Mod`ele fluides et cinétiques - Laboratoire de Physique des Plasmas

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Modèle fluides et cinétiques
Plasmas faiblement ionisés
Irving Langmuir, Schenectady Museum.
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
Chapitre 1
Introduction à la physique des
plasmas faiblement ionisés
Les plasmas faiblement ionisés (ou plasmas froids) sont créés au sein de
réacteurs initialement remplis de gaz neutres et alimentés par une source extérieure
d’énergie électromagnétique. Par un phénomène d’avalanche électronique, les
quelques électrons toujours présents dans un gaz neutre sont accélérés par les
champs électromagnétiques extérieurs, et créent, par collisions avec les molécules
du gaz, de nouveaux électrons et divers ions, qui constituent le plasma.
Les paramètres extérieurs de contrôle d’une décharge comprennent donc le
choix d’un gaz à une pression déterminée, les diverses longueurs qui fixent la
géométrie du réacteur choisi, et les grandeurs physiques caractéristiques de la
source d’énergie (fréquence caractéristique d’alimentation, tension d’alimentation ou puissance absorbée par le dispositif).
Gaz
Energie
Volume
électromagnétique
Figure 1.1 – Schéma de principe d’un réacteur à plasma
La nature des gaz utilisés dépend de l’application visée ; parmi les plus
simples, on peut citer, l’argon ou le xénon, souvent utilisés comme gaz modèles
pour les études académiques, l’oxygène moléculaire, O2 , et le fluorure de bore,
BF3 utilisés respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou de
dépôt de bore sur des substrats de silicium. L’ionisation du fluorure de carbone,
CF4 , par exemple, libère des atomes de fluor qui peuvent réagir avec un substrat
de silicium pour donner un composé volatil, SiF4 , qui pourra être facilement
éliminé par pompage.
3
Les gaz sont utilisés sur une large gamme de pression, typiquement du mTorr
à la pression atmosphérique. Les unités courantes sont le Torr et le bar. On
rappelle les correspondances :
1 atm
1 bar
1 Torr
= 1.013 105 Pa = 760 Torr,
= 105 Pa,
= 133.3 Pa.
Plusieurs types de réacteurs, qui correspondent à différentes façons de coupler l’énergie électromagnétique au plasma ont été imaginés. Sans souci d’exhaustivité, mentionnons les réacteurs les plus fréquemment utilisés, à savoir les
réacteurs dits capacitifs et inductifs, représentés schématiquement sur la figure
suivante 1 : Dans les réacteurs capacitifs, une différence de potentiel, continue
V (t)
~
E
Plasma
I(t)
b
~
E
~ ×
E
Plasma
Figure 1.2 – Schémas de principes des réacteurs capacitifs et inductifs
ou variable dans le temps est directement appliquée entre deux électrodes qui
donne naissance à un champ électrique agissant sur les charges dans le plasmas.
Dans les réacteurs inductifs, on fait circuler un courant variable dans une des
électrodes qui crée un champ magnétique variable et donc un champ électrique
également variable par induction.
Les puissances électriques injectées vont de quelques W (pour les microdécharges)
à quelques kW. Hormis les réacteurs alimentés en DC, les réacteurs alimentés
en alternatifs sont utilisés dans les gammes RF (10-100 Mhz), voire dans les
micro-ondes pour les réacteurs ECR (2 GHz). Les champs magnétiques, lorsqu’ils sont utilisés, ne dépassent guère le kG. Les tensions appliquées dépendent
des réacteurs et vont de quelques dizaines de V au kV.
Selon le type de réacteur utilisé, les densités électroniques (ou ioniques)
observées sont de l’ordre de 109 à 1012 particules par cm3 (voire davantage
pour les microdécharges). Ces densités sont souvent très faibles par rapport à
la densité des neutres qui sont les espèces majoritaires. Dans la plupart des
plasmas froids, les taux d’ionisation sont très faibles, de 10−5 à 10−1 ; les taux
d’ionisation les plus élevés sont observés dans les propulseurs à plasmas. On a
donc en général :
ne
≪1
nn
Du fait du rapport des masses, les transferts de quantité de mouvement ou
d’énergie sont très faibles entre les électrons et les neutres, et très efficaces
1. Parmi les autres types de réacteurs également utilisés, on peut également signaler les
réacteurs dits “hélicons” et ceux dits “ECR” (electron cyclotron resonance).
(masses voisines) entre les ions et les neutres. En conséquence, les températures
des espèces légères (électrons) et des espèces lourdes (ions, neutres) sont très
différentes au sein d’un plasma froid (au moins sur des échelles de temps suffisamment courtes) : en général, les plasmas froids ne sont pas des milieux à
l’équilibre thermodynamique, les températures des ions et du gaz sont voisines,
et d’un à 2 ordres de grandeurs plus faibles que la température des électrons :
Ti ≈ Tn
et
Ti
≪1
Te
Les densités d’énergies déposées dans les plasmas froids varient du W/cm3 pour
les décharges traditionnelles dans les réacteurs de grands volumes, jusqu’au
kW/cm3 dans le cas des microdécharges. Bien que l’on s’intéresse essentiellement dans ce cours aux plasmas froids hors-équilibre, notons toutefois, que
l’on peut s’approcher de l’équilibre thermodynamique en augmentant la densité d’énergie déposée dans le milieu. Dans cette dernière situation, les atomes
restituent l’énergie aux électrons par collisions dites superélastiques.
Le plasma étant un milieu conducteur quasi-neutre aux échelles mésoscopiques,
les champs électromagnétiques en son sein sont toujours très faibles ; une zone
- la gaine - doit donc exister près des parois du réacteur, où les conditions aux
limites sur les grandeurs électromagnétiques imposées de l’extérieur (potentiel,
courant ...), doivent s’accorder avec le plasma quasi-neutre confiné au centre.
Très schématiquement, il est utile de séparer le gaz ionisé en deux domaines :
- le centre de la décharge, quasi-neutre (ne ≈ ni ) : “le plasma” (ou prégaine),
- la périphérie de la décharge, non neutre, appelée “gaine”.
Gaine
Gaine
Plasma
Figure 1.3 – Plasma et gaine
La taille des gaines dépend du type des dispositifs utilisés mais est en général
très faible par rapport aux dimensions transversales du réacteur. Comme la
constitution des gaines relève d’un mécanisme d’écrantage du champ électrique
direct ou induit, la taille caractéristique des gaines est de quelques longueurs
de Debye ou de London 2 .
λD ≡
ǫ0 kB Te
ne2
1/2
,
λL ≡
c
ωP
avec
λD
λL
ou
≪1
L
L
On notera que dans ces deux cas, la taille de la gaine varie en n−1/2 : l’écrantage
est d’autant plus fort que la densité du plasma est élevée. L’ordre de grandeur
2. La longueur de London correspond à l’effet de peau non collisionnel. A plus forte pression, la longueur de Kelvin qui décrit l’effet de peau collisionnel doit être utilisée, la longueur
d’écran dépend alors de la pression de neutres existant au sein du réacteur.
de la taille des gaines aux densités utilisées est de quelques centaines de microns
dans les décharges RF.
Figure 1.4 – Conversion de l’énergie électromagnétique par les plasmas.
Les applications des plasmas froids peuvent être classifiées schématiquement
en considérant le plasma comme un convertisseur de l’énergie électromagnétique
reçue en diverses autres formes d’énergie. Citons en particulier :
– la conversion énergie électromagnétique/énergie lumineuse où l’on tente
d’optimiser un processus d’excitation électronique particulier qui conduira
à l’émission de photons (éclairage, écrans à plasmas ...)
– la conversion énergie électromagnétique/énergie cinétique où le plasma est
utilisé en tant que source de particules chargées (sources d’ions, faisceaux
d’électrons, propulsion ionique ...)
– la conversion énergie électromagnétique/énergie chimique où l’on exploite
le fait qu’un plasma peut être la source d’espèces chimiquement actives
(traitement des matériaux, stérilisation, dépollution ...)
A ce niveau qualitatif de la description, on retiendra donc (tous les termes ont
leur importance) que
Les plasmas froids de décharges
sont des plasmas faiblement ionisés, hors-équilibre, et confinés.
Bibliographie
Presque tous les manuels généraux de physique des plasmas contiennent au
moins un chapitre traitant des plasmas faiblement ionisés. Ainsi, dans les livres
suivants, on pourra lire avec profit :
– Francis F. Chen,
Introduction to plasma physics, Plenum Press, 1984, Chapitres 5 et 8.
– Jean-Loup Delcroix,
Physique des Plasmas, InterEditions CNRS, 1994, Chapitres 5 et 12.
– Jean-Marcel Rax,
Physique des Plasmas, Dunod, 2005, Chapitres 4 et 6.
Le nombre d’ouvrages spécialisés en physique des plasmas froids n’est pas très
important. On peut citer en particulier :
– Raoul N. Franklin,
Plasma phenomena in gas discharges, Oxford University Press, 1976.
– Blake E. Cherrington,
Gaseous electronics and gas lasers, Pergamon Press, 1979.
– Yuri P. Raizer,
Gas discharge Physics, Springer-Verlag, 1991.
– Michael A. Lieberman, Allan J. Lichtenberg,
Principles of Plasma discharges and materials processing, Wiley, 1994.
– J. Reece Roth,
Industrial plasma engineering, 2 tomes, IOP, 1995.
– Boris M. Smirnov,
Physics of ionized gases, Wiley, 2001.
– Francis F. Chen, Jane P. Chang,
Lecture Notes on Principles of plasma processing, Plenum-Kluwer, 2002.
– Collectif,
Plasmas Froids : génération, caractérisation et technologies, Publications
de l’Université de Saint-Etienne, 2004.
– Michel Moisan, Jacques Pelletier,
Physique des plasmas collisionnels, Grenoble Sciences, 2006.
Sites et pages web
– Réseaux plasmas froids http ://www.mrct.cnrs.fr/PF/
– Page personnelle de Michael Lieberman http ://www.eecs.berkeley.edu/ lieber/
Chapitre 2
Modélisation fluide : première
approche
Nous présentons dans ce chapitre les équations du modèle fluide où le plasma
est assimilé à un fluide à plusieurs composantes en interaction. La résolution
d’un tel système dans les cas les plus généraux est fort complexe et passe souvent par une résolution numérique. Nous étudions quelques cas limites obtenus
lorsque certains termes sont négligés et/ou en dimension réduite. Cette approche, où les approximations seront effectuées essentiellement sur l’équation
de bilan de quantité de mouvement, permet de dégager plusieurs idées physiques
importantes caractéristiques du comportement des plasmas. Enfin, une illustration de cette modélisation fluide à la problématique de l’écrantage (électrique
ou magnétique) est exposée dans la dernière section de ce chapitre.
2.1
Equations du modèle fluide
Dans le cadre d’une modélisation fluide, on assimile le plasma à un fluide
chargé, réactif et à plusieurs composantes. Le fluide qui modélise le plasma
est multifluide car il comprend nécessairement les différentes composantes du
plasma. Un plasma étant globalement neutre, le nombre minimum de composantes est de 2 : les électrons et une espèce ionique positive. Ainsi en est-il pour
les plasmas complètement ionisés. Dans le cas des plasmas faiblement ionisés,
on peut être amené à prendre en compte plusieurs types d’ions (éventuellement
négatifs) ainsi que les atomes ou molécules neutres 1 . Le fluide est également
réactif en général puisque des réactions d’ionisation, recombinaison ... conduisent
à des transformations des espèces les unes dans les autres. Enfin, bien que le
plasma soit globalement neutre, chacune de ses composantes (sauf les espèces
neutres) est porteur d’une charge électrique et comme tel est soumis aux forces
électromagnétiques. Pour toute ces raisons, le formalisme utilisé en physique
1. Une réduction à un seul fluide peut parfois être opérée et conduit alors à une formulation
plus simple à un seule fluide (cf. Magnétohydrodynamique et Electrohydrodynamique).
9
des plasmas dans les modélisations fluides, est plus proche de celles utilisées
en physique de la combustion ou en aérothermochimie, que celles plus simples
caractéristiques des fluides monophasiques neutres.
Pour chaque composante α (électrons, ions, neutres), nous introduisons les
variables dynamiques : densités, nα , pressions, pα , et vitesses moyennes Vα .
En outre règnent dans le plasma les champs électromagnétiques auto-cohérents
E et B qui résultent à la fois d’éventuels champs extérieurs appliqués et des
champs créés par le mouvement des charges dans le plasma. Toutes ces grandeurs physiques dépendent de la position r considérée au sein du plasma, et du
temps t.
L’ensemble des équations comprend les équations de bilans de matière et de
quantité de mouvement associées aux équations de Maxwell, c’est-à-dire :
∂nα
+ ∇. (nα Vα ) = Sα ,
∂t
∂
+ Vα .∇ Vα = −∇pα + nα Fα − −mα (Vα − Uα ) Sα ,
mα nα
∂t
∂B
∇×E = −
,
∂t
∂E
,
∇ × B = µ0 J + µ0 ǫ0
∂t
auxquelles il convient d’ajouter des conditions initiales et aux limites adaptées.
Dans ces équations, Uα désigne la vitesse fluide de création ou de destruction des particules de la composante α, et Sα , le nombre de particules créées
ou détruites par unité de temps du fait des diverses réactions entre les particules (ionisation, combinaison, attachement). La force extérieure, Fα , comprend généralement les forces électromagnétiques et de friction 2 entre les composantes :
X
ναβ (Vα − Vβ )
Fα = qα (E + Vα × B) − mα
β6=α
Par ailleurs, les densités de charges et de courant sont définies par les relations
ρ≡
X
α
qα n α
et J ≡
X
qα n α V α .
α
Remarques
1- On notera que seules 2 des 4 équations de Maxwell ont été introduites.
Les 2 autres équations, celles de Maxwell-Gauss ∇.E = ρ/ǫ0 et l’équation
∇.B = 0. peuvent être fixées par les conditions initiales. Cela résulte du fait que
les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère peuvent être interprétées
2. Les conditions sous lesquelles la force de friction prend la forme annoncée seront précisées
dans le chapitre suivant.
comme des équations d’évolution des champs E et B sous la forme :
∂B(r, t)
∂t
∂E(r, t)
∂t
= −rot E(r, t),
=
1
1
rot B(r, t) −
J(r, t)
ǫ0 µ0
ǫ0
En tant qu’équations d’évolution, ces 2 équations doivent être complétées par
des conditions initiales sur les champs E et B.
En utilisant la relation de conservation de la charge et le fait que la divergence
d’un rotationnel est nulle, les 2 équations d’évolution se récrivent :
∂
(divB) = 0,
∂t
∂
ρ
divE −
= 0,
∂t
ǫ0
Les 2 équations de Maxwell sur la divergence sont donc obtenues en fixant les
conditions initiales suivantes :
div E(r, 0) =
ρ(r, 0)
ǫ0
et div B(r, 0) = 0
de sorte que si ces relations sont satisfaites à l’instant initial, elles le demeurent
aux temps ultérieurs.
Il est donc équivalent de se donner les 4 équations de Maxwell, ou les 2
équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère complétées par des conditions initiales adaptées.
Noter qu’il peut cependant apparaı̂tre plus commode dans certains problèmes
d’être redondant et d’utiliser explicitement les 4 équations de Maxwell.
2- Tel quel, pour un système à N composantes, ce système comprend 4N +
6 équations pour les 5N + 6 champs inconnus, nα , pα , Vα , E et B, de sorte
que le système comprend plus d’inconnues que d’équations. Dans l’approche
traditionnelle utilisée en thermodynamique, on introduit une équation de bilan
supplémentaire : l’équation de bilan d’énergie. Cette équation introduit à son
tour une nouvelle inconnue, le flux de chaleur, que l’on relie aux autres inconnues
par une considération thermodynamique (par exemple la loi de Fourier ou une
hypothèse d’adiabacité).
Ce chemin peut également être suivi dans le cadre de l’étude des plasmas,
mais il est plus simple d’introduite la contrainte thermodynamique au niveau
de l’équation de bilan de quantité de mouvement. Les plasmas étant des milieux
dilués, on peut utilise l’équation d’état des gaz parfaits sous la forme 3 :
pα = nα (kB Tα )
(2.1)
3. L’utilisation, lorsque le fluide est en mouvement, d’une équation valable pour une situation à l’équilibre thermodynamique, correspond à l’hypothèse d’équilibre thermodynamique
local.
Cette relation introduit cependant un nouveau champ inconnu, le champ de
température Tα (r, t), ce qui ne résout donc rien. Une façon de fermer les équations
consiste à introduire une hypothèse physique suffisamment forte qui fixe le
champ de pression.
Dans les situations où la pression au sein du fluide peut être négligée par
rapport aux autres contributions 4 :
pα → 0,
les 2 équations de conservation de la charge et de l’impulsion suffisent à déterminer
les champs de densités : nα , et de vitesses Vα .
Dans le cas contraire, la pression (ou la température) reste inconnue. Il faut
donc au moins une autre équation indépendante pour “fermer” l’ensemble des
équations, ce qui est facile lorsque les échelles de temps associées à la dynamique
des particules et à la diffusion de la chaleur sont bien séparées.
Considérons d’abord le cas d’une évolution isotherme du plasma (Tα uniforme), c’est-à-dire que les gradients de température relaxent rapidement sur
l’échelle de temps étudiée, l’équation manquante s’écrit donc :
pα
= Cte
nα
ou
dpα = kB Tα dnα = Cα d(nα mα ),
où Cα ≡ (kB Tα /mα )1/2 est la vitesse isotherme du son.
Dans le cas opposé d’une évolution adiabatique où la chaleur n’a pas eu le
temps d’être transportée, la contrainte thermodynamique est la relation
pα n−γ
α = Cte
ou
dpα = γ kB Tα dnα = Cαγ d(nα mα ),
où γ = cp /cv est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume
constants 5 , et où Cαγ ≡ (γkB Tα /mα )1/2 est la vitesse adiabatique du son. On
remarquera que ce dernier cas comprend le précédent pour la valeur particulière
γ = 1.
En résumé, il y a donc (au moins) 3 situations limites pour lesquelles on
peut fermer les équations de bilan de particules et de quantité de mouvement :
Approximation des plasmas froids
:
pα = 0,
Approximation isotherme
:
pα n−1
α = Cte,
Approximation adiabatique
:
pα n−γ
α = Cte.
Ce scénario cohérent consiste à ne retenir que les 2 premières équations de bilans (les 2 premiers moments de l’équation de Boltzmann). Une autre possibilité
consiste à retenir les 3 premières équations de bilan (matière, quantité de mouvemente et énergie). Cela rajoute une variable par composante, la température
4. Cette situation correspond à celle dite des plasmas froids, puisque une température nulle
implique une pression cinétique nulle.
5. Dans le cas des gaz parfaits à d dimensions, γ = (d + 2)/d.
Tα . En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, acceptables pour les milieux
dilués, pα = nα kb Tα , on obtient alors un système de 6N + 6 équations pour
6N + 6 inconnues pour peu qu’on ait fixé le flux de chaleur. Les équations sont
alors fermées au niveau du 3ème moment. Nous reviendrons sur cette possibilité
dans le chapitre suivant.
2.2
Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion
Lorsque le libre parcours moyen des particules chargées (électrons ou ions)
est faible devant les dimensions caractéristiques du plasmas, les espèces subissent de nombreuses collisions avant de ressentir toute accélération significative. Dans ces conditions, on peut raisonnablement négliger les forces d’inerties
devant les autres forces (friction, électromagnétiques et de pression), de sorte
que l’équation de bilan de quantité de mouvement de l’espèce α s’écrit :
X
ναβ (Vα − Vβ ) = 0
(2.2)
− ∇pα + nα qα (E + Vα × B) − mα nα
β6=α
Pour fixer les idées, limitons-nous aux cas des plasmas faiblement ionisés pour
lesquels les collisions dominantes sont les collisions ions-neutres et électronsneutres. La composante α représentant, soit les électrons, soit les ions, la seule
composante β à retenir est celle représentant les espèces neutres. Du fait que
ces dernières ne sont pas sensibles aux champs électromagnétiques, on pourra
en général considérer que la vitesse fluide des neutres est négligeable devant
celles des espaces chargées. Ici, on aura donc Vβ ≪ Vα de sorte que la force de
friction s’écrit :
X
ναβ (Vα − Vβ ) ≈ −mα nα να Vα
(plasmas faiblement ionisés)
−mα nα
β6=α
où on a posé ναn ≡ να puisque les seules collisions retenues sont avec les neutres.
