V
On obtient ainsi des isomorphismes D0 -linéaires
Hi k ⊗LV D(E) ∼
= Hi D0 (D0 ⊗LD E) ,
Tor 1V (k, Hi+1 D(E)) ∼
= Tor 1D D0 , Hi+1 (D(E)) .
5.9. — On vérifie facilement que tous les résultats énoncés dans ce paragraphe
pour les modules à gauche restent valables pour les modules à droite.
II. Dualité et Frobenius
On reprend les hypothèses du chapitre 0, § 3.1 à savoir : soit m un entier. On
suppose que l’on se trouve dans l’une des deux situations suivantes :
1) S est un schéma, muni d’un m-PD-idéal (a, b, α), et p est localement
nilpotent sur S.
2) S = Spf V et l’idéal maximal m de V est muni d’une m-PD-structure,
auquel cas on pose a = m.
On suppose de plus que p ∈ a et que l’on dispose d’un morphisme F : X → X de S-schémas (resp. de S-schémas formels) lisses tel que sa réduction modulo
l’idéal a soit le morphisme de Frobenius relatif de X0 = X ×S S0 sur S0 , où
S0 = V (a).
On suppose enfin que S est localement noethérien, afin de pouvoir utiliser
les résultats de Grothendieck sur l’image inverse exceptionnelle tels qu’ils sont
développés dans [Ha1].
Il s’agit d’abord d’établir la commutation du foncteur de dualité à l’image
inverse par Frobenius. Pour cela, on introduit le foncteur F , défini en [Ha1]
sur les complexes OX -cohérents, et dont l’action sur les D-modules à droite
est comparable à celle de F ∗ pour les D-modules à gauche [Be4]. On montre
également la compatibilité de l’isomorphisme de bidualité (chap. I, § 3.6) à
l’action de Frobenius.
1. Les foncteurs F ∗ et F .
On supposera dans ce paragraphe que l’on se trouve dans le cas algébrique.
1.1. — Nous avons vu dans le chapitre précédent que la dualité transforme
naturellement un D-module à gauche en D-module à droite. Pour que la catégorie
des modules à gauche soit stable par dualité, on a utilisé le faisceau dualisant ωX ,
qui est, dans notre contexte, muni d’une structure de D-module à droite. D’autre
part, on sait que le foncteur F ∗ préserve la structure gauche (chap. 0, § 3).
Introduisons donc à présent un foncteur pour les modules à droite.
TOME
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N
◦
1
31
NOTA BENE. — Il faut noter que dans cette situation il ne suffit plus de
(m)
donner l’action des dérivations pour définir une structure de DX -module sur
un OX -module. On utilise alors l’interprétation en termes de stratifications et
costratifications (voir [Be3, 2.3] pour les modules à gauche et [Be4, 1.1] pour les
modules à droite).
1.2. — Soient Y un schéma localement noethérien, et f : X → Y un
morphisme fini. Considérons le foncteur image inverse exceptionnelle pour les
morphismes finis f défini en [Ha1, III, § 6]. Lorsque f est un homéomorphisme,
f est simplement donné, pour tout M ∈ D+ (Y ), par
f M = RHom
OY
(OX , M)
vu comme objet de D+ (X).
C’est le cas pour le morphisme de Frobenius. En effet la réduction de F modulo
l’idéal a étant un homéomorphisme et, a étant un nilidéal par hypothèse, F est
encore un homéomorphisme.
De plus, puisque OX est localement libre de rang fini sur OX , si M est un
OX -module quasi-cohérent, alors
F M ∼
(OX , OX )
= M ⊗O O∨ , où O∨ = Hom
X
X
X
OX +
et F M est un OX -module quasi-cohérent. Donc, si M appartient à Dqc
(X ),
+
alors F (M) ∈ Dqc (X), la catégorie dérivée des complexes bornés inférieurement
de OX -modules à cohomologie quasi-cohérente.
(m)
1.3. PROPOSITION (cf. [Be4, 2.4.1]). — Soit F un DX -module à droite. Alors
(m+1)
-module à droite.
F F est muni d’une structure naturelle de DX
1.4. PROPOSITION (cf. [Be4, 2.4.2]). — Il existe un isomorphisme naturel ϕ :
∼
(m+1)
ωX −−→ F ωX , indépendant de m, et DX
-linéaire à droite pour tout m ≥ 0.
1.4.1. — Ce résultat utilise d’une part la définition des structures de Dmodules à droite sur ωX et ωX par les costratifications (voir [Be4, 1.2.1]) et
d’autre part la transitivité de l’image inverse exceptionnelle (voir [Ha1, III]).
1.5. — Considérons maintenant la situation plus générale où les faisceaux
d’opérateurs différentiels sont à coefficients dans une OX -algèbre B.
Soient B une OX -algèbre commutative, munie d’une structure compatible
(m)
de DX -module à gauche et notons B = F ∗ B . On a vu au chapitre 0, § 3.2,
(m+1)
-module à gauche compatible avec
que B est munie d’une structure de DX
sa structure de OX -algèbre et que le foncteur F ∗ induit une équivalence de
(m)
(m+1)
catégories entre les B ⊗OX DX -modules à gauche et les B⊗OX DX
-modules
à gauche. Voyons maintenant ce qu’il en est pour les modules à droite.
32
A. VIRRION
1.6. Remarque (voir [Be4, 2.4.5]). — Le foncteur F définit un foncteur de
(m)
(m+1)
la catégorie des B ⊗OX DX -modules à droite dans celle des B ⊗OX DX
modules à droite.
(m)
Notons que, si F est un B ⊗OX DX -module à droite, puisque B = F ∗ B
et que F est un B -module, F F est muni d’une structure de B-module grâce à
l’isomorphisme d’adjonction
∼
F F = Hom O (OX , F) −−→ Hom B (B, F).
X
1.7. PROPOSITION (cf. [Be4, 2.5.2]). — Il existe un isomorphisme canonique
(m+1)
B ⊗OX DX
-bilinéaire à gauche et à droite
(m+1)
B ⊗OX DX
∼
−−→ F ∗ F (B ⊗OX DX ).
(m)
1.7.1. — Remarquons que l’on dispose d’isomorphismes bilinéaires :
∼
F ∗ F (B ⊗OX DX ) −−→ OX ⊗OX (B ⊗OX DX ) ⊗OX O∨X
(m)
(m)
∼
−−→ F F ∗ (B ⊗OX DX ).
(m)
Ainsi, OX étant localement libre de type fini sur OX , F ∗ (B ⊗OX DX ) (resp.
(m)
(m+1)
F (B ⊗OX DX )) est un B ⊗OX DX
-module à gauche (resp. à droite)
localement projectif de type fini.
(m)
1.8. — Ainsi, et puisque les foncteurs F ∗ et F sont exacts, on a déduit de
[Be4, 2.3.6], puis de 1.6 les résultats suivants :
1.8.1. COROLLAIRE. — Le foncteur F ∗ induit une équivalence de catégories
(m)
(m+1)
entre les catégories Dparf (gB ⊗OX DX ) et Dparf (gB ⊗OX DX
).
1.8.2. COROLLAIRE. — Soit F dans Dparf (B ⊗OX DX d ). Alors F F appar(m+1) d
).
tient à Dparf (B ⊗OX DX
(m)
1.9. PROPOSITION (cf. [Be4, 2.4.3, 2.4.4 et 2.4.5]). — Soient E un B ⊗OX (m)
(m)
DX -module à gauche et F un B ⊗OX DX -module à droite. Il existe des
(m+1)
isomorphismes canoniques B ⊗OX DX
-linéaires :
∼
i) ηE : F (ωX ⊗OX E) −−→ ωX ⊗OX F ∗ E,
∼
−1
−1
−−→ F ∗ (F ⊗OX ωX
ii) ηF : F F ⊗OX ωX
).
TOME
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N
◦
1
33
1.9.1. — Précisons quels sont ces isomorphismes :
∼
-linéaire à droite introduit
i) Soit ϕ−1 : F ωX −−→ ωX l’isomorphisme DX
en 1.4. Alors ηE est l’isomorphisme composé de l’isomorphisme naturel :
(m+1)
∼
F (ωX ⊗OX E) −−→ F (ωX ) ⊗OX F ∗ E
et de l’isomorphisme :
∼
ϕ−1 ⊗ id : F (ωX ) ⊗OX F ∗ E −−→ ωX ⊗OX F ∗ E.
−1
ii) Il suffit de considérer l’isomorphisme précédent pour E = F ⊗OX ωX
, puis
−1
de le tensoriser avec ωX .
1.10. COROLLAIRE (cf. [Be4, 2.4.6]). — Le foncteur F est une équivalence
(m)
de catégories de la catégorie des B ⊗OX DX -modules à droite dans celle des
(m+1)
B ⊗OX DX
-modules à droite.
Par exactitude des foncteurs considérés, on déduit immédiatement de 1.9
et 1.10 :
1.11. PROPOSITION. — Soient E ∈ Dparf (gB ⊗OX DX ) et F ∈ Dparf (B ⊗OX (m)
(m+1)
DX d ). Il existe des isomorphismes canoniques B ⊗OX DX
-linéaires :
(m)
∼
∼
−1
−1
−−→ F ∗ (F ⊗OX ωX
).
1.11.1. COROLLAIRE. — Le foncteur F est une équivalence de catégories de
(m)
(m+1) d
Dparf (B ⊗OX DX d ) dans Dparf (B ⊗OX DX
).
1.12. — Revenons à l’isomorphisme 1.7 en prenant B = OX . On a un
(m+1)
isomorphisme DX
-linéaire à gauche et à droite :
(m+1)
DX
∼
−−→ F ∗ F DX ,
(m)
(m+1)
notons-le ψ. On obtient donc un isomorphisme de DX
(m+1)
id ⊗ψ : ωX ⊗OX DX
(m)
∼
-bimodules à droite :
−−→ ωX ⊗OX Fg∗ Fd DX ,
(m)
(m)
(m+1)
et, puisque Fd DX est un DX -module à gauche et un DX
-module à droite,
grâce à 1.9, on a :
(m) ∼
(m) η −1 : ωX ⊗OX Fg∗ Fd DX −−→ Fg ωX ⊗OX Fd DX .
34
A. VIRRION
Enfin, on a un isomorphisme naturel :
(m) ∼
(m) Fg ωX ⊗OX Fd DX −−→ Fg Fd (ωX ⊗OX DX ) .
(m+1)
Notons f l’isomorphisme de DX
(m+1)
f : ωX ⊗OX DX
-bimodules à droite obtenu par composition :
∼
(m) −−→ Fg Fd (ωX ⊗OX DX ) .
(m+1)
(m)
On dispose de plus sur ωX ⊗OX DX
et sur ωX ⊗OX DX d’involutions
qui échangent les deux structures droites (voir [Be4, 1.3.4)) ; notons-les δ et δ .
Montrons que ces involutions sont compatibles avec f :
1.12.1. PROPOSITION. — Avec les notations précédentes et en posant
C = ωX ⊗OX DX ,
(m)
le diagramme suivant est commutatif :
(m+1)
ωX ⊗OX DX


f
δ
(m+1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ωX ⊗OX DX



f
F (F (δ ))
∼
Fg (Fd (C )) −−−−−−−→ Fd (Fg (C )) −−−−−→ Fg (Fd (C )).
(m)
Preuve. — Revenons à la définition de DX,n pour n ≥ 0 (cf. [Be3] et
chap. 0, § 1.1).
Soit PnX,(m) (1) l’enveloppe à puissances divisées partielles de niveau m et
d’ordre n de l’immersion diagonale X → X 2 /S. On pose :
n
PX,(m)
= Spec PnX,(m) (1) .
Notons p0 et p1 (resp. q0 et q1 ) les projections X 2 → X (resp. X → X ), u
n
n
2
(resp. v) le morphisme naturel PX,(m+1)
→ X 2 (resp. PX
), enfin
,(m) → X
2
p0 = p0 ◦ u,
On a alors :
q0 = q0 ◦ v,
q1 = q1 ◦ u.
DX,n = Hom OX (p0∗ PnX,(m) , OX ) = p0∗ p0 (OX ).
(m)
TOME
p1 = p1 ◦ u,
128 — 2000 —
N
◦
1
35
Considérons les diagrammes commutatifs suivants (voir [Be4, § 2]) :
F
n
n
PX,(m+1)
−−−−−→ PX
,(m)




u
v
F ×F
X 2 −−−−−−−−→ X 



p0 p1
0 2
1
F
X −−−−−−−−→ X −−
−−
f
f −→
S
→
−−
−−
On a donc :
(m+1)
ωX ⊗OX DX
n = ωX ⊗OX p0∗ p0 (OX ) ∼
= p0∗ p0 (ωX ),
(m)
ωX ⊗OX DX,n ∼
q 0 (ωX ).
= q0∗
On est alors ramené à vérifier que les quatre diagrammes suivants commutent :
∼
∼
∼
∼
∼
∼
p0∗ p0 (ωX ) −−−−−−−−→ p0∗ p1 (ωX ) −−−−−−−−→ p1∗ p0 (ωX )






p0∗ Fp q 0 (ωX ) −−−−−−→ p0∗ Fp q 1 (ωX ) −−−−−−→ p1∗ Fp q 0 (ωX )






