Physique générale

C39131
Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE APPLIQUÉE
Session 2009
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Épreuve de
PHYSIQUE GÉNÉRALE
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Durée : 4 heures
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Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique – à
fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre
1999.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est
rigoureusement interdit.
Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans
sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.
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Cette épreuve est constituée de deux problèmes totalement indépendants.
Problème 1
Autour de la gravitation
En 1687, Isaac Newton publia ses Principes Mathématiques de Philosophie Naturelle dans lequel il
montre que deux effets apparemment très différents (la pesanteur et le mouvement des corps célestes) sont
en fait le résultat d'une seule et même cause : la gravitation universelle. A partir des travaux de Johannes
Kepler sur l'étude du mouvement des planètes, il énonce la loi gravitationnelle (interaction proportionnelle
au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance).
On propose ici d'étudier dans un premier temps la mise en oeuvre de l'expérience de Henry Cavendish
(1798) qui a permis de déterminer une première valeur de la constante gravitationnelle G (parties I et II) et
ensuite d'étudier un phénomène lié à la gravitation, le phénomène des marées (parties III et IV).
Notations et données numériques:
• Constante gravitationnelle : G = 6,67.10-11 N.kg-2.m-2
• Masse du Soleil : M S = 1,99.10 30 kg
• Distance moyenne Terre-Soleil : DS = 1,50.1011 m
• Masse de la Lune : M L = 7,34.10 22 kg
• Distance moyenne Terre-Lune : DL = 3,84.108 m
• Rayon de la Lune : RL = 1,75.10 6 m
• Masse de la Terre : M T = 5,98.10 24 kg
• Rayon de la Terre : RT = 6,37.10 6 m
I. Détermination de la constante de raideur d'un fil de torsion
On réalise un pendule de torsion à l'aide de deux fils de torsion de constante de raideur k (couple de
rappel : C = −kθ ). A l'extrémité de ces deux fils de torsion est fixée une tige de longueur 2l = 40 cm
parallèlement au sol du laboratoire. Aux deux extrémités de cette tige sont attachées deux masses. On note
I le moment d'inertie de l'ensemble {masses+tige} par rapport à l'axe vertical Oz (cf. Fig. 1).
Le système évoluant dans l'air, on supposera que les masses sont chacune soumises à une force de
frottements visqueux de la forme : F f = − hv ( h > 0 ) où v est la vitesse de l'une des masses. On négligera
les frottements s'exerçant sur la tige.
On note g l'accélération de pesanteur.
Figure 1.
Equation du mouvement :
I.1. En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que l'équation différentielle du mouvement
de l'ensemble {masses+tige} est de la forme :
d 2θ 2 dθ
+
+ ω 02θ = 0
2
τ dt
dt
On exprimera τ et ω 0 en fonction de I , h , l et k.
A l'instant t = 0 , le système est lancé de sa position de repos ( θ = 0 ) avec une vitesse initiale angulaire
dθ 
 = θ&0 . Les frottements sont supposés suffisamment faibles pour que le régime d'oscillation du
dt  t = 0
pendule de torsion soit pseudo-périodique.
I.2. Déduire de l'hypothèse précédente une condition sur h .
I.3. Déterminer alors, dans le cas des petites oscillations, la solution θ (t ) de l'équation différentielle du
second ordre vérifiée par l'angle θ .
I.4. Tracer la représentation graphique de θ (t ) en fonction du temps, les courbes enveloppes et la
tangente à l'origine de l’enveloppe.
I.5. Que devient l'expression de ω lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement (loin du régime
critique, c'est-à-dire τ >> T où T est la pseudo période du mouvement) ?
I.6. En déduire une expression approchée de la vitesse angulaire Ω (t ) = θ& sous la forme :
Ω (t ) = Ae − t/τ cos(ωt )
où l'on précisera l'expression de A et ω .
Étude énergétique :
I.7. Préciser l'expression de l'énergie cinétique E c (t ) en fonction de I et Ω (t ) . Que devient cette
expression lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement ?
