Petits jeux amusants pour vous distraire les jours de pluie!

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Petits Jeux amusants pour vous
distraire les jours de pluie!
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Débutons avec le petit Jeu suivant :
Demandez à une personne d'effectuer secrètement les calculs
suivants :
a) Prenez le mois de votre fête (Janvier = 1, Février = 2, etc.)
b) Multipliez par 2
c) Additiormez 5
d) Multipliez par 50
e) Ajoutez votre âge
f ) Soustrayez 365 (i.e. le nombre de jours dans une armée)
g) Ajoutez 115
h) Dites-moi le résultat obtenu.
Avec le résultat obtenu, vous pourrez dire à la personne son mois
de naissance et son âge. En effet, supposons que la personne que
vous interrogez soit née le 6 juillet 1972. Après avoir effectué les calculs que vous lui avez demandés, elle vous donnera 721 comme
réponse. Vous, il ne vous reste plus qu'à dire qu'elle a 21 ans et
qu'elle est née en juillet (i.e. le 7ième mois)! N'ayez crainte, même si la
persoime est née un 29 février ou qu'elle est centenaire, cela fonctionnera quand même.
Poursuivons dans la même veine avec cet autre petit Jeu :
Avant de commencer, munissez-vous d'un jeu de cartes. Ensuite
demandez à une personne de venir tirer une carte en prenant soin de
ne la montrer à personne. À cette même personne, demandez
d'effectuer secrètement les opérations suivantes :
Éric Doddridge
Université Laval
1) Doublez la valeur numérique de la carte (As = 1, Valet = 11,
Dame = 12 et Roi = 13)
2) Ajoutez 1
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3) Multipliez par 5
4) Ajoutez 6 si la carte est un pique ou 7 si la carte est un carreau
ou 8 si la carte est un coeur ou 9 si la carte est un trèfle
5) Demandez la réponse à la personne.
Supposons que la personne pige le 6 de pique. Après avoir effectué les opérations, elle vous donnera 71 comme réponse. Alors, à
l'aide du nombre 71, vous pouvez lui dire qu'elle a tiré le 6 de pique.
En effet, vous commencez par soustraire 5. Donc, cela donne 66, ce
qui vous donne la réponse, puisque le dernier chiffre vous donne la
sorte (6, 7, 8 ou 9 selon les codes de l'étape 4) et le ou les deux premiers chiffres vous donnent la carte tirée.
Poursuivons avec un autre petit truc qui pourra peutêtre vous faire passer pour un Houdlnl ou un Copperfield
en herbe aux yeux des gens à qui vous le ferez.
Sur une table, déposez 9 cartes de même couleur (pique, carreau,
coeur ou trèfle) face dessous. Demandez à chaque personne de tirer
une carte sans vous la montrer. Le problème est de déterminer quelle
carte chacune des personnes a tirée. À la première personne qui a
pigé une carte, demandez de doubler la valeur de sa carte, d'ajouter 1,
de multiplier par 5 le résultat et de passer secrètement le résultat à
son voisin. Demandez alors à cette seconde personne d'ajouter la
valeur de sa carte au nombre reçu, de multiplier le résultat par 2,
d'ajouter 1, de multiplier par 5 et de passer le résultat à la troisième
personne. Ensuite la troisième personne effectue les mêmes opérations que les deux premières et on répète ce procédé jusqu'au
moment où tous les gens auront fait le calcul. Alors dites à la dernière
personne de vous dire le résultat obtenu. S'il y a n personnes (il n'est
pas nécessaire d'avoir 9 personnes qui participent au jeu), soustrayez
de ce nombre le nombre 5...5 (qui est composé de n 5). Ensuite,
divisez par 10. Le résultat sera un nombre dont les chiffres seront les
cartes choisies dans l'ordre.
Supposons par exemple qu'il y ait 3 personnes A, B et C. Chacune
tire, dans l'ordre cité, une carte. Supposons que la personne A tire le
8, B le 3 et C le 5. La personne A, après avoir fait les calculs
demandés, donnera 85 comme nombre à la personne B qui elle, après
avoir fait les opérations, remettra 885 comme nombre à la personne C
qui vous donnera, après avoir fait les opérations, le nombre 8905.
Maintenant, vous soustrayez de ce nombre 555 (puisqu'il y a trois
personnes) et vous divisez le résultat par 10. Vous obtenez alors le
nombre 835 dont les chiffres indiquent bien l'ordre dans lequel les
cartes ont été pigées.
Maintenant, voici un autre petit problème :
FIGURE #1
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. E N V O L
-
FIGURE #2
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FIGURE #3
Soit un carré ABCD avec des côtés mesurant 100 mètres. La distance de A à C en passant par les côtés, est donc égale à 200 mètres.
Maintenant, si on suit la trajectoire en escalier proposé le long de la
diagonale par la figvire 1, la distance de A à C est encore 200 mètres.
Dans la figure 2, en suivant la trajectoire le long de la diagonale, la
distance est encore 200, et ce, même si les marches de l'escalier sont
beaucoup plus courtes. Dans la figure 3, les marches sont très petites,
mais la distance demeure encore 200 mètres. Cette distance sera
encore 200 mètres si nous faisons des marches si petites qu'il nous
faudrait un microscope pour les voir. Ainsi, en rapetissant les marches jusqu'au moment où nous observerons une ligne droite, nous
aurons encore une distance qui sera égale à 200 mètres et nous
venons de montrer que dans un carré, la diagonale est la somme de
deux côtés. Ouf! (Je sens certains Grecs se retourner dans leur
tombe!). À votre avis, où est l'erreur?