F F q0∗
q 0 (ωX ) −−−−→ F F q0∗
q 1 (ωX ) −−−−→ F F q1∗
q 0 (ωX )
où l’isomorphisme du haut correspond à δ et celui du bas à F F (δ ).
Les deux diagrammes supérieurs commutent par compatibilité des costratifications de ωX et ωX avec l’isomorphisme ϕ : ωX ∼
= F (ωX ) (voir 1.4) et par
∼ fonctorialité des isomorphismes p0∗ p 1 = p1∗ p 0 .
Les deux diagrammes du bas commutent par fonctorialité de l’isomorphisme
(voir [Be4, 2.5.2]) :
PnX,(m+1) (1) ∼
= OX ⊗OX PnX ,(m) (1) ⊗OX OX
par rapport aux costratifications et à l’isomorphisme q1 (ωX ) ∼
= q0 (ωX ).
(m+1)
-linéaire à gauche
1.13. — On dispose également d’un isomorphisme DX
et à droite :
(m+1)
(m+1)
−1
ϕ : ωX
⊗OX t (ωX ⊗OX DX
) −→ DX
,
36
A. VIRRION
correspondant à l’isomorphisme composé des isomorphismes canoniques :
−1
ωX
(m+1)
∼
(m+1)
) −−→ Hom OX (ωX , ωX ⊗OX DX
∼
)
(m+1)
−−→ Hom OX (ωX , ωX ) ⊗OX DX
∼
(m+1)
−−→ OX ⊗OX DX
∼
(m+1)
−−→ DX
.
(m)
De même, on a un isomorphisme DX -linéaire à gauche et à droite :
∼
−1
t
−→ DX .
ϕ : ωX
⊗OX (ωX ⊗OX DX ) −
(m)
(m)
(m+1)
Reprenons l’isomorphisme canonique, construit en 1.12, DX
droite :
(m+1) ∼
(m) f : ωX ⊗OX DX
−−→ F F (ωX ⊗OX DX ) .
(m+1)
On en déduit un isomorphisme DX
−1
id ⊗f : ωX
(m+1)
-bilinéaire à
-linéaire à gauche et à droite :
∼
−1
) −−→ ωX
⊗OX t (F (F (ωX ⊗OX DX ))).
(m)
En le composant avec l’isomorphisme η défini au § 1.9, ii), on obtient un isomorphisme naturel, que l’on note h :
−1
∼
(m+1)
(m) −1
t
) −−→ F ∗ F ωX
h : ωX
⊗OX (ωX ⊗OX DX ) .
Montrons que ψ et h sont compatibles avec ϕ et ϕ :
1.13.1. PROPOSITION. — Avec les notations précédentes, le diagramme suivant
est commutatif :
−1
ωX


ϕ
(m+1)
−1
t
) −−−−→ F ∗ F (ωX
⊗OX (ωX ⊗OX DX ))


F ∗ (F (ϕ ))
h
(m)
ψ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ F ∗ F DX .
(m+1)
DX
(m)
Preuve. — Cela résulte de la fonctorialité des morphismes considérés, puique :
(m+1) ∼
(m) Hom OX (ωX , ωX ⊗OX DX
) = Hom OX F ωX , F (F (ωX ⊗OX DX )) ,
(m) (m) Hom OX F ωX , F (F (ωX ⊗OX DX )) ∼
= F ∗ Hom O (ωX , F ωX ⊗OX DX ) ,
X
∗
F Hom O (ωX , F (ωX ⊗OX X
TOME
128 — 2000 —
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◦
1
(m)
DX ))
(m)
∼
= F ∗ F Hom OX (ωX , ωX ⊗OX DX ).
37
(m+1)
1.14. — On déduit de ϕ et δ un isomorphisme DX
-linéaire à gauche et à
droite
∼
(m+1)
(m+1)
−1
⊗OX DX
⊗OX ωX −−→ DX
,
α : ωX
correspondant à l’isomorphisme composé des isomorphismes :
−1
ωX
⊗OX (DX
(m+1)
id ⊗δ
−1
⊗OX ωX ) −−−→ ωX
(m+1)
ϕ
(m+1)
) −−→ DX
.
(m)
De même, on a un isomorphisme DX -linéaire à gauche et à droite :
∼
−1
−→ DX .
α : ωX
⊗OX DX ⊗OX ωX −
(m)
Reprenons
−1
h : ωX
(m+1)
(m)
−1
∼
(m) t
) −−→ F ∗ F ωX
⊗OX (ωX ⊗OX DX ) .
Par composition avec id ⊗δ et F ∗ F (id ⊗δ ), on obtient l’isomorphisme :
−1
k : ωX
⊗OX DX
(m+1)
∼
−1
⊗OX ωX −−→ F ∗ F (ωX
⊗OX DX ⊗OX ωX ).
(m)
On déduit de 1.12.1 et 1.13.1, la compatibilité de k, ψ, α et F ∗ F (α ).
est commutatif :
−1
−1
ωX
⊗OX DX
⊗OX ωX −−−−→ F ∗ F (ωX
⊗OX DX ⊗OX ωX )




α
F ∗ (F (α ))
(m+1)
(m+1)
DX
k
(m)
ψ
(m)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ F ∗ F DX .
1.15. — Considérons enfin, les involutions, que l’on note β et β , sur
(m)
−1
−1
⊗OX ωX
et DX ⊗OX ωX
(voir [Be4, 1.3.4.3]). Elles sont définies par :
(m+1)
DX
β = (id ⊗ϕ) ◦ ((id ⊗δ) ⊗ id) ◦ (ϕ−1 ⊗ id),
β = (id ⊗ϕ ) ◦ ((id ⊗δ ) ⊗ id) ◦ (ϕ−1 ⊗ id).
De plus, de l’isomorphisme
(m+1)
ψ : DX
∼
−−→ F ∗ F DX ,
(m)
on déduit :
(m+1)
ψ ⊗ id : DX
∼
−1
−1
⊗OX ωX
−−→ F ∗ F DX ⊗OX ωX
.
(m)
En le composant avec l’isomorphisme η défini au § 1.9, ii) :
(m)
(m)
−1 ∼
−1
η : F ∗ F DX ⊗OX ωX
−−→ F ∗ F ∗ (DX ⊗OX ωX
) ,
on obtient un isomorphisme, que l’on note 4. On déduit facilement de 1.12.1 et
de 1.13.1 que 4, β et β sont compatibles :
38
A. VIRRION
est commutatif :
−1
−1
⊗OX ωX
−−−−−→ F ∗ (F ∗ (DX ⊗OX ωX
))


