Cours document pdf 145 ko - Maths
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http://maths-sciences.fr Bac Pro indus RÉGIME ALTERNATIF SINUSOïDAL MONOPHASÉ I) Aspect mathématique d’une tension alternative sinusoïdale 1) Caractéristiques d’une tension alternative sinusoïdale L’oscillogramme traduit les variations de la tension u au cours du temps. u est la tension instantanée. U (en V) Um T 0 - Um À partir de cette courbe, on lit : - la tension maximale (en V) notée Um (parfois Umax) et appelée amplitude - la période (en s) notée T, temps au bout duquel le signal se reproduit identique à luimême. Et on déduit : - la fréquence (en Hz) notée f, inverse de la période. - la pulsation (en rad/s) notée ω. ω = 2π f = f = 2π T 1 T 2) Représentation de Fresnel JJJG La sinusoïde représentant la tension alternative sinusoïdale u, est engendrée par le vecteur U m JJJG appelé vecteur de Fresnel. À l’origine des temps, U m est l’axe Ox, origine des phases. Le vecteur tourne autour du point O. La vitesse angulaire de rotation est égale à la pulsation ω de la tension. Sens de rotation x’ y 0 U (en V) JJJG x Um 0 T 4 t (s) y’ Cours sur le régime alternatif sinusoïdal monophasé 1/4 http://maths-sciences.fr Bac Pro indus 3) Valeur instantanée de la tension La tension est une fonction sinusoïdale du temps. a) Cas où la tension est nulle au temps t = 0 Dans ce cas U(0) = 0. La tension est donné par : u = U m sin (ωt ) = U eff 2 sin (ωt ) U m = U eff 2 , Um : tension maximale Ueff : tension efficace b) Cas où la tension prend la valeur u0 au temps t = 0 Dans ce cas U(0) = u0. La tension est donné par : u = U m sin (ωt + ϕ ) = U eff 2 sin (ωt + ϕ ) φ : phase à l’origine. Sens de rotation x’ y U (en V) u0 0 φ JJJG x Um T 0 t (s) y’ II) Déphasage entre deux tensions y U (en V) JJG Vm x’ 0 v0 φ JJJG x Um 0 t (s) y’ Cours sur le régime alternatif sinusoïdal monophasé 2/4 http://maths-sciences.fr Bac Pro indus JJG JJJG Les vecteurs U m et Vm représentent respectivement les tensions u et v. L’angle φ tel que JJJG JJG ϕ = U m ;Vm est appelé déphasage. JJJG JJG U m et Vm ont la même vitesse angulaire. Le déphasage reste constant. ( ) III) Additivité des tensions ~ A Dans le circuit ci-dessus uAC = uAB + uBC. B C JG JG JG Si les vecteurs U AC , U AB et U BC représentent respectivement les tensions uAC, uAB et uBC , alors : JG JG JG U AC = U AB + U BC JG U AC Diagramme de Fresnel : JG U AB JG U BC φ IV) Courant alternatif sinusoïdal 1) Expression de l’intensité Un dipôle soumis à une tension alternative u = Um sin (ωt) est traversé par un courant alternatif sinusoïdal d’intensité i = Im sin (ωt+φ) où φ est le déphasage de i par rapport à u. i u 2) Vecteur de Fresnel JJG Comme pour une tension, un courant peut être représenté par un vecteur de Fresnel I m où I m = I eff 2 JJG Im JJJG Um φ 3) Loi des noeuds i = i1+ i2 G JG JJG Si les vecteurs I , I1 et I 2 représentent respectivement les intensités i, i1 et i2, alors : G JG JJG I = I1 + I 2 Cours sur le régime alternatif sinusoïdal monophasé 3/4 http://maths-sciences.fr Bac Pro indus V) Impédance d’un circuit 1) Définition U Le rapport est appelé impédance du circuit et se note Z. I U : tension en V I : intensité en A Z : impédance en Ω Z= U I Cette relation conduit à la loi d’Ohm en régime sinusoïdal : Z = U × I 2) Principaux dipôles passifs G Le vecteur de Fresnel I associé au courant i est pris comme référence d’origine des phases. Dipôle Impédance Diagramme de Fresnel Résistor parfait Z=R R : résistance en Ω φ = 0. JG U G G I JG U et I sont en phase JG G U = Lω I Bobine parfaite Condensateur parfait Z = Lω L : inductance en henrys (H) 1 Cω C : capacité en farads (F) Z= ϕ= Oscillogramme i u i π G 2 I G JG U est en quadrature avance sur I . G I u i G JG I U= Cω G JG U est en quadrature retard sur I . u Dipôles réels Dipôle équivalent Dipôle Bobine réelle uL ur L r Impédance JG JG JG U bobine = U L + U r Z = r 2 + ( Lω ) ubobine i 2 JG K U = ZI iR 1 Z = r + Cω Cours sur le régime alternatif sinusoïdal monophasé 2 2 cos ϕ = K Lω I φ K rI r Z K I JG U r G G G I condensateur = I C + I r iC Condensateur réel Diagramme de Fresnel JG U Z φ JK U ⋅ C ⋅ω 4/4