Feuille 3 : Exercices sur les applications linéaires

Université de Poitiers
Mathématiques
L1 SPIC, Module 2L02
2010/2011
Feuille 3 : Exercices sur les applications linéaires
Exercice 1 : Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
1. f1 : R → R, x 7→ 7x2 ,
2. f2 : R2 → R2 , (x, y) 7→ (2x + y, x − y),
3. f3 : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (xy, x, y),
4. f4 : R[X] → R[X], P 7→ P ′ ,
5. f5 : R[X]≤3 → R3 , P 7→ (P (−1), P (0), P (1)),
6. f6 : R[X] → R[X], P 7→ 2P − (X − 1)P ′ ,
7. f7 : R → R, x 7→ sin x,
8. f8 : R2 → R2 , (x, y) 7→ la solution du système d’équations en (u, v) :
3u − v = x
6u + 2v = y.
Exercice 2 : Soit f : R5 → R2 définie par f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x4 − x5 ).
1. Montrer que f ∈ LR (R5 , R2 ).
2. Déterminer une base de ker(f ) et Im(f ). L’application f est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 3 : Soit f : R3 → R3 l’application linéaire définie par f (x, y, z) = (2y + z, z, 0).
1. Déterminer ker(f ) et Im(f ).
2. Calculer f 2 = f ◦ f puis ker(f 2 ) et Im(f 2 ).
3. Montrer que f est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier n ∈ N tel que f n = 0.
Exercice 4 : Soient E = R[X]≤3 l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
et f l’application définie pour P ∈ E par f (P ) = 2P − (X − 1)P ′ .
1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Déterminer ker(f ) et Im(f ).
Exercice 5 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et E = (e1 , e2 , e3 ) une base de E.
1. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme f de E tel que

 f (e1 ) = e1 + e2 − e3 ,
f (e2 ) = e1 + e2 + 2e3 ,

f (e3 ) = e1 + 2e2 + 3e3 .
2. Déterminer ker(f ) et Im(f ).
Exercice 6 : Soit f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (13x−8y−12z, 12x−7y−12z, 6x−4y−5z).
On pose F1 = {u ∈ R3 , f (u) = u} et F2 = {u ∈ R3 , f (u) = −u}.
1. Montrer que F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels de R3 et déterminer leur dimension.
2. Montrer que F1 et F2 sont supplémentaires dans R3 .
Exercice 7 : Montrer que si f ∈ LK (Kn , K) et f 6= 0, alors f est surjective.
Exercice 8 : Soient E un K-espace vectoriel et f, g deux endomorphismes de E tels que g ◦ f =
f ◦ g (on dit alors que f et g commutent).
On dit qu’un sous-espace F de E est stable par un endomorphisme u si u(F ) ⊂ F .
Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont stables par g.
Exercice 9 : Soient E un K-espace vectoriel et p : E → E une application linéaire telle que
p2 = p ◦ p = p. On dit que p est un projecteur.
1. Donner un exemple de projecteur de R2 (qui ne soit pas idR2 ).
2. Montrer que idE − p est un projecteur.
3. Montrer que ker(p) = Im(idE − p) et que Im(p) = ker(idE − p).
4. Prouver que les sous-espaces ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E.
5. Soit x ∈ E de décomposition x = u + v dans ker(p) + Im(p). Montrer que p(x) = v.
Exercice 10 : Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ LK (E)(= LK (E, E)).
1. Montrer que ker(f ) = ker(f 2 ) si et seulement si Im(f ) ∩ ker(f ) = {0}.
2. Montrer que Im(f ) = Im(f 2 ) si et seulement si Im(f ) + ker(f ) = E. Si de plus E est de
dimension finie, en déduire que Im(f ) = Im(f 2 ) si et seulement si Im(f ) et ker(f ) sont
supplémentaires dans E.
3. Si f est un projecteur, retrouver à l’aide des deux résultats précédent que ker(f ) et Im(f )
sont supplémentaires dans E.
Exercice 11 : Soient E un espace vectoriel de dimension 3 et ϕ un endomorphisme de E tel
que ϕ3 = 0 et ϕ2 6= 0. Soit x ∈ E tel que ϕ2 (x) 6= 0. Montrer que la famille {x, ϕ(x), ϕ2 (x)} est
une base de E.
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