 ∗ ∗ 
β
F (F (β ))
!
(m+1)
DX
(m+1)
DX
(m)
−1
−1
⊗OX ωX
−−−−−→ F ∗ (F ∗ (DX ⊗OX ωX
)).
!
(m)
1.16. NOTA BENE. — Les résultats 1.12.1, 1.13.1, 1.14.1 et 1.15.1 restent vala(m+1)
(m+1)
(m)
(m)
bles lorsque l’on remplace DX
par B⊗OX DX
et DX par B ⊗OX DX .
∗ En effet, B = F B et les morphismes correspondants sont obtenus canoniquement à partir des morphismes de départ par fonctorialité.
2. Passages à la limite.
2.1. — On suppose désormais que X et X sont des V-schémas formels
lisses et on les notera X et X . On notera également par un indice i les différentes réductions modulo l’idéal ai+1 pour i ≥ 0, où a est l’idéal maximal
de V. Soit (B(m) )m≥0 (resp. (B(m) )m≥0 ) un système inductif de OX -algèbres
(resp. de OX -algèbres) commutatives munies d’une structure compatible de
(m)
(m)
(DX )m≥0 -module (resp. (DX )m≥0 -module) à gauche et d’un système com(m+1)
patible d’isomorphismes DX
-linéaires : F ∗ B(m) ∼
= B(m+1) . Soit m ∈ N un
entier fixé. Pour simplifier et traiter parallèlement les différents cas, nous noterons à présent les faisceaux d’anneaux considérés comme suit :
(m) ⊗
(m)
OX D
D = B
X ,
B† ⊗†OX D†X ,
(m+1)
D=B
(m) ⊗
(m)
OX D
B
X ,Q ,
B† ⊗†OX D†X ,Q ,
(m+1) , B
(m+1) ,
(m+1) ⊗
OX D
OX D
⊗
X
X,Q
B† ⊗†OX D†X ,
B† ⊗†OX D†X,Q .
Nous disposons pour ces complétés de résultats analogues à ceux du paragraphe
précédent pour les foncteurs F ∗ et F , à savoir :
2.2. PROPOSITION (cf. [Be4, 4.1.3, 4.2.4]).
i) Soit E un D -module à gauche. Alors F ∗ E a une structure naturelle de
D-module à gauche.
ii) Soit E ∈ Dparf (gD ). Alors F ∗ E ∈ Dparf (gD).
iii) Soit F un D -module à droite. Alors F F a une structure naturelle de
D-module à droite.
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
39
iv) Soit F ∈ Dparf (Dd ). Alors F F ∈ Dparf (Dd ).
2.3. PROPOSITION (cf. [Be4, 4.1.2, 4.2.2]). — Il existe des isomorphismes Dbilinéaires canoniques :
∼
D −−→ F ∗ F D ,
∼
F (D ) ⊗D F ∗ (D ) −−→ D .
2.3.1. NOTA BENE. — Considérons les faisceaux d’anneaux
(m)
(m)
(m)
(m)
D
lim DX , F ∗ D
lim F ∗ (DX ),
X = ←−
X = ←−
i
i
i
= lim F (D ).
F D
X
Xi
←−
(m)
i
(m)
i
(m+1) (m)
Alors, par passages à la limite, F ∗ D
X est muni d’une structure de DX
(m)
(m)
module à gauche et de D
X -module à droite et F DX est muni d’une structure
(m+1) -module à droite et de D
(m)
de D
X
X -module à gauche. De plus on a :
∼
(m) ⊗
) −−→ lim F ∗ (B
OX D
F ∗ (B
i
X
←− i
(m)
(m)
i
(m)
⊗OX DX ),
i
i
∼
(m)
(m) ⊗
OX D
F ∗ (B† ⊗†OX D†X ) −−→ lim F ∗ (B
X ),
−→
m
∼
(m)
(m)
(m) ⊗
(m)
OX D
−→ lim Fi (Bi
⊗OX DX )
F (B
X ) −
←−
i
i
i
†
F (B
⊗†OX
D†X )
(m)
∼
−−→ lim F (B
−→
(m)
OX D
⊗
X ).
m
Ainsi, par passage à la limite, F (D ) est muni d’une structure naturelle de Dmodule à droite et de D -module à gauche et F ∗ (D ) est muni d’une structure
naturelle de D-module à gauche et de D -module à droite.
2.3.2. — Si E est un D -module à gauche, alors F ∗ E est canoniquement
isomorphe à F ∗ (D ) ⊗D E, et si F est un D -module à droite, alors F F est
canoniquement isomorphe à F ⊗D F (D ).
2.4. PROPOSITION (cf. [Be4, 4.1.3, 4.2.4]). — Le foncteur F ∗ (resp. F ) induit
une équivalence entre la catégorie des D -modules à gauche (resp. à droite) et
celle des D-modules à gauche (resp. à droite).
On en déduit comme en 1.8 :
2.4.1. COROLLAIRE. — Le foncteur F ∗ (resp. F ) induit une équivalence
entre la catégorie Dparf (g D ) (resp. Dparf (Dd )) et la catégorie Dparf (gD) (resp.
Dparf (Dd )).
40
A. VIRRION
(m+1)
2.5. NOTA BENE. — Par passage à la limite sur les isomorphismes DXi linéaires à droite ϕi : ωXi ∼
= Fi ωXi , on obtient un isomorphisme naturel de
(m+1) -modules à droite (resp. D† -modules à droite) ϕ : ωX ∼
D
= F ωX .
X
X
2.6. PROPOSITION. — Soient E un D -module à gauche et F un D -module à
droite. Il existe des isomorphismes canoniques D-linéaires :
∼
∼
−1
−1
−−→ F ∗ (F ⊗OX ωX
).
Preuve. — i) Considérons le cas
(m)
D = B
(m)
OX D
⊗
X ,
(m+1)
D=B
(m+1) .
OX D
⊗
X
La donnée d’une structure de D-module à gauche ou à droite n’étant plus
équivalente à celle d’une PD-stratification, on ne peut pas utiliser les mêmes
méthodes qu’en 1.9.
De plus, E n’étant pas supposé cohérent, on ne peut vérifier l’énoncé modulo
ai+1 et passer à la limite.
Soit E un D -module à gauche. On construit de la même façon que dans le cas
algébrique, grâce à ϕ : F ωX ∼
= ωX (voir 2.5), un isomorphisme OX -linéaire :
ηE : F (ωX ⊗OX E) ∼
= F ωX ⊗OX F ∗ E ∼
= ωX ⊗OX F ∗ E.
Il reste donc à vérifier que ηE est D-linéaire.
On considère d’abord le cas où E = D . Modulo l’idéal ai+1 , l’isomorphisme
(m+1)
(m+1)
étant Bi
⊗OXi DXi -linéaire à droite, pour tout i ≥ 0, par passage à la
limite ηD est D-linéaire à droite.
Reprenons E quelconque. On dispose d’un isomorphisme canonique de Dmodules à droite (voir 2.3.2) :
∼
F (ωX ⊗OX E) −−→ (ωX ⊗OX E) ⊗D F (D ).
Grâce à l’isomorphisme θ du chapitre I, § 2.2, i), on sait que le terme de droite
est naturellement isomorphe au D-module à gauche (ωX ⊗OX F (D ))⊗D E. De
plus, on a un isomorphisme D-linéaire à droite et D -linéaire à droite canonique :
∼
ωX ⊗OX F (D ) −−→ F (ωX ⊗OX D ),
où F est pris pour la structure naturelle de D -module à droite de D . En utilisant l’involution de passage à l’opérateur adjoint δD , définie au chapitre I, § 5.1,
on obtient un isomorphisme D-linéaire à droite :
∼
F (ωX ⊗OX D ) ⊗D E −−→ F (ωX ⊗OX D ) ⊗D E,
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
41
où, pour le terme de droite, F est pris pour la structure droite tordue
et où le produit tensoriel agit par la multiplication à droite sur D . Ainsi via
l’isomorphisme ηD construit précédemment, le terme de droite est isomorphe à
(ωX ⊗OX F ∗ D ) ⊗D E.
∼
Enfin, en utilisant l’isomorphisme naturel F ∗ D ⊗D E −−→ F ∗ E défini en 2.3.2,
on obtient par composition un isomorphisme D-linéaire à droite :
∼
ηE : F (ωX ⊗OX E) −−→ ωX ⊗OX F ∗ E,
dont on vérifie facilement qu’il coı̈ncide avec ηE . On conclut ainsi que ηE est
D-linéaire à droite.
Le cas des autres anneaux considérés pour D et D se traite de façon identique.
−1
ii) On déduit ηF comme en 1.9 de ηE en prenant E = F ⊗OX ωX
.
Enfin, les foncteurs considérés étants exacts, on en déduit les corollaires
suivants :
2.7. COROLLAIRE. — Soient E ∈ Dparf (g D ) et F ∈ Dparf (Dd ). Il existe des
isomorphismes D-linéaires canoniques :
∼
∼
−1
−1
−−→ F ∗ (F ⊗OX ωX
).
2.8. — On dispose donc dans le cas formel et pour les faisceaux d’anneaux
complétés D et D des résultats identiques au cas général pour des faisceaux
d’anneaux non complétés. On peut montrer également que les diagrammes
1.12.1, 1.13.1, 1.14.1 et 1.15.1 existent encore pour les complétés et sont commutatifs. Il suffit pour cela de passer à la limite sur les diagrammes obtenus par
réduction.
3. Commutation des foncteurs D et D à F ∗ et F .
3.1. — Revenons à la situation générale de ce chapitre et reprenons les
hypothèses 1.5 dans le cas algébrique et 2.1 dans le cas formel. On supposera
également, pour pouvoir utiliser le foncteur de dualité du chapitre I, § 3.1, que
B est une OX -algèbre plate sur OS ou que B(m) est une V-algèbre plate, selon
les cas. Puisque l’on dispose de résultats analogues dans le cas algébrique et dans
le cas formel 2.8, on ne les distinguera que lorsque cela sera nécessaire.
On notera donc D l’un quelconque des faisceaux d’anneaux d’opérateurs
différentiels sur X ou X et D sur X ou X, à savoir :
(m)
(m)
(m) ⊗
OX D
D = B ⊗OX DX , B
X ,
B† ⊗†OX D†X ,
B† ⊗†OX D†X ,Q ,
(m)
(m) ⊗
OX D
B
X ,Q ,
42
A. VIRRION
(m+1)
D = B ⊗OX DX
B† ⊗†OX D†X ,
(m+1) ⊗
(m+1) ⊗
(m+1) , B
(m+1) ,
OX D
OX D
, B
X
X,Q
B† ⊗†OX D†X,Q .
3.2. THÉORÈME. — Sous les hypothèses 3.1, on a :
b
b
i) Soit E ∈ Dparf
(gD ). Il existe un isomorphisme canonique dans Dparf
(g D)
∼
ρ : D(F ∗ E) −−→ F ∗ D(E).
b
b
(Dd ). Il existe un isomorphisme canonique dans Dparf
(Dd )
∼
ρ : D (F F) −−→ F D (F).
Preuve. — i) Par définition,
D(F ∗ E) = RHomg
D
∗
−1
F E, D[dX ] ⊗OX ωX
.
Or D ∼
= F ∗ F (D ) et F ∗ est une équivalence de catégories. Donc on a un
isomorphisme D-linéaire :
∼
−1
.
D(F ∗ E) −−→ RHomg E, F D [dX ] ⊗OX ωX
D
En outre F D ∼
= D ⊗OX O∨X . On déduit alors du chapitre I, § 1.2.2,
l’isomorphisme D-linéaire à droite :
∼
RHomg E, F D [dX ] −−→ F RHomg E, D [dX ] ,
D
D
et donc l’isomorphisme :
∼
D(F ∗ E) −−→ F RHomg
D
−1
E, D [dX ] ⊗OX ωX
.
On conclut grâce à l’isomorphisme ηF pour F = RHomg (E, D [dX ]), (voir 1.11
D
ou 2.7).
ii) On construit l’isomorphisme ρ , pour les modules à droites, de façon
totalement symétrique.
On dispose donc de la commutation du foncteur de dualité aux images inverses
par le morphisme de Frobenius, à la fois pour les modules à gauche et pour les
modules à droite. Il s’agit maintenant de s’assurer que ces isomorphismes ρ et ρ
sont compatibles aux passages de gauche à droite dans le dual (chap. I, § 3.5).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
43
Conservons les notations précédentes.
3.3. THÉORÈME. — Sous les hypothèses et notations de 3.1, on a :
b
i) Soit E ∈ Dparf
(gD ). Le diagramme suivant est commutatif :
η −1
id ⊗ρ
ωX ⊗OX D(F ∗ E) −−−−−→ ωX ⊗OX F ∗ D(E) −−−−−→ F (ωX 

α−1 D (η)
ρ
⊗OX D(E))

 −1
F (α )
D (ωX ⊗OX F ∗ E) −−−−→ D (F (ωX ⊗OX E)) −−−→ F (D (ωX ⊗OX E)).
b
(Dd ). Le diagramme suivant est commutatif :
ρ ⊗id
η
−1
−1
−1
D (F F) ⊗OX ωX
−−−−−→ F D (F) ⊗OX ωX
−−−→ F ∗ (D (F) ⊗OX ωX
)


