1 Chapitre 11 : espace et volume 1

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Chapitre 11 : espace et volume
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Objectifs :
 Connaître définitions de sphère et boule.
 Connaître et savoir utiliser la formule de l’aire d’une sphère, la formule du volume d’une boule.
 Connaître les sections par un plan d’une sphère, d’un pavé droit, d’un cylindre, d’un cône, d’une pyramide.
 Connaître le formulaire complet des aires : carré, rectangle, triangle, disque, sphère.
 Connaître le formulaire complet des volumes : cube, prisme droit, cylindre, cône, pyramide, boule.
Un peu de culture : « c’est quoi un mètre ? »
Cocorico ! Le Mètre est une invention française et pas des moindres.
Nous pouvons en être fiers. Il est universel et fait partie intégrante de
notre vie de tous les jours. Seuls les pays anglo-saxons ont encore du
mal à abandonner leurs «pouces», «pieds» et autres «miles». Le Mètre
n’est pas vieux, un peu plus de 200 ans, ce qui à l’échelle de l’humanité
n’est pas grand chose.
Avant le Mètre : ce n’est pas « le », mais « les » systèmes de mesure et c’est bien là le problème.
Chaque région de France possède son propre système : en Bretagne, on mesure en perches, à Marseille en palmes,
à Paris en pieds ailleurs encore en toises, en pouces, en lignes, en brasses, en coudées, en empans, … Il en est de
même pour les mesures de masse où la livre est par exemple plus légère à Toulouse qu’à Strasbourg !!!
Dans ces conditions, les échanges commerciaux deviennent de plus en plus complexes.
Pourquoi un Mètre mesure-t-il un mètre ?! C’est en 1790 que l’Assemblée Nationale française décide d’établir un
système de mesure unique. La tâche n’est pas simple. Comment définir le Mètre ? Le choix pour la longueur du
Mètre n’aurait-il pas pu se faire de façon totalement arbitraire ? Tiens, voilà un bâton : il fait un mètre !
Et bien, non ! Pourquoi faire simple lorsqu’on peut faire compliqué ? Parce que le choix d’un seul homme, d’une
équipe ou d'une nation ne permettrait pas d’obtenir un consentement universel.
Le projet est confié à des savants de renom (Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace, Lavoisier et Monge) qui
proposent de définir le Mètre comme le dix millionièmes du quart du méridien terrestre.
Une idée extravagante mais qui repose sur un fondement des plus naturels et qui sera donc acceptée de tous : la
Terre ! Mais comment mesurer ce quart de méridien et avec quoi puisque nous ne possédons pas encore le Mètre !?
La tâche est donnée à deux astronomes : Jean-Baptiste Joseph Delambre et Pierre Méchain. Ils ne mesureront
qu’un arc suffisamment long de ce quart de méridien. Par proportionnalité, ils pourront alors calculer la longueur
de tout le quart de méridien de façon précise. Cet arc, appelé la Méridienne s’étend sur plus de 700km de
Dunkerque à Barcelone. L’expédition se prolongera dans des conditions difficiles de 1792 à 1798 (climat, contexte
social et politique). Le résultat des mesures de Delambre et Méchain est étonnant : 551 584,7 toises, avec une
erreur remarquable de seulement 8 millionièmes ! La longueur du quart de méridien calculée est alors égal à 5 130
740 toises. L’unité de longueur de référence tire son nom du grec « metron » qui veut dire « mesure ».
En 1795, le 18 germinal an III du calendrier républicain, le Mètre remplace officiellement toutes les unités
de longueur précédentes. On introduit ses multiples et ses sous multiples (km, hm, dam, dm, …).
Le Mètre s’étendra d’abord en Europe puis dans la plupart des pays du monde.
En février 1796, seize Mètres Etalons en marbre sont placés à Paris afin de familiariser la population. Il en reste
aujourd’hui deux, l’un est au 36 rue Vaugirard (voir photo) et l’autre au 13 place Vendôme.
A partir de 1840, l’utilisation du système métrique devient obligatoire. Depuis 1983 et les progrès
technologiques, la définition du Mètre est affinée grâce au laser : c’est la distance parcourue dans le vide par la
lumière en 1/299 792 458ème de seconde … pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué … ?!!!
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1°) Sphères et boules
Définitions :
- « Sphère » du grec sphaira (balle à jouer)
La sphère
S de centre O et de rayon R est l’ensemble
des points M tels que OM = R
exemple : balle de ping-pong
- La boule
B de centre O et de rayon R est
l’ensemble des points M tels que OM  R
exemple : la terre
BB
Aire de la sphère :
A
= 4 r
B S AB A S
2
Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre  6370km)
A = 4  r2
 ………………………………………………………………
Volume de la boule :
V
4 3
= 3r
Exemple : Volume de la terre
V=
4 3
 r  ………………………………………………………………
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2°) Sections de volumes par un plan
 Section d’une sphère par un plan
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Cas particuliers :
- Si OH = 0, alors r = R
Le plan passe par ……………………………… .
La section est un GRAND CERCLE.
- Si OH = R, alors r = 0
Le plan et la sphère ont un seul point commun.
On dit que le plan est ……………………………… .
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C B
C S
Remarque : Coordonnées géographiques
Axe de rotation
de la terre
N
Méridien
Exemple : les coordonnées géographiques
( 74°O ; 41°N)
Longitude
Greenwich
New
York
de New York sont :
41°N
Équateur
Latitude
Parallèle
 section d’un parallépipède par un plan :
74°
O
S
Méridien de
Greenwich
La section est un rectangle.
Plan parallèle à une face :
Plan parallèle à une arête :
 section d’un cylindre par un plan
Plan parallèle à l’axe :
Plan perpendiculaire à l’axe :
La section est un rectangle.
La section est un cercle.
 section d’un cône ou d’une pyramide par un plan
Plan est parallèle à la base :
La section est un cercle.
La section est un polygone réduction
du polygone de la base.
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3°) Formulaire d’aires et volumes
Aire d’un carré :
Volume cube :
Aire d’un rectangle :
Volume pavé droit :
Aire d’un triangle :
Volume prisme droit :
Aire d’un disque :
Volume d’un cylindre :
Volume cône :
Volume pyramide :
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