Théorie des Plaques Sandwiches
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Théorie des Plaques Sandwiches
CHAPITRE 18 Théorie des Plaques Sandwiches 18.1 INTRODUCTION L’objet de ce chapitre est d’établir les équations relatives au comportement mécanique des plaques sandwiches. Un matériau sandwich est constitué (chapitre 3) d’un matériau de faible masse volumique (l’âme) sur lequel sont collées des feuilles ou plaques (les peaux). La fonction essentielle de l’âme du sandwich est de transmettre, par cisaillement, les actions mécaniques d’une peau à l’autre. Dans le cas général, les peaux sont des stratifiés d’épaisseur h1 (peau inférieure) et d’épaisseur h2 (peau supérieure) (figure 18.1). L’épaisseur de l’âme sera notée h. Le système de coordonnées est choisi de manière que le plan (x, y) soit le plan moyen. 18.2 CHAMPS DES DÉFORMATIONS ET DES CONTRAINTES 18.2.1 Hypothèses de la théorie des sandwiches La théorie des plaques sandwiches repose sur les hypothèses fondamentales suivantes : 1. L’épaisseur de l’âme est bien plus élevée que celle des peaux : h h1, h2. 2. Les déplacements de l’âme ua et va suivant les directions x et y sont des fonctions linéaires de la coordonnée z. 3. Les déplacements u et v suivant les directions x et y sont uniformes dans l’épaisseur des peaux. 4. Le déplacement transverse w est indépendant de la variable z : la déformation εzz est négligée. 5. L’âme ne transmet que les contraintes de cisaillement transverse σxz, σyz : les contraintes σxx, σyy, σxy et σzz sont négligées. 6. Les contraintes de cisaillement transverse σxz et σyz sont négligées dans les peaux. Enfin, la théorie traite les problèmes d’élasticité de faibles déformations. 18.2 Champs des déformations et des contraintes 383 y z h2 h x h 2 h1 FIGURE 18.1. Notations d’une plaque sandwich. 18.2.2 Champ des déplacements L’hypothèse 2 implique un schéma du premier ordre pour les déplacements de l’âme : ua ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + zϕ x ( x, y ), va ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + zϕ y ( x, y ), (18.1) avec u0 ( x, y ) = ua ( x, y, 0), v0 ( x, y ) = va ( x, y, 0). La continuité des déplacements aux interfaces âme-peaux, associée à l’hypothèse 3, conduit aux expressions suivantes des déplacements dans les peaux : — peau inférieure : h u1 ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) − ϕ x ( x, y ), 2 (18.2) h v1 ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) − ϕ y ( x, y ), 2 — peau supérieure : h u2 ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + ϕ x ( x, y ), 2 (18.3) h v 2 ( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + ϕ y ( x, y ). 2 L’hypothèse 4 s’écrit : w ( x, y, z ) = w 0 ( x, y ). (18.4) La théorie des plaques sandwiches est donc basée sur la détermination de cinq 384 Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches fonctions de déplacement et rotation : u0, v0, w0, ϕx et ϕy, analogues à celles introduites dans la théorie des stratifiés tenant compte du cisaillement transverse (chapitre 17). 