= ( − ) ∶

4R
DEVOIR N° 3
Durée : 55 min
NOM :
12 DECEMBRE 2014
Avec Calculatrice
Prénom :
« Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura
développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies. »
Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Bilan
/ 20
Activités numériques
/ 13
Activités Géométriques
/8
Activités numériques – 13 points
Exercice 1 - 1 points - (sur poly)
Calculer, en précisant les différentes étapes du calcul, 𝑍 et donner le résultat sous la forme d’une
2
3
7
fraction irréductible.
𝑍=( − )∶
3
2
11
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 2 - 4 points - (sur copie)
1. Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
1 3 4
𝐴 = 1−( + × )
4 4 5
2. Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2011 et les quatre cinquièmes du reste en
2012.
a) Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2012 ?
b) Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années ?
c) Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue au bout des deux
années représente six hectares ?
Exercice 3 - 3,5 points (sur poly)
On a relevé pour des véhicules la distance parcourue en un an.
Distance parcourue
0 à 10
10 à 20
20 à 30
en milliers de km
Effectifs
13
19
40
Fréquence en
pourcentage arrondi au
dixième
30 à 40
40 à 50
34
18
Total
1. Sur combien de véhicules est faite cette étude statistique ?
2. Calculer la fréquence en pourcentage pour la distance parcourue entre 0 et 10 milliers de km et
compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs arrondis au dixième des fréquences en pourcentage.
3. Déterminer le pourcentage de véhicules qui parcourent moins de 20 milliers de km.
4. Déterminer la distance moyenne parcourue par un véhicule en un an.
Exercice 4 - 4,5 points (sur poly)
A partir du 2 Janvier 2012, une compagnie aérienne teste un nouveau vol entre Nantes et Toulouse.
Ce vol s’effectue chaque jour à bord d’un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers.
1) L’avion décolle chaque matin à 9 h 35 de Nantes et atterrit à 10 h 30 à Toulouse. Calculer la durée
du vol.
2) Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première
semaine de mise en service. L’information concernant le mercredi a été perdue.
Jour
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi Samedi Dimanche Total
Nombre de
152
143
164
189
157
163
1113
passagers
a) Combien de passagers ont emprunté ce vol mercredi ?
b) En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l’avion cette semaine-là ?
3) A partir du mois de février, on décide d’étudier la fréquentation de ce vol pendant douze semaines.
La compagnie utilise la feuille de calcul ci-dessous indiquant le nombre de passagers par jour.
Remarque : la formule
affichée en haut de la
feuille de calcul est celle
de
la
cellule
sélectionnée J14.
a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule I2 pour obtenir le nombre total de passagers au
cours de la semaine 1 ? …………………………………………………………………………………
b) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par
jours au cours de la semaine 1 ? ……………………………………………………………………
4) Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à 166.
La compagnie s’était fixé comme objectif d’avoir un nombre moyen de passagers supérieur aux 80%
de la capacité maximale de l’avion. L’objectif est-il atteint ?
Activités géométriques – 8 points
Exercice 5 - 3 points - (sur copie)
Une bascule est une balançoire dont l’un des
sièges s’élève quand l’autre s’abaisse. La
bascule est posée en son milieu, sur un support
vertical mesurant 1 m de haut.
On a de plus (BE) // (CD).
1. Prouve que E est le milieu de [AD].
2. À quelle hauteur maximale, en m, un enfant
peut-il s’élever ?
Exercice 6 - 5 points - (sur copie)
Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l’énoncé.
1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 13 cm ; AC = 12 cm et BC = 5 cm.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. Préciser en quel point.
3) Compléter la figure de la question 1) :
a) Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6 cm.
b) Construire le point P milieu du segment [AB].
4) Montrer que les droites (BC) et (PM) sont parallèles.
5) Dans cette question, parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur votre copie celle qui
permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires :
• Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
• Si deux droites perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
• Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
• Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment.
