Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications

Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
Lefeuvre thomas & Ginguené franck
30 mars 2012
1
Table des matières
1 Théorème du point fixe
1.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Théorème de Cauchy-Lipschitz
2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Démonstration . . . . . . . . . . .
2.3 Corollaire 1 : . . . . . . . . . . . .
2.4 Corollaire 2 (Équation différentielle
.
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4
4
4
6
6
3 Exemples
3.1 Exemple 1 : équation différentielle autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exemple 2 : équation différentielle non-autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemple 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
9
11
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. . . . . . . .
autonome) :
2
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1
Théorème du point fixe
1.1
Énoncé
Théorème 1 (Point fixe (Picard)). Soit (E, d) un espace métrique complet (non vide) et
T : E → E une application contractante (i.e. : ∃k < 1 tel que : ∀x, y ∈ R, d(T (x), T (y)) <
d(x, y)). Alors il existe un unique point fixe a ∈ E, tel que T (a) = a. De plus, toute suite
d’éléments de E définie par.
(
xp+1 := T (xp )
(xp )p∈N :=
(1)
x0 ∈ E
converge vers a.
1.2
Démonstration
On montre d’abord l’unicité du point fixe puis son existence :
* unicité : Supposons qu’il existe a, b ∈ R tels que : T (a) = a et T (b) = b alors on a
trivialement :
d(T (a), T (b)) = d(a, b)
⇔
d(T (a), T (b))
=1>k
d(a, b)
Ce qui contredit la définition de T .
* existence :
Soit x0 un point initial quelconque et (xp )p∈N la suite des itérés associée. On a alors :
d(xp , xp+1 ) = d(T (xp−1 ), T (xp )) ≤ kd(xp−1 , xp )
On montre par récurrence sur p que :
d(xp , xp+1 ) ≤ k p d(x0 , x1 )
– Initialisation : Trivial pour p=0.
– Récurrence : On suppose la propriété (2) vérifiée pour un p fixé. Alors
d(xp+1 , xp+2 ) = d(T (xp ), T (xp+1 ))
≤ kd(xp , xp+1 )
≤ k.k p d(x0 , x1 )
≤ k p+1 d(x0 , x1 )
Ce qui prouve la récurrence.
On a alors ∀ q > p :
d(xp , xq ) ≤
q−1
X


q−1
X
d(xl , xl−1 ) ≤ 
k l  d(x0 , x1 )
l=p
l=p
3
(2)
De plus, pour tout p > q,
q−1
X
l
k ≤
l=p
+∞
X
kl =
l=p
D’où :
d(xp , xq ) ≤
kp
1−k
kp
d(x0 , x1 )
1−k
On peut montrer, à partir de cette inégalité que (xp )p∈N est une suite de Cauchy. Comme de
plus (E, d) est complet, (xp )p∈N converge vers un point a ∈ E
De plus, comme T est continue et T (xp ) = xp+1 :
T (a) = lim T (xp ) = lim xp+1 = a.
p→+∞
p→+∞
Donc par unicité de la limite, on a T (a) = a.
2
Théorème de Cauchy-Lipschitz
2.1
Énoncé
Théorème de Cauchy-Lipschitz. (version globale) :
Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles :
f:
[a, b] × Rn
(t, y)
→
7
→
Rn
f (t, y)
Considérons le problème de Cauchy suivant :
(
y 0 (t) = f (t, y)
y(t0 ) = y0 ; t0 ∈ [a, b]
(E)
Si la fonction f est continue et k–Lipschitzienne en y, i.e. si f vérifie la condition de Lipschitz :
∃k > 0
/
∀ t ∈ Rn ,
∀ (x, y) ∈ [a, b]2 ,
| f (x, t) − f (y, t) | ≤ k |x − y|
alors il existe une et une seule solution y(t) de l’équation différentielle définie pour tout t ∈ [a, b]
, vérifiant la condition initiale donnée.
2.2
Démonstration
Soit f : [a, b]×Rn → Rn une fonction continue, lipschitzienne par rapport a y. Soit le système :
(
y 0 (t) = f (t, y)
(E)
y(t0 ) = y0 ; t0 ∈ [a, b]
C’est-à-dire : ∃L > 0 tel que ∀(t, x), (t, y) ∈ [a, b] × Rn , on a :
4
||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||
Le système (E) est équivalent à la forme intégrale (par Taylor) :
t0
Z
y 0 (s) ds,
y(t) = y(t0 ) +
∀t ∈ [a, b]
t
t0
Z
y(t) = y0 +
f (s, y(s)) ds
t
on définit l’opérateur :
Z
t0
Ty (t) = y0 +
f (s, y(s)) ds
t
y solution de (E) ⇔ y(t) = Ty (t) ∀t ∈ [a, b]
Soit X = C([a, b], Rn muni de la norme ||.||∞ telle que :
||f || = supe−α|t−t0 | |f (t)|
α>0
x6=0
On a :
T :X → X
s 7→ f (s, y(s))
est continue, et donc
Z
t 7→
t0
f (s, y(s)) ds
t
est C 1 et donc continue.