18.2.3 Champ des déformations Le champ des déformations dans la peau inférieure est déduit du champ (18.2) des déplacements. Il s’écrit : ∂u1 ∂u0 h ∂ϕ x = − , ∂x ∂x 2 ∂x h ∂ϕ y ∂v ∂v = 1= 0− , ∂y ∂y 2 ∂y ε 1xx = ε 1yy ε 1zz = 0, ∂v1 ∂w ∂w 0 + = , ∂z ∂y ∂y ∂u ∂w ∂w 0 = 1+ = , ∂z ∂x ∂x ∂ϕ y ⎞ h ⎛ ∂ϕ ∂u ∂v ∂u ∂v = 1+ 1= 0+ 0− ⎜ x+ ⎟. ∂y ∂x ∂y ∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ γ 1yz = γ 1xz γ 1xy (18.5) Les déformations en cisaillement transverse γ 1yz et γ 1yz dans la peau sont négligées et le champ des déformations se réduit au champ des déformations en membrane qui s’écrit donc sous la forme : 0 ⎤ ⎡ε 1xx ⎤ ⎡ε xx ⎡ κx ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ h⎢ ⎥ ⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ − ⎢ κ y ⎥ , ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 2⎢ ⎥ ⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣κ xy ⎥⎦ (18.6) avec des notations déjà introduites au chapitre 17 : 0 ε xx = ∂u0 , ∂x ∂ϕ κx = x , ∂x ∂v0 , ∂y ∂ϕ y , κy = ∂y ε 0yy = ∂u0 ∂v0 , + ∂y ∂x ∂ϕ y ∂ϕ . = x+ ∂y ∂x 0 γ xy = κ xy (18.7) De même, le champ des déformations dans la peau supérieure s’écrit sous la forme : 2 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ε xx ⎡ κx ⎤ ε xx ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ h⎢ ⎥ (18.8) ⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ + ⎢ κ y ⎥ . 2 ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢⎣κ xy ⎥⎦ 18.2 Champs des déformations et des contraintes 385 Le champ des déformations dans l’âme se déduit du déplacements. Soit : ∂u ∂u ∂ϕ a ε xx = a = 0 +z x, ∂x ∂x ∂x ∂ ϕy ∂v ∂v , ε ayy = a = 0 + z ∂y ∂y ∂y ∂w a ε zz = 0 = 0, ∂z ∂v ∂w ∂w 0 γ ayz = a + = +ϕy , ∂z ∂y ∂y ∂u ∂w ∂w 0 a γ xz = a+ = + ϕx , ∂z ∂x ∂x ∂ϕ y ⎛ ∂ϕ ∂u ∂v ∂u ∂v a γ xy = a + a = 0 + 0 + z⎜ x + ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ⎝ ∂y champ (18.1) des (18.9) ⎞ ⎟. ⎠ Le champ des déformations a la même écriture que le champ des déformations (17.2) de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse. Il est la superposition de deux champs de déformation : — le champ des déformations en membrane-flexion : a ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ε xx ⎡ κx ⎤ ε xx ⎢ a ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ε yy ⎥ = ⎢ε yy ⎥ + z ⎢ κ y ⎥ , ⎢ a ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢γ xy ⎦⎥ ⎣⎢γ xy ⎦⎥ ⎣⎢κ xy ⎦⎥ (18.10) — le champ des déformations en cisaillement transverse : a ⎤ ⎡γ yz ⎢ a ⎥ ⎢⎣γ xz ⎥⎦ ⎡ ∂w 0 ⎤ ⎢ ∂y + ϕ y ⎥ ⎥. =⎢ ⎢ ∂w 0 ⎥ ⎢⎣ ∂x + ϕ x ⎥⎦ (18.11) 18.2.4 Champ des contraintes Le champ des contraintes dans l’âme est déduit de l’hypothèse 5 : a a a σ xx = σ ayy = σ xy = σ zz = 0. (18.12) L’âme ne transmet que les contraintes en cisaillement : ⎡σ ayz ⎤ ⎡C44 ′a ⎢ a ⎥=⎢ a ′ ⎢⎣σ xz ⎥⎦ ⎢⎣C45 a ⎤ ′a ⎤ ⎡γ yz C45 ⎥ ⎢ ⎥, a ′a ⎥⎦ ⎢⎣γ xz C55 ⎥⎦ (18.13) où les coefficients Cij′a s’expriment en fonction des coefficients Cija rapportés aux 386 Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches axes principaux de l’âme (tableau 11.3) suivant : a a ′a = C44 C44 cos 2 θ + C55 sin 2 θ , a a ′a = ( C55 ) sin θ cos θ , C45 − C44 (18.14) a a ′a = C44 C55 sin 2 θ + C55 cos 2 θ , où θ est