I.8. Préciser l'expression de l'énergie potentielle du pendule associée au couple de torsion E p (t ) en
fonction de k et θ (t ) . Que devient cette expression lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement ?
I.9. En déduire l'expression de l'énergie mécanique E m (t ) en régime de faible amortissement en fonction
du temps t , de I , de τ et de θ& .
0
I.10. Tracer alors le graphe de ces énergies en fonction du temps. Interpréter physiquement.
Approche expérimentale :
 θ (t ) 
 , où T est la pseudo-période
I.11. On appelle décrément logarithmique δ la quantité δ = ln
 θ (t + nT ) 
et t le temps. Exprimer δ en fonction de T , n et τ dans le cas du régime de faible amortissement.
Le pendule oscille de 2 pseudo-périodes pendant 32 s. L'amplitude des oscillations est réduite d'un
facteur 3 au bout de 10 oscillations ( I = 2,6.10−5 kg.m2).
I.12. Calculer numériquement à partir de ces valeurs, sans oublier de préciser les unités :
• la pseudo-période T ;
• le décrément logarithmique δ ;
• la constante de temps τ ;
• la pseudo-pulsation et la pulsation propre ;
• la constante de raideur du fil de torsion k.
II. Pendule de torsion de Cavendish
La première détermination de la constante gravitationnelle G a été réalisée par Henry Cavendish en 1798.
L'expérience menée est la suivante : deux petites sphères de platine de masse m = 50 g sont placées aux
extrémités d'une tige horizontale de longueur 2l = 50 cm. Cette tige est suspendue à un fil de torsion de
même nature que celui étudié précédemment, de constante de torsion k = 2.10 −6 N.m (cf. Fig. 2).
Deux sphères de plomb identiques de masse M = 30 kg positionnées dans le plan horizontal de la tige
sont placées à une distance d = 15 cm du centre de chaque petite sphère de platine. Le pendule est alors
dévié d'un angle α .
Lorsqu'on déplace les sphères de plomb dans une nouvelle position symétrique de la précédente et
indiquée en pointillés sur la figure 2, le pendule tourne alors d'un angle θ = 2α .
On négligera l'action de chaque grosse sphère sur la petite sphère la plus éloignée.
Figure 2.
II.1. Exprimer la force gravitationnelle qui s'exerce sur chaque petite sphère. En déduire la déviation θ
du pendule en fonction de G, M , m , l , k et d .
L'angle dont tourne le pendule lorsque l'on permute les positions des grosses sphères est mesuré à l'aide
d'un miroir fixé sur l'axe de rotation du pendule. La déviation du faisceau lumineux est mesurée sur une
échelle placée à une distance b = 4 m du pendule.
II.2. On mesure une déviation sur l'échelle de a = 9 mm. Déduire de cette mesure la valeur de G.
Comparer à la valeur donnée en préambule.
III. Etude du champ gravitationnel
III.1. Qu'appelle t-on référentiel galiléen ?
III.2. Définir le référentiel héliocentrique. A quelles conditions peut-on le considérer comme galiléen ?
III.3. Définir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de mettre en évidence le
caractère non galiléen de ce référentiel.
La loi d'interaction gravitationnelle entre deux particules A et B de masses réciproques m A et mB a pour
expression :
m m
F = G A B3 AB
AB
avec G constante gravitationnelle.
III.4. Rappeler l'expression du théorème de Gauss définissant le flux du champ électrostatique E à
travers une surface fermée. Préciser l'unité de chaque grandeur physique présente dans la relation.
On rappelle que toute particule de charge q′ située en M plongée dans un champ électrostatique E (M )
subit une force F telle que F = q′ ⋅ E ( M ) .
On définit par analogie au champ électrostatique un champ gravitationnel G (M ) créé par une
distribution de masse quelconque tel que tout point matériel de masse m′ placé en M subit une force F
telle que F = m′.G ( M ) .