 ∗ −1

−1
α
F (α )
D(η −1 )
ρ
−1
−1
−1
D(F F ⊗OX ωX
) −−−−→ D(F ∗ (F ⊗OX ωX
−→ F ∗ (D(F ⊗OX ωX
)) −
)).
Preuve. — Je ne donnerai ici que les idées essentielles de la démonstration
afin de ne pas alourdir par des diagrammes très encombrants la rédaction de
cet article. De plus je ne considèrerai que le cas i), le cas ii) étant totalement
symétrique.
b
(g D ). Considérons le premier morphisme :
Soit E ∈ Dparf
∼
−1
∗
−→ F D (ωX ⊗OX E) .
F (α−1
E ) ◦ ηD(E) ◦ (id ⊗ρE ) : ωX ⊗OX D(F E) −
Notons pour simplifier D = D[dX ] et D = D [dX ]. Grâce au chapitre I, § 2.1,
on a :
∼
ωX ⊗OX D(F ∗ E) −−→ RHomg (F ∗ E, D),
D
∼
F (ωX ⊗OX D(E)) −−→ F RHomg
D
(E, D ).
D’autre part, par définition :
F D (ωX ⊗OX E) = F ωX ⊗OX RHom d (ωX ⊗OX E, D ) ,
D
D F (ωX ⊗OX E) = ωX ⊗OX RHom d F (ωX ⊗OX E), D .
D
On vérifie facilement que par construction et via I, § 2.1, η −1 ◦(id ⊗ρ) correspond
au morphisme canonique :
ψ
RHomg (F ∗ E, D) −−→ RHomg F ∗ E, F ∗ F (D )
D
D
∼
∼
−−→ RHomg E, F (D ) −−→ F RHomg (E, D ).
D
D
44
A. VIRRION
De même, F (α−1 ) correspond au morphisme canonique :
∼
F RHomg (E, D ) −−→ F RHom d ωX ⊗OX E, t (ωX ⊗OX D )
D
D
F (δ )
(ωX ⊗OX E, ωX ⊗OX D )
RHom d ωX ⊗OX E, D ) .
−−−−→ F RHom
D d
∼
−−→ F (ωX ⊗OX D
Notons u le morphisme composé :
∼
u : RHomg (F ∗ E, D) −−→ F ωX ⊗OX RHom
D d
D
(ωX ⊗OX E, D ) .
Considérons ensuite le second morphisme :
∼
∗
ρω⊗E ◦ D (ηE ) ◦ α−1
−→ F D (ωX ⊗OX E) .
F ∗ E : ωX ⊗OX D(F E) −
Alors, toujours par construction et via I, § 2.1, D (η) ◦ α−1 correspond au
morphisme canonique :
∼
RHomg (F ∗ E, D) −−→ RHom d ωX ⊗OX F ∗ E, t (ωX ⊗OX D)
D
D
β
−−→ RHom
(ωX
Dd
∼
−−→ ωX ⊗OX
⊗OX F ∗ E, ωX ⊗OX D)
RHom d ωX ⊗OX F ∗ E, D
D
η −1
−−−→ ωX ⊗OX RHom
Dd
F (ωX ⊗OX E), D .
De même, ρ correspond au morphisme canonique :
ωX ⊗OX RHom
(ωX ⊗OX E), D)
ψ
−−→ ωX ⊗OX RHom d F (ωX ⊗OX E), F F ∗ (D )
D
∼
−−→ ωX ⊗OX RHom d ωX ⊗OX E, F ∗ (D )
(F
Dd
D
∼
∗
−−→ ωX ⊗OX F RHom
D d
(ωX ⊗OX E, D )
η −1
−−−→ F ωX ⊗OX RHom
D d
(ωX ⊗OX E, D ) .
Notons v le morphisme composé :
∼
v : RHomg (F ∗ E, D) −−→ F ωX ⊗OX RHom
D d
D
On veut donc montrer que u = v.
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
(ωX ⊗OX E, D ) .
45
Reprenons l’isomorphisme f défini en 1.12, 1.16 et 2.8. On obtient après
décalage un isomorphisme canonique que l’on note encore f :
∼
f : ωX ⊗OX D −−→ F F (ωX ⊗OX D ) .
Notons w l’isomorphisme canonique composé :
RHom
−−→ RHom d F (ωX ⊗OX E), ωX ⊗OX D
D
f
−−→ RHom d (F ωX ⊗OX E), Fd (Fg (ωX ⊗OX D ))
D
∼
−−→ RHom d ωX ⊗OX E, Fg (ωX ⊗OX D )
D
∼
−−→ F (RHom d ωX ⊗OX E, ωX ⊗OX D )
D
∼
−−→ F (ωX ⊗OX RHom d ωX ⊗OX E, D ) .
(ωX
Dd
η
D
Alors, grâce à la proposition 1.12.1, à 1.16 et 2.8, et par fonctorialité, on vérifie
que le morphisme u est égal au morphisme composé, noté u :
∼
RHomg (F ∗ E, D) −−→ RHom
D
δ
(ωX
Dd
−−→ RHom
(ωX
Dd
w
−−→ F (ωX ⊗OX ⊗OX F ∗ E, ωX ⊗OX D)
RHom d ωX ⊗OX E, D ) .
D
Il reste donc à s’assurer que u = v. Or, par définition, on a f = η −1 ◦ (id ⊗ψ).
Le résultat se déduit alors par fonctorialité.
3.4. — On a donc établi la compatibilité des foncteurs D et D à F ∗ et F et au passage de gauche à droite ; on aura également besoin de s’assurer que
les morphismes de bidualité (chap. I, § 3.6) sont eux-même compatibles aux
foncteurs F ∗ et F . Précisons ce qu’il s’agit de vérifier.
b
b
Soit E ∈ Dparf
(g D ). On sait, d’après 1.8.1 et 2.2, que F ∗ E ∈ Dparf
(gD). On
dispose donc de deux isomorphismes de bidualité :
ιm : E ∼
= D ◦ D(E)
dans
ιm+1 : F ∗ E ∼
= D ◦ D(F ∗ E)
Dbparf (gD ),
dans
Dbparf (gD).
b
(gD) :
Par fonctorialité, on déduit de ιm un isomorphisme F ∗ ιm dans Dparf
∼
F ∗ ιm : F ∗ E −−→ F ∗ D ◦ D(E).
46
A. VIRRION
On peut alors utiliser le théorème 3.2 à deux reprises pour obtenir le
diagramme suivant :
ιm+1
F ∗ E −−−−−−−−−→ D ◦ D(F ∗ E)




F ∗ ιm D(ρm )−1
(ρm+1 )−1
F ∗ D ◦ D(E) −−−−−−→ D(F ∗ D(E)).
On aura donc la compatibilité voulue lorsque l’on aura vérifié que ce diagramme
commute, c’est-à-dire ρm+1 ◦ D(ρm )−1 ◦ ιm+1 = F ∗ ιm .
b
De même, si F ∈ Dparf
(Dd ), on a un diagramme naturel :
ιm+1
F F −−−−−−−−−−→ D ◦ D (F F)