L’équation (2.2) s’écrit donc :
Vα = −
1 ∇pα
qα
+
(E + Vα × B)
mα να nα
mα να
Les plasmas étant des milieux dilués pour lesquels l’équation d’état pα =
nα kB Tα s’applique, cette équation prend la forme dite de mobilité-diffusion :
∇Tα ∇nα
Vα = µα (E + Vα × B) − Dα
+
(2.3)
Tα
nα
où µα et Dα sont des coefficients de transports, respectivement appelés mobilité
et coefficient de diffusion :
µα ≡
qα
mα να
Dα ≡
kB Tα
mα να
Ces 2 coefficients ne sont pas indépendants mais reliés par la relation d’Einstein :
Dα
kB Tα
=
µα
qα
qui est une des formes du théorème de fluctuation-dissipation.
En l’absence de champ magnétique, l’équation (2.3) montre explicitement
que la vitesse fluide des électrons ou des ions au sein d’un plasma collisionnel a pour origine commune l’existence de gradients. Chacun des gradients
éventuellement présents dans le plasma : gradients de densité, de température
ou de potentiel électrostatique contribue à la vitesse fluide totale. On notera en
outre que la direction de la vitesse est celle des gradients (le sens dépend du
signe de la charge pour les termes de mobilité).
Lorsque le champ magnétique n’est pas nul, l’équation (2.3) ne donne plus
explicitement la vitesse qui apparaı̂t également dans la force de Laplace. Néanmoins,
on remarquera que cette équation est une équation vectorielle algébrique et
linéaire pour la vitesse (et non différentielle non-linéaire comme dans sa forme
sans approximations). Elle peut donc être explicitement résolue. Pour cela, on
peut soit projeter cette équation sur 3 directions orthogonales et exprimer les
différentes composantes, ou procéder directement sur l’équation vectorielle.
Vous montrerez en travaux dirigés que Vα peut s’écrire explicitement comme
somme de 3 contributions dans des directions orthogonales. (E, B) définissant
un plan, ces 3 directions sont : la direction du champ magnétique (notée k), la
direction orthogonale à B dans le plan (E, B) (notée ⊥), et la direction E × B
(notée ×), également appelée direction de Hall.
E
⊥
×
B, k
On trouve (en laissant tomber l’indice α pour simplifier l’écriture) :
V = Vk + V⊥ + V×
avec :
Vk
V⊥
V×
∇k T
∇k n
+
= µk Ek − Dk
T
n
∇⊥ T
∇⊥ n
= µ⊥ E⊥ − D⊥
+
T
n
∇⊥ n
∇⊥ T
+
×b
= µ× E⊥ × b − D×
T
n
où b est le vecteur normalisé donnant la direction du champ magnétique :
b ≡ B/ kbk. Dans ces expressions les coefficients de transport sont définis par
les relations suivantes :
µk
Dk
=
= 1,
µ
D
µ⊥
D⊥
1
=
=
,
µ
D
1 + (ωc /ν)2
µ×
D×
ωc /ν
=
=
.
µ
D
1 + (ωc /ν)2
où ωc ≡ qB/m est la fréquence cyclotron.
Plusieurs remarques découlent de ces expressions :
1. Le mouvement dans la direction du champ magnétique n’est pas modifié
par la présence du champ magnétique.
2. L’expression des coefficients de transport montre que l’importance des
contributions dans les directions ⊥ et × dépend du rapport ωc /ν, c’està-dire de l’importance relative de la force magnétique et de la force de
friction.
A collisionnalité fixée (i.e. à ν fixé) :
– La mobilité et la diffusion transverse ⊥ ont un comportement monotone
décroissant en fonction du champ magnétique : ce dernier a donc un
effet qui confine le plasma.
– Au contraire, la mobilité et la diffusion Hall × varient de façon non
monotone, croissant puis décroissant lorsque le champ magnétique augmente.
A fort champ magnétique :
– Les coefficients ⊥ sont proportionnels à ν (contrairement à D et µ qui
varient en ν −1 ).
– Les coefficients de Hall sont quant à eux indépendants de la fréquence
de collision.
3. Les termes proportionnels à µk , µ⊥ et D× dépendent du signe de la charge
électrique des particules étudiées, les autres contributions ont même sens
pour les électrons et pour les ions.
4. Le terme proportionnel à E⊥ × b s’appelle la vitesse de dérive de champs
croisés (même sens de dérive pour les électrons et les ions), les termes
proportionnels à ∇⊥ n×b et ∇⊥ T ×b sont appelés vitesses diamagnétiques
(sens opposé de mouvement pour les électrons et les ions).
Exemple : colonne cylindrique magnétisée
Pour illustrer ces résultats, considérons le cas d’une longue colonne cylindrique de plasma soumis à un champ magnétique axial. Soit (er , eθ , ez ) le
système de coordonnées cylindriques associé. Le système étant invariant par
translation le long de Oz et par rotation autour de Oz, tous les gradients sont
nécessairement radiaux. C’est le cas du champ électrique (gradient de potentiel) généralement dirigé vers la périphérie du cylindre. Au contraire, la densité
du plasma est maximale au centre, le gradient correspondant étant donc dirigé
vers l’axe du cylindre. Tant qu’on reste assez loin de la surface latérale qui
confine le plasma, les gradients de température sont généralement faibles et on
les négligera par la suite. La situation est donc la suivante :
B = B k = B ez ,
E = E⊥ = E er ,
∇nα = ∇⊥ nα = −∇nα er ,
∇Tα ≈ 0
Les sens des différentes contributions des vitesses fluides, radiales et othoradiales, sont représentées sur la figure suivante.
E
−D×i ∇n⊥ n × b
B
⊙
µ⊥e E
B
⊙
µ×i E × b
−D⊥e ∇n⊥ n
B
⊙
∇n
µ⊥i E
−D×e ∇n⊥ n × b
−D⊥i ∇n⊥ n
µ×e E × b
La figure de gauche représente la configuration des champs et gradients
étudiée. La figure centrale représente les contributions de sens opposé pour les
ions et les électrons (radiales dues aux termes de mobilités ⊥ et azimuthales dues
aux contributions diamagnétiques). La figure de droite représente les contributions de même sens pour les ions et les électrons (radiales dues aux termes de
diffusion ⊥ et azimuthales dues aux dérives de champ croisés).
2.3
Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre
Dans cette section, nous considérons les situations où le libre parcours moyen
des particules est grand devant la taille du système étudié. Dans ces conditions,
tous les termes de collisions sont négligeables, et l’équilibre se réalise, pour une
espèce donnée, par compensation des forces d’inertie, de pression et des forces
électromagnétiques :
∂
nm
+ V.∇ V = −∇p + nq (E + V × B)
∂t
Cette équation est encore bien compliquée aussi nous restreignons-nous dans la
suite au cas stationnaire (∂t ≡ 0), et isotherme (∇T ≡ 0), soit :
m (V.∇) V + kB T
∇n
+ q ∇ϕ − q V × B = 0,
n
(2.4)
où nous avons utilisé les relations E = −∇ϕ et p = n kB T et où nous avons
divisé par n. Bien que simplifiée, cette équation n’est cependant pas triviale dans
ces conséquences. On notera en particulier la présence du terme non-linéaire en
vitesse dû aux forces d’inertie.
On peut
maintenant utiliser la relation vectorielle (V.∇) V = rotV × V +
∇ V 2 /2 qui montre que le produit scalaire de l’équation (2.4) par le vecteur
V conduit au résultat :
1
mV 2 + kB T ln n + qϕ = 0
V.∇
2
On en déduit donc l’existence de l’invariant le long d’une ligne de courant :
1
mV 2 + kB T ln n + qϕ = Cte
2
Ce résultat constitue une forme particulière de la la formule de Bernouilli 6
qui s’applique aux fluides parfaits et l’équation (2.4) n’est autre que l’équation
d’Euler en présence des forces électromagnétiques. Bien que les lignes de courant
soient évidemment modifiées en présence de champ magnétique, il est cependant
remarquable que la forme générale de cet invariant se conserve en présence du
champ magnétique.
Selon les situations particulières du plasma ou selon la composante du
plasma (électrons ou ions) considérée, 2 des 3 termes peuvent être prépondérant
par rapport au 3ème, ce que nous détaillons dans ce qui suit.
2.3.1
Equilibre thermodynamique
Cette situation correspond au cas où l’énergie cinétique peut être négligée.
C’est le cas par exemple, dans le cas des plasmas froids, pour les électrons, dont
les très faibles masses tendent à rendre négligeable le terme d’origine inertiel. Les
électrons sont alors à l’équilibre entre eux, sans toutefois être en équilibre avec
les autres composantes du plasmas (ions et espèces neutres) qui possèdent en
général une température inférieure d’un à 2 ordres de grandeurs. Dans certaines
situations de plasmas chauds, les ions et les électrons peuvent se trouver à la
même température et donc l’équilibre thermodynamique est complet.
L’équation (2.5) s’écrit donc :
kB T ln n + qϕ = Cte,
ce qui traduit l’uniformité du potentiel électrochimique 7 le long des lignes de
courant. Soit n0 la densité là où le potentiel électrostatique s’annule, on aura
donc
kB T ln n + qϕ = kB T ln n0
⇔
n(r) = n0 e−qϕ(r)/(kB T )
6. Dans le cas des fluides incompressibles comme l’eau (mais ce n’est pas le cas des plasmas
qui s’assimilent plutôt à des gaz !), la formule de Bernouilli s’écrit sous la forme légèrement
différente (chacun des termes est homogène à une densité d’énergie et non pas à une énergie) :
1
(nm)V 2 + p + (nq)ϕ = Cte
2
7. On rappelle que le potentiel chimique du gaz parfait est tel que µGP = kB T ln(nΛ3 ) où
Λ est la longueur d’onde thermique de la particule.
Il s’agit là d’une forme de la densité en e−E/(kB T ) qui correspond donc à la
relation d’équilibre de Boltzmann. Les composantes du plasma qui vérifient
cette équation sont appelées boltzmanniennes.
2.3.2
Mouvement inertiel
Supposons maintenant qu’il soit possible de négliger le terme proportionnel
à la température. Cette approximation est envisageable pour les ions au sein
d’un plasma partiellement ionisé. L’équation correspondante s’écrit :
1
mV 2 + qϕ = Cte
2
ce qui correspond à la conservation de l’énergie totale, somme des énergies
cinétique et potentielle. On notera que sous ces hypothèses, cette composante
du plasma ne se comporte plus comme un fluide mais comme une particule.
Comme nous l’avons déjà noté, en l’absence de température (ou de pression),
le caractère de milieu continu du fluide est perdu et devient particulaire. Soit
V0 la vitesse des particules où le potentiel s’annule, alors :
1
1
mV 2 + qϕ = mV02
2
2
⇔
q
V (r) = V0 1 − 2qϕ(r)/(mV02 )
Cette expression peut être comparée avec la vitesse de chute libre d’une masse
placée dans un champ de gravitation. Ici, c’est le potentiel électrostatique qui
freinera ou accélérera les charges en fonction de leur signe.
2.4
Remarques
Il ne faut pas perdre de vue que ce qui précède établit, sous certaines approximations, des relations fonctionnelles entre des grandeurs physiques qui ne sont
pas indépendantes. Aucune des relations précédemment obtenues n’ont permis
d’exprimer les grandeurs physiques en fonction de la position (et éventuellement
du temps), ce qui reste l’objectif d’une description complète des plasmas dans
une approche eulérienne. En effet, on a ici seulement exploité les conséquences
de certaines approximations sur la seule équation de bilan de quantité de mouvement, alors qu’une solution complète et auto-cohérente suppose de coupler
l’ensemble des équations de bilans et des équations de Maxwell.
Il n’en reste pas moins vrai que cette approche partielle permet déjà de souligner les conséquences physiques importantes, et la différence des formalismes
utilisés en fonction de la plus ou moins grande collisionnalité du plasma étudié.
Une approche plus complète qui conduira à l’expression des profils de densités,
vitesses fluides, potentiel électrostatique, ... sera donnée dans les chapitres suivants.
2.5
Ecrantages
Dans les deux sections qui suivent, on considère un plasma perturbé par un
champ électrique ou un champ magnétique extérieurs. Du fait de la mobilité
des espèces, un plasma - comme tout milieu conducteur - tend à s’opposer à la
pénétration des champs extérieur. Les longueurs caractéristiques sur lesquelles
le champ électrostatique ou magnétique peut pénétrer (longueurs de Debye ou
de London) sont mises en évidence dans le cadre d’une modélisation fluide
simplifiée.
2.5.1
Ecrantage électrostatique
On se propose de comparer la distribution de potentiel électrostatique au
voisinage d’un objet polarisé électriquement et immergé, soit dans le vide, soit
dans un plasma.
Supposons d’abord que le milieu environnant l’objet est le vide. Le potentiel
électrostatique ϕ est solution de l’équation de Poisson (de Laplace dans le cas
présent puisqu’il n’y a pas de charges) :
△ϕ = 0
Pour simplifier, supposons que l’objet considéré est une plaque suffisamment
grande, le problème est invariant par translation dans les 2 directions parallèles
à la plaque, de sorte que le problème est unidimensionnel :
d2 ϕ
= 0 ϕ(x) = Ax + B
d2 x
On en déduit donc que le potentiel suit une évolution linéaire dans le vide.
Considérons maintenant que le milieu environnant est un plasma complètement
ionisé 8 et que ses 2 composantes, électrons et ions, sont à l’équilibre thermodynamique à la même température T . Les densités s’écrivent donc (cf. chapitre
précédent) :
ne (r) = n0 e+eϕ(r)/(kB T )
et ni (r) = n0 e−eϕ(r)/(kB T )
où on a supposé que le plasma est quasi-neutre là où le potentiel électrostatique
s’annule.
En couplant ces 2 équations avec l’équation de Poisson ǫ0 △ϕ = −e(ni −ne ),
on obtient l’équation de Poisson-Boltzmann qui décrit l’évolution spatiale du
potentiel électrostatique :
eϕ
2en0
sinh
(2.5)
△ϕ = +
ǫ0
kB T
8. L’étude est quasi-identique dans le cas d’un plasma partiellement ionisé où l’on pourra
considérer la distribution des ions comme uniforme et celle des électrons comme boltzmannienne.
Il s’agit d’une équation différentielle non-linéaire du second ordre qui doit être
complétée par 2 conditions aux limites.
Avant de résoudre cette équation, il est important de noter que cette équation
est équivalente au système de trois équations différentielles suivante qui couplent,
sous certaines approximations, les 2 équations de bilan de quantité de mouvement pour les électrons et pour les ions ainsi qu’une seule des équation de
Maxwell, l’équation de Maxwell-Gauss :
−kB T ∇ne − ene E = 0,
−kB T ∇ni + eni E = 0,
e(ni − ne )
∇.E =
ǫ0
A l’aide de la relation E = −∇ϕ, on retrouve aisément l’équation de PoissonBoltzmann en éliminant les densités d’entre ces équations 9 . A tort ou à raison
(c’est au physicien de le dire !), ce système montre que l’équation de PoissonBoltzmann ne retient pas la dépendance temporelle, les éventuels effets magnétiques,
les forces d’inertie et de friction.
Revenant à l’équation (2.5), il convient tout d’abord de la normaliser. Il
est clair que eϕ/kB T , rapport de l’énergie potentielle électrostatique à l’énergie
thermique, est une grandeur sans dimension. Posons Φ ≡ eϕ/(kB T ) ; l’équation
(2.5) s’écrit donc en multipliant par e/kB T :
△Φ =
2e2 n0
sinh Φ
ǫ0 kB T
Le laplacien étant un opérateur homogène à l’inverse d’une longueur, on en
déduit aussitôt que la grandeur
r
ǫ0 kB T
λD ≡
e2 n0
est homogène à une longueur que l’on appelle la longueur de Debye 10 . Cette
longueur ne dépend pas seulement de constantes caractéristiques du milieu ou
des composantes du plasma, mais également - et surtout - de la densité et de
la température du plasma. Ainsi l’équation de Poisson-Boltzmann peut-elle se
réécrire :
△Φ = +κ2D sinh Φ
√
où nous avons posé κD ≡ 2/λD qui a les dimensions d’un nombre d’ondes
(m−1 ).
Pour montrer qu’en présence de plasma, le potentiel ne suit plus une évolution
linéaire, contentons-nous de linéariser l’équation précédente. Comme sinh x ≈,
on obtient aussitôt :
△Φ = +κ2D Φ
9. Compte tenu des approximations effectuées, on remarquera que les équation de bilan de
particules ne sont pas utilisées dans cette approche, ce qui est une conséquence du fait que les
vitesses fluides n’apparaissent pas dans ces équations.
10. Mise en évidence en 1923 par Debye et Hückel dans leur étude des électrolytes.
dont la solution s’écrit :
Φ(x) = Φ0 e−κD |x|
où Φ0 est le potentiel appliqué à la plaque supposée placée en x = 0. Le potentiel
chute donc exponentiellement en présence de plasma. On dit que le potentiel
(ou la charge) à laquelle est portée la plaque est écrantée par les charges mobiles présentes dans le plasma. Ce comportement n’est pas propre aux plasmas
mais est caractéristique des milieux où il existe des charges libres (conducteurs,
électrolyte ...).
2.5.2
Ecrantage magnétique
On vient de voir qu’un plasma s’oppose naturellement à toute présence de
champ électrique en son sein. Les charges électriques se réarrangent spatialement de façon à créer un champ électrique qui s’oppose au champ électrique
perturbateur, et qui tend ainsi à minimiser le champ électrique total résultant.
De la même façon, les charges libres dans un plasma tendent à s’organiser
en courants qui créent des champs magnétiques qui s’opposent à un champ
magnétique extérieur imposé au plasma. On parle d’effet diamagnétique du
plasma.
Pour le mettre en évidence, on considère un plasma homogène, isotherme,
formé d’électrons mobiles de masse m et de charge −e, et d’un fond neutralisant
d’ions positifs que l’on supposera immobiles. Dans le cadre de la description
fluide des plasmas, on doit combiner les équations de Maxwell avec l’équation
du mouvement du fluide électronique.
m ∂t V = −eE − mνV,
∂B
∇×E = −
,
∂t
∂E
∇ × B = µ0 J + µ0 ǫ0
,
∂t
Dans l’équation du mouvement, on notera que le terme de pression est nul pour
ce plasma isotherme et homogène (∇p = kB Te ∇n ≡ 0), et que l’on a négligé
les termes non-linéaires d’inertie. La densité de courant, J, est due aux électrons
et s’écrit, J = −enV. En combinant les 2 équations de Maxwell (et l’égalité
toujours vérifiée ∇.B = 0), le système se ramène aux 2 équations :
1 2
∂ B = −µ0 ∇ × J,
c2 tt
∂t J + νJ = ǫ0 ωp2 E,
△B −
où nous avons introduit la fréquence plasma ωp2 ≡ n0 e2 /(mǫ0 ).
La densité de courant obéit à une équation différentielle temporelle du 1er
ordre qui peut être aisément résolue. On trouve (par la méthode de la variation
de la constante) :
Z t
′
e−ν(t−t ) E(r, t′ ) dt′
J(r, t) = e−νt J(r, 0) + ǫ0 ωp2
0
Comme ∇ × E = −∂t B, on trouve :
µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 e
−νt
ωp2
∇ × J(r, 0) − 2
c
Z
t
′
e−ν(t−t ) ∂t B(r, t′ ) dt′
0
Il est intéressant de considérer cette équation dans les 2 limites extrêmes de
forte collisionnalité (ν ≫ 1) et faible collisionnalité (ν ≪ 1). En utilisant la
′
propriété limν→∞ ν e−ν(t−t ) = δ(t − t′ ), on trouve :
µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 ∇ × J(r, 0) −
µ0 ∇ × J(r, t) = −
1
∂t B(r, t)
DM
1
(B(r, t) − B(r, 0))
δL2
(ν ≪ 1)
(ν ≫ 1)
où on a introduit la longueur de London, δL et le coefficient de diffusion magnétique,
DM , définis par les relations :
δL ≡
c
ωp
et
DM ≡ δL2 ν =
1
µ0 η
où η = ne2 /(mν) est la conductivité électrique.