III.5. Donner l'expression de G (M ) , champ gravitationnel créé en M par une masse ponctuelle m .
III.6. Construire un tableau faisant apparaître les analogies entre E (M ) , G (M ) , q , m et les autres
grandeurs qui vous sembleront nécessaires. Énoncer un équivalent du théorème de Gauss définissant le flux
()
du champ gravitationnel. Préciser l'expression de div G .
III.7. Déterminer l'expression du champ G ( M ) créé par un astre sphérique de masse M A (répartition
des masses supposée uniforme) de rayon R en un point M quelconque de l'espace ( r < R et r > R ).
IV. Etude du phénomène des marées
Dans la suite du problème, on note :
• R le référentiel de Copernic dont l'origine est le centre de masse O du système solaire et les trois axes
x, y, z pointent vers trois étoiles lointaines de la sphère céleste. R réalise une excellente approximation
d'un référentiel galiléen. Le repère associé est (O, u x , u y , u z )
• RT le référentiel géocentrique dont l'origine est le centre de masse T de la Terre et de repère associé
(T, u x , u y , u z ) avec u z : vecteur unitaire de l'axe des pôles.
• RL le référentiel barycentrique de la Lune (ou référentiel sélénocentrique) dont l'origine est le centre
de masse L de la Lune et de repère associé (L, u x , u y , u z ).
• a(T ) / R l'accélération du centre T de la Terre dans R.
Le Soleil, la Lune et la Terre sont supposés être sphériques à répartition de masse uniforme. On note
GS ( M ) , G L ( M ) , GT ( M ) , les champs gravitationnels créés respectivement en M par le Soleil, la Lune, et
la Terre.
IV.1. Quel est le mouvement du référentiel géocentrique RT dans le référentiel de Copernic si l'on
suppose M L = M T ? Dans ces conditions, RT est-il galiléen ?
IV.2. On considère une particule de masse m assimilée à un point matériel se trouvant au point M, au
voisinage de la Terre à l'instant t. On néglige la résultante des forces autres que les forces de gravitation et
d'inertie s'exerçant sur la particule. On considérera que seuls la Terre, la Lune et le Soleil contribuent au
champ gravitationnel total.
Écrire le principe fondamental de la dynamique pour la particule dans le référentiel RT.
IV.3. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la Terre et déterminer l'expression de
a(T ) / R. On considérera que la Terre se comporte comme un point matériel dans R.
IV.4. Montrer alors que l'on peut écrire : m a (T ) / R T = mGT ( M ) + mC L ( M ) + mC S ( M ) où
• C L ( M ) = G L ( M ) − G L (T ) représente le champ de marée dû à la Lune en M
• C S ( M ) = G S ( M ) − GS (T ) représente le champ de marée dû au Soleil en M.
On considère le point M de la surface terrestre de coordonnées ( x, 0, z ) dans le repère associé au
référentiel RT. Pour simplifier on notera A le nom de l'astre étudié (Soleil ou Lune) de centre de masse A,
D A la distance TA et C A ( M ) le champ de marée dû à cet astre A. Dans la suite, on propose d'étudier le
champ de marée C A ( M ) .
z
z
Figure 3.
IV.5. En supposant que D A >> RT , exprimer le vecteur MA . En déduire à l'aide d'un développement
1
limité à l'ordre 1 l'expression de
en fonction de RT , D A et cos θ .
3
MA
IV.6. Exprimer le champ de marée dû à l'astre A en fonction de x et z .
IV.7. En reprenant le schéma de la figure 3, représenter en plusieurs points bien choisis le champ de
marée. Justifier le fait qu'il existe deux marées par jour.
On propose maintenant de comparer le champ de marée dû au Soleil à celui dû à la Lune.
IV.8. On se place au point M 0 ( RT , 0, 0 ). Préciser l'expression des champs de marée C L ( M 0 ) ,
C S ( M 0 ) . Faire les applications numériques correspondantes. Quel est l'astre qui a l'effet le plus important ?