QUATRIEME
DEVOIR N° 3 - CORRECTION
12 DECEMBRE 2014
Activités numériques – 13 points
Exercice 1 - 1 points Calculer, en précisant les différentes étapes du calcul, 𝒁 et donner le résultat sous la forme
d’une fraction irréductible.
𝟐 𝟑
𝟕
𝒁=( − )∶
𝟑 𝟐 𝟏𝟏
2 3
7
2×2 3×3
7
4 9
7
5 7
5 11
55
𝑍=( − )∶
=(
−
)∶
=( − )∶
=− ∶
=− ×
=−
3 2 11
3 × 2 2 × 3 11
6 6 11
6 11
6 7
42
Exercice 2 - 4 points - (sur copie)
1. Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
𝟏 𝟑 𝟒
𝑨=𝟏−( + × )
𝟒 𝟒 𝟓
1 3 4
𝐴 = 1−( + × )
4 4 5
1 3×4
𝐴 = 1−( +
)
4 4×5
1 3
𝐴 = 1−( + )
4 5
1×5 3×4
𝐴 = 1−(
+
)
4×5 5×4
5 12
𝐴 = 1−( + )
20 20
17
𝐴 = 1−
20
20 17
𝐴=
−
20 20
3
𝐴=
20
2. Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2011 et les quatre cinquièmes du
reste en 2012.
a) Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2012 ?
1
3
Il en a vendu 4 en 2011. Il en reste donc les 4 .
4
Il en vend 5 .
3
En 2012, le propriétaire a donc vendu 5 de sa propriété.
3
4
12
3
Car 4 × 5 = 20 = 5
b) Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années ?
1
3
20
1×5
3×4
20
5
12
20
17
3
On calcule 1 − 4 − 5 = 20 − 4×5 − 5×4 = 20 − 20 − 20 = 20 − 20 = 20
3
Il reste invendu 20 de la propriété à l’issue des deux années.
c) Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue au bout des deux
années représente six hectares ?
3
1
Comme les de la propriété représentent 6 hectares, on en déduit alors que de la propriété
20
20
représente 2 hectares, et donc la propriété représente 40 hectares.
3
On vérifie le résultat par un calcul : 40 × 20 =
120
20
=6
Exercice 3 - 3,5 points On a relevé pour des véhicules la distance parcourue en un an.
Distance parcourue
0 à 10
10 à 20
20 à 30
30 à 40
en milliers de km
Effectifs
13
19
40
34
Fréquence en
pourcentage arrondi
10,5
15,3
32,3
27,4
au dixième
40 à 50
Total
18
124
14,5
100
1. Sur combien de véhicules est faite cette étude statistique ?
On a 13+19+40+34+18=124
Cette étude statistique est faîte sur 124 véhicules
2. Calculer la fréquence en pourcentage pour la distance parcourue entre 0 et 10 milliers de km
et compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs arrondis au dixième des fréquences en
pourcentage.
𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓
Pour calculer la fréquence en pourcentage : 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 100
Soit pour une distance entre 0 à 10 :
13
124
× 100 ≈ 10,5
3. Déterminer le pourcentage de véhicules qui parcourent moins de 20 milliers de km.
On va additionner les fréquences en pourcentage de 0 à 10 et de 10 à 20 milliers de km
Alors 10,5 + 15,3 = 25,8
On trouve que 25,8 % des véhicules parcourent moins de 20 milliers de km.
4. Déterminer la distance moyenne parcourue par un véhicule en un an.
5×13+15×19+25×40+35×34+45×18
3350
Pour calculer la moyenne :
=
≈ 27,02
124
124
On trouve qu’en moyenne, les véhicules parcourent 27,02 milliers de km.
Exercice 4 - 4,5 points A partir du 2 Janvier 2012, une compagnie aérienne teste un nouveau vol entre Nantes et
Toulouse.
Ce vol s’effectue chaque jour à bord d’un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers.
1) L’avion décolle chaque matin à 9 h 35 de Nantes et atterrit à 10 h 30 à Toulouse. Calculer la
durée du vol.