Les équations d’évolution spatio-temporelle du champ magnétique s’écrivent
donc dans ces 2 cas limites :
1 2
B(r, 0)
1
△ − 2 ∂tt − 2 B(r, t) = −µ0 ∇ × J(r, 0) −
(ν ≪ 1)
c
δL
δL2
1 2
(ν ≫ 1)
DM △ − 2 ∂tt B(r, t) = ∂t B(r, t)
c
Aux fréquences utilisées, on peut généralement négliger le terme proportionnel
2 dont l’origine est le terme de courant de déplacement. Dans ces conditions,
à ∂tt
dans le cas des plasmas non collisionnels, la structure de ces équations met clairement en évidence une atténuation exponentielle du champ magnétique sur
une longueur caractéristique, la longueur de London c/ωP . Dans le cas oppposé des plasmas collisionnels, on assiste à une atténuation par un phénomène
de diffusion dû aux collisions sur une longueur caractéristique, la longueur de
Kelvin, λK :
p
λK ≡ DM /ω
2.6
Modélisation simplifiée des décharges
Considérons une décharge très simple où les électrons et les ions sont produits selon le schéma simplifié :
e− + n −→ i + 2e−
Chaque réaction d’ionisation crée un couple électron-ion et provoque la disparition d’un atome neutre. Le plasma est donc constitué d’ions positifs monovalents, d’électrons et de neutres. On le supposera suffisamment peu ionisé, pour
que la densité des neutres soit quasi-uniforme. Nous écrivons dans ce qui suit
les équations correspondant à une modélisation fluide des décharges dans le cas
non magnétisé.
Les ions et les électrons vérifient les équations de conservation :
∂t ni + div (ni Vi ) = Si ,
∂t ne + div (ne Ve ) = Se
où ne et ni désignent les densités, ~vi , ~ve les vitesses fluides, et Sα (~r, t) est un
terme source qui comptabilise les particules créées ou détruites dans le volume
de la décharge par unité de volume et de temps (ionisation, recombinaison ...).
Les électrons, du fait de leur faible masse, ont le comportement dynamique
d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer selon une
distribution de Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit donc :
0 = −kB Te ∇ne − ene E
⇔
ne (r) = n0 eeϕ(r)/(kB Te )
où nous avons supposé la température électronique Te uniforme et où ϕ est le
potentiel électrostatique relié au champ électrique par la relation E = −∇ϕ .
Notez que les termes d’inertie et de friction sont généralement négligés du fait
de l’approximation me → 0.
A contrario, les ions sont des particules massives dont la température est
plus faible d’un à 2 ordres de grandeurs que la température électronique. En
conséquence la pression ionique peut en général être négligée. L’équation de
bilan de quantité de mouvement s’écrit donc :
ni
Di (mi Vi )
= +ni eE − ni Fc − mi Vi Si
Dt
où Di /Dt ≡ ∂t + (Vi .∇) est la dérivée convective qui suit la particule fluide
au cours de son mouvement. Fc est la force de frottements des ions avec les
autres composantes du fluide. Dans un plasma faiblement ionisé, les collisions
entre particules chargées sont peu fréquentes et les contributions dominantes
sont généralement les collisions ions-neutres Fc ≈ Fin . Le dernier terme est
la contribution à la quantité de mouvement des particules créées, lorsqu’on
suppose que celles-ci sont apparues sans température et sans vitesse moyenne.
Enfin, en absence de champ magnétique, le champ électrique self-consistant
régnant dans la décharge satisfait l’équation de Maxwell-Gauss :
ǫ0 divE = e(ni − ne )
Les équations précédentes, complétées par des conditions aux limites adaptées,
définissent un problème dont les inconnues sont les champs scalaires ne , ni , ϕ et
vectoriels Ve , Vi . Ainsi qu’on l’a souligné plus haut, tant que l’on ne considère
pas la gaine, c’est-à-dire dans l’essentiel du volume du plasma, la décharge peut
être considérée comme quasi-neutre : ne ≈ ni en tout point, et on peut donc se
passer de la relation de Maxwell-Gauss. Cette approximation de quasi-neutralité
est tellement universelle, qu’on l’appelle l’approximation plasma. Cette zone
centrale de la décharge (la prégaine) sera étudiée en détail dans le chapitre 5.
Dans la gaine, au contraire, la densité de charge n’est pas nulle et l’équation de
Maxwell-Gauss est l’équation centrale. Nous présenterons quelques aspects de
la physique des gaines dans le chapitre 6.
L’approximation des électrons boltzmanniens est quasiment universelle dans
les problèmes de décharges, et l’approximation des plasmas froids pour les ions
(Ti = 0) est souvent très satisfaisante. Les modèles se différencient ensuite selon
le domaine de pression étudié. Ainsi, lorsque le libre parcours des ions est grand
devant les dimensions caractéristiques du réacteur, les forces de frictions sont en
général négligées par rapport aux contributions d’accélération. Cette situation
correspond aux décharges d’assez basses pressions où l’équilibre ionique met
en compétition l’inertie des ions avec les forces électriques. Si la pression est
vraiment très basse, on peut mettre en doute la validité d’une approche fluide,
et se tourner alors vers des modélisations cinétiques (cf. chapitre 2). Dans la
limite opposée des pressions élevées, les accélérations ressenties par les ions
restent modérées, et on est conduit à négliger ce terme par rapport aux forces
de frictions. L’équilibre des ions dans ces plasmas dits collisionnels s’établit
alors par compétition entre les forces électriques et les forces de frictions (cf
chapitre 7).
Notons enfin, que les plasmas froids ont bien souvent une structure beaucoup plus complexe du fait qu’ils peuvent comprendre plusieurs espèces ioniques
(y compris des ions chargés négativement, ce qui modifie le bilan de quasineutralité), et qu’ils nécessitent parfois de prendre en compte un très grand
nombre de réactions élémentaires pour décrire correctement les différents états
d’excitation des espèces présentes au sein de la décharge. Le principe de la description, au moins au niveau fluide reste cependant celui exposé plus haut, avec
la prise en compte additionnelle des forces de Laplace des autres équations de
Maxwell pour les plasmas magnétisés.
Chapitre 3
De la théorie cinétique à la
modélisation fluide
Dans la suite de ce cours, les plasmas faiblement ionisés seront étudiés
dans le cadre simplifié d’une modélisation fluide. Dans ce chapitre, nous montrons comment obtenir les équations fluides à partir des équations de la théorie
cinétique, et nous précisons la forme des termes de collisions utilisés dans le
cadre de la physique des plasmas froids. Certaines notions de théorie cinétique
seront approfondies dans le cadre du cours de théorie cinétique.
3.1
Des équations cinétiques aux équations de bilan
Soit f1 (~r, ~v , t) la fonction de distribution d’une des composantes. Rappelons
que f1 (~r, ~v , t)d~rd~v comptabilise le nombre de particules comprises, à l’instant
t, dans le domaine [~r, ~r + d~r] × [~v , ~v + d~v ] de l’espace des phases. En intégrant
sur l’ensemble des vitesses accessibles, on obtient donc la densité :
Z
f1 (~r, ~v , t) d~v = n(~r, t)
R3
On en déduit en particulier que f1 /n définie une densité de probabilité normalisée.
3.1.1
Equation cinétique
La première équation de la hiérarchie BBGKY 1 conduit à l’équation exacte :
Z
∂f1
∂f1
∂f1
∂f2 (~r, ~r ′ , ~v , ~v ′ , t) ′ ′
+ ~v
+ ~γext
= − ~γint (|~r − ~r ′ |)
d~r d~v
∂t
∂~r
∂~v
∂~v
où :
1. Il s’agit de la hiérarchie d’équations Born-Bogloiubov-Green-Kirkwood-Yvon (cf. cours
de théorie cinétique)
25
– ~γext ≡ F~ext /m est l’accélération due aux force extérieures.
– ~γint (|~r − ~r ′ |) ≡ F~int /m est l’accélération due aux forces d’interaction
entre les particules situées en ~r et ~r ′ (on suppose que ces interactions
ne dépendent pas de la vitesse, mais seulement de la distance |~r − ~r ′ |
entre les particules).
– f2 (~r, ~r ′ , ~v , ~v ′ , t) est la fonction de distribution double associée à la probabilité de trouver une particule à l’instant t en ~r, ~v sachant qu’il y en a une
autre en ~r ′ , ~v ′ .
Il est utile d’introduire la fonction de corrélation à 2 particules définie par la
relation :
g2 (~r, ~r ′ , ~v , ~v ′ , t) ≡ f2 (~r, ~r ′ , ~v , ~v ′ , t) − f1 (~r, ~v , t)f1 (~r ′ , ~v ′ , t)
L’intégration du terme sans corrélation s’effectue sans peine. On trouve :
Z
Z
r, ~v , t)f1 (~r ′ , ~v ′ , t))] ′ ′ ∂f1 (~r, ~v , t)
′ ∂ [f1 (~
~γint (|~r−~r |)
n(~r ′ , t)~γint (|~r−~r ′ |) d~r ′
d~r d~v =
∂~v
∂~v
On notera que l’intégrale s’écrit comme un produit de convolution
Z
n(~r ′ , t)~γint (|~r − ~r ′ |) d~r ′ ≡ (n ⋆ γint ) (~r)
qui représente le champ moyen créé par toutes les particules en ~r. En regroupant
cette contribution de champ moyen et celle due au champ extérieur, on peut
écrire :
∂f1
∂f1
∂f1
δf
+ ~v
+ ~γ
=
∂t
∂~r
∂~v
δt
~γ (~r) ≡ ~γext (~r) + (n ⋆ ~γint ) (~r),
Z
∂g2 (~r, ~r ′ , ~v , ~v ′ , t) ′ ′
δf
(~r, ~v , t) ≡ − ~γint (|~r − ~r ′ |)
d~r d~v
δt
∂~v
Insistons encore sur le fait que cette équation, écrite sous cette forme, est exacte.
Dans la suite, nous appelerons le second membre δf /δt, “l’intégrale de collisions”.
Si l’on néglige la contribution du second membre, cette équation s’identifie avec l’équation de Vlasov. Diverses approximations du second membre
conduisent aux autres équations cinétiques, comme celles de Boltzmann, Landau ou Fokker-Planck.
3.1.2
Moyennes, fluctuations et moments
Quelle que soit la forme retenue pour δf /δt, il est possible d’obtenir des
équations macroscopiques par intégration des degrés de liberté des vitesses.
Dans un souci de simplification, on se limite désormais à considérer des
situations physiques invariantes par translations selon Oy et Oz : ~r → x ~ex et
sans mouvement selon Oy et Oz : ~v → v ~ex . L’équation cinétique prend alors la
forme simple :
∂f1
∂f1
∂f1
δf
+v
+γ
=
∂t
∂x
∂v
δt
(3.1)
Considérons une fonction quelconconque, a, de la vitesse : a : v 7→ a(v). Sa
valeur moyenne, que nous noterons ha(v)i est définie à partir de la densité de
probabilité normalisée f1 /n :
ha(v)i ≡
Z
a(v)
R
f1
dv
n
Comme f1 et n sont des fonctions de x et t, on remarquera que ha(v)i est
également une fonction de x et t. On notera également l’identité triviale h1i = 1.
En multipliant l’équation cinétique (3.1) par la fonction a(v) = v l pour
l ∈ N et en effectuant les moyennes, on trouve aussitôt :
Z
∂ nhv l i
∂ nhv l+1 i
δf
l−1
+
− l nγ hv i =
vl
dv,
(3.2)
∂t
∂x
δt
R
où on a effectué une intégration par parties pour trouver le 3ème membre
de gauche, et où on a supposé que la fonction de distribution f1 vérifie :
limv→±∞ f1 (x, v, t) = 0.
Il est également intéressant de faire apparaı̂tre les fluctuations de vitesses
u ≡ v − hvi par rapport à la vitesse moyenne hvi. Posons pour ce faire :
v = hvi + u
Comme u0 = 1 − h1i = 0 et u1 = v − hvi, on en déduit que hu0 i = hu1 i = 0.
Les équations (3.2) correspondant aux cas l = 1 et l = 2 mettent en jeu les
moyennes hvi, hv 2 i, hv 3 i et reliées aux fluctuations hu2 i, hu3 i par les relations :
hv 2 i = hvi2 + hu2 i,
hv 3 i = hvi3 + hu3 i + 3hvihu2 i
Il convient désormais d’introduire 3 grandeurs physiques macroscopiques, V (x, t),
Ψ(x, t) et Q(x, t) qui correspondent à ces premiers moments non nuls :
f1
dv,
n
R
Z
f1
2
u2
Ψ(x, t) ≡ nm hu i = nm
dv,
n
ZR
f1
u3
Q(x, t) ≡ nm hu3 i = nm
dv,
n
R
V (x, t) ≡ hvi =
Z
v
Ces 3 grandeurs représentent respectivement la vitesse moyenne du fluide (en
m/s), la pression cinétique (en J/m3 ), et le flux de chaleur (en J/(m2 s)). Dans
~ a un caractère vectoriel,
le cadre plus général d’un problème tridimensionnel, V
tandis que ψ représente un tenseur du 2nd ordre (tenseur de pression cinétique)
et Q représente le tenseur (du 3ème ordre) de flux de chaleur.
Enfin, il convient de souligner qu’une température dite cinétique (le système
n’est pas forcément à l’équilibre thermodynamique) peut être définie à partir
de la pression cinétique :
ψ(x, t) = n(x, t) kB T (x, t)
Dans le cas des systèmes isotropes à 3D, on peut écrire,
3kB T = mh~u2 i
qui rappelle le résultat obtenu par le théorème d’équipartition, lorsque le système
est à l’équilibre thermodynamique.
3.1.3
Equations de bilan
En partant de l’équation (3.2), et en utilisant ces définitions, les 3 premières
équations de bilan correspondant au cas l = 0, 1, 2 s’écrivent :
∂(nm) ∂ (nmV )
+
= S0 ,
∂t
∂x
∂ (nmV ) ∂ nmV 2 + Ψ
+
− nm γ = S1 ,
∂t
∂x ∂ nmV 2 + Ψ
∂ nmV 3 + Q + 3ΨV
+
− 2nm γV = S2
∂t
∂x
où les termes sources sont définis par :
Z
δf
dv,
vl
Sl (x, t) ≡ m
δt
R
pour
l = 0, 1, 2.
Equations stationnaires
Considérons la situation stationnaire qui sera celle principalement étudiée
dans la suite. La première équation de bilan de masse s’écrit :
∂ (nmV )
= S0
∂x
Le flux de matière nV n’est donc conservé sous ces hypothèses que si le terme
source s’annule, c’est-à-dire dans le cas où les interactions conservent le nombre
de particules (ce n’est pas le cas, par exemple, lorsque l’ionisation est active).
L’équation de bilan de quantité de mouvement s’écrit en régime stationnaire :
∂ nmV 2 + Ψ
− nm γ = S1
∂x
ou de façon équivalente en utilisant l’équation de bilan de masse :
nmV
∂V
∂Ψ
=−
+ nm γ + S1 − V S0
∂x
∂x
Enfin l’équation de bilan d’énergie peut s’écrire en éliminant les forces extérieures :
∂ nmV 2 + Ψ
∂ nmV 3 + Q + 3 ΨV
− 2V
= S2 − 2V S1
∂x
∂x
Il peut être utile d’éliminer les contributions d’inertie. Pour cela, on remarque
que :
∂ nmV 2
∂V
= V S0 + nmV
,
∂x ∂x
∂ nmV 3
∂V
= V 2 S0 + 2nmV 2
,
∂x
∂x
On obtient donc, d’une part :
∂ nmV 3
∂ nmV 2
− 2V
= −V 2 S0
∂x
∂x
Comme d’autre part :
3
∂Ψ
∂V
∂Ψ
∂ (ΨV )
− 2V
= 3Ψ
+V
∂x
∂x
∂x
∂x
on obtient le bilan d’énergie sous la forme équivalente suivante :
3Ψ
∂V
∂Ψ ∂Q
+V
+
= S2 − 2V S1 + V 2 S0
∂x
∂x
∂x
En résumé, on utilisera selon les cas, soit le jeu d’équations :
∂ (nmV )
= S0
∂x
∂ nmV 2 + Ψ
− nm γ = S1
∂x
∂ nmV 3 + Q + 3 ΨV
∂ nmV 2 + Ψ
− 2V
= S2 − 2V S1
∂x
∂x
soit le jeu d’équations
∂ (nmV )
∂x
∂V
nmV
∂x
∂V
∂Ψ ∂Q
3Ψ
+V
+
∂x
∂x
∂x
= S0
= −
∂Ψ
+ nm γ + S1 − V S0
∂x
= S2 − 2V S1 + V 2 S0
Effectuons quelques commentaires sur ces équations :
1. Ce jeu d’équations doit être a priori écrit - sauf approximations particulières - pour les 3 composantes, électrons, ions et neutres, qui constituent un plasma partiellement ionisé.
2. L’accélération due au champ de gravitation étant négligeable pour les plasmas de laboratoire, l’accélération ~γ se réduit aux contributions d’origines
électromagnétiques, et prend la forme (vectorielle) suivante :
q ~ ~
~
~γ =
E+V ×B
m
~ et magnétiques B
~ qui interviennent dans cette
Les champs électriques E
formule sont les champs totaux (extérieurs + ceux créés par le plasma en
réaction) tels qu’ils sont donnés par les équations de Maxwell. Dans une
approche complètement auto-cohérente, les équations fluides doivent être
résolues simultanément avec les équations de Maxwell.
3. A supposer que l’on dispose d’une approximation satisfaisante pour les
termes sources, ce système n’est pas complet puisqu’il comporte plus d’inconnues que d’équations. En effet si on ne retient que les 2 premières
équations, les inconnues sont les champs n(x, t), V (x, t) et Ψ(x, t). Une
résolution n’est envisageable qu’au prix d’une hypothèse sur Ψ (par exemple,
l’hypothèse (radicale) des plasmas froids Ψ ≡ 0). De même, si on ne retient que les 3 premières équations, il faudra faire une hypothèse sur le
tenseur de flux de chaleur Q. C’est le problème général de la fermeture
des équations fluides, sur lequel nous reviendrons.
4. Les termes sources Sl ne peuvent pas être calculés en général sans approximations et sont discutés dans la section suivante.
3.2
Termes sources
Comme on l’a déjà souligné plus haut, un calcul exact de l’intégrale de
collision n’est en général pas accessible. Dans cette section, nous utiliserons
la forme approchée de Boltzmann (cf. cours de théorie cinétique) pour le calcul des forces de friction dues aux collisions élastiques, tandis que nous nous
contenterons de formes phénoménologiques pour les termes sources associés aux
collisions inélastiques.
3.2.1
Signification physique des termes sources
Les interactions (collisions) entre les particules sont à l’origine des différents
termes sources intervenant dans les équations de bilan. Plus précisément :
1. S0 comptabilise l’apport ou le défaut de masse par unité de volume et
unité de temps, qui résulte des interactions des particules de la composante étudiée avec toutes les autres particules (de la même composante ou
d’autres composantes). Cette quantité s’exprime en kg m−3 s−1 et correspond à des processus élémentaires inélastiques qui modifient, positivement
ou négativement, le nombre de particules du système. Les interactions en
cause sont associées aux réactions d’ionisation, de recombinaison ou d’attachement.
2. S1 comptabilise l’excès ou le défaut de quantité de mouvement par unité de
volume et unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette
quantité s’exprime en N m−3 . Selon les rapports de masse des particules
en cause, les collisions élastiques peuvent être plus ou moins efficaces
dans les transferts de quantité de mouvement. Notons également que les
particules créées ou détruites (termes S0 ) avec une vitesse différente de
la vitesse fluide de la composante considérée, contribuent également au
bilan d’impulsion.
