3. Fiche de synth`ese sur le nombre d´eriv´e 4. Exercices et corrig´es

3. Fiche de synthèse sur le nombre dérivé
Définition du nombre dérivé de la fonction f en a :
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
=l
h
Équation de la tangente à Cf en a :
Ta : y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
4. Exercices et corrigés
22, 23, 26 p.84 : Utiliser la définition 4.1 pour prouver l’existence du nombre dérivé au point a de la fonction f
indiquée, puis calculez sa valeur.
1) f (x) =
1
x
en a = −1.
2) f (x) = x2 − 5x + 3 en a = 2.
3) f (x) = x3 − 3x en a un nombre donné quelconque.
Corrigé du 1°) ex.22 p.84
(a)
D’après la définition, si f 0 (a) existe, f 0 (a) vérifie : f 0 (a) = limh→0 f (a+h)−f
.
h
∗
∗
Soient a et h des réels tels que a ∈ R et a + h ∈ R , c’est-à-dire a 6= 0 et h 6= −a. Il vient :
f (a+h)−f (a)
h
=
1
h
=
1
h
1
h
1
a+h
−
1
a
a×1
− (a+h)×1
a(a+h) a(a+h)
a−(a+h)
a(a+h)
a−
a−h)
a(a+h)
=
1
h
=
−
h
ha(a+h)
−1
=
=
a(a+h)
Lorsque h → 0, on a
lim
h→0
existe et
lim
h→0
En particulier pour a = −1, il vient f 0 (−1) =
−1
(−1)2
=
−1
a(a + h)
−1
−1
= 2
a(a + h)
a
−1
1
= −1
Corrigé du 2°) ex.23 p.84
D’après la définition, si f 0 (a) existe, f 0 (a) vérifie : f 0 (a) = limh→0
Soient a et h des réels tels que a ∈ R et h ∈ R. Il vient :
f (a+h)−f (a)
= h1 (a +
h
2
1
= h a + 2ah + h2 −
= h1 2ah + h2 − 5h
2ah+h−5h
h)2 − 5(a + h) + 3 − (a2 − 5a + 3)
5
a − 5h + 3 − a2 + 5
a−
3
f (a+h)−f (a)
.
h
= h
= 2a + h − 5
Lorsque h → 0, on a
lim 2a + h − 5
h→0
existe et
lim 2a + h − 5 = 2a − 5
h→0
En particulier pour a = 2, il vient f 0 (2) = 2 × 2 − 5 = 4 − 5 = −1
53
Corrigé du 3°) ex.26 p.84
D’après la définition, si f 0 (a) existe, f 0 (a) vérifie : f 0 (a) = limh→0
Soient a et h des réels tels que a ∈ R et h ∈ R. Il vient :
f (a+h)−f (a)
.
h
f (a+h)−f (a)
= h1 (a + h)3 − 3(a + h) − (a3 − 3a)
h
= h1 a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 − 3a − 3h − a3 + 3a
= h1 3a2 h + 3ah2 + h3 − 3h
2
2
−3h
= 3a h+3ah
h
2
= 3a + 3ah − 3
Lorsque h → 0, on a
lim 3a2 + 3ah − 3
h→0
existe et
lim 3a2 + 3ah − 3 = 3a2 − 3
h→0
Et ceci pour tout a ∈ R.
D’une manière générale, si f (x) = xn , on aura f 0 (a) = nan−1 .
√
C’est bien pratique, surtout quand on sait que x1 = x−1 et que x = x1/2 ...
n°1p.77 :La courbe ci-dessous est celle d’une fonction f .
Utilisez le quadrillage pour donner le nombre dérivé associé à la tangente en A et en B.
Corrigé du n°1p.77 :La tangente en A a une pente de 2 :lorsque l’on se ”décale” d’un cran vers la droite, il faut
”monter” de 2 crans pour revenir sur la tangente, d’où la pente +2). Donc le nombre dérivé associé est +2.
La tangente en B a une pente de − 21 :lorsque l’on se ”décale” d’un cran vers la droite, il faut ”descendre” de 1/2 cran
pour revenir sur la tangente, d’où la pente -1/2). Donc le nombre dérivé associé est − 12 .
n°2p.77 :La courbe représentative C d’une fonction f passe par le point A(2; 3).
La tangente à la courbe en A passe par le point B(4; −1).
Calculez f 0 (2).
Corrigé du n°2p.77 : La tangente en A est une droite qui passe par les points A(2 ;3) et B(4 ;-1). Nous allons
chercher une équation de cette droite pour trouver son coefficient directeur ; si nous cherchons son ”équation réduite”
(équation de la forme y = mx + p), nous aurons tout de suite son coefficient directeur m. Pour cela, écrivons que les
points A et B appartiennent à la droite en mettant leurs coordonnées dans l’équation y = mx + p.
yA = mxA + p
yB = mxB + p
c’est-à-dire
:
3
= 2m + p
−1 = 4m + p
On n’a même pas besoin de résoudre entièrement le système, il suffit de trouver m, donc d’éliminer p, par exemple en
soustrayant les équations membre à membre. Il vient :
3 − (−1) = 2m − 4m + p − p, c’est-à-dire 4 = −2m, d’où m = −2.