On va montrer qu’avec un choix judicieux de α, T est une contraction.
Soient x, y, z ∈ X
Z t0
(Ty − Tz )(t) =
f (s, y(s)) − f (s, z(s)) ds
t
Z t0
|Ty (t) − Tz (t)| ≤ L |y(s) − z(s)| ds
t
Z t0
−α|t−t0 |+α|s−t0 | −α|t−t0 |
≤ L
e
e
|y(s) − z(s)| ds
t
Z t0
−α|t−s|
≤ L
e
ds ky − zkα
t
On peut donc majorer l’intégrale ainsi
5
Z
t0
e
−α|t−t0 |
t
ds
Z
≤
e−α|t−s| ds
R
Z
≤
e−α|s| ds
ZR∞
≤
e−αs ds
0
≤
2
α
Ceci implique que kTy − Tz kα ≤ 2L
α kyz kα
2L
On choisit α tel que α < 1
⇒ T : (X, k.kα ) est une contraction
⇒ Ty = y admet une seule solution !
2.3
Corollaire 1 :
Soit I un intervalle bornée ou non.
Soit f : I × Rm → Rn une fonction continue et vérifiant la condition de Lipschitz sur tout J × Rm
avec J = [a, b] ⊂ I.
Alors l’edo :
(
y 0 = f (t, y)
(3)
y(t0 ) = y0
admet une unique solution y : I → Rn .
2.4
Corollaire 2 (Équation différentielle autonome) :
Si f : Rm × Rn est lipschitzienne
alors l’EDO autonome ( f ne dépend pas de t) :
(
y 0 = f (y(t))
y(t0 ) = y0
(4)
admet une unique solution globale y : R → Rn de classe C 1
3
Exemples
3.1
Exemple 1 : équation différentielle autonome
On considère le problème de Cauchy suivant :
(
y 0 (x) = f (y(x)) avec f (y) = sin y
y(0) = y0 ∈ R
6
(5)
1. Vérification des hypothèses :
La fonction f vérifie la condition de Lipschitz, à savoir que f est lipschitzienne par
rapport à y. Pour s’en convaincre, voila une démonstration possible :
preuve : Soit la fonction f suivante :
f: R
t
→
R
7→ f (t) = sin(t)
f est continue et dérivable sur n’importe quel intervalle ]x, y[ , x, y ∈ R. On peut donc
appliquer le Théorème des Accroissements Finis sur ce même intervalle. Ce qui nous donne :
∃ c ∈ R tel que :
|f (y) − f (x)| ≤ f 0 (c)|y − x|
⇔ |f (y) − f (x)| ≤ cos c|y − x|
comme : ∀ c ∈ R, cos c ≤ 1 alors :
⇔ |f (y) − f (x)| ≤ |y − x|
On a donc montré que f est 1-lipschitzienne, ce qui conclut la démonstration.
Comme f vérifie les conditions de Cauchy-Lipschitz, le théorème du même nom nous dit
qu’il existe une unique solution maximale sur l’intervalle [T− , T+ ] avec (T− , T+ ) ∈ R− ×R+ .
Voyons si l’on peut trouver cette solution :
2. Résolution théorique :
* On remarque que x 7−→ kπ, k ∈ Z sont des solutions stationnaires au problème (En
particulier x 7−→ 0; pi sont solution). On montre alors facilement que pour y0 6= kπ, k ∈ Z,
on a sin y 6= 0.
* On montre maintenant—en se limitant au cas où y0 ∈]0, π[—que l’unique solution y
vit dans ]0, π[. En effet, si la solution "déborde" de cet intervalle, par continuité on a qu’il
existe c ∈ [T− , T+ ] tel que y(c) = 0 ou y(c) = π or dans ce cas, y vérifie le même problème
de Cauchy que les solutions stationnaires. En particulier, y0 = 0 ou y0 = π ce qui est
absurde.
* On montre que la solution maximale est définie sur R. Supposons, sans perte de
généralité, que T+ < +∞ alors, on a lim |y| = +∞. Or on a vu juste avant que y était
x→T+
x<T+
borné sur son intervalle de définition.
