Cisaillement et Torsion
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Cisaillement et Torsion
Cisaillement et Torsion Chapitre IV: Cisaillement Définition: F y y couteau Ty x G z ε Une poutre est sollicitée au cisaillement si le torseur représentant les forces de cohésion se réduit au centre de gravité G d’une section droite à: r ⎧ Ty r ℑFi / 2 ⎨ r Mz = 0 G⎩ La déformation se manifeste par un glissement de la section droite chargée par rapport à ses voisines Remarques: 1/ Il est impossible de charger une seule section ( l’outil à une épaisseur) 2/ L’effort F et la réaction T ne sont pas directement opposés. Les plans des lignes d’action sont décalés de ε Contraintes dans la section droite: y Fe ε dS M G Ty y z Bilan des efforts appliqués + Poids propre de la poutre négligé devant les forces de contact + Fe: charge linéairement répartie suivant la largeur de la poutre + Les efforts internes Fi agissant sur (S) donnant naissance sur une surface (dS) autour du point M à une contrainte tangentielle τ suivant l’axe d’action de Fe . En ne tenant pas compte du phénomène de concentration des contraintes à l’endroit de l’application de la charge ainsi que la déformation locale, la répartition des contraintes est supposée uniforme sur (S). Le torseur des efforts extérieurs s’écrit: r r ⎧⎪ − Fe y ℑFe / 2 ⎨ r r M z = − Fe ε z ⎪ G⎩ L’équilibre du tronçon s’écrit: r r r ⎧( τdS − Fe ) y = 0 ⎪∫ ℑFi / 2 + ℑFe / 2 = ⎨ S r r r ⎪ (− Fe ε ) z = 0 G⎩ (1) (2) (2) Signifie Fe ε = 0 ⇒ ε = 0 (en réalité ε est ≈ 0,1 mm et Feε # 0) Dans le cas du cisaillement les contraintes normales à la section droite sont nulles. Remarque: Si ε pas infiniment petit, la sollicitation est alors composée de flexion et de cisaillement. Pour une répartition uniforme des contraintes, la valeur de la contrainte tangentielle moyenne est déduite de l’équation (1): r ∫ τdS − Fe = 0 S r ⇒ τS − Fe = 0 ⇒ τ = r Fe ε S Elasticité transversale La section (S1) se déplace dans son plan parallèlement à la section (S2) et créé une dénivellation mesurée par j Si on admet que la droite joignant les points S1 et S2 rectiligne, la déformation peut se définir par: ; γ: angle de glissement j tg γ = ε γ étant très petit on a: γ = j ε Fe j Ty Loi d’élasticité en cisaillement (Hooke) Le diagramme donnant la variation de la contrainte τ avec l’angle γ est une courbe d’allure générale analogue à la courbe de traction dans la phase linéaire (élastique) et la loi s’écrit: r Fe S = r Ty S = τ = Gγ G est nommé coefficient d ’élasticité transversale, vu qu’il intervient dans des déformation perpendiculaires à l’axe longitudinal de la pièce. On a généralement G < E, pour l’acier: G = 0,4 E La loi de Hooke en cisaillement s’écrit donc: r Ty S = Gγ = G j ε Condition de résistance au cisaillement Pour qu’un solide sollicité au cisaillement puisse travailler en toute sécurité Il faut que: τ= r Fe S ≤ R pg avec R pg = Rg s Rpg : résistance pratique au glissement Rg: limite élastique au cisaillement déterminée par l’essai de torsion s: coefficient de sécurité Remarque: Les limites élastiques Rg et Re sont liées, à titre d’exemple on a: Rg = 0,5 Re pour les aciers doux et mi-durs et les alliages d’alluminium Rg = 0,8 Re pour les acier durs et très durs Condition de rupture par cisaillement: Si la pièce doit céder au cisaillement il faut que: τ= r Fe S ≥ Rrg Rrg: résistance à la rupture par cisaillement Chapitre V: Torsion Définition Une poutre droite est sollicitée en torsion chaque fois que les actions aux extrémités (A et B) se réduisent à deux couples M et –M égaux et opposés d’axe la ligne moyenne Lm. Exemple : tige de tournevis. Limitations: De la définition précédente et des hypothèses de la RDM découlent les limitations suivantes: •Seules les poutres droites peuvent être sollicitées à la torsion. Les poutres courbes sont soumises à des sollicitations composées (M ne sera pas porté par la ligne moyenne). •La RDM ne peut étudier que la torsion de poutres de révolution pour lesquelles une section plane avant déformation le reste après déformation. Etude de la déformation-Angle de torsion Constatations expérimentales *Les sections droites avant déformation restent droites après déformation (planes et perpendiculaires à la ligne moyenne). *Les fibres ou génératrices initialement parallèles à la ligne moyenne s’enroulent suivant des hélices autour de cet axe. *La longueur des fibres restent sensiblement invariable ou constante (hypothèse des petites déformations). *Les sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotations d’axe le ligne moyenne). *Les rayons GK restent droits dans le domaine élastique, mais s’incurvent dans le domaine plastique. αx = angle de torsion entre les sections droites A et G α= angle de torsion de la poutre. Angle unitaire de torsion On constate que: *Une génératrice C0D0, située à une distance ρ de l’axe, est déformée en C0D, arc d’hélice moulé sur un cylindre de rayon ρ. L’arc d’hélice est incliné d’un angle γ par rapport à C0D0. •Les section extrêmes ont tourné l’une par rapport à l’autre d’un angle α appelé angle de torsion relatif à la section qui a tourné. La relation liant γ et α est: DD0 ρα tgγ = = ≈γ C0 D0 L On a: θ= ρ D’où Dans le domaine élastique γ très petit γ = ρθ L θ est appelé angle unitaire de torsion Unité : rad/m ou rad/mm Efforts intérieurs-Moment de torsion On pratique une coupure fictive (S) dans la poutreafin de la diviser en deux tronçons pour faire apparaître et calculer (statique) les efforts intérieurs ou de cohésion Avec MT = M Remarque: Dans le cas de la torsion, tous les autres efforts intérieurs sont nuls; N = T = Mf = 0 Contraintes tangentielles de torsion En torsion, et dans le cas des petites déformations, les contraintes normales σ sont négligeables. Les contraintes dans la coupure (S) se réduisent à des contraintes tangentielles ou de cisaillement τ. A partir de la relation «τ = G γ » obtenue au chapitre « Cisaillement », on montre que la contrainte τM, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle à la distance ρ = GM, entre le point et la ligne moyenne. Remarque: tous les points situés sur un même cercle de centre G et de rayon ρ ont même contrainte. Les contraintes sont maximales à la périphérie : τMaxi = G θ R pour ρMaxi = R Relation entre MT et θ Relation entre τ et MT Condition de résistance à la torsion Il caractérise la rigidité en torsion de la Section (S) de la poutre Concentration de contraintes D’après l’abaque on trouve Kts= 1.4 τ0 le plus grand est celui de la section de plus faible rayon.