Numération et Logique Contrôle continu du 15 avril 2013

Université Paris Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06
Numération et Logique
Contrôle continu du 15 avril 2013
Nombre de pages de l’énoncé : 1 . Durée 1h
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interdit.
Justifiez vos réponses ! Il sera tenu compte de la présentation.
Questions de cours
1. Calculer y 2336 mod 7.
2. Donner la table d’addition modulo 2 sur l’ensemble F2 = f0, 1g.
Quelle opérateur binaire logique admet la même table ?
3. Tracer le cube qui permet de trouver facilement tous les codes Gray à 3 bits.
Exercice 1 [Codage des réels en machine, base 2]
On considère une machine qui code, en base 2, les réels sur 8 bits : b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
de la façon suivante : le bit de poids fort b7 est le bit de signe avec la convention habituelle,
les bits b6 à b4 codent l’exposant biaisée
et les bits b3 à b0 codent la mantisse normalisée en utilisant la technique du bit caché.
1. Déterminez, en base 10, la plus petite et la plus grande valeur représentées
par la mantisse m = b3 b2 b1 b0 .
Que deviendraient ces valeurs si l’on avait utilisé une représentation normalisée sans la technique
du bit caché ?
Expliquez, à l’aide de cet exemple, l’utilité de la technique du bit caché.
2. Déterminer le biais de l’exposant. En déduire, en base 10, les valeurs que l’exposant peut prendre.
Donner en particulier les valeurs des exposants codés par b6 b5 b4 = 000, 111 et 010 .
3. Donnez la représentation dans cette machine de (2, 75)10 en expliquant clairement comment vous
obtenez l’exposant et la mantisse.
4. Donnez, en base 10, le réel codé sur cette machine par 1 0 1 0 1 1 0 0
Exercice 2 [Codage de Huffman]
On veut coder les caractères a, c, d, e, g et o, seuls présents dans un texte. On a les fréquences d’apparition
p(a) = 0, 19 ; p(c) = 0, 20 ; p(d ) = 0, 21 ; p(e) = 0, 22 ; p(g) = 0, 08
1. Justifier pourquoi la fréquence d’apparition du caractère o est 0, 10 .
2. Générer un arbre de Huffman binaire et proposer le codage correspondant en affectant “0” aux
probabilités les plus petites. On tracera les branches “1” à gauche et les branches “0” à droite.
3. Écrire le code des six lettres.
4. Décoder la séquence 00110101111110010 . Expliquez votre démarche.
5. Quelle est la longueur moyenne de ce code ?
6. Combien de bits par lettre faudrait il pour un code de longueur fixe ? Que devient alors la longueur
moyenne ? Comparez au code de Huffman.
7. Quelle est la longueur moyenne du code suivant
code(a) = 00 ; code(c) = 01 ; code(d) = 0 ; code(e) = 1 ; code(g) = 10 ; code(o) = 11 ?
Pourquoi ne pas l’avoir choisi ?
Exercice 3
Soit F = x ! ((x ! y) ! y)
1. Donner la table de vérité de la formule F.
2. Que peut-on dire de F ?