3. S2 comptabilise l’excès ou le défaut d’énergie par unité de volume et
unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette quantité
s’exprime en W m−3 . Les collisions impliquées sont les mêmes que pour
le bilan de quantité de mouvement.
3.2.2
Termes sources correspondant aux collisions élastiques
Pour traiter les collisions élastiques, partons de l’expression de l’intégrale
de collisions à l’approximation de Boltzmann. On rappelle que cette approximation ne convient que pour des interactions binaires de courtes portées. Les
collisions électrons-ions, en particulier, ne peuvent être modélisées par cette
forme particulière de l’intégrale de collisions.
Expression générale des termes sources
Pour la composante α entrant en collision avec la composante β, définie à
d~vβ près, le terme de collision s’écrit à l”’approximation de Boltzmann :
ZZ
δfα
(~r, ~vα , t) =
fα (~r, ~v ′α , t)fβ (~r, ~v ′β , t) − fα (~r, ~vα , t)fβ (~r, ~vβ , t) vαβ σαβ (vαβ ) dΩ d~vβ
δt
Rappelons que dans une collision élastique, le vecteur vitesse relative ~vα −~vβ
ne change pas de module mais seulement de direction. La rotation du vecteur
dans l’espace est décrite par 2 angles résumés dans l’angle solide Ω. ~v ′α (respectivement ~vα ) et ~v ′β (respectivement ~vβ ) représentent les vitesses des composantes
α et β après la collision (respectivement avant la collision), σαβ la section efficace de collision. On a également introduit la notation vαβ ≡ |~vα − ~vβ | pour
désigner la vitesse relative des deux particules.
Soit g(~vα ), une fonction quelconque de ~vα . Les collisions élastiques étant
réversibles, on peut échanger dans
les variables avant collision
les sommes
′
′
(~vα , ~vβ ) avec celles après collision ~v α , ~v β :
ZZZ
=
=
ZZZ
ZZZ
g(~vα ) fα (~r, ~v ′α , t)fβ (~r, ~v ′β , t) vαβ σαβ (vαβ ) dΩ d~vβ d~vα
′
′
g(~v ′ α ) fα (~r, ~vα , t)fβ (~r, ~vβ , t) vαβ
σαβ (vαβ
) dΩ d~v ′ β d~v ′ α
g(~v ′ α ) fα (~r, ~vα , t)fβ (~r, ~vβ , t) vαβ σαβ (vαβ ) dΩ d~vβ d~vα
′
La dernière égalité est obtenue en utilisant le fait que vαβ
= vαβ pour les
collisions élastiques, et que le Jacobien de la transformation est égal à l’unité.
Les termes sources dus aux collisions élastiques, Slel , peuvent alors être calculer à partir de l’expression générale :
Z
ZZZ
δfα
g(~vα )
d~vα =
g(~v ′ α ) − g(~vα ) fα (~r, ~vα , t)fβ (~r, ~vβ , t) vαβ σαβ (vαβ ) dΩ d~vβ d~vα
δt
1. Calcul de S0el
Posons g(~vα ) ≡ mα lorsque l = 0. L’expression ci-dessus donne clairement
une contribution nulle, ce qui traduit le fait que les nombre de particules
n’est pas modifié lors des collisions élastiques :
S0el = 0
2. Calcul de S1el
Pour l = 1, c’est-à-dire pour le bilan de quantité de mouvement, nous
posons g(~vα ) ≡ mα ~vα . Le transfert d’impulsion à la particule α lors d’une
collision élastique avec la particule β conduit à l’expression :
v~′ α − ~vα = −
1
(1 − cos θ) ~vαβ ,
1 + mα /mβ
t , la fréquence
Introduisons la section efficace de transfert d’impulsion σαβ
de collision, ναβ et le taux de réaction, Kαβ :
Z
t
σαβ
(vαβ ) ≡
(1 − cos θ) σαβ dΩ,
t
ναβ (vαβ ) ≡ nβ σαβ
vαβ ,
t
Kαβ ≡ σαβ
vαβ
On peut alors écrire :
S1el
mα
=−
nα nβ
1 + mα /mβ
ZZ
~vαβ Kαβ
fα (~r, ~vα , t) fβ (~r, ~vβ , t)
d~vα d~vβ
nα
nβ
De façon plus compacte, on posera :
S1el = −
mα
nα nβ h~vαβ Kαβ i
1 + mα /mβ
où la moyenne doit être effectuée avec les 2 fonctions de distributions.
3. Calcul de S2el
Pour calculer S2el nous posons g(~vα ) ≡ mα vα2 . Le transfert d’énergie
cinétique à la particule α lors d’une collision élastique conduit à l’expression :
2 mα /mβ
2
2
2
vα~vβ ,
= −
mα v ′ α − vα2
2 (1 − cos θ) mα vα − mβ vβ + (mβ − mα )~
(1 + mα /mβ )
En utilisant les mêmes notations que ci-dessus, on trouve aussitôt :
S2el = −
2 mα /mβ
(1 + mα /mβ )
2
nα nβ h mα vα2 − mβ vβ2 + (mβ − mα )~vα~vβ Kαβ i
Cas des fréquences de collisions constantes
Aux faibles vitesses (c’est-à-dire dans un régime de pression du gaz plutôt
élevé), le mécanisme d’interaction dominant est du type interaction dipolaire ;
t ∼
on montre alors que la section efficace décroı̂t avec la vitesse relative : σαβ
1/vαβ (section efficace de Langevin), de sorte que le taux de réaction et la
fréquence de collision sont constantes :
t
Polarisation : σαβ
∼ 1/vαβ
=⇒
ναβ = Cte
Le calcul de S1 et S2 peut alors être facilement mené plus loin.
Kαβ étant indépendant
des vitesses des composantes, on a h~vαβ Kαβ i =
~α − V
~β , et S el s’écrit simplement :
Kαβ h~vαβ i = Kαβ V
1
S1el = −
mα
~α − V
~β
nα ναβ V
1 + mα /mβ
(ναβ indépendant de ~vαβ )
Sous ces hypothèses restrictives, on notera que le préfacteur dépendant de la
masse des particules vaut avec une très bonne précision, me pour les collisons électrons-neutres et mi /2 pour les collisions ions-neutres (me /mn ≪ 1 et
mi /mn ≈ 1).
De même, pour le calcul de S2 , en introduisant la décomposition vα =
Vα + uα et vβ = Vβ + uβ , on trouve aussitôt 2 :
S2el = −
4 mα /mβ
(1 + mα /mβ )2
nα ναβ
"
2
~α V
~β
3kB (Tα − Tβ ) mα Vα2 mβ Vβ
V
+
−
+ (mβ − mα )
2
2
2
2
2. En remarquant que h~
uα i = h~
uβ i = 0 et h~
uα ~
uβ i =
P
i huα,i ihuβ,i i
= 0.
#
où on a utilisé la relation de définition de la température Tα et Tβ des composantes : mα hu2α i = 3kB Tα et mβ hu2β i = 3kB Tβ .
L’identification des différentes contributions correspond respectivement au
transfert d’énergie thermique, non dirigée (1er terme), et aux transferts d’énergie
cinétique, dirigée (3 derniers termes), entres les 2 composantes α et β.
On remarquera que les contributions, S1el et S2el que l’on vient d’obtenir
peuvent s’écrire sous la forme synthétique suivante :
~αβ ,
S1el /mα = −δmαβ nα ναβ V
E
S2el = −δmαβ nα ναβ
Eαβ ,
E , associée aux
où δmαβ = mβ /(mα + mβ ), et où la fréquence de collisions, ναβ
E = 4m /(m + m ) ν .
transferts d’énergie est telle que, ναβ
α
α
β
αβ
Cette dernière remarque montre que les transferts d’énergie entre électrons
et neutres sont plus faibles de plusieurs ordres de grandeurs que les transferts
d’impulsion entre les mêmes particules (cf. figure 1).
Figure 3.1 – Fréquences de transfert d’impulsion, d’énergie et d’ionisation pour
des électrons dans l’argon, obtenues par résolution de l’équation de Boltzmann.
Cas des libres parcours moyens constants
Aux plus grandes vitesses (régime de pressions intermédiaires 3 ), les mécanismes d’interactions dominants sont du type sphères dures pour les collisions électrons-neutres, tandis
que les collisions dominantes ions-neutres sont du type transfert de charge et sphères dures.
Avec une bonne approximation, dans les domaines de températures considérés, ces 2 types
3. Si la pression est trop faible, on entre dans un régime ballistique sans collision. La
fréquence de collision n’est alors plus définie.
de mécanismes correspondent à une section efficace quasi-constante σ ≡ σ0 , de sorte que la
fréquence de collisions est proportionnelle à la vitesse moyenne hvαβ i :
t
σαβ
= σ0
Sphères dures ou transfert de charges :
=⇒
νc =
hvαβ i
λβ
où λβ ≡ 1/(nβ σ0 ) représente le libre parcours moyen des électrons ou des ions dans le gaz.
Le calcul de la valeur moyenne nécessite la connaissance de la fonction de distribution des
vitesses des électrons ou des ions, et donc un calcul de type cinétique. En présence d’un champ
électrique, le caractère plus moins isotrope des fonctions de distributions dépend du poids
relatif des termes d’origine entropique (proportionnels à la température et qui tendent à rendre
les fd isotropes) et des termes d’origine électrique (qui tendent à rendre les fd anisotropes dans
la direction du champ électrique). Le cas général est difficile, et nous nous contentons d’obtenir
2 cas limites importants :
– Lorsque l’énergie thermique (non dirigée) excède l’énergie transférée aux particules par
le champ électrique E, i.e. lorsque :
qEλ0 ≪ kB T
E
σ0 T
,
≪
p
q Tg
soit
où p = ng kB Tg est la pression du gaz, les fonctions de distributions restent quasiisotropes et maxwelliennes. On en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie
avec la vitesse thermique des projectiles :
E
σ0 T
≪
p
q Tg
=⇒
hvi = vT ≡
8kB T
πm
1/2
et donc
νc =
vT
λ0
Dans le cas d’une température uniforme, la fréquence de collision apparaı̂t donc à
nouveau comme une constante.
– Dans la limite opposée, la vitesse d’entraı̂nement des particules par le champ devient
plus importante que la vitesse thermique des particules de sorte que la fonction de distribution f devient anisotrope. Pour la déterminer, considérons un plasma homogène
et notons Oz la direction du champ électrique. Pour simplifier, supposons en outre
que le champ est si fort que le mouvement des particules lui est entièrement parallèle.
L’équation de Boltzmann en régime stationnaire s’écrit simplement sous la forme unidimensionnelle :
qE df
vz
= −ν(vz ) f (vz ) = −
f (vz )
m dvz
λ0
où ν(vz ) est l’expression (non-moyennée dans cette approche cinétique !) de la fréquence
de collisions. La solution de cette équation est évidemment donnée par l’expression :
mv 2
z
− 2qEλ
f (vz ) = A e
0
R∞
avec la constante A donnée par la condition de normalisation 0 f (vz ) dvz = 1.
On constate donc que la fonction de distribution des particules est une maxwellienne
à une dimension de température effective T ∗ définie par la relation kB T ∗ = qEλ0 . On
en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie avec la vitesse fluide uE dans cette
limite :
1/2 1/2
Z ∞
2qEλ0
2kB T ∗
=
≡ uE
hvz i =
vz f (vz ) dvz =
πm
πm
0
Une conséquence importante est que la fréquence de collision dans cette limite est une
fonction de la vitesse fluide :
E
σ0 T
≫
p
q Tg
=⇒
νc =
hvz i
uE
=
λ0
λ0
On notera encore que du fait de cette dépendance, la force de friction F des ions ou
des électrons avec le gaz est une fonction non-linéaire de la vitesse fluide :
1/2
2qEλ0
π
π
uE =
⇔ qE =
mu2E ⇒ F = −
mu2E
πm
2λ0
2λ0
On peut également retrouver l’expression de la force de friction par un calcul direct à
partir de l’équation de Boltzmann :
Z
Z
qE
df
m 2
vz2
dvz = −
f (vz ) dvz ⇒ F ≡ −
hvz i
vz
m R+ dvz
λ0
R+ λ0
et donc, puisque f est une maxwellienne :
m 2
m kB T ∗
π
hvz i = −
mu2E
=−
λ0
λ0 m
2λ0
Ces 2 régimes de comportement où la mobilité déend ou non de la vitesse est attesté
expériementalement comme le montre la figure 3.1.
F =−
Figure 3.2 – Mobilités ioniques en fonction du rapport E/p à 1 torr et à 300
K.
Remarques
1. Anisotropie des fonctions de distributions. En présence d’un champ électrique extérieur,
les fonctions de distributions ne sont plus isotropes.
2. Invariants de collisions pour particules identiques.
3.2.3
Termes sources correspondant aux collisions inélastiques
Pour les collisions inélastiques, nous nous contenterons de donner une forme
effective phénoménologique pour les termes δf /δt dans le cas des réactions
d’ionisation et de recombinaison électron-ion.
La réaction correspondant à une ionisation en une étape s’écrit :
e− + n −→ i + 2 e−
Cette réaction s’accompagne donc de la création d’un électron et d’un ion et
de la disparition d’un neutre. Soit KI (en m+3 s−1 ) le taux de cette réaction,
une forme phénoménologique acceptable pour le terme source S0 correspondant
s’écrit :
S0I = ± m (KI ng ne )
où m est la masse des particules de la composante étudiée et où le signe +
vaut pour les composantes décrivant l’ion et l’électron, et le signe - pour la
composante décrivant les neutres. On notera que le produit KI ng n’est autre
que la fréquence d’ionisation νI , éventuellement dépendante de la position et
du temps si le gaz n’est pas homogène et stationnaire.
Rappelons que le taux de réaction KI dépend très fortement de la température
électronique Te . A partir d’expressions approchées de la section efficace d’ionisation, on peut montrer que :
2kB Te
e−EI /(kB Te ) ≈ KI0 e−EI /(kB Te )
KI = σ0 ve 1 +
EI
2
où la section efficace, σ0 ≡ π e2 /4πǫ0 EI , la vitesse thermique électronique,
ve ≡ (8kB Te /πme )1/2 . A titre d’exemple, l’énergie d’ionisation KI et la constante
KI0 valent respectivement 15.7 eV et 5 10−14 m3 /s pour l’argon.
Dans le cas de la recombinaison électron-ion, la forme phénoménologique
est comparable à celle utilisée pour l’ionisation, c’est-à-dire qu’elle est proportionnelle aux densités des espèces impliquées dans la collision. On écrit donc en
général :
S0I = ± m (Kr ni ne )
où Kr est le taux de recombinaison électron-ion. On notera que comme ni ≈ ne ,
les termes de recombinaison contribuent par des termes non-linéaires en la densité. Mentionnons que la recombinaison entre ions positifs et ions négatifs peut
également être significative dans le cas des décharges électronégatives (décharges
contenant des espèces ioniques chargées négativement en plus des électrons et
ions positifs).
Les formes utilisées pour les termes de collisions inélastiques associés aux
transferts d’impulsion, S1inel. , et aux transferts d’énergie, S1inel. , sont plus difficiles à préciser car ils dépendent des vitesses fluides et des températures des
particules créées ou détruites. Ces vitesses et températures peuvent être approximées à partir d’approximations physiques ou obtenues par des calculs sophistiqués de théorie cinétique. Pour les contributions d’ionisation, par exemple,
on utilise souvent pour les termes de collisions associés aux électrons une contribution de la forme
e
S2I
= −me KI ng EI
puisque les électrons doivent perdre (au minimum) l’énergie d’ionisation EI
dans chaque collision ionisante. A contrario, l’hypothèse que les ions sont créés
avec la même température, Tn que les neutres, conduit à introduire la contribution suivante :
3
i
S2I
= +mi KI ng kB Tn
2
3.2.4
Remarque
L’importance relative des contributions élastiques et inélastiques dépend du
gaz considéré. A titre d’exemple simple, la figure suivante présente les taux
de réaction des réactions les plus importantes pour l’argon en fonction de la
température électronique. On notera que pour ce gaz, les collisions élastiques
sont dominantes dans le domaine de température pertinent (quelques eV).
Figure 3.3 – Taux des réactions de collisions élastiques, d’excitations et d’ionisations pour l’argon en fonction de la température électronique.
3.3
Approximation d’équilibre thermodynamique local
1. On a déjà insisté sur le fait que les plasmas froids sont des systèmes
hors-équilibre thermodynamique. On doit donc s’attendre, en général, à
ce que les fonctions de distribution des vitesses ne soient pas de simples
maxwelliennes. Deux raisons physiques, au moins, peuvent conduire à des
fonctions de distributions significativement différentes des maxwelliennes :
(a) Les plasmas sont le siège d’un champ électrique, dirigé du centre de la
décharge vers la périphérie qui, bien que généralement modéré dans
la prégaine, introduit une anisotropie des fonctions de distributions,
qui ne peuvent donc être des maxwelliennes, isotropes par nature.
(b) Les collisions inélastiques, comme les collisions d’ionisation ou d’excitation, sont des collisions à seuils (la section effice est nulle en deça
d’une certaine énergie seuil), ce qui contribue à dépeupler les queues
de distributions.
A titre d’exemple, la fonction de distribution en énergie des électrons dans
le mercure est présentée sur la figure suivante. Le comportement linéaire
(en échelles logarithmiques) est caractéristique d’un comportement maxwellien. Dans ce cas, tout se passe comme s’il y avait 2 régimes maxwelliens
correspondant à 2 températures électroniques différentes.
2. La figure précédente suggère qu’une approximation maxwellienne avec une
température effective peut-être retenue en première approximation dans
des domaines limités en énergie.
On parle alors d’équilibre thermodynamique local lorsque les électrons
(voire les autres composantes, ions et neutres) peuvent être considérés approximativement à l’équilibre avec une fonction de distribution qui prend
Figure 3.4 – Fonction de distribution en énergie pour les électrons dans le
mercure.
la forme d’une Maxwellienne locale :
3/2
2
m
− mv
e 2kB T (~r,t)
f1 (~r, ~v , t) = n(~r, t)
2πkB T (~r, t)
où la température T (~r, t) est une fonction quelconque de la position et du
temps, a priori différente pour chaque composante. On vérifiera, comme
conséquence des propriétés des gaussiennes que cette distribution est bien
normalisée à la densité n(~r, t).
Exercice Utiliser cette fonction de distribution pour calculer la vitesse thermique, vth ,
le flux de particules, Γn , atteignant un des côtés d’une surface (typiquement les murs
du réacteur) et le flux d’énergie cinétique, ΓE , atteignant un des côtés d’une surface.
vth
≡
Γn
≡
ΓE
≡
1/2
8kB T
f1
,
d~v =
h|~v |i ≡
|~v |
n
πm
R3
Z Z
nh|~v |i
f1
vz
hnvz ivz >0 = n
d~v⊥ dvz =
,
n
4
+
2
R
R
m~v 2
= 2kB T Γn
nvz
2
vz >0
Z
On prendra bien garde que les expressions précédentes ne doivent être utilisées que
dans les situations d’équilibre thermodynamique local.
Chapitre 4
Gaine et pré-gaine : quelques
résultats expérimentaux et
numériques
4.1
Résultats expérimentaux
Analysons les résultats expérimentaux reportés sur les figures 4.1 et 4.2.
Comme on le voit sur ces figures, la vitesse des ions croı̂t en s’approchant
Figure 4.1 – Fonctions de distribution de l’ion xenon en fonction de la distance
z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).
de l’électrode, et passe de quelques centaines de mètres par seconde au centre
de la décharge à des vitesses de 1 à plusieurs km/s (selon la masse des ions
41
Figure 4.2 – Profils de vitesses ioniques et de potentiel électrostatique pour
l’ion xenon (Te = 0.61 eV, p = 0.45 mTorr, ne = 5.4 109 cm3 ), et pour l’ion
argon (Te = 0.88 eV, p = 0.7 mTorr, ne = 3.5 109 cm3 ), en fonction de la
distance z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).
considérés). On notera également que les fonctions de distributions sont de plus
en plus asymétriques au fur et à mesure que l’on s’approche de l’électrode. Le
profil de potentiel quant à lui, est relativement plat loin des électrodes et atteint
des valeurs négatives de quelques Volts au voisinage de l’électrode (ces mesures
sont effectuées en potentiel flottant : l’électrode n’est pas polarisée). Un champ
électrique significatif n’apparaı̂t donc que dans la région proche des électrodes.