l’angle que font les axes principaux de l’âme avec les axes de référence de la plaque sandwich. Les coefficients Cija dans les axes principaux s’expriment (10.26) eux-mêmes en fonction des coefficients de cisaillement de l’âme, mesurés dans les axes principaux, selon : a a C44 = G23 , a a C55 = G13 . (18.15) L’hypothèse 6 implique que les contraintes en cisaillement transverse sont nulles dans toutes les couches k de la peau inférieure ou supérieure : k k σ xz = σ yz = 0. (18.16) Les autres contraintes sont déduites des déformations dans les peaux par la relation : k ⎤ ⎡ ⎡σ xx ′ Q12 ′ Q11 ⎢ ⎥ ⎢ k ′ Q22 ′ ⎢σ yy ⎥ = ⎢Q12 ⎢ k ⎥ ⎢ ′ Q26 ′ ⎢⎣σ xy ⎥⎦ ⎣⎢Q16 ′ ⎤ Q16 ⎥ ′ ⎥ Q26 ⎥ ′ ⎦⎥ k Q66 i ⎤ ⎡ε xx ⎢ ⎥ ⎢ε iyy ⎥ , ⎢ i ⎥ ⎢⎣ε xy ⎥⎦ i = 1, 2, (18.17) pour la couche k de la peau inférieure (i = 1) ou de la peau supérieure (i = 2). 18.3 RELATIONS FONDAMENTALES DES PLAQUES SANDWICHES 18.3.1 Équation constitutive L’équation constitutive des plaques sandwiches fait intervenir les résultantes et moments déjà introduits dans la théorie des stratifiés : — les résultantes en membrane : ⎡ Nx ⎤ ⎢N ⎥= ⎢ y⎥ ⎢⎣ N xy ⎥⎦ ∫ ⎡σ xx ⎤ ⎢σ ⎥ d z + yy ⎥ −( h 2+ h1 ) ⎢ ⎢⎣σ xy ⎥⎦ −h 2 ∫ h 2+ h2 h2 ⎡σ xx ⎤ ⎢σ ⎥ d z , ⎢ yy ⎥ ⎢⎣σ xy ⎥⎦ (18.18) ⎡σ xx ⎤ ⎢σ ⎥ z d z , ⎢ yy ⎥ ⎢⎣σ xy ⎥⎦ (18.19) — les moments en flexion-torsion : ⎡ Mx ⎤ ⎢M ⎥= ⎢ y⎥ ⎢⎣ M xy ⎥⎦ ∫ ⎡σ xx ⎤ ⎢σ ⎥ z d z + yy ⎥ −( h 2+ h1 ) ⎢ σ ⎢⎣ xy ⎥⎦ −h 2 ∫ h 2+ h2 h2 18.3 Relations fondamentales des plaques sandwiches 387 — les résultantes en cisaillement : ⎡Q y ⎤ ⎢ ⎥= ⎣ Qx ⎦ ∫ ⎡σ yz ⎤ ⎢ ⎥ dz . ⎣σ xz ⎦ h2 −h 2 (18.20) En substituant les expressions des contraintes (18.13) à (18.17) dans les expressions précédentes des résultantes et moments, nous obtenons l’équation constitutive : ⎡ N x ⎤ ⎡ A11 A12 ⎢ N ⎥ ⎢A ⎢ y ⎥ ⎢ 12 A22 ⎢ N xy ⎥ ⎢ A16 A26 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M x ⎥ = ⎢ C11 C12 ⎢ M y ⎥ ⎢C12 C22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M xy ⎥ ⎢C16 C26 ⎢Q ⎥ ⎢ 0 0 ⎢ y ⎥ ⎢ 0 ⎣⎢ Qx ⎦⎥ ⎣⎢ 0 A16 A26 A66 C16 C26 C66 B11 B12 B16 D11 D12 D16 B12 B22 B26 D12 D22 D26 B16 B26 B66 D16 D26 D66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F44 F45 ⎡ 0 ⎤ ⎤ ⎢ ε xx ⎥ ⎥ ⎢ε 0 ⎥ ⎥ ⎢ yy ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ κ x ⎥ (18.21) ⎥ ⎢κ ⎥ ⎥⎢ y ⎥ ⎥ ⎢κ xy ⎥ F45 ⎥ ⎢γ 0 ⎥ ⎥ ⎢ yz ⎥ F55 ⎥⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎣ γ xz ⎦ 0 0 0 0 0 0 avec : Aij = Aij1 + Aij2 , ( ) h 2 Aij − Aij1 , 2 Bij = (18.22) Cij = Cij1 + Cij2 , Dij = ( ) h 2 Cij − Cij1 , 2 et Aij1 = Cij1 = Aij2 = Cij2 = −h 2 ∫( − h 2+ h1 ) −h 2 ∫( − h 2+ h1 ) ∫ ∫ h 2+ h2 h2 h 2+ h2 h2 Fij = hCij′a . ( Qij′ ) d z = k n1 ∑ ∫h k ( Qij′ ) d z = n1 k −1 k =1 n2 hk ∑ ∫h z ( Qij′ ) d z = ( Qij′ ) d z = hk ∑ ∫h k =1 k k −1 k =1 z ( Qij′ ) d z = k hk k −1 k hk k =1 k −1 ∑ (Qij′ )k ek , z ( Qij′ ) d z = k k (18.23) k =1 ( Qij′ ) d z = n2 n1 n1 ∑ (Qij′ )k ek zk , (18.24) k =1 n2 ∑ ( Qij′ )k ek , (18.25) k =1 n2 ∑ ∫ h z (Qij′ )k d z = ∑ (Qij′ )k ek zk , (18.26) k =1 (18.27) 388 Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches Dans les expressions précédentes des coefficients de rigidité, n1 et n2 sont les