Donc f 0 (2) = −2 (la pente de la tangente au point A donne le nombre dérivé en xA ).
n°3p.77 :C est la courbe représentative d’une fonction f . On donne :
f (0) = 2 ; f (4) = 5 ; f (7) = 3 ; f (10) = 5 ; f 0 (0) = 1 ; f 0 (4) = 0 ; f 0 (7) = 0 ; f 0 (10) = 2.
1.a) Placez les points A, B, C, D d’abscisses respectives 0 ; 4 ; 7 ; 10.
1.b) Tracez les tangentes à la courbe C en ces points.
54
2) Dessinez une allure possible de C dans l’intervalle [0 ;10].
Corrigé du n°3p.77 :
n°4p.78 :f est la fonction définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) =
C est sa courbe représentative.
1
.
x
1.a) Calculez f 0 (1) et f 0 (− 12 ), à l’aide de la définition du nombre dérivé (voir n°22p84).
1.b) Tracez la tangente à la courbe C aux points A et B d’abscisses respectives 1 et − 12 .
2) Déterminez une équation de ces tangentes.
Corrigé du n°4p.78 :
1.a) On a vu à l’ex. 22p84 que lorsque h → 0, on a
lim
h→0
existe et
lim
h→0
−1
a(a + h)
−1
−1
= 2
a(a + h)
a
−1
−1
En particulier pour a = 1, il vient f 0 (1) = (1)
2 = 1 = −1
0
−1
1
1
−1
et pour a = − 2 , il vient f (− 2 ) = (− 1 )2 = 1 = −4
2
4
1.b)
2) On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c’est-à-dire le nombre m dans une équation
réduite du type y = mx + p.
Équation de TA , la tangente au point A. On a m = −1, donc l’équation est de la forme y = −x + p.
Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A(1; f (1)), c’est-à-dire A(1; 1).
Il vient : 1 = −1 × 1 + p, d’où 1 = −1 + p, d’où p = 2 ; l’équation de TA est y = −x + 2 (ce qui est cohérent avec notre
graphique).
Équation de TB , la tangente au point B. On a m = −4, donc l’équation est de la forme y = −4x + p.
On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point B(− 21 ; f (− 21 )),
c’est-à-dire B(− 12 ; −2).
55
Il vient : −2 = −4 × (− 12 ) + p, d’où −2 = 2 + p, d’où p = −4 ; l’équation de TB est y = −4x − 4 (ce qui est cohérent
avec notre graphique).
√
n°5p.78 :f est la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = x.
C est sa courbe représentative.
1.a) Pour étudier la limite du taux de variation comme dans les exercices 1 à 3, multiplier le numérateur et le
dénominateur du taux de variation
√
√
f (a + h) − f (a)
a+h− a
=
h
h
√
√
√ √
par
a + h + a , qui s’appelle ”la quantité conjuguée” de a + h − a.
Utiliser ensuite le produit remarquable ”(a − b)(a + b) = a2 − b2 .
Finalement, calculer f 0 (1) et f 0 (4).
1.b) Tracer la tangente à la courbe C aux points A et B d’abscisses respectives 1 et 4.
2) Déterminer une équation de ces tangentes.
Corrigé du n°5p.78 :
(a)
1.a)D’après la définition, si f 0 (a) existe, f 0 (a) vérifie : f 0 (a) = limh→0 f (a+h)−f
.
h
Soient a et h des réels tels que a ∈ R+ et h tel que (a + h) ∈ R+ . Il vient :
√
√
f (a+h)−f (a)
a
= a+h−
h
h
√
√
√
√
( a+h− a)×( a+h+ a)
√
=
√
h×( a+h+ a)
√
2 √ 2
− a
√
= h a+h
√
( a+h+ a)
=
=
=
(a+h)−a
√
√
h( a+h+ a)
h
√
a+h+ a)
1
√
√
a+h+ a
√
h(
Lorsque h → 0, on a limh→0
1
√
√
a+h+ a
existe et
1
1
lim √
√ = √
2
a
a+h+ a
h→0
Et ceci pour tout a ∈ R+ .
1
= 12 et f 0 (4) =
Donc f 0 (1) = 2√
1
2
1
√
4
=
1
4
1.b)
Les pentes des tangentes sont cohérentes avec les résultats trouvés à la question précédente.
2)On applique la même méthode qu’à l’exercice 4, en recherchant des équations réduites y = mx + p dont on a déjà le
coefficient directeur m.
Équation de TA : y = mx + p avec m = 12 . On cherche la valeur de p en mettant les coordonnées du point A(1; f (1)),
i.e. A(1; 1) dans cette équation ; il vient :
1 = 12 × 1 + p ⇒ p = 1 − 21 ⇒ p = 12
Ce résultat est cohérent avec le graphique (ordonnée à l’origine).
Équation de TB : y = mx + p avec m = 41 . On cherche la valeur de p en mettant les coordonnées du point B(4; f (4)),
i.e. B(4; 2) dans cette équation ; il vient :
2 = 14 × 4 + p ⇒ p = 2 − 1 ⇒ p = 1
Ce résultat est cohérent avec le graphique (ordonnée à l’origine).