Les profils de densités électroniques et ioniques (non représentés sur ces figures)
décroissent du centre vers le bord et sont confondus dans la partie centrale de
la décharge. Les densités ne diffèrent qu’au voisinage de l’électrode : la densité
des ions dominant légèrement la densité électronique.
Ainsi, la décharge peut être grossièrement divisée en 2 régions. Une région
centrale étendue, la prégaine, quasi-neutre (ne ≈ ni ), où les densités (non reportées sur les figures) et le potentiel décroissent lentement, et une étroite région
périphérique, la gaine, chargée positivement (ni > ne ), où les gradients de densités et de potentiels sont très abrupts. La lisère de gaine, c’est-à-dire le plan
qui sépare la prégaine de la gaine, est définie comme le lieu des points où les
ions atteignent une vitesse caractéristique, notée cS sur les figures, connue sous
le nom de vitesse de Bohm 1 .
Avant d’entrer dans le détail d’une modélisation plus précise, on peut comprendre quelques aspects de ces résultats par les remarques qualitatives suivantes :
– La raison de la polarisation négative des parois en potentiel flottant vient
de la grande mobilité des électrons qui diffusent plus rapidement que les
ions vers les parois. Le potentiel négatif qui s’établit aux parois renvoit les
électrons les moins énergétiques vers le plasma et accélère les ions vers les
parois. Un équilibre peut ainsi s’établir qui permet au plasma de rester
quasi-neutre.
– L’équation de Poisson −ǫ0 △ϕ = e(ni − ne ) montre qu’une courbure
négative du potentiel impose la relation ni > ne .
– Dans la zone de prégaine, la vitesse de dérive des ions est suffisamment
faible pour que la différence de charges e(ni − ne ) soit négligeable ; en
conséquence, le champ électrique reste modéré dans la prégaine.
4.2
Modélisation fluide simplifiée
Très schématiquement, dans une décharge, les ions sont froids (on a toujours
Ti ≪ Te ). Les ions ont le comportement dynamique de particules de masse M , de
vitesse v, accélérées par le champ électrique, E, créés par impacts électroniques
sur les neutres, et dissipant leur énergie par collisions avec ceux-ci. Les équations
de bilan pour les ions s’écrivent :
∂t ni + ∂x (ni v) = νI ne ,
M ni (∂t v + v ∂x v) = eni E − (νin ni + νI ne ) M v
(4.1)
(4.2)
Dans ces équations, νI et νin représentent respectivement, la fréquence d’ionisation et la fréquence de transfert d’impulsion entre les ions et les neutres. Le
terme −νI ne M v correspond à une perte de quantité de mouvement due à la
création des ions avec une vitesse d’entraı̂nement nulle.
Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont le comportement
dynamique d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer
1. Nous verrons plus loin que la vitesse de Bohm n’est autre que la vitesse acoustique
ionique cs .
selon une distribution de Maxwell-Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit :
0 = −kB Te ∂x ne − ene E
(4.3)
où nous avons utilisé l’approximation isotherme et fait tendre la masse des
électrons vers 0 : me → 0.
Le champ électrique, quant à lui, obéit à l’équation de Maxwell-Gauss :
ǫ0 ∂x E = e (ni − ne )
(4.4)
Ces 4 équations complétées par des conditions aux limites adéquates constituent
un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires dans les 4 champs
ne (x, t), ni (x, t), E(x, t), v(x, t), qui ne peut être résolu que numériquement.
Exercice Estimer l’ordre de grandeur de la vitesse acoustique ionique pour l’argon (M =
40) et le xenon (M = 131), et comparer avec les valeurs reportés sur les Figures 4.1 et 4.2.
4.3
Etude numérique du régime stationnaire
L’étude numérique du système d’équations est grandement facilitée en régime
stationnaire puisque le système devient un système d’équations différentielles.
Introduisons les normalisations suivantes :
Ni ≡
ni
,
n0
Ne =
ne
,
n0
V =
v
,
uB
φ≡
eϕ
,
kB Te
E≡
eEλI
,
kB Te
X≡
x
,
λI
où uB ≡ (kB Te /M )1/2 est la vitesse acoustique ionique, également appelée
vitesse de Bohm dans les décharges, et λI ≡ uB /νI , la longueur d’ionisation.
En notant par un ’, les dérivées par rapport à la variable X, le système
s’écrit en régime stationnaire :
(Ni V )′
′
Ni V 2
λD 2 ′
E
λI
φ′
= eφ ,
= Ni E −
νin
Ni V,
νI
= Ni − eφ ,
= −E
Le problème apparaı̂t ainsi comme un système différentiel du 1er ordre ( ce qui
est très adapté pour une résolution numérique), dépendant des 2 paramètres
νin /νI et λD /λI . Pour finir de caractériser le système, on doit choisir un jeu de
conditions aux limites, que l’on prend sous la forme :
N (0) = 1,
V (0) = 0,
φ(0) = 0,
E(0) = 0
Le choix de l’origine des potentiels est en effet libre, les conditions sur la
0.6
Densités normalisées
0.5
Ni
0.4
0.3
V=1
Ni =0.503
0.2
0.1
Ne
0
0.55
0.56
0.57
0.58
Distance normalisée
0.59
0.6
Vitesse des ions
normalisée
6
5
4
V=1
3
2
1
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
Figure 4.3 – Profils de densités et de vitesses ioniques au voisinage de la lisière
de gaine. Dans tous les cas, νin = 0, λD /λI = 0.001. Les normalisations sont
celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse ionique égale à la
vitesse de Bohm.
vitesse des ions et le champ électrique respectent les symétries du problème. La
quasi-neutralité est imposée au centre de la décharge 2 .
Le système précédent est intégré numériquement à partir de l’origine lorsque
νin = 0 (régime non-collisionnel, donc plutôt adapté à une situation basse pression) et pour un rapport λD /λI = 0.001, ce qui est une valeur typique pour des
décharges de quelques eV de température électronique et de densités de l’ordre
de 1010 -1011 cm−3 . On pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de spécifier a priori
2. On peut montrer par des développements en série au voisinage de l’origine, que la condition aux limites pour la densité ionique devrait s’écrire N (0) ∼ 1+1.5(λD /λI )2 . Comme le paramètre λD /λI est toujours très petit dans les cas pratiques, cette correction est négligeable, et
n’altère pas significativement les résultats numériques. On retiendra cependant que la densité
ionique est partout supérieure à la densité électronique (même dans la prégaine), la différence
ne devenant importante que dans la gaine.
la taille du domaine d’intégration, c’est-à-dire la taille du réacteur. Celle-ci sera
déterminée a posteriori lorsque nous préciserons les conditions aux limites au
niveau de l’électrode (cf. le chapitre sur la modélisation de la gaine).
Les profils de densités et de potentiel sont présentés sur la figure 4.3. Le
point où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm est noté sur les figures
(vitesse normalisée V = 1). On note, en accord avec les expériences, que la
séparation de charge n’apparaı̂t de façon significative que lorsque la vitesse de
Bohm a été dépassée.
Le même type de comportement apparaı̂t sur les profils de potentiels et
de champ électrostatique reportés sur la figure 4.4. Les valeurs numériques
indiquées sur la figure seront comparées dans le chapitre suivant avec celles
obtenues à partir d’un modèle simplifié de la prégaine.
Champ électrique normalisé
2000
1500
E=19.96
V=1
1000
500
0
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
Potentiel électrostatique normalisé
0
-5
-10
V=1
Fs =-0.694
-15
-20
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
Figure 4.4 – Profils de champ électrique et de potentiel électrostatique, au
voisinage de la lisière de gaine. Dans tous les cas, νin = 0, λD /λI = 0.001. Les
normalisations sont celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse
ionique égale à la vitesse de Bohm.
Chapitre 5
Modélisation du plasma
quasi-neutre (prégaine)
Dans ce chapitre, nous résolvons les équations décrivant le transport dans la
partie centrale de la décharge en effectuant l’approximation plasma : ne = ni .
5.1
Linéarisation
Une première approche consiste à effectuer la linéarisation du système différentiel
présenté au chapitre précédent.
Comme on le verra plus bas, cela revient essentiellement à négliger la contribution inertielle d’accélération des ions (i.e. le terme v ∂x v). Par souci pédagogique,
nous introduisons les différents termes progressivement, et traitons d’abord le
système sans prise en compte des collisions et dans l’approximation plasma
ni = ne = n. Ce modèle ne peut donc être valable dans la gaine où la séparation
de charges apparaı̂t mais doit pouvoir s’appliquer au cœur du plasma (lorsque
les termes de collisions seront pris en compte).
∂t n + ∂x (nvi ) = 0,
M n (∂t v + v ∂x v) = +en E,
kB Te ∂x n = −enE
Si on se limite à de faibles perturbations, on peut considérer le système linéarisé
autour d’un état de référence de densité uniforme et stationnaire tel que : n =
n0 , v = 0, E = 0. Le système linéarisé est obtenu en posant :
n = n0 + n1 ,
v i = v1 ,
E = E1
47
et en ne retenant que les grandeurs d’ordre 1. On trouve aussitôt :
∂t n1 + n0 ∂x v1 = 0,
M n0 ∂t v1 = +en0 E1 ,
kB Te ∂x n1 = −en0 E1
En combinant les équations entre elles, on peut obtenir l’équation pour les
perturbations de densités sous la forme 1 :
2
∂tt
n1 −
kB Te 2
∂ n1 = 0
M xx
Il s’agit manifestement de l’équation de propagation d’une onde de densité avec
la vitesse (kB Te /M )1/2 .
Rappelons que dans un gaz neutre (à une seule composante), la vitesse de
propagation du son cs est définie par la relation thermodynamique :
∂p 2
cs ≡
,
∂ρ ρ=ρ0
où ρ ≡ nm est ici la densité de masse. Dans le cas du gaz parfait, p =
(nm) kB T /m, et donc
p
kB T
=
c2s =
m
nm
Les collisions de contact entre molécules sont à l’origine des ondes de pression
dans un gaz neutre. Il est remarquable que de telles ondes puissent également
exister dans un plasma sans collision. L’origine de ces ondes est maintenant à
rechercher dans les interactions coulombiennes entre les électrons et les ions. La
pression est essentiellement due aux électrons p = pe + pi ≈ kB Te n tandis que
l’inertie dépend principalement des ions (M + m)n ≈ nM , ce qui conduit bien
à une vitesse du son dite vitesse acoustique ionique :
r
kB Te
csi ≡
M
En cherchant des solutions de l’équation d’onde sous la forme d’ondes progressives, on trouve aisément que la relation de dispersion s’écrit :
ω
= csi
k
ω
c2si ≡
csi
kB Te
M
k
Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses de
phase et de groupe sont identiques. A la différence des perturbations électroniques
1. La vitesse et le potentiel obéissent à la même équation.
qui sont des ondes stationnaires de fréquence fixes (ω = ωpe ), les ondes acoustiques ioniques sont des ondes propagatives de vitesses constantes.
Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons négligés
sont responsables de l’amortissement de ces ondes. Les équations de bilan des
ions sont modifiées de la façon suivante :
∂t n + ∂x (nv) = νI n,
M n (∂t v + v ∂x v) = −kB Te ∂x n − (νin n + νI n) M v
Dans ce cas le système d’équations linéarisées devient :
∂ t n 1 + n 0 ∂ x v1 = ν I n 1 ,
M n0 ∂t v1 = −kB Te ∂x n1 − (νin + νI ) M n0 v1 ,
En combinant ces équations entre elles, on trouve que l’équation d’onde correspondante s’écrit :
2
2
∂tt
n1 − c2si ∂xx
n1 = (νin + νI ) νI n1 − νin ∂t n1
Le terme de dérivée temporelle du premier ordre est clairement responsable
de l’amortissement des ondes tandis que le terme linéaire (qui dépend essentiellement de la fréquence d’ionisation) ne joue significativement que pour les
longueurs d’ondes λ ≫ λI ≡ uB /νI .
Exercice Etudier la relation de dispersion des ondes acoustiques ioniques lorsque la dissipation et/ou les effets de charge d’espace sont pris en compte.
Ainsi, l’étude du système linéarisé montre que la vitesse acoustique ionique
csi = (kB Te /M )1/2 est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles perturbations extérieures. L’analyse du modèle quasi-neutre que nous présentons
dans la suite, montre que cette vitesse joue encore un rôle important lorsque
les effets non-linéaires sont pris en compte.
5.1.1
Etude de la prégaine
Dans cette section nous étudions la prégaine, c’est-à-dire la région quasineutre du plasma où les ions acquièrent l’énergie suffisante pour la formation des
gaines. Dans un plasma quasi-neutre, la dissipation introduite par l’ionisation
et/ou les collisions électrons-neutres, sont à l’origine de cette accélération des
ions, ainsi que la chute des densités et du potentiel qui l’accompagne.
Nous considérons donc le modèle dans sa limite quasi-neutre (ne = ni =
n), avec des électrons boltzmanniens et des ions froids collisionnels, mais en
retenant les termes d’inertie non-linéaires. Les équations du modèle s’écrivent
en régime stationnaire :
(nv)′ = νI n,
nv v
′
=
−u2B
(5.1)
′
n − (νI + νin ) nv
(5.2)
(le ’ désigne encore une dérivée par rapport à la variable x). En combinant ces 2
équations entre elles, on trouve facilement l’expression des gradients de densité
et de vitesse :
n′ = −
v′ = +
2νI + νin
nv,
u2B − v 2
νI u2B + (νI + νin )v 2
u2B − v 2
(5.3)
(5.4)
Tant que v < uB , les densités décroissent (n′ < 0) tandis que la vitesse des
ions croı̂t (v ′ > 0). Au centre de la décharge où v = 0, le gradient de densité
s’annule, tandis que la fréquence d’ionisation, et elle seule, contrôle le gradient
de vitesse : v ′ (0) = νI .
On notera que les gradients s’annulent en l’absence d’ionisation et de collisions électrons-neutres. Plus précisément, les 2 seules solutions sont n = n0 , v =
0, ou n = n0 , v = uB . La seule solution continue compatible avec la condition
v(0) = 0 au centre de la décharge est la première qui correspond à des ions
immobiles et à une vitesse nulle dans toute la prégaine. L’autre solution, discontinue, correspondrait à un choc. Dans un plasma quasi-neutre, l’ionisation
ou les collisions ion-neutres sont des conditions nécessaires pour l’accélération
des ions dans la prégaine, et donc, in fine, pour la formation des gaines.
L’équation d’équilibre des électrons :
kB Te n′ = enϕ′
permet de déterminer le gradient de potentiel (i.e. le champ électrique au signe
près) :
kB Te 2νI + νin
ϕ′ = −
v
e u2B − v 2
Dans ce plasma quasi-neutre, le champ électrique part donc d’une valeur nulle
au centre de la décharge (où v = 0), et croı̂t jusqu’à diverger lorsque la vitesse
des ions atteint la vitesse de Bohm.
Les gradients de densités, vitesse, et potentiel divergent donc lorsque la vitesse atteint la vitesse de Bohm. Ce comportement singulier est une conséquence
de l’approximation de quasi-neutralité (l’équation de Poisson n’est pas prise en
compte). Les résultats numériques reportés sur les Figures 4.3 et 4.4 montrent
clairement que cette singularité n’existe pas lorsqu’on résout le système complet
d’équations. Si l’on ne force plus l’égalité des densités, on peut montrer que le
gradient de densité ionique par exemple, s’écrit :
n′i =
2νI ne v + νin ni v − eni E/M
v2
La singularité n’apparaı̂t plus qu’en bord de domaine, ce qui ne pose pas de
problème. Si l’approximation plasma ne permet pas un calcul approximatif du
champ électrique en lisière de gaine (le champ est un gradient de potentiel),
nous montrons dans la section suivante, que les variations de potentiel et de
densités sont suffisamment lentes dans la prégaine pour obtenir une excellente
approximation des densités et du potentiel à l’entrée de la gaine avec l’hypothèse
de quasi-neutralité.
Exercice Etablir l’expression du gradient obtenue ci-dessus. Montrer qu’une autre singularité apparaı̂t à l’intérieur du domaine de résolution lorsqu’on prend en compte la contribution
de pression des ions. Commenter.
Chutes de densité et de potentiel dans la prégaine
Le système d’équations différentielles précédent constitue un système différentiel
non-linéaire dont la résolution est délicate. Il est cependant assez facile d’obtenir une estimation de la chute de la densité (ionique et électronique, puisqu’elles
sont égales) dans la prégaine. On peut convenir de marquer la fin de la prégaine,
et donc l’entrée dans la gaine, comme le point où le modèle quasi-neutre devient
singulier, c’est-à-dire où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm : vi ≡ uB .
En effectuant le rapport des 2 équations (8.26) et (8.27), on obtient l’égalité :
dn
2(νI + νin )v
2νI + νin
dv = 0
+
2
n
2(νI + νin ) νI uB + (νI + νin )v 2
qui s’intègre immédiatement entre 0 et x :
2νI +νin
n(x)
νin v 2 (x) 2(νI +νin )
1+ 1+
=1
n0
νI
u2B
Posons ns la densité de lisière de gaine obtenue lorsque v = uB . On trouve :
ns
=
n0
1+νin /2νI
νin − 1+νin /νI
2+
νI
A l’aide de l’équation d’équilibre des électrons : eϕ(x) = kB Te ln (n(x)/n0 ), on
obtient aussitôt la chute de potentiel ϕs dans la prégaine :
kB Te 1 + νin /2νI
νin
ϕs = −
ln 2 +
e 1 + νin /νI
νI
Pour νin = 0, on trouve ns /n0 = 0.5, et pour νin = νI , on trouve ns /n0 =
≈ 0.44, tandis que le potentiel vaut respectivement eϕs /(kB Te ) = − ln 2 ≈
−0.694 et eϕs /(kB Te ) = −3 ln 3/4 ≈ −0.824 . L’accord avec les résultats
numériques reportés sur la Figure 4.3 (dans le cas νin = 0) est remarquable.
3−3/4
On pourra donc retenir, comme ordre de grandeur, que la densité chute de
moitié dans la prégaine, et le potentiel (en eV ) d’un peu plus de kB Te /2.
Exercice Montrer que le système différentiel (7.1-5.2) peut-être résolu analytiquement en
régime collisionnel lorsque le terme d’inertie nv v ′ est négligé avec les conditions aux limites
n(0) = n0 , v(0) = 0.
Chapitre 6
Modélisation de la gaine
6.1
Introduction
Commençons par analyser les résultats numériques reportés sur les figures
6.1 et 6.2, toujours dans la limite νin = 0. Lorsque les ions passent la vitesse
de Bohm, la densité totale de charges, e(ni − ne), devient significative, croı̂t
jusqu’à un maximum avant de tendre vers 0, la densité ionique dominant toujours la densité électronique. Dans le même temps, et de façon cohérente avec
cette augmentation de charge d’espace, le champ et le potentiel électrostatique
prennent de fortes valeurs. On notera également que l’augmentation de vitesse
des ions est exactement compensée par la diminution de la densité ionique, de
telle sorte que le flux se conserve dans la gaine.
Densité de charge normalisée
0.15
0.125
Ni -Ne =0.003
V=1
0.1
0.075
0.05
0.025
0
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
Figure 6.1 – Densité de charges au voisinage de la lisière de gaine. Les paramètres sont les mêmes que sur la Figure 4.3.