nombres de couches respectivement dans la peau inférieure et dans la peau supérieure, et Cij′a sont les coefficients relatifs au cisaillement transverse de l’âme exprimés en (18.14). L’équation constitutive (18.21) a une forme semblable à l’équation (17.21), obtenue dans le cas de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse. Elle en diffère par la présence des termes Cij qui impliquent une dissymétrie de la matrice de rigidité. Comme développé dans la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse (paragraphe 17.4), les coefficients de rigidité Fij sont parfois corrigés par des facteurs de correction kij, et remplacés par les paramètres de cisaillement Hij définis de la même manière qu’en (17.53) : H ij = kij Fij . (18.28) Dans le cas de plaques sandwiches symétriques, les peaux inférieure et supérieure sont identiques, d’où : Aij1 = Aij2 , Cij1 = −Cij2 . (18.29) Il en résulte : Aij = 2 Aij2 , Dij = hCij2 , Bij = 0, Cij = 0. (18.30) Dans le cas des plaques sandwiches symétriques, il y a donc découplage des comportements en membrane et en flexion. L’équation constitutive prend alors une forme identique à l’équation constitutive de stratifiés symétriques avec cisaillement transverse. 18.3.2 Relations fondamentales Les relations fondamentales des plaques sandwiches sont obtenues en introduisant l’équation constitutive (18.21) dans les relations fondamentales (13.50) des plaques. Les trois premières équations sont identiques aux équations (17.27), (17.28) et (17.29) avec Aij, Bij et Fij définis en (18.22) et (18.27). Les deux dernières équations s’écrivent suivant : C11 ∂ 2u0 ∂ 2 u0 ∂ 2 u0 ∂ 2v0 ∂ 2v0 ∂ 2v0 + 2C16 + C66 + C16 2 + ( C12 + C66 ) + C26 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂y + D11 + D26 ∂ 2ϕ x ∂x 2 ∂ 2ϕ y =R ∂y 2 ∂ 2u0 ∂t 2 ∂ 2ϕ y ∂ 2ϕ y ∂ 2ϕ x ∂ 2ϕ x + 2 D16 + D66 + D16 + ( D12 + D66 ) ∂x∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂w ∂w ⎞ ⎛ − F55 ⎛⎜ ϕ x + 0 ⎞⎟ − F45 ⎜ ϕ y + 0 ⎟ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ⎝ + I xy ∂ 2ϕ x ∂t 2 , (18.31) 18.4 Sandwiches à peaux épaisses C16 ∂ 2u0 ∂x 2 + D16 + D22 + ( C12 + C66 ) ∂ 2ϕ x ∂x 2 ∂ 2ϕ y =R ∂y 2 ∂ 2v0 ∂t 2 389 ∂ 2u0 ∂ 2 u0 ∂ 2v0 ∂ 2v0 ∂ 2v0 C C C + C26 + + + 2 66 26 22 ∂x∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 + ( D12 + D66 ) ∂ ϕy ∂ ϕy ∂ 2ϕ x ∂ 2ϕ x + D26 + + D 2 D 66 26 ∂x∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 2 2 ⎛ ∂w ⎞ ∂w ⎞ ⎛ − F45 ⎜ ϕ x + 0 ⎟ − F44 ⎜ ϕ y + 0 ⎟ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ⎝ + I xy ∂ 2ϕ y ∂t 2 . (18.32) Ces équations diffèrent des relations (17.30) et (17.31) par la substitution des coefficients Cij aux coefficients Bij. Les conditions aux frontières sont identiques aux conditions introduites dans le paragraphe 17.3.3. Dans le cas de matériaux sandwiches symétriques, la forme des relations fondamentales est identique à celle des stratifiés symétriques avec cisaillement transverse (paragraphe 17.3.2). Il en résulte une identité du comportement mécanique entre les matériaux sandwiches symétriques et les stratifiés symétriques. Les deux comportements diffèrent uniquement par les expressions des coefficients Aij, Dij, Fij. L’ensemble des analyses du comportement mécanique qui seront développés sur les stratifiés symétriques avec cisaillement pourront donc être transposées aux plaques sandwiches symétriques. 