10 h 30 min – 9 h 35 min = 55 min
La durée du vol est de 55 min
2) Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première
semaine de mise en service. L’information concernant le mercredi a été perdue.
Jour
Lundi
Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Total
Nombre de
152
143
164
189
157
163
1113
passagers
a) Combien de passagers ont emprunté ce vol mercredi ?
1113 – (152 + 143 + 164 + 189 + 157 + 163) = 145
145 passagers ont emprunté le vol de mercredi.
b) En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l’avion cette semaine-là ?
1113
≈ 159
7
Il y a donc eu 159 passagers en moyenne par jour.
3) A partir du mois de février, on décide d’étudier la fréquentation de ce vol pendant douze
semaines.
La compagnie utilise la feuille de calcul ci-dessous indiquant le nombre de passagers par jour.
Remarque : la formule affichée en haut de la feuille de calcul est celle de la cellule
sélectionnée J14.
a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule I2 pour obtenir le nombre total de passagers
au cours de la semaine 1 ?
Dans la case I2, on a tapé
=Somme(B2:H2)
ou plus "maladroitement"
= B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2
b) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de
passagers par jours au cours de la semaine 1 ?
Dans la case J2, on a tapé
=Moyenne(B2:H2) ou =I2/7
4) Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à 166.
La compagnie s’était fixé comme objectif d’avoir un nombre moyen de passagers supérieur
aux 80% de la capacité maximale de l’avion. L’objectif est-il atteint ?
L'avion peut transporter 190 passagers par vol.
80
190 ×
= 152
100
Donc la compagnie espère plus de 152 passagers en moyenne.
Donc à 166 passagers en moyenne par vol, on est au-dessus des objectifs de 80 % de
remplissage.
L’objectif est donc atteint
Activités géométriques – 8 points
Exercice 5 - 3 points - (sur copie)
Une bascule est une balançoire dont l’un des
sièges s’élève quand l’autre s’abaisse. La
bascule est posée en son milieu, sur un
support vertical mesurant 1 m de haut.
On a de plus (BE) // (CD).
1. Prouve que E est le milieu de [AD].
Dans le triangle ACD,
On sait que B est le milieu de [AC]
(BE) et (CD) sont parallèles
E appartient à [AD]
Or d’après la réciproque du théorème de
la droite des milieux
On obtient que E est milieu de [AD]
2. À quelle hauteur maximale, en m, un enfant peut-il s’élever ?
Dans le triangle ACD,
On sait que : - B est le milieu de [AC]
- E est le milieu de [AD].
Or d’après le théorème de la droite des milieux
On obtient que CD = 2 ⨉ BE
CD = 2 ⨉ 1 = 2
Donc au maximum, un enfant peut s’élever à 2m.
Exercice 6 - 5 points - (sur copie)
Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l’énoncé.
1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 13 cm ; AC = 12 cm et BC = 5 cm.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. Préciser en quel point.
Dans le triangle ABC,
D’une part AB 2 = 13 2 = 169
D'autre part AC 2 + BC 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169
Puisque
AB 2 = AC 2 + BC 2 ,
alors d'après la réciproque de Pythagore,
On conclut que le triangle ABC est rectangle en C.
3) Compléter la figure de la question 1) :
a) Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6 cm.
b) Construire le point P milieu du segment [AB].
4) Montrer que les droites (BC) et (PM) sont parallèles.
On sait que M appartient à [AC] tel que AM = 6cm
AC = 12 cm
Donc M est le milieu de [AC]
Dans le triangle ABC,
On sait que M est le milieu de [AC]
P milieu de [AB]
D’après le théorème de la droite des milieux
On obtient que (MP) // (BC)
5) Dans cette question, parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur votre copie celle
qui permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires :
• Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre
elles.
• Si deux droites perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre
elles.
• Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à
l’autre.
• Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce
segment.
Il fallait sélectionner -->
• Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.