Cours No.4

Transcription

Cours No.4

INF1500 :
Logique des systèmes numériques
Cours 4: Tables de Karnaugh à 2, 3
et 4 variables
Sylvain Martel - INF1500
1
Simplification d’expressions booléennes par
les tables de Karnaugh

Une table de Karnaugh est une façon compacte de représenter une
table de vérité.

Les tables de Karnaugh permettent de simplifier facilement et
méthodiquement des expressions booléennes.

On note :

Chaque case de la table de Karnaugh correspond à une rangée de la table
de vérité.

Un ‘1’ placé dans une case de la table de Karnaugh correspond à un
minterme de la fonction.

Un ‘0’ placé dans une case de la table de Karnaugh correspond à un
maxterme de la fonction.

Deux mintermes ou maxtermes représentés par deux cases adjacentes ne
diffèrent que par un seul bit.
2
Simplification d’expressions booléennes par
les tables de Karnaugh -Suite
Le diagramme de Karnaugh est donc un outil
graphique qui permet de simplifier de manière
méthodique une équation logique ou le processus de
passage d’une table de vérité à son circuit
correspondant. En général, on utilise cette approche
pour 6 variables ou moins. Sinon, on utilise un
programme informatique.
Simplifier permet de diminuer le matériel, les délais et
la consommation
Grâce au code Gray on va créer un diagramme (i.e.
un tableau) dans lequel on va pouvoir analyser tous
les regroupements permettant d’appliquer le
théorème T10:

X • Y + X • Y’ = X
3
Encodage mécanique d’un disque avec code
binaire 3 bits
111
000
110
001
0 0 1
101
010
100
011
Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.
Digital Design Principles and Practices, 3/e
4
Encodage mécanique d’un disque avec code
Gray 3 bits
100
000
101
001
0 0 1
111
011
110
010
5
Code Gray et diagrammes de Karnaugh
YZ
X
X
0
Y
0
1
0
2
1
3
Z
0
1
Y
(a)
(b)
(a) 2 variables
00
X
XY
1
W
WX
00
01
11
10
0
2
6
4
1
3
7
5
01
11
Y
10
Z
Y
(b) 3 variables
(c)
00
01
11
10
0
4
12
8
1
5
13
9
3
7
15
11
2
6
14
10
Z
X
(c) 4 variables
6
Mapping de la fonction à optimiser sur le
diagramme de Karnaugh
(a)
Attention à
la numérotation
W
WX
00 01
YZ
00
01
11
Y
10
0
4
11
12
(b)
10
8
1
1
5
13
1
3
7
1
2
6
9
11
01
Z
11
1
14
0
00
X•Z
1
15
WX
00
YZ
Y
10
10
1
X
F = ΣW,X,Y,Z(5,7,12,13,14,15)
7
Digital Design Principles and Practices,
3/e
F = X
Tables de Karnaugh à 2 variables
8
Il y a deux possibilités : forme horizontale ou verticale. Les deux
formes sont équivalentes.
9
F(A,B,C) = m1 + m2 +m3 + m6 = A’B’C + A’BC’ + A’BC + ABC’
F(A,B,C) = M0 M4 M5 M7 = (A+B+C) (A’+B+C) (A’+B+C’) (A’+B’+C’)
Voici la forme verticale équivalente de la table de Karnaugh
précédente à 3 variables.
000
100
001
101 100 est
011
111
010
110
adjacent
à 110
10
Représentation de termes sur la table de
Karnaugh
A=1 sur
cette
colonne
1
B=1 sur
ces
lignes
1
1
1
1
F1 = B
C=0 sur
ces
lignes
1
1
F2 = BC’
1
F3 = AC’
11
Table de Karnaugh à 4 variables
12
Définitions

Adjacence : deux cellules sont adjacentes si elles se touchent ou si
elles sont à deux extrémités de la table (i.e. la cellule du haut et la
cellule du bas d’une colonne sont adjacentes, et la cellule de gauche
et la cellule de droite d’une rangée sont adjacentes aussi)

Impliquant : un groupe de forme rectangulaire de 1, 2, 4, 8, 16, 32,
64, … 2k, k ∈ N, cellules adjacentes contenant des ‘1’.

Impliquant primaire : impliquant ne pouvant pas être combiné avec
un autre impliquant pour former un impliquant plus grand

Impliquant primaire essentiel : si un minterme est couvert par un
seul impliquant primaire, cet impliquant est qualifié d’essentiel. Il
fera partie de la description minimale de la fonction.
13
Procédure de simplification d’équations
booléennes
La procédure simplifiée est :

Former des groupes (impliquants) contenant le
plus de ‘1’ possible (puissances de 2 : 1, 2, 4,
8, 16, …)

Trouver un nombre minimal d’impliquants
couvrant tous les ‘1’
14
Règles de Karnaugh

Faire des regroupements de « 1 » en groupe de 1, 2,
4, 8 ou 16.
Commencer par les plus grands regroupements.
Englober tous les 1 et aucun 0.
Si le regroupement couvre un endroit où la variable
passe de 0 à 1 ou de 1 à 0 alors cette variable ne fait
pas partie du terme (minterm) correspondant.
Les variables restantes d’un regroupement forme un
minterm qu’on appelle aussi terme de 1er ordre
(prime implicant) et l’ensemble des regroupements,
i.e. F, forment une somme complete.
15
Fonctions définies partiellement: valeurs
sans importance

Nous avons supposé que la valeur des fonctions logiques devait
être spécifiée exactement pour chaque entrée possible. En
pratique, ce n’est pas toujours nécessaire. Si une combinaison de
variables d’entrée est impossible, alors on « se fiche » (don’t care)
de la valeur que la fonction pourrait prendre dans ce cas.