18.4 SANDWICHES À PEAUX ÉPAISSES La théorie des plaques sandwiches implique que l’épaisseur des peaux soit bien plus faible que l’épaisseur de l’âme (hypothèse 1). Dans le cas de peaux épaisses, il est possible de conduire l’analyse des plaques sandwiches à l’aide de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse. Nous développons cette analyse dans le cas d’un matériau sandwich symétrique (figure 18.2), et dans le cas où les axes principaux de l’âme et des peaux coïncident avec les axes de référence de la plaque. Les comportements des matériaux sont caractérisés : — pour la peau par : • les coefficients Qijp de rigidité réduite, — pour l’âme par : • les coefficients Qija de rigidité réduite, • les modules Gija de cisaillement transverse. L’application de la théorie sandwich conduit aux expressions suivantes des coefficients de l’équation constitutive : 390 Chapitre 18 Théorie des plaques sandwiches z h1 h h1 FIGURE 18.2. Sandwich symétrique à peaux épaisses. Aijs = 2h1Qijp , Bijs = 0, 1 Dijs = Qijp ( h1 + h ) hh1 , 2 Fijs = hGkla ( F44s = hG23 , (18.33) s a ). F55 = hG13 L’application de la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse conduit à: Aij = 2h1Qijp + hQija , (18.34) Bij = 0 , (18.35) 2 ⎡ 1 h3 2 h ⎤ , Dij = Qijp h1 ⎢( h + h1 ) + 1 ⎥ + Qija ⎣ 2 3⎦ 12 (18.36) Fij = 2h1Gijp + hGija . (18.37) Soit : a ⎛ h Qij ⎞ Aij = Aijs ⎜1 + ⎟, ⎜ 2h1 Qijp ⎟ ⎝ ⎠ Dij = Dijs ⎡ h1 h + 4 h1 Qija ⎤ h2 3 + p ⎢1 + ⎥, ⎢⎣ h h + h1 Qij 6h1 ( h + h1 ) ⎥⎦ p ⎛ h Gij ⎞ Fij = Fijs ⎜1 + 2 1 a ⎟ . ⎜ h Gij ⎟⎠ ⎝ (18.38) (18.39) (18.40) Les expressions (18.38), (18.39) et (18.40) établissent les relations entre les coefficients de rigidité de la théorie stratifié avec cisaillement transverse et ceux Exercices 391 de la théorie sandwich. L’âme étant moins rigide que les peaux, nous avons : Qija Qijp , 18.41) et les relations peuvent être simplifiées suivant : Aij ≈ Aijs , (18.42) ⎛ h1 h + 34 h1 ⎞ ⎜1 + ⎟, h h + h1 ⎠ ⎝ Dij ≈ Dijs Fij = h Fijs ⎜1 + 2 1 ⎛ ⎜ ⎝ Gijp ⎞ ⎟. h Gija ⎟⎠ (18.43) (18.44) Nous retrouvons le comportement du matériau sandwich : le comportement en membrane-flexion est déterminé par les peaux et le comportement en cisaillement transverse est imposé essentiellement par l’âme. Les coefficients de flexion Dij sont toutefois modifiés par rapport à la théorie des sandwiches. L’expression (18.43) permet ainsi d’évaluer l’influence de l’épaisseur des peaux. Par exemple, dans le cas où : h1 = 3 mm, h = 10 mm, nous trouvons que : Dij = 1,323Dijs soit un écart supérieur à 30 % entre les deux analyses. EXERCICES 18.1 On considère le matériau sandwich de l'exercice 17.2. Calculer, pour chaque épaisseur de l'âme, la matrice de rigidité en utilisant la théorie des plaques sandwiches. Comparer aux résultats trouvés dans l'exercice 17.2, en utilisant la théorie des stratifiés avec cisaillement transverse.