En s’inspirant de ces résultats numériques, on voit que l’approximation
plasma ne peut pas être utilisée dans la gaine, mais qu’en revanche, la densité électronique y est suffisamment faible, pour qu’on puisse négliger le terme
53
Flux ionique normalisé
0.5
0.4
0.3
V=1
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6.2 – Flux ionique dans la décharge. Les paramètres sont les mêmes
que sur la Figure 4.3.
source νI ne dans l’équation de bilan du nombre de particules, de telle sorte que
le flux ionique se conserve dans la gaine en régime stationnaire. Nous effectuerons donc la modélisation de la gaine en régime stationnaire à partir du jeu
d’équations suivant :
(ni v)′ = 0,
M ni v v
′
kB Te n′e
−ǫ0 ϕ′′
(6.1)
′
(6.2)
′
= +ene ϕ ,
(6.3)
= e(ni − ne )
(6.4)
= −eni ϕ ,
Comme on ne s’intéresse qu’à la gaine, il est commode d’effectuer un changement d’origine des coordonnées et de l’origine des potentiels. Désormais, la
position x = 0 correspondra à la lisière de gaine, et on choisira l’origine du
potentiel en ce même point, c’est-à-dire ϕ(0) = 0.
6.2
Le critère de Bohm
Commençons par montrer que la solution la plus naturellement attendue
pour le potentiel électrostatique dans la gaine, à savoir un prolongement du
régime de pré-gaine, c’est-à-dire une solution concave monotone décroissante,
ne peut exister que si la vitesse des ions est suffisante à l’entrée dans la gaine.
Le potentiel électrostatique qui s’établit au sein de la décharge dépend de
la densité de charges ρ ≡ e (ni − ne ) via l’équation de Poisson :
−ǫ0 △ϕ = ρ[ϕ]
L’équation de Poisson est donc une équation différentielle non-linéaire du second
ordre pour laquelle il nous faut préciser 2 conditions aux limites. On a déjà
précisé la condition à l’entrée du domaine ϕ(0) = 0. La condition à la périphérie,
en x = L, est ϕ(L) ≡ ϕL , où ϕL est le potentiel négatif imposé de l’extérieur
au plasma, ou le potentiel flottant (également négatif) qui s’établit en l’absence
de contraintes et que nous estimerons un peu plus loin.
Une telle équation différentielle peut admettre plusieurs types de solutions
qualitativement différentes. Pour le voir développons la densité de charge autour
de l’entrée de la gaine où ϕ ≡ 0, on a donc à 1D,
dρ ′′
+ ···
−ǫ0 ϕ = ρ[0] + ϕ
dϕ ϕ=0
Or le plasma est quasi-neutre au point où ϕ = 0, i.e. ni (0) = ne (0) = ns , on a
donc d’une part : ρ[0] = 0. D’autre part, si ϕ est uniforme, partant de ϕ = 0
et allant jusqu’à ϕL < 0, on a nécessairement ϕ ≤ 0 (autrement dit le champ
électrique est dirigé du plasma vers la paroi). On a également, ϕ′′ ≤ 0 si le
potentiel est concave. Le membre de gauche de l’équation devant être positif,
on en déduit la contrainte :
dρ dni dne ≤ 0 ou
≤
dϕ ϕ=0
dϕ ϕ=0
dϕ ϕ=0
qui constitue la forme générale du critère de Bohm qui traduit la réalité suivante : une solution monotone décroissante, concave, ne peut se développer à
partir d’une prégaine quasi-neutre que si le critère de Bohm est vérifié.
Comme aucune hypothèse n’a encore était faite sur la dépendance explicite
des densités ioniques et électroniques en fonction de ϕ, ce critère peut être
utilisé aussi bien dans le cadre d’une dérivation cinétique des densités que dans
le cadre d’une dérivation fluide.
Plaçons-nous dans ce dernier cas. L’équation du mouvement des ions est
équivalente à la conservation de l’énergie totale, avec une contribution cinétique
et une contribution potentielle :
1
M vi2 + eϕ = Cte
2
Soit v0 la vitesse des ions à l’entrée de la gaine, les ions sont accélérés par le
champ électrique et acquièrent la vitesse :
r
eϕ
vi = v0 1 −
M v02 /2
Comme ϕ est négatif, les ions sont accélérés par la chute de potentiel. L’ionisation pouvant être négligée dans la gaine, le bilan sur le nombre d’ions est
équivalent à la conservation du flux ionique :
n i vi = n s v0
On en déduit les variations la densité avec le potentiel :
ns
ni [ϕ] = q
1 − Meϕ
v 2 /2
0
Les électrons sont en équilibre avec le potentiel :
ne [ϕ] = ns e
+ k eϕT
B e
Ainsi, pour un plasma constitué d’électrons boltzmanniens et d’ions froids, les
densités électroniques et ioniques décroissent toutes 2 avec le potentiel (négatif).
On notera tout de même que la décroissance des ions est algébrique tandis que
celle des électrons est exponentielle. Aux grandes distances, dans un potentiel
négatif, les électrons sont toujours moins nombreux que les ions.
La densité de charges totale s’écrit donc explicitement sous la forme :
ns e
+ eϕ
e kB Te
ρ[ϕ] ≡ e (ni [ϕ] − ne [ϕ]) = q
−
n
e
s
1 − Meϕ
v 2 /2
0
Il est alors facile d’établir que les gradients des densités sont tous deux positifs
et que l’inégalité du critère de Bohm n’est vérifiée que si la vitesse d’entrée des
ions dans la gaine est au moins égale à la vitesse acoustique ionique.
En effet, en utilisant les équations de bilan de particule et de quantité de
mouvement, on a en tout point de la gaine :
ni dvi
ni
dni
e
eni
= −
=−
> 0,
−
=+
dϕ
vi dϕ
vi
M vi
M vi2
en0 + k eϕTe
dne
ene
e B =
=
>0
dϕ
kB Te
kB Te
dρ
En utilisant ces 2 équations dans la contrainte dϕ
≤ 0 calculée en ϕ = 0. On
trouve aussitôt :
kB Te
i.e. v0 ≥ csi
v02 ≥
M
L’inégalité v0 ≥ csi est la forme particulière du critère de Bohm pour un plasma
électro-positif considéré dans le cas d’une approche fluide. C’est dans ce contexte
que la vitesse acoustique ionique est généralement appelée la vitesse de Bohm.
Il est facile de se convaincre (faites le !), que la prise en compte de la
température ionique, Ti , conduit au critère de Bohm suivant :
r
kB Te + kB Ti
v0 >
M
Comme Te ≫ Ti dans tous les plasmas froids, la correction est négligeable.
L’exercice qui suit montre que le critère de Bohm peut également être obtenu, non pas en faisant une approximation à l’entrée de la gaine sur les densités,
ni (0) ≈ ne (0), comme nous venons de faire, mais par une approximation sur le
champ électrique à l’entrée de la gaine : ϕ′ (0) ≈ 0.
Exercice Après avoir multiplié l’équation de Poisson par ϕ′ (x),
montrer en l’intégrant que l’approximation d’un champ nul à l’entrée
de la gaine : ϕ′ (0) ≈ 0, permet de retrouver le critère de Bohm.
6.3
Utilisation du potentiel de Sagdeev
Le critère de Bohm tel qu’on vient de le présenter, peut être compris comme une condition
nécéssaire pour obtenir une solution monotone de l’équation de Poisson compatible avec les
conditions aux limites imposées. Dans un cadre plus général, le physicien soviétique R. Z.
Sagdeev a proposé une approche qualitative de l’équation non-linéaire de Poisson qui permet
une discussion des différentes formes de potentiel solutions de cette équation. Dans cette
section, nous redérivons le critère de Bohm en utilisant cette approche.
Le point de départ consiste à établir une analogie entre l’équation de Poisson et l’équation
du mouvement d’une particule placé dans un potentiel V (x). La force dérivant du potentiel
F (x) = −dV /dx, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de masse
unité s’écrit :
d2 x
dV
=−
dt2
dx
Afin de s’affranchir de constantes inutiles, écrivons l’équation de Poisson dans un premier
temps en variables sans dimensions :
(
X ≡ λxD
ρ[φ]
d2 φ
=
−
avec
φ ≡ kBeϕTe
dX 2
n0 e
et λD , la longueur de Debye.
Si on introduit le potentiel de Sagdeev, V [φ], défini par la relation
Z φ
ρ[ψ]
dψ,
V [φ] ≡
n0 e
0
L’équation de Poisson peut s’écrire sous la forme :
d2 φ
dV
=−
dX 2
dφ
qui est formellement analogue au principe fondamental de la dynamique, pour peu qu’on
identifie la position de la pseudo-particule, x(t), à l’instant t, avec la valeur du potentiel,
φ(X), à la position X.
Dans le cas du plasma electro-positif traité dans le cadre d’un modèle fluide, on a :
ρ[φ]
1
− e+φ
≡ p
n0 e
1 − 2φ/Ma2
où on a introduit le nombre de Mach en X = 0, défini par
Ma ≡
v0
uB
La forme du potentiel de Sagdeev dépend donc du nombre de Mach Ma . L’intégration est
évidente, on trouve :
p
V [φ] = Ma2 1 − 1 − 2φ/Ma2 − e+φ − 1
On notera que V [0] = 0, c’est-à-dire que l’origine du potentiel de Sagdeev est prise au point
de quasi-neutralité (V ′ [0] ∝ ρ[0] = 0). Le potentiel de Sagdeev est représenté sur la Figure 6.3
pour différentes valeurs du nombre de Mach.
Le comportement du potentiel de Sagdeev au voisinage de l’origine est clairement déterminant
pour la nature des solutions. Les développements de V et V ′ donnent
2
φ
1
−
1
+ O(φ3 )
V [φ] =
Ma2
2!
1
′
V [φ] =
− 1 φ + O(φ2 )
Ma2
Potentiel de Sagdeev, V@ΦD
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Potentiel Electrostatique, Φ
0.5
Figure 6.3 – Potentiel de Sagdeev pour Ma = 0.6 et Ma = 0.8 (pointillés),
Ma = 1 (en gras) et Ma = 1.2.
Le comportement du potentiel électrostatique au voisinage de l’origine s’écrit donc
φ′′ (x) +
1
−
1
φ(x) ≈ 0
Ma2
Les solutions sont donc propagatives (le potentiel élecrostatique peut se développer spatialement) si Ma > 1, et oscillante dans le cas contraire. Cette analyse locale permet donc de
retrouver le critère de Bohm, qui implique donc une vitesse supersonique pour les ions afin
qu’un potentiel électrostatique auto-cohérent puisse s’établir dans la décharge.
Que se passe-t-il physiquement si Ma < 1 ? Plaçons nous dans le cas un peu plus limite
où Ma ≪ 1. Alors, le vecteur d’onde d’oscillation, k, est telle que :
1/2
uB
=
k = Ma−2 − 1
≈ Ma−1 =
v0
kB Te
M v02
1/2
≫1
Autrement dit les forces de rappel de pression sont plus grandes que les forces d’inertie, et le
potentiel ne peut pas se développer spatialement.
L’analyse de la forme du potentiel de Sagdeev loin de l’origine, pour Ma > 1 permet de
mettre en évidence une différence qualitative de comportement selon que le système développe
un potentiel électrostatique positif ou négatif.
– Dans le cas du potentiel négatif, on constate que celui-ci est monotone décroissant, et
non borné inférieurement.
– Dans le cas du potentiel positif, celui-ci repasse par un point de quasi-neutralité (lorsque
V ′ [φ] s’annule) et tend vers la valeur limite Ma2 /2 (dans le cadre de ce modèle).
6.4
La chute de potentiel dans la gaine en potentiel
flottant
La densité totale de courant mesurée à la paroi, Jw , est la somme des contributions ioniques et électroniques :
Jw ≡ Jiw + Jew
Comme on l’a déjà dit les ions sont essentiellement froids, et leur flux est conservatif dans la gaine. La densité de charge ionique est donc celle à l’entrée de la
gaine, soit :
Jiw = ne e uB
Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont une vitesse fluide
très faible par rapport à la vitesse thermique, ve ≪ ve,th . L’origine du flux
électronique sur le mur est donc essentiellement cinétique, et a donc la même
forme que dans le cas d’un gaz neutre :
e(ϕw −ϕs )
1
1
8kB Te 1/2
k
T
e
B
Jew ≈ − new e vew = − ns e e
4
4
πm
Si les parois ne sont pas polarisées - on parle de situation en potentiel flottant
- aucun courant n’est tiré au niveau des parois, et on doit donc avoir :
Jiw + Jew = 0
Cette égalité fixe la chute de potentiel dans la gaine, ∆ϕG :
kB Te
ln
∆ϕG ≡ ϕw − ϕs = −
2e
M
2πm
Le logarithme variant peu avec le rapport M/m ≫ 1, la chute de potentiel dans
la gaine est pour tous les gaz de quelques Te (en eV). Ainsi, pour l’hydrogène, on
trouve ∆ϕG ≈ −2.8 Te et pour l’argon, ∆ϕG ≈ −4.7 Te . La chute de potentiel
dans la gaine est donc la contribution dominante à la chute totale de potentiel
(depuis le centre de la décharge), puisqu’on avait vu que la chute de potentiel
dans la prégaine était de l’ordre de 0.5 Te .
Pour bien comprendre cette situation et en apprécier les conséquences, nous
avons reportés les flux ionique et électronique sur la Figure 6.4 (en haut). On
constate bien que le flux ionique sature dès l’entrée dans la gaine, tandis que le
flux électronique domine largement tant que la densité électronique est significative (i.e. dans la prégaine), puis s’effondre ensuite pour égaler le flux ionique,
lorsque x/λ ≈ 0.5875. Cette équation relie donc la taille de la décharge, L, avec
la longueur d’ionisation λI : L ≈ 0.5875 λI . Comme λI est une fonction de la
température électronique (à double titre par la dépendance en uB et en νI ), et
de la pression, la relation :
L ≈ 0.5875 λI
⇔
nn L ≈ 0.5875
uB (Te )
KI (Te )
10
Flux normalisés
8
6
4
Gi =Ge
2
LIMITE DU DOMAINE x=L
Gaine
0
0.55
0.57
0.58
0.59
Potentiel à l'entrée de la gaine js =-0.694
-2
Gaine
-3
Potentiel flottant au mur jw =-3.53
-4
-5
LIMITE DU DOMAINE x=L
Potentiel électrostatique normalisé
-1
0.56
-6
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
Figure 6.4 – Flux ionique et électronique (en haut), et potentiel dans la gaine
(en bas), pour un plasma d’hydrogène. Les paramètres sont les mêmes que sur
la Figure 4.3.
fixe la température électronique, pour une taille de décharge et une pression
de neutres (∝ nn ) données. Cette relation est l’analogue de la condition de
Schottky valable pour les décharges haute pression.
Une fois la taille de la décharge connue, l’analyse du profil de potentiel
(Figure 6.4 (en bas)), permet de déterminer la chute de potentiel dans la gaine
et la prégaine (on notera le bon accord avec les calculs effectués plus haut). Une
estimation numérique de la taille de la gaine montre que celle-ci est de l’ordre
de quelques longueurs de Debye.
On retiendra donc, qu’en potentiel flottant, la chute de potentiel à travers
la décharge est de quelques Te , et la taille de la gaine de quelques λD .
Exercice Etablir l’expression du flux électronique reportée plus
haut.
6.5
La taille de la gaine dans une décharge polarisée
négativement
Les électrodes qui confinent un plasma sont très souvent polarisées à un
potentiel beaucoup plus important que les quelques Te caractéristiques des potentiels flottants. Dans ces conditions, la densité totale de courant qui circule
dans les électrodes est non nulle et dépend de la valeur du potentiel imposée au
mur, ϕw . Nous nous limitons dans la suite à l’étude du cas ou ϕw < 0.
Comme nous sommes dans la limite |eϕw |/(kB Te ) ≫ 1, on peut raisonnablement négliger la contribution de la densité électronique dans la gaine par
rapport à la densité ionique. L’équation de Poisson dans la gaine s’écrit :
ns e
−ǫ0 ϕ′′ (x) = ni e = q
,
2e(ϕs −ϕ)
1 + kB Te
où la vitesse ionique a été choisie égale à uB à l’entrée de la gaine. Il est indiqué
de poser :
x
2e(ϕs − ϕ)
, X=
φ≡
kB Te
λDs
1/2
0 kB Te
où λDs ≡ ǫ2n
est la longueur d’onde de Debye à la lisière de gaine.
2
se
L’équation s’écrit donc :
φ′′ (X) = (1 + φ(X))−1/2
La solution de cette équation avec Φ(0) = 0 (i.e. ϕ = ϕs à l’entrée de la gaine),
et φ′ (0) ≈ 0 (soit une condition de champ quasi-nul à l’entrée de la gaine, ce
qui est consistant avec le fait d’avoir choisi v(0) = uB ), s’écrit (le vérifier par
dérivation) :
p
2 2 + 1 + φ(X) qp
1 + φ(X) − 1 = X
3
(le vérifier par dérivation) La relation entre la taille de la gaine s et le potentiel
(normalisé) au mur, φw est donc :
2 2+
√
1 + φw
3
q
p
s
1 + φw − 1 =
λDs
Comme φw ≫ 1, une bonne approximation de la taille de la gaine est donnée
par la relation :
2
−2e∆ϕG 3/4
s = λDs
3
kB Te
où on a encore noté ∆ϕG ≡ ϕw − ϕs .
On retiendra que la taille de la gaine dans une décharge fortement polarisée
négativement est beaucoup plus grande que la longueur de Debye.
Exercice Comparer le calcul précédent avec celui de la loi de
Child-Langmuir qui donne la loi reliant courant et tension pour
une diode plane, lorsque la densité de charges d’espace est prise
en compte.
Chapitre 7
Plasmas collisionnels :
relaxation et entretien
Dans ce chapitre nous étudions les mécanismes de diffusion au sein d’un
plasma quasi-neutre, partiellement ionisé, lorsque la pression de neutres est
assez importante. Dans ce régime, les collisions étant fréquentes - on parle de
“régime collisionnel” - le libre parcours moyen des espèces chargées est faible par
rapport à la taille du réacteur, si bien que électrons et ions sont peu accélérés
par les champs électromagnétiques. Cela nous autorise à négliger les termes
d’inertie dans les bilans de quantité de mouvement, ce que nous ferons dans ce
chapitre.
Nous montrerons dans ces conditions, que les électrons et les ions tendent
à diffuser ensemble : on parle de diffusion ambipolaire. Après avoir établi les
équations caractéristiques de ce régime de diffusion, nous étudierons successivement l’évolution d’un plasma confiné en régime de postdécharge (sans sources
d’ionisation), et les conditions d’entretien d’un plasma confiné (modèle de Schottky).
Nous montrerons en particulier que la température électronique d’entretien d’un
plasma collisionnel en régime stationnaire ne dépend que du produit de la pression de neutres par la “taille” du plasma, pn L.
7.1
Diffusion ambipolaire
Dans un plasma collisionnel, du fait des rapport de masses, les électrons
diffusent plus rapidement que les ions. La densité de charges qui apparaı̂t au
cours du mouvement, crée un champ électrique qui tend à ralentir les électrons
et à accélérer les ions. Les charges ont donc tendance à diffuser ensemble : on
parle de diffusion ambipolaire.
Dans cette partie nous traitons de la diffusion d’un plasma électron-ion
quasi-neutre collisionnel en régime dépendant du temps. Pour simplifier, on
considèrera une situation unidimensionnelle : les variables dynamiques ne dépendent
63
que d’une seule variable d’espace, disons x. ne (x, t), ve (x, t) désignant respectivement la densité, la vitesse des électrons (ni (x, t), vi (x, t) pour les ions), les
équations fluide du plasma s’écrivent :
∂t ne + ∂x (ne ve ) = S,
∂t ni + ∂x (ni vi ) = S,
0 = −kB Te ∂x ne − ene E − me νen ne ve ,
0 = −kB Ti ∂x ni + eni E − mi νin ni vi ,
où ναn sont les fréquences de collisions (transfert de quantité de mouvement)
entre électrons et neutres ou entre ions et neutres. Rappelons que ναn = nn Kαn ,
où le taux de réaction Kαn = hσαn (vα − vn )i ≈ σαn vth,α . Dans cette dernière
expression, nous avons supposé la section efficace indépendante de la vitesse (de
type sphère dure), et nous avons pris comme ordre de grandeur de la vitesse
moyenne, la vitesse thermique.