Cette valeur est sans importance, puisqu’on considère qu’elle ne
peut survenir. On indique ces situations par un ‘X’ ou un tiret (-)
dans la table de vérité et dans la table de Karnaugh de la fonction.

Comme la combinaison d’entrées correspondant à un ‘-’ est
impossible, on peut assigner la valeur ‘0’ ou ‘1’ à ce ‘-’, comme
bon nous semble. Dans la table de Karnaugh, si ce ‘-’ permet de
combiner un plus grand nombre de ‘1’ ensemble, on l’interprète
comme un ‘1’. Sinon, on l’interprète comme un ‘0’.
16
Karnaugh avec peu importe
N3
N3 N2
(a)
00
N1 N0
00
01
11
N1
10
0
(b)
01
4
11
12
10
1
5
1
3
13
1
8
7
1
2
15
1
6
9
d
14
1
d
11
N0
d
N1
10
d
N2′ • N1
N2
F = ΣN3,N2,N1,N0(1,2,3,5,7) + d(10,11,12,13,14,15)
01
11
00
N3′ • N0
d
00
N1 N0
d
N3
N3 N2
10
N2 • N0
d
01
1
1
d
11
1
1
d
d
10
1
d
d
N0
N2
F = N3′ • N0 + N2′ • N1
« Don’t care »
17
Obtenir un produit de sommes au lieu d’une
somme de produits

Faire des regroupements de « 0 » en groupe de 1, 2,
4, 8 ou 16.
Commencer par les plus grands regroupements.
Englober tous les 0 et aucun 1.
Si le regroupement couvre un endroit où la variable
passe de 0 à 1 ou de 1 à 0 alors cette variable ne fait
pas partie du terme (maxterm) correspondant.
Les variables restantes d’un regroupement forme un
maxterm qu’on appelle aussi terme de 1er ordre
(prime implicant) et l’ensemble des regroupements,
i.e. F, forment une somme complete.
18
Exemples
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
F = B’ C + B D + A C
F = A’B’D’ + A’C’ + A’BD + ACD
19
Procédure

Former des groupes contenant le plus de ‘1’ et de ‘X’ possible
(impliquants primaire) (puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, …)

Déterminer parmi ces groupes les impliquants essentiels

Sans toucher aux impliquants essentiels, minimiser le nombre
d’impliquants primaires qui couvrent les 1 restants

Rappel:

Impliquant primaire : impliquant ne pouvant pas être combiné
avec un autre impliquant pour former un impliquant plus grand