 m −1

F ιm D (ρ )
(ρ m+1 )−1
F D ◦ D (F) −−−−−−−→ D (F D (F))
et on veut ρm+1 ◦ D (ρm )−1 ◦ ιm+1 = F ιm .
3.5. THÉORÈME. — Sous les hypothèses 3.1 et avec les notations de 3.4, on
a:
∼
b
i) Soit E ∈ Dparf
(gD ). Alors l’isomorphisme ιm : E −−→ D ◦ D(E) de bidualité est compatible à F ∗ .
∼
b
(Dd ). Alors l’isomorphisme ιm : F −−→ D ◦ D (F) de
bidualité est compatible à F .
Preuve. — i) Il s’agit donc de s’assurer que le diagramme ci-dessus est
commutatif. Conservons les notations précédentes.
Soit I une résolution droite de D par des D ⊗OS D0 -modules injectifs
(chap. I, § 3.4). Comme F ∗ et F sont des équivalences de catégories, F ∗ F I
est une résolution droite de F ∗ F D par des D-bimodules injectifs. Or F ∗ F D
est canoniquement isomorphe à D. Donc F ∗ F I est une résolution droite de D
par des D ⊗OS D0 -modules injectifs.
Reprenons la construction des morphismes de bidualité pour F ∗ E et pour E
(chap. I, § 3.6). Il s’agit d’abord des morphimes OX -linéaires naturels d’évaluation :
evm+1 : F ∗ E −→ Hom Dd Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I), F ∗ F I ,
1 ⊗ e −→ eval(1 ⊗ e).
Par fonctorialité :
F ∗ evm : F ∗ E −→ F ∗ Hom D d Hom g D (E, I), I
1 ⊗ e −→ 1 ⊗ eval(e).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
47
Rappelons que l’isomorphisme de bidualité ιm+1 est défini en I, § 3.6 comme le
morphisme composé de evm+1 et des morphismes canoniques :
θm+1 : Hom Dd Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I), F ∗ F I
∼
−1 t
−1
−−→ Hom gD Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
, (F ∗ F I ⊗OX ωX
) ,
−1 t
−1
β : Hom g D Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
)
−1
−1
−→ Hom gD Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
, F ∗ F I ⊗OX ωX
∼
= D ◦ D(F ∗ E),
−1
où β correspond au quasi-isomorphisme sur F ∗ F I⊗OX ωX
défini par l’involution
−1
β qui échange les structures gauches sur D ⊗OX ωX .
On vérifie d’abord sans difficulté — par des calculs directs — que les deux
morphismes d’évaluation coı̈ncident. C’est-à-dire que
f3 ◦ f2 ◦ f1 ◦ f0 ◦ evm+1 = F ∗ evm ,
où f0 , f1 , f2 et f3 sont définis naturellement par
Hom Dd Hom gD (F ∗ E, F ∗ F I), F ∗ F I
f0
−−→ Hom Dd Hom g D (E, F I), F ∗ F I
∼
f1
−−→ Hom Dd F Hom g D (E, I), F ∗ F I
∼
f2
−−→ Hom Dd Hom g D (E, I), F ∗ I
∼
f3
−−→ F ∗ Hom Dd Hom g D (E, I), I .
∼
−1
On vérifie ensuite, par fonctorialité et puisque F ∗ , F et − ⊗OX ωX
sont des
équivalences de catégories, que, si l’on note :
−1
−1
Hom g D Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
g0
−1
−1
−−→ Hom gD Hom g D (E, F I) ⊗OX ωX
∼
g1
−1
−1
−−→ Hom gD F Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
∼
g2
−1
−1
∗
∗
−−→ Hom gD F ∗ (Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
), F (F I ⊗OX ωX )
∼
g3
−1
−1
∗
−−→ Hom gD Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
, F I ⊗OX ωX ∼
g4
−1
−1
−−→ F ∗ Hom g D Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
, I ⊗OX ωX ,
∼
48
A. VIRRION
alors F ∗ θm ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 ◦ f0 = g4 ◦ g3 ◦ g2 ◦ g1 ◦ g0 ◦ θm+1 . Ainsi, on a :
F ∗ θm ◦ F ∗ evm = F ∗ θm ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 ◦ f0 ◦ evm+1
= g4 ◦ g3 ◦ g2 ◦ g1 ◦ g0 ◦ θm+1 ◦ evm+1 .
Remarquons que toutes les structures gauches utilisées pour le foncteur Hom
−1
−1
−1
surF ∗ F I ⊗OX ωX
, F ∗ (F ∗ I ⊗OX ωX
) et I ⊗OX ωX
sont les structures tordues.
−1
Si on utilise alors les quasi-isomorphismes β sur F ∗ F I ⊗OX ωX
et β sur
−1
I ⊗OX ωX , on a :
−1 t
−1
β : Hom g D Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
)
−1
−1
−→ Hom g D Hom g D (F ∗ E, F ∗ F I) ⊗OX ωX
= D ◦ D(F ∗ E),
−1 t
−1
F ∗ (β ) : F ∗ Hom g D Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
, (I ⊗OX ωX )
−1
−1
−→ F ∗ Hom g D (Hom g D (E, I) ⊗OX ωX
, I ⊗OX ωX = F ∗ D ◦ D(E).
Il reste alors à vérifier que
ρm+1 ◦ D(ρm )−1 ◦ β = F ∗ (β ) ◦ g4 ◦ g3 ◦ g2 ◦ g1 ◦ g0 .
Ce dernier résultat est une conséquence directe de la proposition 1.15.1, de 1.16
et 2.8.
ii) Le cas des modules à droite se déduit sans difficulté du cas i) et des
théorèmes 3.7 et 3.3 du chapitre I.
NOTA BENE. — On en déduira dans le chapitre suivant que la suite spectrale
de bidualité est elle-même compatible au Frobenius.
3.6. — Supposons que l’on dispose d’un morphisme σ sur S = Spf V relevant
le morphisme de Frobenius sur S = Spec k et que X = X ×S,σ S, l’image inverse
de X par σ. On note encore F le composé de F et de la projection canonique
de X sur X. On pose
D = B† ⊗†OX D†X ,
DQ = D ⊗Z Q.
b
Soit E un F -DQ -complexe, i.e. un objet de Dparf
(g DQ ) muni d’un isomorphisme
∗
E.
D’après
3.2
et
par
fonctorialité,
D(E) est aussi muni
D-linéaire à gauche E ∼
F
=
d’un tel isomorphisme F ∗ D(E) ∼
D(E).
On
déduit
de
3.5
que
l’isomorphisme de
=
bidualité pour E est compatible à sa structure de F -DQ -complexe.
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
49
III. Caractérisations homologiques et F -D†X,Q -modules holonomes
Soit k un corps parfait de caractéristique p > 0. On suppose que V = W (k)
et S = Spf V. Soient X un S-schéma formel lisse et X = X ×S S son image
inverse par le morphisme de Frobenius sur S. On suppose de plus qu’il existe un
S-morphisme F : X → X relevant le Frobenius relatif de X = X ×S S sur S,
où S = Spec k. On notera toujours F le composé de F et de la projection de X
sur X.
On s’intéresse dans ce chapitre à la catégorie des F -D†X,Q -modules cohérents.
On montrera qu’ils sont, comme en caractéristiques nulle, de dimension cohomologique majorée par la dimension de X et qu’on peut les munir canoniquement
d’une filtration par la codimension de leurs sous-F -D†X,Q-modules cohérents. On
donnera également une caractérisation homologique des modules holonomes et
on en déduira une définition du dual. L’idée essentielle consiste à se ramener à
(0)
l’étude des DX -modules grâce aux commutations montrées aux chapitres précédents et à utiliser ensuite les résultats et méthodes de Malgrange [Ma1].
1. Dimension des F -D†X,Q -modules cohérents.
Il s’agit d’abord de se donner une bonne définition de la dimension pour un
F -D†X,Q -module cohérent. Rappelons quelques résultats (voir [Be4]).
Un F -D†X,Q -module à gauche est la donnée d’un D†X,Q -module à gauche E
†
et d’un isomorphisme ϕ : E ∼
= F ∗ E, DX,Q -linéaire.
•
•
Un morphisme de F -D†X,Q -modules à gauche u : (E, ϕ) → (F, θ) est
morphisme D†X,Q -linéaire u : E → F tel que θ ◦ u = F ∗ (u) ◦ ϕ.
•
On dit qu’un F -D†X,Q -module (E, ϕ) est cohérent si E est cohérent en tant
que D†X,Q -module. On note F D†coh (gX) la catégorie des F -D†X,Q -modules à gauche
cohérents, (voir [Be4, 4.5.1]).
1.1. PROPOSITION (cf. [Be4, 4.5.4]). — La catégorie F D†coh (gX) est équivalente
(0) -modules cohérents E(0) munis d’un isomorphisme D
(1) -linéaire
à celle des D
X,Q
X,Q
(1)
(0) g
(0) (0) ∼
∗ (0)
ϕ : DX,Q ⊗ (0) E = F E , que l’on note F Dcoh ( X).
X,Q
D
1.1.1. — De plus, si (E, ϕ) et (E(0) , ϕ(0) ) se correspondent par cette équivalence, on dispose d’un isomorphisme naturel de D†X,Q -modules à gauche
†
E ∼
= DX,Q ⊗ (0) E(0) et ϕ est l’isomorphisme obtenu en composant cet isoDX,Q
morphisme par id ⊗ϕ(0) :
D†X,Q ⊗
(1)
X,Q
D
(1)
(D
X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
∼
E(0) ) −−→ D†X,Q ⊗
X,Q
D
(1)
F ∗ E(0)
50
A. VIRRION
et l’isomorphisme D†X,Q -linéaire
η : D†X,Q ⊗
X,Q
D
(1)
∼
F ∗ E(0) −−→ F ∗ (D†X,Q ⊗
défini à partir du morphisme E(0) −→ D†X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
X,Q
D
(0)
E(0) ),
E(0) par fonctorialité de F ∗
et extension des scalaires, (voir [Be4, 4.5.2]).
Pour définir la dimension du F -D†X,Q -module cohérent E, on a besoin d’une
notion de variété caractéristique. On peut grâce à l’équivalence précédente
(0)
associer à E un DX -module cohérent pour lequel on utilise la définition usuelle
de variété caractéristique.
(0) -module à gauche cohérent. On définit la
De façon générale, soit M un D
X
(0)
variété caractéristique de M comme étant celle du DX -module M/pM, on la
note Car(M).
(0) -module cohérent, il existe un D
(0) -module
Si maintenant E(0) est un D
X,Q
X
cohérent M sans p-torsion, tel que E(0) ∼
= M ⊗Z Q (voir [Be3, 3.4.5]). On définit
alors la variété caractéristique de E(0) par Car(E(0) ) = Car(M). Notons que
Car(E(0) ) est indépendante du choix de M [Be6].
Soient enfin (E, ϕ) ∈ F D†coh (gX) et (E(0) , ϕ(0)) ∈ F Dcoh (gX) comme précédemment. On définit la variété caractérististique de E par Car(E) = Car(E(0) ).
(0)
(0) -module
1.2. DÉFINITION. — Soit (E, ϕ) ∈ F D†coh (g X) (resp. E(0) un D
X,Q
(0)
(0)
cohérent, resp. un DX -module cohérent, resp. un DX -module cohérent). On
définit la dimension et la codimension de E (resp. de E(0) ) comme étant celles
∗
de sa variété caractéristique dans le fibré cotangent TX
.
On dispose alors de l’inégalité de Bernstein pour les F -D†X,Q -modules cohérents :
1.3. PROPOSITION (cf. [Be6]). — Soit (E, ϕ) ∈ F D†coh (gX). Alors, si E = 0,
on a
dim(E) ≥ dim(X).
1.3.1. — Par définition, on a :
codim(E) = 2 dim(X) − dim(E).
Donc l’inégalité de Bernstein pour les F -D†X,Q -modules cohérents s’exprime de
façon équivalente sous la forme :
si E = 0, alors codim(E) ≤ dim(X).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
51
(0)
1.3.2. — Cette inégalité n’est plus vraie pour DX . En effet, soient k un
corps de caractéristique p > 0, S = Spec k et X = Spec k[t]. Le OX -module
(0)
M = OX /(tp ) est muni d’une structure de DX -module définie par la connexion
1
M → ΩX ⊗OX M, obtenue par passage au quotient de l’application composée de
la dérivation d : k[t] → Ω1X et de ϕ : Ω1X −→ Ω1X ⊗OX M, avec ϕ(ω) = ω ⊗ 1.
On définit une bonne filtration sur M en posant Fp M = 0 si p < 0, et
Fp M = M si p ≥ 0. Le gradué gr M est alors isomorphe à M placé en degré 0.
(0)
On a gr DX = k[t, δ], où δ est l’image de la dérivation ∂ = ∂/∂t, et l’annulateur
de gr M est l’idéal de k[t, δ] engendré par tp et δ. Donc le support de gr M est
réduit à un point et dim(M) = dim(gr M) = 0, alors que dim X = 1. Ainsi, dans
ce cas, l’inégalité de Bernstein n’est plus vérifiée.
On veut, dans la suite de ce chapitre, étudier les faisceaux de cohomologie du
dual d’un F -D†X,Q -module cohérent et en particulier holonome. Vérifions donc
d’abord que la notion de F -D†X,Q -module cohérent se comporte bien par dualité.
1.4. PROPOSITION. — Soit (E, ϕ) ∈ F D†coh (g X). Alors, pour tout i ≥ 0,
−1
Ext iD† (E, D†X,Q ) ⊗OX ,Q ωX,Q
X,Q
est naturellement muni d’une structure de F -D†X,Q -module à gauche cohérent.
(0) -module cohérent correspondant est
De plus, le D
X,Q
(0) ) ⊗O ,Q ω −1 ,
Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X
X,Q
X,Q
D
(0) -module correspondant à E.
si E(0) est le D
X,Q
Preuve. — Posons
−1
H = Ext iD† (E, D†X,Q ) ⊗OX ,Q ωX,Q
.
X,Q
Alors H = Hi−dX (D(E)). Remarquons que, D†X,Q étant de dimension cohomolo-
b
b
gique finie (chap. 0, § 4.3), les catégories Dcoh
(g D†X,Q ) et Dparf
(g D†X,Q ) coı̈ncident
(voir [IL1, 3.5, 3.6, 5.10]). On peut donc utiliser les résultats des chapitres précédents.
On a vu au chapitre II, § 3.6 que D(E) est muni d’un isomorphisme F ∗ D(E) ∼
=
D(E), D†X,Q -linéaire, induit par ϕ : E ∼
= F ∗ E, donc
Hi−dX F ∗ D(E) ∼
= Hi−dX D(E) .
52
A. VIRRION
De plus F ∗ étant exact, F ∗ Hi−dX (D(E)) ∼
= Hi−dX (F ∗ D(E)). Donc, on obtient
†
∗
b
∼
un isomorphisme DX,Q -linéaire ψ : F H = H et puisque D(E) ∈ Dcoh
(g D†X,Q ),
(0) -module cohérent
on en déduit que H ∈ F D†coh (g X). Soit (E(0) , ϕ(0)) le D
X,Q
correspondant à (E, ϕ). On a alors les deux isomorphismes :
(1)
ϕ(0) : D
X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
∼
E(0) −−→ F ∗ E(0) ,
∼
E −−→ D†X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
E(0)
(0) -module cohérent
avec ϕ = η ◦ (id ⊗ϕ(0) ), (voir 1.1.1). Notons H(0) le D
X,Q
(0) ) ⊗O ω −1 ,
Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
X,Q
X,Q
D
c’est-à-dire H(0) = Hi−dX (D(E(0) )). On veut montrer qu’il existe un isomorphisme naturel :