L'INVENTION DES LOGARITHMES DE NÉPER
Les rapides progrès de l'astronomie avaient développé l'emploi
des calculs trigonométriques. Comme ceiix-ci étaient souvent longs,
on a cherché à les simplifier. Werner soumit un procédé qui fut abandonné au profit des logarithmes.
Jean Néper (ou Napier) (1550-1617), baron de Merchiston,
partageait son temps entre l'administration de ses domaines et
l'étude de la théologie; les mathématiques n'étant pour lui qu'un simple loisir. Cependant, en essayant de faciliter les calculs des
géomètres et astronomes, il découvrit les logarithmes. Pour ce faire,
Néper, reprenant une correspondance déjà aperçue par Archimède
(212-287 av. J.-C.) entre les termes de deux progressions, l'une arithmétique et l'autre géométrique, avait vraisemblablement considéré
que les termes de là progression arithmétique sont les logarithmes,
les numérateurs, pour ainsi dire, des raisons des termes de la progression géométrique correspondante :
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...0)
1,2,4,8,16,32,...®
(1) On appelle progression
arithmétique de premier terme a et de raison d
la «suite va, a + d, a + 2d,..., a + (n -l)d,
... (dansnotrecas,a
=
0etd=1)
(2) On appelle progression
géométrique
de premier
terme a et de
raison g la «suite » a, aq, aq2,...,
aq",...
(dans notre cas, a = letq = 2)
L'Allemand Michel Stifer (1486-1567) avait déjà indiqué les propriétés des deux progressions se correspondant terme à terme; mais
il restait encore, pour découvrir le véritable système des logarithmes,
à remplir de nombres les intervalles des termes de la progression
géométrique et à trouver en même temps les nombres fi-actionnaires
qui devaient leur correspondre dans la progression arithmétique. En
effet, entre 4 et 8, il manque 5, 6, 7, etc. Ce travail fut l'oeuvre de
Néper. Dans le premier de ses ouvrages, Néper n'expliquait pas la
construction de ces logarithmes. On dut attendre la seconde édition
de l'oeuvre, édité par son fils Robert, après la mort de son père en
1619. Le mérite de Néper serait d'avoir considéré les termes de ces
deiix progressions comme correspondant aux positions simultanées
de deux mobiles se déplaçant d'un mouvement continu; ce qui permettait de faire correspondre non plus seulement des nombres
appartenant aux deiix progressions, mais aussi des nombres compris
dans les intervalles des termes de celles-ci.
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Henri Briggs (1556-1630), professeur à Oxford, fut le premier à
adopter les principes du calcul logarithmique. En 1616, lors d'un
entretien avec Néper, il lui aurait, semble-t-il, suggéré d'utiliser 10
comme base des logarithmes. D'ailleurs, après la mort de Néper, ce
fut Briggs qui réalisa cette idée. En 1624, Briggs faisait imprimer à
Londres une table des logarithmes à 14 chiffres, des nombres 1 à
20 000 et de 90 000 à 100 000 : il avait employé sept personnes à ce travail! Ce travail fut au reste complété par Gûnther (1580-1626).
Plus tard, on a pu donner une nouveUe définition algébrique, et
non plus arithmétique comme auparavant, des logarithmes. Cette
nouvelle définition est d'ailleurs celle qui est fréquemment utilisée
dans les milieux scolaires : le logarithme d'un nombre est l'exposant
de la puissance à laquelle il faut élever un nombre constant et positif,
appelé base, pour reproduire le nombre donné. Par exemple, si la base
est a et si b représente le nombre donné, le logarithme x de ce nombre
sera donné par l'équation :
a* = b
et l'on écrira :
x = logab
Maintenant, je me contente d'énoncer les principales propriétés
des logarithmes (qui doivent d'ailleurs être connues de tous) en
faisant usage de la définition ci-dessus :
1) deux nombres sont égaux si et seulement si leurs logarithmes
sontégaux
2) log ab = log a -(- log b
3) l o g ^ = l o g a - logjb
4) l o g b ' " = m l o g b
Références :
Ball, W. W. Rouse, Récréations
mathématiques et problèmes. Nouvelles Éditions françaises> 1926.
Callandreau, Édouard, Célèbres problèmes de mathématiques. Éditions Albin
Michel, 1956Frohlichstein, Jack,
Mathematical Fua Games and Puzzles,
Dover Publications, Inc, 1962 Jones,
Samuel I., Mathematical Wrinkles, S.I.
Jones Co.Publisher, 1929 Kraitchik,
Maurice, Mathematical Recreations,
1953 Langman, Harry, Play mathematics, Haftier Publishing Compa ny, 1962
Perelman, Yakov, Oh, les Maths!, Édition Dunond, 1992 Smullyan, Raymond,
Quel est le titre de ce livre?. Edition
Dunod,1981.
Comme je l'ai précédemment dit, pour établir les identités
ci-dessus, on s'est servi de la définition algébrique des logarithmes.
Or il est maintenant essentiel d'indiquer qu'il y a équivalence entre
les logarithmes algébriques et les logarithmes arithmétiques.
Le premier système qui fut utilisé par Néper est connu sous
plusieurs noms : système naturel, système népérien ou bien encore
système hyperbolique. Pour parvenir à son système, Néper, en considérant les logarithmes arithmétiques, partait de ces deux progressions.
1,
(1 + a),
(l+a)2.
(l + a)3.
0,
b,
2b,
3b,
(1 -I- a)in
mb
posait a = b et arrivait à trouver 2,718281828... (= e) comme base de
son système.
Notons que l'appellation par la lettre e du nombre 2,718281828...
provient d'Euler.
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