Impliquant primaire essentiel : si un minterme est couvert par un
seul impliquant primaire, cet impliquant est qualifié d’essentiel. Il
fera partie de la description minimale de la fonction.
20
Exemples
(a)
W
WX
00 01
YZ
00
01
11
Y
10
0
4
11
12
(b)
10
8
1
1
5
13
1
3
7
1
2
6
9
11
01
11
10
W•X
1
01
1
1
11
1
1
Z
1
14
W
00
X•Z
1
15
WX
00
YZ
Z
Y
10
10
1
1
X
X
F = ΣW,X,Y,Z(5,7,12,13,14,15)
F = X•Z + W•X
21
Exemples
W
WX
(a)
00
YZ
00
01
11
Y
10
0
01
4
11
12
1
1
5
1
3
13
1
15
1
2
1
6
14
00
YZ
8
00
1
1
7
(b)
10
W
WX
9
1
11
Z
1
01
1
11
1
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
X • Y′
W•Z
Y′ • Z
Z
Y
10
10
1
1
X
X
F = ΣW,X,Y,Z(1,3,4,5,9,11,12,13,14,15)
F = X • Y′ + X′ • Z + W • X
X′ • Z
W•X
22
Exemples
W
WX
(a)
00
YZ
00
01
11
Y
10
0
01
4
11
12
(b)
10
5
13
1
8
3
7
1
2
15
1
6
1
9
1
1
14
11
00
YZ
1
1
W
WX
01
11
00
1
01
1
1
1
10
W′ • X
X•Z
Z
Z
1
11
1
1
10
1
1
1
Y
10
1
W′ • Y
X
F = ΣW,X,Y,Z(2,3,4,5,6,7,11,13,15)
Y•Z
X
F = W′ • Y + W′ • X + X • Z + Y • Z
23
Exemples
W
WX
(a)
00
YZ
00
01
11
Y
10
0
01
4
1
1
1
12
8
13
9
1
7
1
2
10
15
1
6
11
W′ • Y′
1
00
1
1
01
1
1
11
10
00
YZ
01
11
01
Z
11
1
10
1
1
1
W′ X′
W•X•Y
Z
1
Y
10
10
W′ • Z
00
Z
1
14
01
W
WX
(c)
00
YZ
1
5
3
11
W
WX
(b)
11
1
Y
1
10
X•Y•Z
•
X
F = ΣW,X,Y,Z(0,1,2,3,4,5,7,14,15)
X
X
F = W′ • Y′ + W′ • X′ + W • X • Y + W′ • Z
24
Exemples - Méthode de branchement
W
WX
(a)
00
YZ
00
01
11
Y
10
0
01
4
1
11
12
5
13
1
3
7
15
1
2
6
1
10
01
11
10
W
WX
(c)
00
YZ
8
00
YZ
00
01
11
10
W•X•Z
00
W • Y′ • Z
9
1
11
1
14
W
WX
(b)
10
01
F = ΣW,X,Y,Z(2,6,7,9,13,15)
1
Z
01
Z
11
1
11
1
1
Y
10
W′ • Y • Z′
Z
1
Y
1
X
1
1
1
X•Y•Z
10
W′ • X • Y
X
X
F = W • Y′ • Z + W′ • Y • Z′ + X • Y • Z
25
Exemples
WX
00
YZ
(a)
00
01
11
Y
10
0
1
W
01
11
4
12
8
13
9
5
1
10
1
3
7
2
6
(b)
1
15
1
WX
00
YZ
11
1
1
14
10
W
01
01
1
1
(c)
Z
11
1
1
Y
10
11
WX
00
YZ
10
X′ • Y′ • Z
1
1
X
00
01
1
Z
W
01
10
00
X
WX
00
YZ
11
1
(d)
W
01
11
10
W′ • Y′ • Z
00
1
01
1
1
1
Z
11
1
1
Z
1
11
Y
1
1
1
Y
10
W•Y•Z
10
W • X′ • Z
W′ • X • Z
X
F = W′ • X • Z + W • Y • Z + X′ • Y′ • Z
X
X•Y•Z
F = X • Y • Z + W • X′ • Z + W′ • Y′ • Z
26
Hasards statiques temporels
Un hasard statique-1 peut se présenter lorsqu’une
combinaison d’entrées diffère de seulement une variable et
que la sortie donne 1. Alors, la sortie peut basculer
momentanément à 0.
(a)
(b)
X
ZP
ZP
XZP
Z
Z
F
YZ
YZ
Y
XZP
F
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
27
Hasards statiques temporels - Suite
Un hasard statique-0 peut se présenter lorsqu’une combinaison
d’entrées diffère de seulement une variable et que la sortie donne
0. Alors, la sortie peut basculer momentanément à 1.
(a)
W
X
Z
(b)
0
0
0→1
ZP
0
0
1→0
WXZP
ZP
1→0
0→1
Y
Z
YZ 0→1
YZ
F
0
0
1
YP
1
XP
1
WXZP
XPYP
F
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
28
Solution
Les hasards statiques peuvent être éliminés en utilisant Karnaugh
et en ajoutant des liens entres les regroupements non-liées.
X
(a)
00
Z
01
0
1
1
Y•Z
X
(b)
XY
11
10
1
1
XY
X • Z′
Z
1
1
Z
Y•Z
F = X • Z′ + Y • Z
Z
01
0
Y
X
00
1
11
10
1
1
X • Z′
1
Z
X•Y
Y
F = X • Z′ + Y • Z + X • Y
XZP
Copyright ©ZP
2000 by Prentice Hall, Inc.
YZ
F
Y
XY
Sylvain
Martel
- INF1500
Copyright © 2000
by Prentice
Hall, Inc.
29
Autre exemple
X • Y′ • Z′
(a)
W
WX
00
YZ
00
W′ • Z
01
11
1
1
01
1
1
11
1
1
(b)
10
W
WX
00
YZ
00
W′ • X • Y′
01
11
1
1
01
1
1
11
1
1
10
Z
1
1
1
1
Z
Y
1
1
1
1
Y
10
W Y
•
10
Y•Z
W • X • Z′
X
X
F = X • Y′ • Z′ + W′ • Z + W • Y
F = X • Y′ • Z′ + W′ • Z + W • Y
+ W′ • X • Y′ + Y • Z + W • X • Z′
30
Hasards dynamiques –
Solution: synchronisation
Lorsqu’on a plus que deux niveaux de portes de base
0
W
0→1
X
Y
slow
0
slower
0→1
1→0
1→0
0→1→0
1→0
1→0 →1→0
F
1→0
1
1
Z
1
31
Exercices
Exprimer chaque fonction sous forme d’une somme de produits et
sous forme d’un produit de sommes et dessiner les circuits
équivalents.
32
Exercices
33
Exercices
34
Exercices
35
Exercices - Tables de Karnaugh à 4 variables,
fonctions définies partiellement
36
fonctions définies partiellement - Suite
37
fonctions définies partiellement - Suite
38
39