Les approximations suivantes ont été utilisées :
– Le terme source des équations de conservation des électrons ou des ions
est identique pour les 2 espèces : Se = Si = S(x, t) (réaction du type
e− + n −→ i + 2e− ).
– Les espèces chargées sont considérées dans l’approximation isotherme : les
températures électronique, Te , et ionique, Ti , sont supposées uniformes.
– Les termes d’inertie sont négligés (plasmas collisionnels).
Γi
Γi
Γe
Γe
E
E
x
Le plasma étant de dimensions largement supérieures à la longueur de
Debye, on peut le considérer comme quasi-neutre et utiliser l’approximation
plasma :
ne = ni ≡ n
Rappelons que cette approximation est pertinente pour la description de la
partie centrale des réacteurs à plasmas, mais ne convient pas pour les parties
du plasma directement en contact avec les murs confinants (région des gaines).
Introduisons les flux Γα ≡ nvα (en m−2 s−1 ). Les équations se simplifient et
prennent la forme :
∂t n + ∂x Γe = S,
∂t n + ∂x Γi = S,
Γe = −De ∂x n + nµe E,
Γi = −Di ∂x n + nµi E,
où on a introduit les coefficients de diffusion et de mobilité définis par les relations (α = e, i) :
kB Tα
,
mα ναn
Dα ≡
µα ≡
qα
,
mα ναn
=⇒
µα
qα
=
Dα
kB Tα
La relation qui lie les 2 coefficients de transport est due à Einstein.
En combinant les équations de conservations du nombre d’ions et d’électrons,
on trouve aussitôt la conservation du flux :
∂x (Γe − Γi ) = 0
=⇒
Γe − Γi = Cte
Cette égalité correspond à la conservation de la densité de courant, J ≡ e (Γi − Γe ).
S’il existe un plan où le plasma est au repos, ou si aucun courant n’est tiré sur
les parois du réacteur, on a Γe (0) = Γi (0) = 0 (ou J ≡ 0), et le courant total
est nul en tout point. On pourra donc poser :
Γ e = Γi = Γ
En combinant les équations de bilan de quantité de mouvement, il est alors facile
de déterminer les expressions du champ et du flux ambipolaire. On trouve :
De − Di ∂x n
,
µe − µi n
Γ = −Da ∂x n
E =
avec le coefficient ambipolaire
Da ≡
µi De − µe Di
≈ Di
µi − µe
Te
kB Te
1+
≈
Ti
mi νin
On remarquera le caractère mixte de ce coefficient : kB Te d’origine électronique,
et mi νin d’origine ionique.
En associant les 2 équations ∂t n + ∂x Γ = S et Γ = −Da ∂x n, on trouve
aussitôt que la densité n(x, t) obéit à l’équation de diffusion suivante :
2
∂t − Da ∂xx
n(x, t) = S(x, t)
Pour un terme source donné et des conditions aux limites précisées, il est possible de résoudre cette équation aux dérivées partielles linéaire, ce que nous
faisons dans 2 cas particuliers dans les 2 sections suivantes.
7.2
Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime
de post-décharge)
Rappelons que le terme source, S(x, t) correspond en général aux charges
créées ou détruites en volume dans le plasma. Une première situation simple
à considérer correspond au cas où S ≡ 0. Cette situation se présente dans le
régime dit de post-décharge, lorsque qu’on coupe la source d’énergie électromagnétique
qui avait engendrée le plasma. Nous étudions donc dans cette section la relaxation temporelle du profil de densité du plasma.
Dans toutes les situations réalistes, le plasma est confiné. Considérons encore
une situation unidimensionnelle où le plasma est compris entre deux parois
situées en x = 0 et x = +2L. On considèrera les parois comme parfaitement
absorbantes : toutes les charges qui les atteignent sont supposées perdues.
⊕
⊕
⊖
⊖
+2L x
0
L
Le problème mathématique se ramène donc à étudier l’équation de diffusion :
2
∂t n − Da ∂xx
n = 0,
pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], avec pour conditions aux limites et condition initiale :
n(0) = n(+2L) = 0,
n(x, 0) = n0 (x)
n0 (x) correspond au profil de densité (quelconque) existant juste avant que l’on
fasse S ≡ 0.
Cherchons la solution par la méthode de séparation des variables : n(x, t) =
f (x)g(t). On trouve aisément que les fonctions f et g satisfont les équations
différentielles :
f ′′ (x) + λ2 f (x) = 0,
g ′ (t) + λ2 Da g(t) = 0,
où λ est une constante réelle.
En utilisant les conditions aux limites, on trouve aussitôt qu’il existe une
infinité de solution dépendant d’un nombre entier relatif n ∈ Z :
fn (x) ∝ sin(λn x),
2
gn (t) ∝ e−λn Da t ,
avec λn =
nπ
2L .
L’équation de diffusion étant linéaire, la solution générale s’écrit comme une
combinaison linéaire des solutions précédentes, soit :
n(x, t) =
∞
X
2
An e−λn Da t sin(λn x),
n=1
On remarquera que l’on n’a pas écrit la contribution n = 0 puisqu’elle est nulle,
ni les contributions pour n < 0 qui sont équivalentes, au signe près, avec les
contributions pour n > 0 (on ne doit sommer que des contributions linéairement
indépendantes). Les constantes An sont déterminées par la relation
∞
X
n0 (x) =
An sin(λn x)
n=1
Noter que, comme il se doit, le comportement asympotique (t → ∞) de la
densité, est le signal plat n(x, ∞) = 0, ∀x. En absence de terme source, le
plasma ne se reforme pas par ionisation en volume, et finit par s’éteindre par
diffusion vers les parois où le plasma est consommé.
Aux temps longs, la contribution dominante dans la somme est celle pour
n=1:
πx 2
2
n(x, t) ∼ A1 e−π Da t/(4L ) sin
, quand t → ∞
2L
Pour obtenir une expression explicite pour les constantes An , il suffit de multiplier par sin(λm x) et d’intégrer entre 0 et 2L :
Z
∞
X
+2L
n0 (x) sin(λm x) dx =
0
An
soit, en utilisant la relation d’orthogonalité
1
L
Z
+2L
sin(λm x) sin(λn x) dx
0
n=1
An =
Z
+2L
R +2L
0
sin(λm x) sin(λn x) dx = L δmn ,
n0 (x) sin(λn x) dx
0
Les coefficients An sont donc les coefficients de Fourier du développement en
série de Fourier (série de sinus) du profil initial n0 (x).
Une solution explicite du profil spatio-temporel en régime de post-décharge
est donc donnée par les relations :
n(x, t) =
∞
X
2
An e−λn Da t sin(λn x),
n=1
An =
λn =
Z +2L
1
n0 (x) sin(λn x) dx,
L 0
nπ
2L
Illustrons ce résultat dans un cas particulier. Supposons que le profil initial n0
soit donné par l’expression :
n0 (x) = sin(πx) +
1
1
sin(3πx) + sin(5πx)
2
4
On lit directement sur cette expression, la valeur des coefficients An :
A1 = 1,
A2 = 0,
1
A3 = ,
2
A4 = 0,
1
A5 = ,
4
An = 0, ∀n > 5
La solution aux temps ultérieurs comprend donc également 3 termes, on obtient :
n(x, t) = e−π
2 D t/(4L2 )
a
1
1
2
2
2
2
sin(πx)+ e−9π Da t/L sin(3πx)+ e−25π Da t/(4L ) sin(5πx)
2
4
Densité totale
La figure suivante présente la relaxation du profil initial pour des temps croissants. On remarquera, comme attendu, que les harmoniques d’ordres élévés
sont les premières à disparaı̂tre. Assez vite le comportement est donné par la
première harmonique.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 7.1 – Relaxation temporelle de la densité sans terme source pour t =
0, 1, 10 lorsque Da = 0.005 et 2L = 1.
7.3
Entretien d’un plasma confiné
Nous venons de voir qu’en absence d’une source d’ionisation, le plasma
s’éteignait par pertes des charges aux parois. Nous montrons maintenant qu’il
est possible d’obtenir un profil stationnaire de densité en présence d’une source
d’ionisation. Physiquement, le régime stationnaire résulte d’un bilan créationspertes nul : la production en volume des espèces est exactement compensée par
les pertes aux parois.
Considérons donc le plasma en présence d’un terme source S(x, t). Du point
de vue mathématique, on doit donc maintenant considérer le problème inhomogène
2
∂t n − Da ∂xx
n = S(x, t),
pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], toujours avec pour conditions aux limites et condition initiale :
n(0) = n(+2L) = 0,
n(x, 0) = n0 (x)
Pour résoudre ce problème, on utilise la méthode de développement sur une base
de fonctions propres. On cherche encore la solution sous la forme d’une série :
n(x, t) =
∞
X
gn (t)fn (x),
n=1
où les fonctions fn sont les fonctions (propres) que nous avons déterminées lors
de la résolution du problème homogène qui satisfont l’équation :
fn′′ (x) = −λ2n fn (x),
avec les conditions aux limites fn (0) = fn (+2L) = 0.
On pourra donc écrire :
n(x, t) =
∞
X
gn (t) sin(λn x),
n=1
où les fonctions gn de la variable t restent à déterminer.
Les fonctions propres de l’opérateur d2 /dx2 peuvent également être utilisées
comme base de développement du terme source :
S(x, t) =
∞
X
sn (t) sin(λn x),
n=1
ce qui permet de déterminer les coefficients sn en fonction du terme source
S(x, t) en utilisant les relations d’orthogonalités :
sn (t) =
1
L
Z
+2L
S(x, t) sin(λn x) dx,
0
Les coefficients sn (t) s’interprètent donc comme les coefficients du développement
en série de Fourier du terme source S(x, t).
En substituant les expressions de sn et S dans l’équation de diffusion, on en
déduit que gn vérifie l’équation différentielle :
gn′ (t) + Da λ2n gn (t) = sn (t),
avec la condition initiale gn (0) = An .
La résolution de cette équation différentielle (par la méthode de la variation
de la constante) conduit à l’expression :
Z t
2
−λ2n Da t
−λ2n Da t
e+λn Da τ sn (τ ) dτ
+e
gn (t) = An e
0
Le premier terme correspond à celui trouvé dans l’étude de la post-décharge
et conduirait, s’il était seul, à l’extinction du plasma. Le second terme dépend
du terme source (via les coefficients de Fourier sn ). C’est ce terme qui peut
éventuellement conduire à un état stationnaire. Pour cela, il faut que la dépendance
2
temporelle du terme source contrebalance le facteur d’atténuation e−λn Da t .
L’expression générale de la densité en présence d’un terme source quelconque
s’écrit : 1
Z t
∞ X
−λ2n Da t
−λ2n Da (t−τ )
e
+
sn (τ ) dτ sin(λn x)
n(x, t) =
An e
0
n=1
7.4
Température électronique d’entretien de la décharge
Dans le cas des plasmas faiblement ionisés où l’on peut négliger la recombinaison des charges en volume, la contribution dominante au terme de source
vient du terme d’ionisation, proportionnel à la densité électronique. On écrira
donc :
S(x, t) = νI n(x, t),
où νI ≡ νI (Te , p) est une fonction de la pression de neutres, p, et de la température
électronique, Te .
On a bien sûr que sn = νI gn , et en utilisant le résultat de la section
précédente, on trouve que gn vérifie l’équation différentielle :
gn′ (t) = − Da λ2n − νI gn (t)
dont la solution est :
gn (t) = An e−(νI −λn Da )t
2
La contribution dominante à la densité aux temps longs s’écrit donc :
n(x, t) ∼ A1 e−(νI −λ1 Da )t sin (λ1 x)
2
On en déduit la condition de maintien du plasma en régime stationnaire :
νI − λ21 Da = 0
⇐⇒
π 2
νI
=
Da
2L
Dans le cadre de ce modèle cette relation s’appelle la condition de Schottky.
Pour L et p données, montrons que cette relation fixe la température électronique
au sein de la décharge. En effet, par définition, νI ≡ nn KI (Te ) et Da ≡
kB Te /(M nn Kin (Ti )) où nn représente la densité de neutres (proportionnelle
à la pression p de neutres) et où KI et Kin représentent respectivement les
taux des reactions d’ionisation et de collisions élastiques ions-neutres. Lorsque
la températuure ionique Ti est fixée, on en déduit que le rapport νI /Da s’exprime sous la forme :
νI
∝ n2n g(Te )
Da
1. Il ne faudrait tout de même pas que S soit non-linéaire en la densité, faute de quoi
l’équation de la diffusion ne serait plus linéaire et l’expression ci-dessus ne serait plus valable.
Notez que c’est le cas lorsque des termes de recombinaison (proportionnels à n2 ) sont pris en
compte dans le terme source.
où g est une fonction de Te . En combinant ce résultat avec la condition de
Schottky, on en déduit que la température électronique ne dépend que de
constantes et du produit pL :
Te = f (pL)
Il est remarquable que la température ne dépende que du produit de la pression et de la taille du plasma, et non pas de ces grandeurs séparément. Dans
ce contexte, le produit pL est parfois appelé facteur de similarité. On pourra
également noter, que sous les hypothèses retenues, la température électronique
qui s’établit dans une décharge donnée ne dépend pas directement de la densité
de charges au sein du plasma (ce ne serait pas le cas si le plasma était plus
fortement ionisé).
Electron Temperature HeVL
A titre d’illustration, on a reporté sur les figures suivantes, la dépendance
de la température électronique en fonction du produit pL dans le cas de l’argon
pour lequel on a avec une bonne approximation KI = 2.3410−14 Te0.59 e−17.44/Te
m3 s−1 (avec Te en V), et la forme du profil stationnaire de densité maximum
au centre de la décharge.
4
3.5
3
2.5
2
1.5
0
5
15
10
20
Pressure*Length HmTorr.mL
25
Figure 7.2 – Température électronique en fonction du produit pL pour un
plasma d’argon.
Dans la section précédente, nous avons obtenu la solution générale de l’équation
de diffusion en tout point de l’espace et du temps. A partir de cette approche
générale, nous avons ainsi pu établir que la condition de Schottky est la condition d’entretien de la décharge en régime stationnaire. Il est évidemment possible de faire l’hypothèse de stationnarité dès le début. On vérifiera en particulier
que la solution de l’équation différentielle :
2
−Da ∂xx
n(x) = νI n(x)
avec les conditions aux limites n(0) = n(2L) = 0 conduit bien au profil sinusoı̈dal avec la condition de Schottky.
Normalized Densities
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Normalized Length
0.8
1
Figure 7.3 – Profil stationnaire de densité.
Chapitre 8
Autres sujets traités sous
forme de problèmes
Dans ce chapitre, nous présentons sous forme de problèmes 4 sujets complémentaires
concernant les plasmas faiblement ionisés.
– En premier lieu, nous étudions l’expansion spatiale d’un plasma électropositif
en régime stationnaire sous l’effet des seules forces qui agissent en son sein.
– Dans un deuxième problème, nous présentons une généralisation du critère
de Bohm étendu au cas des plasmas électronégatifs.
– Le cas des décharges magnétisées est traité en détail dans un troisième
problème.
– Enfin, on étudie un modèle simplifié de plasma à 3 composantes où la
dynamique des espèces neutres est explicitement prise en compte.
73
Expansion d’un plasma dans le vide
On considère un plasma partiellement ionisé, constitué d’électrons, de charges
−e et de masse m, d’atomes neutres, et d’ions positifs monovalents, de masses
M et de charges +e. Pour simplifier, on considèrera une situation unidimensionnelle : les variables dynamiques ne dépendent que d’une seule variable d’espace,
disons x. Le taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse supposer la densité des neutres uniforme : nn = Cte, et négliger la (lente) dynamique
des atomes : vn ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est pas magnétisé :
B = 0.
Nous étudions l’expansion spatiale du plasma en régime stationnaire sous
l’effet des seules forces qui agissent en son sein. On suppose, en outre, que la
pression du gaz neutre est suffisamment faible pour que les termes de collisions
ions-neutres puissent être négligés. Cette situation peut apparaı̂tre dans les
plasmas spatiaux après la formation des nuages interstellaires, mais également
dans certains régimes de fonctionnement des réacteurs à plasmas exploités industriellement à basses pressions de neutres.
Le plasma est décrit dans le cadre d’un modèle à 2 fluides, et dépend donc
des 5 variables suivantes : densités et vitesses électroniques, ne (x), ve (x), densités et vitesses ioniques : ni (x), vi (x), et potentiel électrostatique ϕ(x).
∂x (ne ve ) = +νI ne ,
∂x (ni vi ) = +νI ne ,
0 = −kB Te ∂x ne + ene ∂x ϕ,
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ,
2
ǫ0 ∂xx
ϕ = −e(ni − ne )
2 désignent une dérivée première et seconde par
Dans ces expressions, ∂x et ∂xx
rapport à la variable x.
Le système différentiel précédent est complété par les conditions aux limites
suivantes :
ne (0) = ni (0) = n0 ,
ϕ(0) = 0,
ve (0) = vi (0) = 0.
1. Rappeler quelle est la dimension de la constante νI et sa signification.
2. Discuter succinctement mais précisément le contenu physique de chacune
des équations précédentes. On soulignera en particulier quels sont les
termes négligés dans cette modélisation 1 .
3. L’étude du système d’équations est facilitée par un adimensionnement des
variables. On pose :
ni
ne
vi
ve
eϕ
x
Ni ≡
, Ne =
, V =
, Ve =
, φ≡
, X≡
,
n0
n0
uB
uB
kB Te
λI
1. L’emploi du terme de diffusion dans la situation présente est un peu abusive : les ions,
froids et non collisionnels se comportent comme des particules. La diffusion suppose des collisions.
où uB ≡ (kB Te /M )1/2 est la vitesse dite de Bohm, et λI ≡ uB /νI , la
longueur d’ionisation.
Montrer que les équations s’écrivent sous la forme :
(Ne Ve )′ = +Ne ,
′
(Ni Vi )
Ne′
Vi Vi′
2 ′′
ǫ φ
(8.1)
= +Ne ,
(8.2)
′
= +Ne φ ,
(8.3)
′
= −φ ,
(8.4)
= Ne − Ni ,
(8.5)
avec ǫ ≡ λD /λI , et λD , la longueur de Debye. L’apostrophe désigne une
e
dérivée par rapport à la variable X ; par exemple : Ne′ ≡ dN
dX .
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 8.1 – Densité électronique, Ne (tirets) et densité ionique, Ni (traits
pleins), lorsque νI /ωpi = 0.001.
4. Montrer que ǫ = νI /ωpi , où ωpi est la fréquence plasma ionique.
On rappelle que νI = Kng , où K est une constante et ng , la densité du
gaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogène tel que K = 10−14
m3 /s, ng = 1019 m−3 , n0 = 1015 m−3 , M = 1.67 10−27 kg, e = − 1.6
10−19 C, et ǫ0 = 8.85 10−12 F/m.
5. La résolution numérique du système d’équations (8.1-8.5) avec les conditions aux limites :
Ne (0) = Ni (0) = 1,
φ(0) = 0,
Ve (0) = Vi (0) = 0.
(8.6)
et ǫ = 0.001 conduit aux résultats reportés sur les figures suivantes.
En observant le schéma des densités, dire pour quelle raison la région centrale est considérée comme un plasma, tandis que la région périphérique
est assimilée à une gaine ?
6. Les résultats numériques suggèrent l’approximation Ne = Ni ≡ N pour
étudier la région plasma.
Etablir les 2 lois de conservation :
Ve = Vi ,
1 2
V + ln N
2 i
(8.7)
= 0
(8.8)
2
1.75
Vitesses normalisées
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 8.2 – Vitesse électronique Ve (tirets) et vitesse ionique, Vi (traits pleins),
lorsque λD /λI = 0.001.
7. Quelle interprétation physique peut-on donner de l’équation (8.8) ?
On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma.