56
n°6p.78 :f est la fonction définie sur R par f (x) = x3 .
C est sa courbe représentative.
A et B sont des points de C d’abscisses respectives 1 et
−1.
1) Calculez f 0 (1) et f 0 (−1).
2) Tracez les tangentes en A et B à C .
3.a) Quelle conjecture faites-vous concernant ces
tangentes ?
3.b) Prouvez-le.
Corrigé du n°6p.78 : 1.a)Comme au 26p.84, d’après la définition, si f 0 (a) existe, f 0 (a) vérifie :
(a)
f 0 (a) = limh→0 f (a+h)−f
.
h
Soient a et h des réels tels que a ∈ R et h ∈ R. Il vient :
3
3
f (a+h)−f (a)
= (a+h)h −a
h
3
2
2
3
3
+h −a
= a +3a h+3ah
h
3a2 h+3ah2 +h3
=
h
2
2
= 3a + 3ah + h
Lorsque h → 0, on a limh→0 3a2 + 3ah + h2 existe et
lim 3a2 + 3ah + h2 = 3a2
h→0
Et ceci pour tout a ∈ R.
Donc f 0 (1) = 3 × 12 = 3 et f 0 (−1) = 3 × (−1)2 = 3 .
2)
3.a)Les tangentes semblent parallèles.
3.b) Les tangentes SONT parallèles, car elles ont le même coefficient directeur (on l’a calculé à la 1ère question) !
Inutile de faire de gros calculs...
57
n°30p.84 :
Les fonctions suivantes sont dérivables en x = 1. Lire f 0 (1).
Corrigé du n°30p.84 : On lit la pente de la tangente.
– a) f 0 (1) = 13
– b) f 0 (1) = 0
– c) f 0 (1) = 0
– d) f 0 (1) = −1
n°31p.84 :
La fonction suivante est dérivable sur son domaine de définition. Par lecture graphique, donner la pente de chacune des
tangentes tracées, puis donner une équation de chacune de ces tangentes.
Corrigé du n°31p.84 : On lit la pente des tangentes :
TA a pour pente mA = 0.
TB a pour pente mB = −3.
TC a pour pente mC = − 23 .
TD a pour pente mD = 4.
Équations des tangentes :
On a déjà, grâce au nombre dérivé, le coefficient directeur de ces droites, c’est-à-dire le nombre m dans une équation
réduite du type y = mx + p.
Équation de TA , la tangente au point A. On a mA = 0, donc l’équation est de la forme y = 0x + p.
Pour déterminer p, on met dans cette équation les coordonnées du point A(−2; 6).
Il vient : p = 6 ; l’équation de TA est y = 6 (ce qui est cohérent avec notre graphique).
Équation de TB . On a mB = −3, donc l’équation est de la forme y = −3x + p.
On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point B(1; 2).
Il vient : 2 = −3 × (1) + p, d’où 2 = −3 + p, d’où p = 5 ; l’équation de TB est y = −3x + 5 (ce qui est cohérent avec
notre graphique).
Équation de TC . On a mC = − 23 , donc l’équation est de la forme y = − 23 x + p.
On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point C(3; −2).
Il vient : −2 = − 32 × (3) + p, d’où −2 = −2 + p, d’où p = 0 ; l’équation de TC est y = − 23 x (ce qui est cohérent avec
notre graphique).
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Équation de TD . On a mD = 4, donc l’équation est de la forme y = 4x + p.
On détermine p grâce à la même méthode, on met dans cette équation les coordonnées du point D(5; 1).
Il vient : 1 = 4 × 5 + p, d’où 1 = 20 + p, d’où p = −19 ; l’équation de TD est y = 4x − 19 (ce qui semble cohérent avec
notre graphique).
n°35, 36, 37, 38 p.84 :
f est une fonction et a un nombre donné. f est dérivable en a. Déterminez une équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse a :
1°) f (x) = 3x2 + 5x − 2 et a = −2
2°) f (x) = 21 (−7x + 5 + x2 ) et a = 5
√
3°) f (x) = x et a = 9
4°) f (x) = x3 et a = 2
Corrigé des n°35, 36, 37, 38 p.84 :
1°) f 0 (x) = 6x + 5, donc f 0 (a) = −12 + 5 = −7. De plus, f (a) = 0, d’où Ta |y = −7(x + 2), i.e. Ta |y = −7x − 14
2°) f 0 (x) = x − 72 , donc f 0 (a) = 32 . De plus, f (a) = − 25 , d’où Ta |y = 32 (x − 5) − 25 , i.e. Ta |y = 32 x − 10
1
3°) f 0 (x) = 2√
, donc f 0 (a) = 61 . De plus, f (a) = 3, d’où Ta |y = 16 (x − 9) + 3, i.e.Ta |y = 16 x + 32
x
0
2
4°) f (x) = 3x , donc f 0 (a) = 12. De plus, f (a) = 8, d’où Ta |y = 12(x − 2) + 8, i.e.Ta |y = 12x − 16
59