Expliquer le phénomène des marées à la surface de la Terre.
Problème 2
Etude de la conductivité électrique
Dans ce problème nous allons étudier différents aspects de la conduction électrique dans un milieu
conducteur, ici de l'argent (à l’exception de la partie IV).
On considère dans tout le problème l'argent comme un milieu conducteur métallique pour lequel les
porteurs de charges assurant la conduction sont des électrons de charges qe = −e , de masse m , en
concentration nq par unité de volume.
On admet que ce métal présente un électron de conduction par atome et que sa conductivité est
γ 0 = 6,0.10 7 ⋅ Ω-1.m-1.
Notations et données numériques :
• Masse atomique de l'argent : M Ag = 107,9 g.mol-1
• Masse volumique de l'argent : µ Ag = 10,5.103 kg.m-3
• Charge élémentaire : e = 1,6.10 −19 C
• Masse de l'électron : m = 9,11.10 −31 kg
• Nombre d'Avogadro : N A = 6,02.10 23 mol-1
1
• Permittivité du vide : ε 0 =
F.m-1
36π10 9
• Perméabilité du vide : µ 0 = 4π10 −7 H. m-1
( )
( )
• u ∧ (v ∧ w) = (u.w).v − (u.v ).w
• rot rot A = grad div A − ∆ A
• Tout au long du problème on notera i le nombre complexe tel que i 2 = −1 . Ceci afin d'éviter toute
confusion avec la densité volumique de courant j .
I. Densité du courant électrique
I.1. Énoncer la définition de l'intensité du courant électrique.
On suppose que, sous l'action d'un champ électrostatique E , tous les électrons, initialement au repos, se
déplacent avec un vecteur vitesse v identique à la date t . Soient dS un élément de surface interne au
conducteur et le vecteur unitaire n qui lui est normal. On note d S le vecteur surface élémentaire
d S = dS n .
I.2. Déterminer en fonction de q e , n q , v et d S l'expression de la charge dq qui traverse l'élément de
surface dS entre les instants t et t + dt .
I.3. Montrer que dq/dt peut être exprimé en fonction du flux élémentaire d'un vecteur j à travers la
surface d S ; en déduire l'expression de j qu'on appelle vecteur densité de courant. Préciser son unité.
I.4. Calculer n q et v la norme de la vitesse de dérive des électrons dans un fil d'argent de section
S = 1 mm2 et traversé par un courant d'intensité 5 A. On supposera une répartition uniforme du courant sur
toute la section du conducteur.
II. Domaine de validité de la loi d'Ohm locale
Dans cette partie on propose d'étudier la mise en mouvement des électrons sous l'action du champ
électrique E à l'intérieur du conducteur. On admet que les différentes interactions entre un électron mobile
m
et le milieu se ramènent pour un électron de vitesse v à une force qu'on écrira sous la forme F f = − v
τ
dans laquelle τ est une constante de temps caractéristique du milieu. On négligera l'action du poids sur les
électrons mobiles.
II.1. Écrire l'équation différentielle traduisant le mouvement d'un électron sous l'action du champ
électrique E .
II.2. En déduire l'équation différentielle régissant l'évolution de j au cours du temps.
II.3. On suppose pour cette question que E est un champ uniforme et indépendant du temps : E = E 0 .
Lorsque le régime permanent est atteint, exprimer le vecteur densité de courant sous la forme j = γ 0 E (loi
d'Ohm locale). Préciser l'expression de la conductivité γ 0 du milieu en fonction de q e , m , n q et τ .
II.4. On suppose maintenant que E est un champ uniforme et dépendant du temps. E s'écrit sous la
forme : E = E 0 cos(ωt ) .
II.4.a. Justifier que le vecteur densité de courant j se met sous la forme j = j 0 cos(ωt + ϕ ) en
régime permanent.
II.4.b. En déduire la conductivité γ (ω ) du milieu et ϕ en fonction de γ 0 , ω et τ .