∼ (1)
ψ (0) : F ∗ H(0) −−→ D
H(0)
X,Q ⊗D
(0)
X,Q
(0)
et que (H(0) , ψ (0) ) est le F -D
X,Q -module cohérent correspondant à (H, ψ). Par
exactitude de F ∗ et grâce à II, § 3.2, on a :
F ∗ H(0) ∼
= Hi−dX D(F ∗ E(0) ) .
= Hi−dX F ∗ D(E(0) ) ∼
Par fonctorialité, on déduit de ϕ(0) l’isomorphisme :
(1) ⊗
Hi−dX D(F ∗ E(0) ) ∼
= Hi−dX D(D
X,Q
X,Q
D
(0)
E(0) ) .
(1) est plat sur D
(0) et que D commute à l’extension des scalaires
Puisque D
X,Q
X,Q
(chap. I, §§ 5.4, 5.5), on déduit que :
(1) ⊗
Hi−dX D(D
X,Q
X,Q
D
(0)
(1) ⊗
E(0) ) ∼
=D
X,Q
X,Q
D
(0)
(1) ⊗
Hi−dX D(E(0) ) ∼
=D
X,Q
X,Q
D
(0)
H(0) .
Ainsi, en composant tous ces isomorphismes, on obtient ψ (0) .
†
Appliquons le foncteur D à l’isomorphisme E ∼
= DX,Q ⊗ (0) E(0) . Grâce à I,
DX,Q
(0)
†
§ 5.7 et à la platitude de D
sur D
, on a :
X,Q
X,Q
†
Hi−dX D(E) ∼
= DX,Q ⊗
(0)
DX,Q
Hi−dX D(E(0) ) .
†
C’est-à-dire l’isomorphisme voulu H ∼
= DX,Q ⊗ (0) H(0) et on vérifie aisément
DX,Q
que ψ = η ◦ (id ⊗ψ (0) ).
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
53
NOTA BENE. — Soit (E, ϕ) ∈ F D†coh (g X). Alors Ext iD† (E, D†X,Q ) est muni
X,Q
d’une structure naturelle de D†X,Q -module à droite et on vient de voir que,
−1
est un F -D†X,Q -module à gauche. On est donc amené
Ext iD† (E, D†X,Q )⊗OX ,Q ωX,Q
X,Q
— pour simplifier — à introduire la catégorie des F -D†X,Q -modules à droite.
1.5. DÉFINITION. — Un F -D†X,Q -module à droite est la donnée d’un D†X,Q ∼
module à droite F et d’un isomorphisme D†X,Q -linéaire ψ : F F −−→ F. On note
F D†coh (Xd ) la catégorie des F -D†X,Q -modules à droite cohérents.
−1
1.6. PROPOSITION. — Le foncteur − ⊗OX,Q ωX,Q
définit une équivalence de
catégories entre les F -D†X,Q -modules à droite et les F -D†X,Q -modules à gauche.
Preuve. — Cela résulte directement de II, § 2.6, avec B = OX . En effet, soit
−1
(F, ψ) un F -D†X,Q -module à droite. On pose E = F ⊗OX,Q ωX,Q
. Alors E est un
D†X,Q -module à gauche cohérent, et on définit un isomorphisme D†X,Q -linéaire à
gauche ϕ : E ∼
= F ∗ E par :
ψ −1 ⊗id
η
∼
∼
−1
−1
−1
E = F ⊗OX,Q ωX,Q
−−−−−→ F F ⊗OX,Q ωX,Q
−−→ F ∗ (F ⊗OX,Q ωX,Q
) = F ∗ E,
où η est l’isomorphisme de II, § 2.6. Alors (E, ϕ) est un F -D†X,Q -module à gauche
et on vérifie de la même façon que ωX,Q ⊗OX,Q − est un foncteur quasi-inverse.
1.7. — i) Il résulte facilement de la proposition que, de la même façon que pour
(0) les modules à gauche, la catégorie F D† (Xd ) est équivalente à celle des D
coh
modules à droite cohérents F(0) munis d’un isomorphisme
∼
ϕ(0) : F F(0) −−→ F(0) ⊗
X,Q
D
(0)
X,Q
(1)
D
X,Q
(0)
que l’on note F Dcoh (Xd ).
(0) -module, resp. un D
(0) -module,
ii) Si F est un F -D†X,Q -module (resp. un D
X,Q
X
(0)
resp. un DX -module) à droite cohérent, on définit la variété caractéristique
de F, sa dimension et sa codimension comme étant celles du F -D†X,Q -module
(0) -module, resp. du D
(0) -module, resp. du D(0) -module) à gauche
(resp. du D
X,Q
X
X
−1
associé F ⊗OX ωX
.
2. Théorèmes de nullité des Exti .
2.1. — La première étape consiste à établir ces théorèmes de nullité pour
(0)
les DX -modules, en s’inspirant du cas complexe développé par Malgrange
54
A. VIRRION
(0) ,
pour les D-modules [Ma1]. On en déduira des résultats analogues sur D
X,Q
puis pour les F -D†X,Q -modules. Rappelons que DX est engendré par OX et
les dérivations, et que, sur tout ouvert où l’on dispose de coordonnées locales
(0)
t1 , . . . , td , on a gr DX = OX [δ1 , . . . , δd ], où δi est l’image de la dérivation duale
(0)
de dti dans le gradué. Ainsi gr DX est un faisceau d’anneaux réguliers. En
(0)
outre, on vérifie facilement, que si M est un DX -module à gauche cohérent, il
(0)
admet une bonne filtration et gr M est un gr DX -module cohérent. La variété
(0)
caractéristique de M est alors égale au support de gr M dans Spec(gr DX ).
(0)
Ainsi DX joue ici le rôle du faisceau d’opérateurs différentiels DX qu’étudie
Malgrange lorsque X est une variété analytique complexe. On vérifie facilement
(0)
que les résultats de Malgrange sont encore valables en remplaçant DX par DX .
(0)
(0)
2.1.1. LEMME (cf. [Ma1, 4.2.3]). — Soit M un DX -module à gauche cohérent.
(0)
On suppose DX muni de sa filtration canonique. Alors sur tout ouvert affine
de X, il existe une bonne filtration de M et, pour tout i, une bonne filtration
(0)
(0)
(0)
de Ext iD(0) (M, DX ), telles que gr Ext iD(0) (M, DX ) soit un gr DX -facteur de
X
X
(0)
Ext igr D(0) (gr M, gr DX ).
X
(0)
2.1.2. PROPOSITION (cf. [Ma1, 4.2.4]). — Soient M et N deux DX -modules
à gauche cohérents munis de bonnes filtrations. Alors :
i) codim(Ext igr D(0) (gr M, gr N)) ≥ i, pour tout i ≥ 0.
X
(0)
ii) Ext igr D(0) (gr M, gr DX ) = 0, pour tout i < codim(gr M).
X
(0) -module à gauche cohérent, sans p2.2. COROLLAIRE. — Soit M un D
X
torsion. Alors,
(0) )) ≥ i, pour tout i ≥ 0.
i) codim(Ext i (0) (M, D
X
X
D
(0)
) = 0, pour tout i < codim(m).
ii) Ext i (0) (M, D
X
X
D
Preuve. — Posons
(0)
M(0) = DX ⊗
X
D
(0)
M.
(0) -module M étant sans p-torsion, on a :
Le D
X
∼
DX ⊗L (0) M −−→ DX ⊗ (0) M.
X
D
X
D
(0)
TOME
128 — 2000 —
N
◦
1
(0)
55
On obtient alors grâce à la suite exacte des coefficients universels (chap. I, § 5.8)
une injection naturelle :
(0)
) ⊗ (0) D −→ Ext i (0) (M(0) , D ).
Ext i (0) (M, D
X
X
X
DX
X
X
D
D
Par définition, on a :
(0) ) = codim Ext i (0) (M, D
(0) ) ⊗ (0) D(0) .
codim Ext i (0) (M, D
X
X
X
X
X
X
D
D
D
On en déduit que :
(0) ) ≥ codim Ext i (0) (M(0) , D(0) ) .
codim Ext i (0) (M, D
X
X
D
X
D
X
La dimension étant une notion locale, on peut supposer que X est affine et, grâce
(0)
à 2.1.1, on sait qu’on peut munir Ext iD(0) (M(0) , DX ) d’une bonne filtration telle
($)
(0)
(0)
X
(0)
(0)
(0)
que gr Ext iD(0) (M(0) , DX ) soit un gr DX -facteur de Ext igr D(0) (gr M(0) , gr DX ).
X
X
Ainsi :
(0) (0) codim gr Ext iD(0) (M(0) , DX ) ≥ codim Ext igr D(0) (gr M(0) , gr DX ) .
X
X
D’après 2.1.2, on sait que :
(0)
i) codim(Ext igr D(0) (gr M(0) , gr DX )) ≥ i, pour tout i ≥ 0,
X
(0)
ii) Ext igr D(0) (gr M(0) , gr DX ) = 0, pour tout i < codim(gr M(0) ).
X
Donc, on a d’une part :
(0)
(0) codim(Ext iD(0) M(0) , DX )) = codim(gr Ext iD(0) (M(0) , DX ) ≥ i,
X
X
pour tout i ≥ 0, ce qui montre la première assertion, et d’autre part :
(0)
gr Ext iD(0) (M(0) , DX ) = 0
X
pour tout i < codim(gr M(0) ).
(0)
La filtration sur Ext iD(0) (M(0) , DX ) étant une bonne filtration, elle est bornée
inférieurement, d’où
X
(0)
Ext iD(0) (M(0) , DX ) = 0
X
pour tout i < codim(M(0) ) = codim(gr M(0) ). En utilisant à nouveau l’injection
($), on en déduit que :
(0) ) ⊗ (0) D(0) = 0
Ext i (0) (M, D
X
X
X
D
DX
(0) ) est cohérent et donc
si i < codim(M) = codim(M(0) ). En outre, Ext i (0) (M, D
X
X
D
(0)
) = 0, si i < codim(M).
séparé pour la topologie a-adique. Ainsi Ext i (0) (M, D
X
X
D
56
A. VIRRION
NOTA BENE : contre exemple, lorsque M est de p-torsion. — Soit
(0)
(0) ∼
(0) /pD
M=D
X
X = DX .
On dispose donc de la résolution suivante :
(0) −×p
(0) −→ D(0) → 0
0→D
−→ D
X
X
X
(0) (0) ∼
(0)
et Ext 1 (0) (DX , D
X ) = DX . Ainsi
DX
(0) (0) (0)
dim Ext 1 (0) (DX , D
X ) = dim(DX ) = 2dX
X
D
et donc
(0) (0) codim Ext 1 (0) (DX , D
X ) = 0.
X
D
(0) -module à gauche cohérent. Alors :
2.3. COROLLAIRE. — Soit E(0) un D
X,Q
(0) )) ≥ i, pour tout i ≥ 0 ;
i) codim(Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
D
(0) ) = 0, pour tout i < codim(E(0) ).
ii) Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
D
(0)
-module cohérent M, sans p-torsion, tel que
Preuve. — Il existe un D
X
(0)
E(0) ∼
Q.
Alors,
codim(E
) = codim(M), et d’après I, § 5.5, on a :
M
⊗
=
Z
∼
(0) ) −−
(0) ) ⊗Z Q.
→ Ext i (0) (M, D
Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X
X,Q
X,Q
D
D
(0) -module quotient de Ext i (0) (M, D
(0) ) par sa partie de p-torsion.
Soit N le D
X
X
X
D
Alors,
∼
(0) ),
N ⊗Z Q −−→ Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
D
et on a :
(0) ) = codim(N) ≥ codim Ext i (0) (M, D
(0) ) .
codim Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X
X,Q
X
D
D
On conclut grâce au corollaire précédent.
Revenons maintenant au cas des F -D†X,Q -modules. Grâce à l’équivalence entre
les catégories F D†coh (gX) et F Dcoh (gX), on obtient immédiatement les résultats
analogues.
(0)
TOME
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N
◦
1
57
2.4. COROLLAIRE. — Soit E un F -D†X,Q -module à gauche cohérent. Alors,
i) codim(Ext iD† (E, D†X,Q )) ≥ i, pour tout i ≥ 0.
X,Q
ii)
Ext iD† (E, D†X,Q )
X,Q
= 0, pour tout i < codim(E).
(0)
Preuve. — Soit E(0) ∈ F Dcoh (gX) correspondant à E. Alors codim(E) =
codim(E(0) ). D’après 1.4,
(0) ) ⊗O ω −1
Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
X,Q
X,Q
D
−1
(0) -module cohérent correspondant à Ext i † (E, D† ) ⊗O
est le D
ωX,Q
.
X,Q
X,Q
X,Q
D
X,Q
Ils ont donc, par définition, même codimension et il en est de même pour
(0) ) et Ext i † (E, D† ), (1.7).ii), d’où
les modules à droite Ext i (0) (E(0) , D
X,Q
X,Q
DX,Q
X,Q
D
l’assertion.
3. Dimension cohomologique et filtration par la codimension.
On sait (chap. 0, § 4.3) que dim coh(D†X,Q ) est inférieure ou égale à 2dX +1. On
conjecture qu’elle est égale à dX . On va montrer ici un résultat un peu plus faible,
à savoir que tout F -D†X,Q -module cohérent est de dimension cohomologique au
plus égale à dX .
3.1. PROPOSITION. — Soit E un F -D†X,Q -module à gauche cohérent. Alors,
Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0, pour tout i > dX .
X,Q
Preuve. — On vient de voir au corollaire précédent que, pour tout i ≥ 0,
codim Ext iD† (E, D†X,Q ) ≥ i.
X,Q
−1
est un F -D†X,Q -module cohérent,
En outre, puisque Ext iD† (E, D†X,Q ) ⊗OX,Q ωX,Q
X,Q
(voir 1.4), on dispose de l’inégalité de Bernstein [Be6] et de 1.3.1 : pour tout i ≥ 0,
codim Ext iD† (E, D†X,Q ) ≤ dX ou Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0.
X,Q
X,Q
Ainsi, si Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0, pour tout i ≥ 0, on a
X,Q
i ≤ codim Ext iD† (E, D†X,Q ) ≤ dX ,
X,Q
ce qui n’est possible que pour i ≤ dX .
58
A. VIRRION
(0)
(0) -module à
3.2. COROLLAIRE. — Soit E(0) ∈ F Dcoh (gX). Alors, pour tout D
X,Q
gauche F(0) , on a
Ext i (0) (E(0) , F(0) ) = 0
X,Q
D
pour tout i > dX et pour tout i < codim(E(0) ).
(0)
Preuve. — a) Si F = D
X,Q , l’assertion se déduit d’une part de la proposition
précédente par 1.4 et d’autre part du corollaire 2.3.
(0) , pour tout x ∈ X et tout i ≥ 0, on a :
b) Puisque E(0) est cohérent sur D
X,Q
($$)
Ext i (0) (E(0) , F(0) )x ∼
, Fx(0) ).
= Exti (0) (E(0)
X,Q
X,Q,x x
D
D
Ainsi, la propriété à vérifier étant locale, il suffit de montrer que, pour tout x ∈ X
(0) -module à gauche F , on a Exti (0) (E(0)
et tout D
, F ) = 0 pour tout i > dX
X,Q,x
X,Q,x x
D
et pour tout i < codim(E(0) ). Posons :
(0) .
D=D
X,Q,x
E = E(0)
x ,
b.1) Si F est un D-module de type fini, il est quotient d’un D-module libre de
type fini L. Soit K = ker(L → F ). Comme D est noethérien (voir [Be3, 3.3.6]),
K est encore de type fini. Considérons la suite exacte longue suivante :
i+1
· · · → ExtiD (E, L) → ExtiD (E, F ) → Exti+1
D (E, K) → ExtD (E, L) → · · · .
D’après a) et l’isomorphisme ($$), on a
ExtiD (E, L) = 0
pour i > dX et i < codim(E(0) ). Donc, on obtient :
∼
ExtiD (E, F ) −−→ Exti+1
D (E, K)
pour tout i > dX et pour tout i+1 < codim(E(0) ). Puisque dim coh(D) ≤ 2dX +1,
on conclut par récurrence descendante puis ascendante sur i.
b.2) Si F est quelconque, alors F = lim Fα , où Fα parcourt l’ensemble des
−→
α
sous D-modules de type fini de F . Comme E est de type fini, on a :
ExtiD (E, F ) ∼
= lim ExtiD (E, Fα ).
−→
α
L’assertion se déduit alors du cas précédent.
TOME
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N
◦
1
59
3.3. COROLLAIRE. — Soit E ∈ F D†coh (g X). Pour tout D†X,Q -module à gauche F,
on a, pour tout i > dX et tout i < codim(E) :
Ext iD† (E, F) = 0.
X,Q
Preuve. — On a
Ext iD† (E, F) = Hi RHom
D†X,Q
X,Q
(E, F).
(0)