8. Posons V ≡ Ve = Vi . Le plasma est donc assimilable à un fluide unique
de densité N et de vitesse V .
Montrer que le plasma satisfait les 2 équations :
(N V )′ = +N,
NV V
′
= −N
′
(8.9)
(8.10)
9. Combiner ces 2 équations pour les écrire sous la forme :
N ′ (V 2 − 1) = N V,
′
2
V (V − 1) = −1
(8.11)
(8.12)
10. Utilisez le système différentiel précédent pour répondre aux questions suivantes :
- A quelle vitesse physique la vitesse normalisée V = 1 correspond-elle ?
- Quel est le signe des gradients de densités et de vitesses au voisinage de
X = 0?
- Que peut-on dire des gradients de densités et de vitesses lorsque V → 1 ?
11. L’équation (8.12) s’écrit sous la forme différentielle : V 2 dV − dV = −dX.
Intégrer cette équation et en déduire que la position x̄ où la vitesse vaut
1 vérifie :
2
x̄ = λI
3
Comparer avec les résultats numériques.
12. Utiliser les équations (8.4) et (8.8) pour déterminer les variations de densités n̄/n0 et de potentiel eϕ̄ à la position x = x̄.
0
Potentiel normalisé
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 8.3 – Potentiel électrostatique, φ, lorsque λD /λI = 0.001.
13. Lorsque les ions sont créés sans vitesses initiales, l’équation de bilan de
quantité de mouvement des ions doit être modifiée et écrite sous la forme :
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ − M vi (νI ne )
Les équations de ce modèle s’écrivent donc :
∂x (ni vi ) = +νI ne ,
0 = −kB Te ∂x ne + ene ∂x ϕ,
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ − M vi (νI ne ),
2
ǫ0 ∂xx
ϕ = −e(ni − ne )
Combiner ces équations et établir la relation :
M ni vi2 + kB Te ne −
ǫ0 E 2
= Cte,
2
où E = −∂x ϕ désigne le champ électrique.
14. La relation (8.13) est valable dans tout le système (plasma et gaine).
– Déterminer la dimension des grandeurs apparaissant dans (8.13), et en
déduire la nature de cette relation de conservation.
– Interpréter physiquement chaque terme.
– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la
gaine ?
– Représenter schématiquement chaque contribution de (8.13) en fonction
de la position x.
Vitesse de Bohm dans un plasma électronégatif
Un plasma électronégatif est un plasma qui comprend des électrons, des ions
positifs et des ions négatifs. Le plasma est décrit par les équations suivantes :
(n+ v+ )′ = S+ ,
(8.13)
′
(ne ve )
= Se ,
(8.14)
′
= S−
(8.15)
(n− v− )
2 ′
m+ (n+ v+
)
=
0 =
0 =
−kT+ n′+ + n+ e E −
−kTe n′e − ne e E,
−kT− n′− − n− e E,
F+ ,
n+ = ne + n−
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
où F+ est une densité de force de collisions entre les ions et les neutres.
1. Discuter succinctement le contenu physique de chaque équation.
2. Etablir l’égalité :
2 ′
m+ (n+ v+
) + kT+ n′+ + kTe n′e + kT− n′− = −F+
3. Comment peut-on interpréter cette équation dans le cas où F+ → 0 ?
4. Dans une première étape, on cherche à éliminer le gradient de vitesse des
ions positifs de l’équation précedente.
Montrer que l’on peut écrire :
2
(kT+ − m+ v+
) n′+ = −2S+ m+ v+ − kTe n′e − kT− n′− − F+
5. Eliminer le champ électrique des équations (5), (6) et (7), et établir les
relations qui lient les gradients de densité des espèces négatives avec le
gradient de densité des ions positifs :
n′e =
n′− =
kT− ne
n′ ,
kTe n− + kT− ne +
kTe n−
n′
kTe n− + kT− ne +
6. En déduire que les gradients de densité deviennent singuliers (et le modèle
n’est donc plus défini) lorsque la vitesse des ions positifs satisfait l’égalité :
2
v+
=
kTe
m+
1 + γs
T+
+
Te
1 + (Te /T− ) γs
où γs ≡ n− (xs )/ne (xs ) est calculé au point x = xs où les gradients deviennent infinis.
7. Etudier cette expression dans les 2 limites distinctes suivantes :
– γs → 0,
– γs → ∞.
Commentez.
Décharge magnétisée
Dans ce problème on étudie une décharge limitée par deux électrodes planes
~ uniforme
et d’extensions infinies, en présence d’un champ magnétique axial B
et stationnaire.
B
B
⊕
⊕
B
⊕
⊖
⊖
⊕
⊖
⊖
– Pouvez-vous expliquer pour quelle raison physique la diffusion latérale du
plasma (vers les électrodes) peut être significativement réduite en présence
d’un champ magnétique axial ?
– La réduction de diffusion latérale due au champ magnétique est-elle plus
effective pour les électrons ou pour les ions (justifiez votre réponse) ?
– Pour des conditions de fonctionnement égales par ailleurs, les décharges
magnétisées nécessitent-elles des températures électroniques plus élevées
ou moins élevées que les décharges non magnétisées ?
La décharge étudiée est un plasma constitué d’électrons et d’ions positifs
monovalents ayant respectivement pour charges ±e, et pour masses m et M .
Dans tout le problème, on suppose que seuls les électrons sont magnétisés, et on
utilisera l’approximation plasma ne = ni = n (égalité des densités électroniques
et ioniques en tout point).
On utilise un système d’axe cartésien orthonormal Oxyz et on admettra que
les symétries du problème sont telles que les différentes grandeurs physiques
peuvent s’écrire :
~ = B ~ez
B
champ magnétique
~ = E(x) ~ex ≡ − dϕ(x) ~ex
E
dx
~vi = vix (x) ~ex
~ve⊥ = vex (x) ~ex + vey (x) ~ey
n = n(x)
champ électrique
vitesse des ions
vitesse des électrons
densité du plasma,
et on utilisera les conditions aux limites suivantes :
vex (0) = vey (0) = vix (0) = 0,
n(0) = n0 ,
ϕ(0) = 0
B
Oz
B
~vex
~vix
⊕
Ion
Electron
⊖
⊕
Ion
~vix
~vex
Electron
⊖
~ez
Ox
~ex
1. Utiliser les équations de bilan du nombre d’électrons et d’ions ainsi que
les conditions aux limites pour montrer que les vitesses des électrons et
des ions sont identiques selon la direction Ox :
vex (x) = vix (x) ≡ v(x)
(on considèrera que les termes sources des équations de bilan sont identiques pour les 2 espèces).
2. Sous les hypothèses précédentes, la décharge est décrite par les 5 variables
n(x), v(x), vey (x), vez (x), et Ex (x).
En régime stationnaire, on écrit les équations de bilan sous la forme :
~
∇.(n~
v ) = νI n,
(8.20)
~ − en ~ve × B
~ − kB Te ∇n
~ − m (νI + νen ) n~
0 = −enE
(8.21)
ve ,
~ ~v = +enE
~ − kB Ti ∇n
~ − M (νI + νin ) n~v
M n ~v .∇
(8.22)
(a) Quelles sont les grandeurs physiques représentées par les constantes
νen , νin et νI ?
(b) A quels bilans ces équations correspondent-elles ?
(c) Discuter succinctement mais précisément l’origine de chacun des
termes des équations.
(d) Quelles sont les approximations effectuées dans le cadre de cette
description ?
~
3. (a) Projeter l’équation (8.21) sur les deux directions transverses à B.
(b) En déduire la relation qui relie les composantes vex et vey .
On introduira la vitesse cyclotronique électronique que l’on notera
ωc .
4. (a) Montrer en utilisant le résultat précédent que le flux d’électrons Γex
en direction des murs peut s’écrire sous la forme :
Γex = −µm nE − Dm
dn
dx
où µm et Dm sont des coefficients de transport que l’on définira.
(b) Exprimer ces coefficients de transport en fonctions de ceux obtenus
en absence de champ magnétique.
(c) Pour quelle raison dit-on parfois qu’imposer un champ magnétique
est équivalent à une augmentation de la pression du gaz neutre ?
5. On convient de noter par un ’ les dérivées par rapport à la variable x.
Montrer que la décharge est décrite dans la direction latérale Ox par les
3 équations :
(nv)′ = νI n,
M nvv
′
(8.23)
′
(8.24)
′
(8.25)
= +neE − kB Ti n − M νi nv,
0 = −neE − kB Te n − αB mνe nv,
où on a introduit les constantes :
νi ≡ νI + νin ,
νe ≡ νI + νen ,
αB ≡ 1 +
ωc
νe
2
6. Eliminer le champ électrique entre les équations précédentes
(a) Etablir l’expression des gradients de densités et de vitesses :
n′ = +
v′ = −
2νI + νin + αB (m/M )νe
nv,
v 2 − u2B
νI u2B + [νI + νin + αB (m/M )νe ] v 2
v 2 − u2B
(8.26)
(8.27)
où uB est une vitesse que l’on définira.
(b) Qu’en déduisez vous sur le sens des variations de la densité et de la
vitesse du plasma en direction des murs ?
(c) Quelle est la vitesse maximale atteinte dans le cadre de ce modèle ?
Commenter.
(d) La chute de densité entre le centre et le bord du plasma est-elle plus
importante avec ou sans champ magnétique ? (on ne demande pas
un calcul, mais si vous avez le temps, vous pouvez le faire).
7. On étudie maintenant le champ électrique à travers la décharge.
(a) Montrer que le champ électrique vérifie l’équation :
eϕ′ = kB Te
n′
+ αB mνe v
n
(b) Que peut-on dire du comportement des électrons lorsque le terme
proportionnel à kB Te domine le terme proportionnel à αB ?
Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel
électrostatique ?
(c) A contrario, que peut-on dire du comportement des électrons lorsque
le terme proportionnel à αB domine le terme proportionnel à kB Te ?
Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel
électrostatique ?
(d) Montrer que les électrons ont toujours un comportement boltzmannien au voisinage de la lisière de gaine.
(e) Discuter qualitativement dans quelles circonstances peut se produire
un phénomène d’inversion du potentiel à travers la décharge.
(f) Quelle interprétation physique pouvez-vous donner du phénomène
d’inversion du potentiel ?
8. On veut étudier numériquement la décharge dans le cas simplifié où νin =
νen = 0.
(a) A quel régime de pression cette approximation correspond-elle ?
(b) Montrer qu’il est possible de normaliser les grandeurs physiques de
telle sorte que les équations (8.26) et (8.27) s’écrivent :
N (X)V (X)
,
V 2 (X) − 1
1 + V 2 (X)(1 + KB )
V ′ (X) = −
V 2 (X) − 1
N ′ (X) =
(2 + KB )
où KB ≡ αB (m/M ).
(c) Déterminer l’expression du champ électrique normalisé, en fonction
de V , KB et du rapport Ti /Te .
(d) Les profils de densité, vitesse et potentiel sont représentés sur la
figure 8.4 pour 2 valeurs de KB lorsque Ti /Te = 0.07.
Commentez.
1
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
0.4
0.6
0.2
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
0.8
Vitesse normalisée
Vitesse normalisée
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0
Potentiel Electrostatique normalisé
Potentiel Electrostatique normalisé
0.6
-5
-10
-15
-20
-1
-2
-3
-4
-5
-25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
Figure 8.4 – Profils de densité, de vitesse et de potentiel électrostatique lorsque
KB = 0 et KB = 60. Le rapport des températures est fixée à Ti /Te = 0.07.
Dynamique des neutres dans les plasmas faiblement
ionisés
Dans le cas des plasmas très faiblement ionisés, comme ceux considérés
dans de nombreuses applications des plasmas froids, il est d’usage, dans les
modélisations, de négliger la dynamique des espèces neutres, ~vn = ~0, et de
~ n = ~0.
considérer les densités correspondantes comme uniformes : ∇n
Dans ce problème, on étudie un modèle simplifié valable à des taux d’ionisation plus élevés où ces approximations ne sont pas retenues. Le système étudié
comprend 3 composantes, les électrons de masse, me = m et de charge qe = −e,
un seul type d’ions, de charge qi = +e et de masse mi = M − m ≈ M , et une
seule espèce neutre, de masse mn = M et de charge qn = 0.
Les notations utilisées dans la suite sont celles du cours.
On traite la dynamique des espèces (α = e, i, n) par les équations fluides
suivantes :
div ~Γα = Sα ,
X
~ − mα nα
~ + ~vα × B
~ α + n α qα E
~0 = −∇p
ναβ (~vα − ~vβ ) ,
β6=α
où ~Γα = nα~vα est le flux de particules de la composante α.
1. Discuter le contenu physique de chacun des termes de ces équations en
précisant quelles sont les approximations retenues.
2. A quel régime de pression ce type d’équations peut-il être appliqué ?
3. Quelles relations existe-t-il entre les termes Se , Si et Sn si l’on suppose que
les seules contributions à ces termes viennent des réactions d’ionisations
en volume décrites par l’équation simplifiée :
e− + n −→ i + 2 e−
4. Montrer à partir des bilans de particules que l’on obtient les 2 relations :
!
X
div
= 0,
(8.28)
mα ~Γα
α
div
X
α
qα ~Γα
!
= 0
(8.29)
5. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de ces 2 équations ?
6. Utiliser les bilans d’impulsions pour obtenir l’expression :
~ = ρE
~ + J~ × B
~
∇p
(8.30)
où p, ρ et J~ représentent respectivement la pression totale, la densité de
charge totale et la densité de courant total au sein de la décharge.
On traite désormais le cas unidimensionnel, quasi-neutre et non magnétisé.
~ = ~0, ne = ni = n, et que toutes les granOn pourra donc supposer que B
deurs ne dépendent que d’une seule variable, x ; l’invariance par translation le long de Oy et Oz garantit en outre que ∂y = ∂z = 0.
Le modèle est étudié dans l’intervalle [0, L] (l’électrode qui confine le
plasma est située en x = L) avec les conditions aux limites suivantes :
Γi (0) = Γe (0) = Γn (0) = 0,
n(0) = n0 ,
n(L) = 0
nn (L) = nnw ,
où n0 et nnw sont des constantes.
Dans tout le problème, on considérera que le taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’approximation :
n(x)
≪ 1,
nn (x)
∀x
i.e. dans toute la décharge.
7. Utiliser les équations de bilan (8.28), (8.29) et les conditions aux limites
pour établir les égalités :
Γex = Γix = −Γnx ,
8. En déduire les résultats suivants sur les vitesses fluides :
vex = vix ,
vnx
≪ 1
vex
9. Utiliser l’équation (8.30) pour montrer que la pression totale se conserve
au sein de la décharge.
10. On suppose désormais que les températures de chaque composante sont
~ α = ~0, ∀α et que les pressions partielles suivent la loi des
uniformes : ∇T
gaz parfaits.
(a) Déduire de la conservation de la pression totale que le rapport de
la densité des neutres à l’électrode et au centre, nnw /nn0 vérifie
l’égalité :
nnw
nn0
= 1 + β0
Te + T i
Tn
(8.31)
où β0 est un coefficient défini au centre de la décharge que l’on reliera
au taux d’ionisation α0 = n0 /(n0 + nn0 ) ≈ n0 /nn0 mesuré au centre
de la décharge.
(b) Le rapport nnw /nn0 est une mesure du taux de “déplétion” des neutres
au sein de la décharge.
Donner une estimation quantitative de ce taux de déplétion pour des
taux d’ionisation allant de 1/1000 à 1/100. Commenter.
(c) Représenter schématiquement le profil de densité de neutres au sein
de la décharge.
11. On suppose que le terme source Se prend la forme suivante :
Se = KI nn n
A quelle hypothèse physique cette forme correspond-elle ?
Que représente la constante KI ?
Quelle est sa dimension ?
12. Montrer que :
m νen
m Ken
=
≪1
M νin
M Kin
où Kαn sont des grandeurs dont on rappellera le nom et la définition, et
où l’inégalité sera établie par une estimation qualitative.
13. On pose vex = vix = v et Γex = Γix = Γ.
En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que les équations
de bilan projetées sur l’axe Ox s’écrivent sous la forme :
Γ′ = KI nn n,
(kB Te + kB Ti ) n
′
nn
≈ −M Kin nn Γ,
Te + Ti
n,
= nnw −
Tn
(8.32)
(8.33)
(8.34)
d
où les dérivées par rapport à x sont notées par un ’ : dx
≡ ′ . On rappelle
que toutes les températures, Te , Ti , Tn sont des constantes, et que vn /v ≪
1.
14. Combiner les équations (8.32) et (8.33), et en déduire l’existence de l’invariant :
Γ2 +
KI
(nuB )2 = Cte
Kin
(8.35)
où uB est une constante dont on rappellera le nom et la définition.
15. Utiliser ce résultat et les conditions aux limites pour obtenir l’expression
du flux sur l’électrode, Γw ≡ Γ(L).
En déduire que Γw dépend de la température électronique.
On se propose maintenant de déterminer la température électronique au
sein de la décharge en présence de déplétion.
16. Rappelez schématiquement quelles sont les variations de la température
électronique avec la pression dans le cas sans déplétion, c’est-à-dire lorsque
la densité de neutres est supposée uniforme dans la décharge.
17. Montrer en utilisant les conditions aux limites que l’équation (8.35) prend
la forme d’une équation de cercle dans les variables réduite Γ/Γw et n/n0 :
2 2
Γ
n
+
=1
Γw
n0
18. Cette équation suggère de chercher les solutions sous la forme :
n(x) = n0 cos f (x)
et
Γ(x) = Γw sin f (x)
où f (x) est une fonction à déterminer.
En utilisant l’équation (8.32), établir l’équation différentielle à laquelle
obéit la fonction f .
Quelles sont les valeurs prises par f en x = 0 et en x = L ?
19. On rappelle le résultat :
Z
df
2
1+δ
f
=√
arctan √
tan
1 − δ cos f
2
1 − δ2
1 − δ2
Intégrer l’équation différentielle et montrer que :
1+b
2
√
arctan √
nnw L =
a 1 − b2
1 − b2
pour
δ≤1
(8.36)
où a et b sont des constantes dépendant (entre autres) de Te dont on
donnera les expressions.
20. Quelle interprétation physique de l’équation (8.36) pouvez-vous donner
lorsque b → 0 ?
La température électronique augmente-t-elle ou diminue-t-elle en présence
de déplétion ?
Qu’en concluez-vous sur la valeur du flux à l’électrode en présence de
déplétion ?
Table des matières
1 Introduction à la physique des plasmas faiblement ionisés
3
2 Modélisation fluide : première approche
9
2.1
Equations du modèle fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2
Mouvement inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5
Ecrantages
2.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1
Ecrantage électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2
Ecrantage magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Modélisation simplifiée des décharges . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 De la théorie cinétique à la modélisation fluide
3.1
3.2
25
Des équations cinétiques aux équations de bilan . . . . . . . . . . 25
3.1.1
Equation cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2
Moyennes, fluctuations et moments . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3
Equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1
Signification physique des termes sources . . . . . . . . . 30
3.2.2
Termes sources correspondant aux collisions élastiques . . 31
3.2.3
Termes sources correspondant aux collisions inélastiques . 36
3.2.4
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
89
3.3
Approximation d’équilibre thermodynamique local . . . . . . . . 38
4 Gaine et pré-gaine : quelques résultats expérimentaux et numériques 41
4.1
Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2
Modélisation fluide simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3
Etude numérique du régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Modélisation du plasma quasi-neutre (prégaine)
5.1
47
Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1
Etude de la prégaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Modélisation de la gaine
53
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2
Le critère de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3
Utilisation du potentiel de Sagdeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4
La chute de potentiel dans la gaine en potentiel flottant . . . . . 59
6.5
La taille de la gaine dans une décharge polarisée négativement
7 Plasmas collisionnels :relaxation et entretien
. 61
63
7.1
Diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2
Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime de post-décharge) 65
7.3
Entretien d’un plasma confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.4
Température électronique d’entretien de la décharge . . . . . . . 70
8 Autres sujets traités sous forme de problèmes
73

Mod`ele fluides et cinétiques - Laboratoire de Physique des Plasmas

Transcription

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