II.5. Déterminer un ordre de grandeur de la constante de temps τ .
II.6. A partir de quelle valeur de fréquence f l , γ diffère-t-il de γ 0 d'au moins 10% en valeur relative ?
Quelle conclusion peut-on donner dans le cadre des courants sinusoïdaux de basse fréquence ?
On se placera dans toute la suite du problème dans le cadre d'un régime basse fréquence où la densité de
courant se met sous la forme j = γ 0 E (loi d’Ohm locale).
III. Application de la loi d'Ohm locale : l'effet de peau
On étudie la propagation dans un métal, ici l'argent, d'une onde plane monochromatique
électromagnétique de pulsation ω et de vecteur d'onde k . Le champ électrique s'écrit sous la forme :
E (r , t ) = E 0 e i ( ωt − k r ) avec E 0 réel.
Le domaine spectral envisagé correspond aux ondes centimétriques.
III.1. Quel est l'ordre de grandeur de la fréquence des ondes étudiées ? Que peut-on penser de la
conductivité γ , a priori complexe, du métal dans ce domaine de fréquences ?
III.2. Comparer les amplitudes des vecteurs densité de courant électrique de conduction j c et densité de
courant de déplacement jd . En déduire une forme approchée des équations de Maxwell dans le milieu.
III.3. A partir de la loi d'Ohm locale et des équations de Maxwell, déterminer l'équation différentielle
régissant l'évolution de j .
III.4. Quelle est la relation de dispersion des ondes de courant dans le métal ? Donner l'expression de la
densité volumique de courant de l'onde, qui se propage dans la direction de l'axe (Oz ) , à z croissants, dans
le métal qui occupe la zone z > 0 . On posera δ =
2
µ 0 γω
l'épaisseur de peau.
III.5. Interpréter physiquement l'effet de peau. Comparer δ pour f = 50 Hz et f = 10 kHz.
III.6. A partir de la loi d'Ohm locale, en déduire l'expression du champ électrique E et du champ
magnétique B à l'intérieur du conducteur.
III.7. A partir de la loi d'Ohm locale, déterminer la puissance moyenne cédée par l'onde au métal dans un
volume cylindrique élémentaire, de section S perpendiculaire à (Oz ) , dont les faces planes sont situées aux
abscisses z et z + dz .
III.8. Retrouver ce résultat en déterminant le flux du vecteur de Poynting à travers la surface d'entrée et
de sortie délimitant ce volume et en vérifiant le bilan énergétique local.
IV. Application de la loi d'Ohm locale : étude de la résistance de fuite d'un
cable coaxial
Un câble coaxial utilisé en transmission de signaux BF (basse fréquence) est constitué d'un conducteur
cylindrique central plein (âme) de rayon ra et d'un conducteur cylindrique creux (gaine) coaxial au
précédent, de rayon interne rg . La longueur du câble l est très grande devant les rayons ra et rg .
Figure 4.
Un isolant homogène et isotrope de permittivité relative ε r remplit l'espace entre les deux conducteurs.
On étudie la résistance de fuite que présente cet isolant. La conductivité électrique γ i de cet isolant est
supposée homogène et constante.
Une source de tension continue U est connectée entre l'âme et la gaine de potentiel respectif Va et Vg .
Un point M quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) par rapport au
câble d'axe de symétrie (O z ), l'origine étant quelque part sur cet axe.
IV.1. Déterminer la direction des vecteurs champ électrique E et densité de courant j en tout point de
l'isolant. Préciser de quelles coordonnées du point M dépendent j( M ) et E( M ) .
IV.2. Déterminer l'expression de j en fonction du courant de fuite I f et r .
IV.3. En déduire l'expression de E( M ) en fonction de I f .
IV.4. Déterminer l'expression de U = Va − V g en fonction de I f .
IV.5. Montrer alors que la conductance linéique de fuite du câble g f est : g f = γ i ⋅
Fin de l’épreuve
2π
ln( rg /ra )