7
* Résolvons maintenant le problème de Cauchy pour y0 6= kπ, k ∈ Z. On considère
l’équation différentielle suivante :
y 0 = sin y
(6)
C’est un équation à variables séparées que l’on peut exprimer :
y0
=1
sin y
On intègre de chaque coté :
Z
1
dy =
sin y
Z
1 dx
Z
1
⇔
Z
2 sin y2 cos
y dy =
1dx
2
Par un jeu d’écriture on obtient :
⇔
1
2
Z
Ou encore :
Z
⇔
1
cos2
sin
cos
y
2
y
2
y
2
Z
dy =
tan0 y2
dy =
tan y2
1dx
Z
1dx
D’où finalement :
y
⇔ ln (tan ) = x + c, c ∈ R.
2
De plus, on a la condition y(0) = y0 d’où l’on tire : c = ln (tan y20 ). Il nous reste à
exprimer y :
y(x) = 2 arctan (tan ( y20 )ex )
3. Représentation des solutions :
On a tracé quelques solutions pour y0 ∈ [0, π] :
8
Remarque sur les solutions : On voit nettement que les solutions sont monotones et ’vivent’
entre les solutions stationnaires établies plus haut.
3.2
Exemple 2 : équation différentielle non-autonome
On considère cette fois-ci le problème de Cauchy suivant :

 y 0 (x) = f (t, y(x)) avec f (t, y) = cos t
1 + ey

y(0) = y0 ∈ R
1. Vérification des hypothèses :
f est Lipschitzienne au sens où elle vérifie la condition suffisante suivante :
sup |
(t,y)∈R
∂f
(t, y)| < +∞
∂y
Voici une proposition de preuve :
preuve : On calcule la dérivée partielle de f par rapport à y :
∂f
−ey cos t
(t, y) =
∂y
1 + ey
D’où, comme | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R :
|
∂f
ey cos t
ey
(t, y)| = |
|≤
y
∂y
1+e
1 + ey
9
(7)
Et comme
ey
1+ey
<1:
|
∂f
(t, y)| ≤ 1 < +∞
∂y
Ce qui conclut la démonstration.
Comme f vérifie les conditions de Cauchy-Lipschitz, le théorème du même nom nous dit
qu’il existe une unique solution maximale sur l’intervalle [T− , T+ ] avec (T− , T+ ) ∈ R− ×R+ .
On résout maintenant le problème :
2. Résolution théorique :
* Mutatis mutandis, on peut utiliser la même méthode que dans l’exemple 1 pour
montrer que la solution maximale est définie sur R tout entier. (Utilisation du critère
d’explosion)
* On peut résoudre maintenant le problème de Cauchy pour y0 ∈ R : On considère
l’équation différentielle suivante :
cos t
(8)
y0 =
1 + ey
C’est un équation à variables séparées que l’on peut exprimer comme :
y 0 (1 + ey ) = cos t
On intègre de chaque coté :
Z
y
(1 + e )dy =
Z
cos tdt
D’où :
⇔ y(t) + ey(t) = sin t + c, c ∈ R.
De plus, on a la condition y(0) = y0 d’où l’on tire : c = y0 + ey0 . Malheureusement, on ne
peut pas—contrairement à l’exemple précédent—trouver une expression explicite de y(t).
Cependant, on peut réécrire l’équation de façon plus agréable :
On pose la fonction F définie par :
F : R
t
→
R
7
→
F (t) = t + et
Alors on a
F 0 (t) = 1 + et
⇒ F 0 (t) ≥ 0 ; ∀t ∈ R
⇒ F croissante sur R
10
⇒ F est une bijection sur R (puisque F est continue)
On peut donc écrire la solution y sous cette forme :
y(x) = F −1 (sin x + ey0 + y0 )
3. Représentation des solutions :
On a tracé quelques solutions pour y0 ∈ [0, 3] :
3.3
Exemple 3 :
Soit le système :
(
y 0 = ecos(t
2
y)
y(0) = 0
(9)
Montrer que ce système admet une unique solution globale. Soit
f : R×R
(t, y)
→
R
cos(t2 y)
7
→
e
Soit a < b, alors f est lipschitzienne par rapport à y sur [a, b] × R
2
∂f
(t, y) = −t2 sin(ty )ecos(t y)
∂t
∂f
(t, y)| ≤ t2 e ≤ max(a2 , b2 )e
∂t
D’après le corollaire 1 du Théorème de Cauchy-Lipschitz, le système admet une unique solution globale.
|
11
Références
[1] Hmidi Taoufik, Cours sur les équations différentielles, Rennes1, 2012.
[2] S. Lang, Analyse réelle, InterEdition, Paris, 1977.
[3] Minazzo Clémence & Rider Kelsey, Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Équations
Différentielles, Université de Nice-Sophia Antipolis, Mémoire de Master 1 de Mathématiques,
2006-2007
12