Soit E(0) le D
X,Q -module cohérent correspondant à E. Alors, F étant muni d’une
(0) -module induite par sa structure de D† -module,
structure de D
X,Q
RHom
D†X,Q
et on a
X,Q
(E, F) ∼
= RHom
D†X,Q
(D†X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
E(0) , F) ∼
= RHom
X,Q
D
(0)
(E(0) , F)
i
Ext iD† (E, F) ∼
= Ext (0) (E(0) , F).
X,Q
D
X,Q
On conclut grâce au corollaire précédent, puisque codim(E) = codim(E(0) ).
Soit E un F -D†X,Q -module
travaux de Malgrange [Ma1],
[EGA] fonctorielle en E. On
est le plus petit entier i tel
à gauche cohérent. En s’inspirant à nouveau des
on va construire une suite spectrale de bidualité
en déduira d’une part que la codimension de E
que Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0. D’autre part, grâce
X,Q
à la compatibilité de F ∗ avec l’isomorphisme de bidualité (chap. II, § 3.6), on
obtiendra une filtration décroissante de E, (Ep )p≥0 , où Ep est le plus grand sousF -D†X,Q -module cohérent de E de codimension minorée par p.
3.4. Construction de la suite spectrale d’hyperhomologie. — Soit
E ∈ F D†coh (g X). Notons d la dimension de X sur S et k la codimension de E. On
suppose E non nul. Ainsi, d’après l’inégalité de Bernstein 1.3.1, on a k ≤ d.
Soit U ⊂ X un ouvert affine. Puisque E est cohérent, il admet sur U une
résolution gauche L• → E, où L• est un complexe de D†X,Q -modules localement
projectifs de type fini. De plus, grâce à 3.3, on peut supposer que L• est de
longueur d. En effet, soit
K = Ker(L−d+1 → L−d+2 ).
Pour tout D†X,Q -module F, on a
i
Ext i−d
(K, F) ∼
= Ext D† (E, F).
D†
X,Q
X,Q
60
A. VIRRION
D’après le corollaire 3.3, Ext iD† (E, F) = 0, pour tout i > d. Ainsi
X,Q
(K, F) = 0
Ext i−d
D†
X,Q
pour tout i > d. Donc Ext 1D† (K, F) = 0 et K est un D†X,Q -module localement
X,Q
projectif. On peut donc supposer que L• est de longueur d.
Considérons le foncteur contravariant de la catégorie des D†X,Q -modules à
gauche dans celle des D†X,Q -modules à droite
D = Hom D† (−, D†X,Q )
X,Q
et notons M• le complexe D(L• ). C’est un complexe de longeur d dont les termes
sont des D†X,Q -modules à droite localement projectifs de type fini et, par construction, pour tout i, on a
H−i (M• ) = Ext iD† (E, D†X,Q ).
X,Q
Ainsi, d’après 1.4 et 1.5, H−i (M• ) est muni d’une structure de F -D†X,Q -module
à droite cohérent.
Considérons la deuxième suite spectrale d’hyperhomologie de D par rapport
au complexe M• (cf. [EGA, 0, 11.6]) :
E2i,j = Hi D(Hj (M• )) =⇒ E n = Hn (D(M• )).
Elle est birégulière puisque D†X,Q est de dimension cohomologique finie (≤ 2d+1),
et on a :
i) E2i,j = Ext iD† (Ext −j† (E, D†X,Q ), D†X,Q ),
DX,Q
X,Q
ii) E = H (Hom D† (Hom D† (L• , D†X,Q ), D†X,Q )).
n
n
X,Q
X,Q
Chaque Li étant projectif de type fini,
Hom D† Hom D† (Li , D†X,Q ), D†X,Q ∼
= Li .
X,Q
X,Q
Ainsi E 0 = E et E n = 0 si n = 0. De plus la filtration (F i (E))i≥0 définie
par la suite spectrale sur l’aboutissement E n , qui ici est donc réduit à E, est
décroissante est finie, avec F 0 (E) = E et F i (E) = 0, pour tout i > 2d + 1.
i,j
i,j
i,−i
iii) E∞
= gr i (E i+j ), donc E∞
= 0, si j = −i et E∞
= gr i E. Donc,
i,−i
gr E =
gr i E =
E∞
.
0≤i≤2d+1
TOME
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N
◦
1
0≤i≤2d+1
61
Remarquons que, par construction de la suite spectrale et par définition de
la filtration, on vérifie facilement que les F i (E) sont des sous-D†X,Q-modules
i,−i
cohérents de E, pour tout i ≥ 0. Il en est donc de même pour les termes E∞
.
i,j
En outre, grâce à 1.4 et 1.5, on sait que les termes E2 ont une structure naturelle
de F -D†X,Q -module à gauche cohérent.
Examinons les cas où E2i,j = 0 :
a) si −j > d, par 3.1,
b) si i > d, par 3.1,
c) si −j < k, par 2.4, ii),
d) si i < −j, par 2.4, ii), puisque codim(Ext −j
(E, D†X,Q )) ≥ −j par 2.4, i).
D†
X,Q
Notons ∆ le domaine du plan défini par k ≤ i ≤ d, −d ≤ j ≤ −k et i + j ≥ 0.
Ainsi, si (i, j) ∈
/ ∆, on a E2i,j = 0.
De même puisque E i,j r est un sous-quotient de E2i,j et que la suite est
i,j
birégulière, si (i, j) ∈
/ ∆, on a Eri,j = E∞
= 0. On en déduit que
i,−i
gr E =
gr i E =
E∞
k≤i≤d
k≤i≤d
et donc que F i (E) = E, pour tout 0 ≤ i ≤ k, et F i (E) = 0, pour tout i ≥ d + 1.
i,−i
Montrons que E∞
est un sous-D†X,Q-module de E2i,−i pour tout i ≥ 0.
Par définition, pour tout r, i, j, on a
i,j ∼
Er+1
= Zr+1 (Eri,j )/Br+1 (Eri,j )
i,j
i+r,j−r+1
avec dij
r : Er → Er
Zr+1 (Eri,j ) = Ker(dij
r ),
Br+1 (Eri,j ) = Im(di−r,j+r−1
).
r
Ainsi, pour tout i ≥ 0 et tout r ≥ 2,
Br+1 (Eri,−i ) = Im(di−r,−i+r−1
),
r
avec
: Eri−r,−i+r−1 −→ Eri,−i .
di−r,−i+r−1
r
Mais (i − r, −i + r − 1) ∈
/ ∆. Donc Eri−r,−i+r−1 = 0 et Br+1 (Eri,−i ) = 0. Ainsi,
pour tout i ≥ 0, pour tout r ≥ 2,
i,−i ∼
Er+1
= Zr+1 (Eri,−i ).
On en déduit donc que Eri,−i est un sous-D†X,Q-module de E2i,−i pour tout r ≥ 2,
i,−i
et puisque la suite est birégulière, il en est de même pour E∞
.
62
A. VIRRION
Récapitulons : on a donc construit une suite spectrale birégulière telle que :
(E, D†X,Q ), D†X,Q ) est un F -D†X,Q -module à gauche
i) E2i,j = Ext iD† (Ext −j
D†
X,Q
X,Q
cohérent,
ii) E0 = E est muni d’une filtration décroissante et finie (F i (E))i≥0 , où pour
tout i ≥ 0, F i (E) est un sous-D†X,Q -module à gauche cohérent de E, et telle que
F i (E) = E, pour tout 0 ≤ i ≤ k, et F i (E) = 0, pour tout i ≥ d + 1.
i,−i
iii) E∞
est un sous-D†X,Q -module à gauche cohérent de E2i,−i pour tout i ≥ 0
i,−i
et gr E = k≤i≤d E∞
.
Montrons enfin que ces objets héritent par fonctorialité de la suite spectrale
d’une structure de F -D†X,Q -module.
Par définition, on dispose d’un isomorphisme D†X,Q -linéaire ϕ : E ∼
= F ∗ E.
•
Reprenons la résolution L → E à termes localement projectifs de type fini. Le
foncteur F ∗ étant exact et transformant un projectif en projectif, F ∗ L• est une
résolution de F ∗ E à termes localement projectifs de type fini. De plus, L• étant
un complexe à termes localement projectifs, on déduit de ϕ un morphisme de
complexes ϕ : L• → F ∗ L• . On construit à partir de F ∗ L• une suite spectrale
d’hyperhomologie de la même façon que pour L• :
i) E2i,j = Ext iD† (Ext −j† (F ∗ E, D†X,Q ), D†X,Q ),
DX,Q
X,Q
ii) En = Hn (Hom D† (Hom D† (F ∗ L• , D†X,Q ), D†X,Q )), avec
X,Q
X,Q
Hom D† (Hom D† (F ∗ L• ; D†X,Q ), D†X,Q ) ∼
= F ∗ L•
X,Q
X,Q
et donc En = 0 si n = 0 et E0 = F ∗ E.
De plus F ∗ E est muni d’une filtration décroissante (F i (F ∗ E))i≥0 , où pour
tout i ≥ 0, F i (F ∗ E) est un sous-D†X,Q-module à gauche cohérent de F ∗ E, et telle
que F i (F ∗ E) = F ∗ E, pour tout 0 ≤ i ≤ k, et F i (F ∗ E) = 0, pour tout i ≥ d + 1.
i,−i
iii) E∞
est un sous-D†X,Q -module à gauche cohérent de E2i,−i pour tout
i ≥ 0, et
i,−i
gr F ∗ E =
E∞
.
k≤i≤d
La construction de la suite spectrale étant fonctorielle en L• , le morphisme
ϕ : L• → F ∗ L• induit un morphisme de suites spectrales :
u : E2i,j ⇒ En −→ E2i,j ⇒ En ,
avec
i
i) ui,j
2 : Ext D†
X,Q
−j
Ext † (E, D†X,Q ), D†X,Q
DX,Q
−→ Ext iD†
X,Q
TOME
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1
−j
Ext † (F ∗ E, D†X,Q ), D†X,Q ,
DX,Q
63
ii) un : Hn (Hom D† Hom D† (L• , D†X,Q ), D†X,Q )
X,Q
X,Q
n
−→ H (Hom D† Hom D† (F ∗ L• , D†X,Q ), D†X,Q ) ,
X,Q
X,Q
compatible aux filtrations,
i,−i
i,−i
iii) ui−i
∞ : E∞ → E∞ .
∗
Or par fonctorialité le morphisme ui,j
2 est un isomorphisme et, puisque F
et D commutent, on a un isomorphisme canonique (chap. II, § 3.2) :
∼
ρ : Ext iD† Ext −j† (F ∗ E, D†X,Q ), D†X,Q −−→ F ∗ Ext iD† Ext −j† (E, D†X,Q ), D†X,Q .
X,Q
DX,Q
X,Q
DX,Q
†
et ρ ◦ ui,j
2 est l’isomorphisme correspondant à la structure de F -DX,Q -module
de E2i,j , (§ 1.4).
De plus grâce au chap. II, § 3.6, on sait que l’isomorphisme de bidualité
†
µ : E ∼
= D ◦ D(E) est compatible aux structures de F -DX,Q -module de E et
de F ∗ E. Par définition, on a :
†
†
D ◦ D(E) ∼
= Hom D† Hom D† (L• , DX,Q [dX ]), DX,Q [dX ] ,
X,Q
X,Q
†
†
D ◦ D(F ∗ E) ∼
= Hom D† Hom D† (F ∗ L• , DX,Q [DX ]), DX,Q [dX ] ,
X,Q
X,Q
†
†
F ∗ D ◦ D(E) ∼
= F ∗ Hom D† Hom D† (L• , DX,Q [dX ]), DX,Q [dX ] .
X,Q
X,Q
Or, si E et F sont des complexes de A-modules et d un entier, on sait [De1] que :
Hom A E, F[d] ∼
= Hom A (E, F)[d],
∼
Hom E, F[d] = Hom E[−d], F .
A
A
On peut donc supprimer les décalages dans les isomorphismes ci-dessus. On en
déduit que un est un isomorphisme pour tout n ≥ 0, compatible aux filtrations,
et que (F i (E))i≥0 est une filtration de E par des sous-F -D†X,Q-modules.
i,−i
i,−i
Enfin, puisque E∞
= gr i E, pour tout i ≥ 0, E∞
est également muni d’une
†
structure de F -DX,Q -module. C’est donc un sous-F -D†X,Q-module de E2i,−i .
3.5. PROPOSITION. — Soit E ∈ F D†coh (gX), E = 0. Posons k = codim(E).
Alors,
k = inf i | Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0 .
X,Q
Preuve. — On a déjà montré que Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0 si i < k, (cf. 2.4, ii).
X,Q
Il reste donc à vérifier que Ext kD† (E, D†X,Q ) = 0. La propriété étant locale, on
X,Q
peut utiliser la suite spectrale d’hyperhomologie que l’on vient de construire.
64
A. VIRRION
k,−k
Supposons que Ext kD† (E, D†X,Q ) = 0. Alors E2k,−k = 0 et donc E∞
= 0.
X,Q
Ainsi
gr E =
i,−i
E∞
.
k+1≤i≤d
i,−i
Or, d’après 2.4, i), codim(E2i,−i ) ≥ i. Comme E∞
est un sous-F -D†X,Q-module
i,−i
) ≥ i, pour tout i ≥ 0. Donc codim(gr E) ≥ k + 1. Mais
de E2i,−i , codim(E∞
la filtration étant finie, codim(gr E) = codim(E) = k. On aboutit donc à une
contradiction.
3.6. PROPOSITION. — Soit E ∈ F D†coh (gX), E = 0. Posons k = codim(E) et
d = dim(X/S). Alors il existe une filtration (Ei )i≥0 de E, décroissante et finie,
par des sous-F -D†X,Q -modules cohérents, telle que :
i) pour tout 0 ≤ i ≤ k, Ei = E,
ii) pour tout d + 1 ≤ i, Ei = 0,
iii) pour tout k ≤ i ≤ d, Ei est le plus grand sous-F -D†X,Q -module cohérent
de E de codimension supérieure ou égale à i.
Preuve. — Vérifions que l’on peut définir un plus grand sous-F -D†X,Q-module
de E cohérent et de codimension supérieure ou égale à i, pour k ≤ i ≤ d.
(0)
Puisque E ∈ F D†coh (gX), il existe un unique E(0) ∈ F Dcoh (gX) et tel que
†
E∼
= DX,Q ⊗ (0) E(0) , (voir 1.1).
DX,Q
Soit F un sous-F -D†X,Q-module de E cohérent et de codimension supérieure ou
égale à i. Il lui correspond un unique sous-module F(0) de E(0) tel que F(0) ∈ F (0) ) et tel que
Mcoh (g D
X,Q
†
F∼
= DX,Q ⊗ (0) F(0) .
DX,Q
(0) est un faisceau d’anneaux
De plus codim(F) = codim(F(0) ) = i. Or D
X,Q
(0)
localement noethérien (voir [Be2, 1.3.2]) et la catégorie F Dcoh (gX) est abélienne
(0)
(voir [Be4, 4.5.1]). Donc il existe G(0) ∈ F Dcoh (gX) tel que G(0) soit le plus
(0)
de codimension ≥ i. Le plus grand sousgrand sous-module cohérent de E
F -D†X,Q -module de E cohérent et de codimension supérieure ou égale à i est
alors G = D†X,Q ⊗
X,Q
D
(0)
G(0) .
Considérons la suite spectrale d’hyperhomologie construite en 3.4 et la filtration (F i (E))i≥0 sur E qu’elle définit. La construction étant fonctorielle par
rapport à la résolution L• choisie, on obtient, par recollement, une filtration
définie sur X tout entier. Montrons que F i (E) = Ei , pour tout i ≥ 0. On a
sait que (F i (E))i≥0 est une filtration décroissante, finie et telle que, pour tout
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65
i ≥ 0, F i (E) est un sous-F -D†X,Q-module à gauche cohérent de E, et telle que
F i (E) = E, pour tout 0 ≤ i ≤ k, et F i (E) = 0, pour tout i ≥ d + 1.
Il reste donc à vérifier que F i (E) = Ei , pour tout k ≤ i ≤ d.
i,−i
On a vu dans la preuve de la proposition précédente que codim(E∞
) ≥ i,
k
pour tout i ≥ 0. Donc par récurrence sur i ≥ k, puisque F (E) = E, on déduit
que, pour tout i ≥ k,
codim F i (E) ≥ i.
Ainsi, par définition de Ei , on a F i (E) ⊂ Ei , pour tout k ≤ i ≤ d.
Montrons par récurrence sur i ≥ k, que F i (E) = Ei . Supposons que Ei+1 =
i+1
F (E) et posons F = Ei . Par fonctorialité de la suite spectrale en E, on a le
diagramme naturel commutatif suivant :
α
β
α
β
F i (F)/F i+1 (F) −−−−→ F/F i+1 (F) −−−−→ F/Fi+1






u
v
w
F i (E)/F i+1 (E) −−−−→ E/F i+1 (E) −−−−→ E/Ei+1 .
Par hypothèse de récurrence Ei+1 = F i+1 (E), donc β = id.
Par définition, Fi+1 est le plus grand sous-F -D†X,Q-module cohérent de F de
codimension minorée par i + 1. Or Ei+1 est le plus grand sous-F -D†X,Q-module
cohérent de E de codimension minorée par i + 1. Donc Ei+1 ⊂ Ei = F et
Fi+1 = Ei+1 . De plus, codim(F) ≥ i. Donc par construction de la filtration,
F i (F) = F et α = id. On obtient alors le diagramme commutatif suivant :
β
F/F i+1 (F) −−−−−−→F/Fi+1




u
w
α
F i (E)/F i+1 (E) −−−−→ E/Ei+1 ,
avec :
i) α injective, puisque Ei+1 = F i+1 (E),
ii) β surjective et w injective, par construction.
Donc, on a Im(w) = Im(w ◦ β ) = Im(α ◦ u) ⊂ Im(α), et on obtient un
morphisme injectif
w : F/Fi+1 −→ F i (E)/F i+1 (E).
Soit encore, grâce aux identifications, un morphisme injectif :
w : Ei /Ei+1 −→ F i (E)/Ei+1 .
Ainsi Ei ⊂ F i (E), et puisque F i (E) ⊂ Ei , on a l’égalité.
66
A. VIRRION
4. Caractérisation homologique de l’holonomie.
Déduisons de ce qui précède une caractérisation homologique des F -D†X,Q modules holonomes.
4.1. DÉFINITION. — Soit E un F -D†X,Q -module à gauche cohérent. On dit que E
est holonome si E = 0 ou dim(E) = dX .
4.2. THÉORÈME. — Soit E un F -D†X,Q -module cohérent. Alors E est holonome
si et seulement si, pour tout i = dX , on a
Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0.
X,Q
Preuve. — Supposons E non nul. Si E est holonome, on a par définition
dim(E) = codim(E) = dX . Grâce à 2.4, on sait que Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0
si i < dX et par 3.1, que Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0 si i > dX .
X,Q
X,Q
Réciproquement, si Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0, pour tout i = dX , montrons que
X,Q
E est holonome, c’est-à-dire codim(E) = dX . Posons k = codim(E). D’après la
proposition 3.5,
k = inf i | Ext iD† (E, D†X,Q ) = 0 .
X,Q
Donc Ext kD† (E, D†X,Q ) = 0 et k = dX .
X,Q
4.3. DÉFINITION. — Soit E un F -D†X,Q -module holonome. On définit le dual
de E, que l’on notera E∗ , par :
−1
E∗ = Ext dX† (E, D†X,Q ) ⊗OX,Q ωX,Q
.
DX,Q
4.4. PROPOSITION. — On définit ainsi un foncteur de dualité exact de la
catégorie des F -D†X,Q -modules holonomes dans elle même, et on dispose de
∼
l’isomorphisme de bidualité : E −−→ (E∗ )∗ .
Preuve. — Par 2.4, i), on sait que codim(E∗ ) ≥ dX , soit dim(E∗ ) ≤ dX . Or
l’inégalité de Bernstein nous dit que dim(E∗ ) ≥ dX . Donc dim(E∗ ) = dX et
E∗ est holonome, par définition. De plus, E∗ = H0 D(E) et grâce au théorème
précédent, on a Hi D(E) = 0, si i = 0. Donc D(E) ∼
= E∗ , si E est holonome.
∗ ∗
∼
L’isomorphisme de bidualité µ : E = (E ) se déduit alors du théorème de
bidualité du chapitre I, § 3.6.
TOME
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N
◦
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TOME
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DUALITÉ LOCALE ET HOLONOMIE POUR LES D-MODULES

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