Modélisation par des équations différentielles

Travaux pratiques
terminale S3
Modélisation par des équations différentielles
Alcoolémie
Quand le Capitaine Haddock boit du whisky,l’alcool passe directement de l’intestin dans son sang.
Une petite quantité est aussi transportée aux poumons via la veine porte,ce qui donne à notre héros
son haleine caractéristique.
Le reste va au cerveau,ce qui le met dans cet état bien connu appelé ivresse.
Pour finir l’alcool arrive au foie qui l’élimine en l’oxydant.
On modélise la situation en considérant que l’alcoolémie ( quantité d’alcool par litre de sang ) est
solution de l’équation différentielle : (E) y 0 + y = ae−t
(où a est une constante dépendant de la quantité d’alcool absorbée et du poids à jeun du capitaine
et t exprimé en heure)
Dans la suite on supposera que a = 5
1. Vérifier que la fonction φ définie par φ(t) = 5te−t est une solution de (E)
2. Soit f une solution de (E) .Démontrer que : f − φ est solution de l’équation différentielle
(E’) z 0 + z = 0
Information
On dit que l’équation différentielle (E’) est l’équation différentielle sans second membre associé à
l’équation différentielle (E) )
3. En déduire l’ensemble des solutions de (E) puis l’expression du taux d’alcoolémie au cours du
temps ( sachant que ce taux est nul au temps t = 0)
4. Déterminer le taux maximal d’alcoolémie, le temps au bout duquel il est atteint ainsi que le
temps que le Capitaine Haddock devra atttendre pour pouvoir conduire à nouveau pour ne pas
être en infraction avec la loi française
Injection
Quand une substance est introduite dans le sang,elle est éliminée. On modélise la situation en
considérant que la vitesse d’élimination est proportionnelle à la concentration de cette substance et
en supposant que la substance se répand instantanément
Notons Q(t) la concentration de la substance dans le sang à l’instant t (en heure)
Q est ainsi solution de l’équation différentielle (E) y 0 = −ay ( Où a est un réel positif )
1. Un médecin injecte 1,5 mg d’anti-douleur à un de ses patients. Montrer que la quantité d’antidouleur présente dans le sang à l’instant t est de la forme :Q(t) = 1, 5e−at
Déterminer a sachant que cette quantité a diminuée de 30 % en une heure.
Au bout de combien de temps la quantité a-t-elle diminuée de moitié ?
2. Le médecin décide alors de réinjecter une dose analogue au bout d’une heure,puis aux instants
t = 2 , t = 3 , ······
On note Hn la quantité d’anti-douleur présente dasn le sang à l’instant t = n dès que la nouvelle
injection est faite.
(a) Montrer que : H1 = 1, 5 + 0, 7 × 1, 5
(b) Exprimer Hn+1 en fonction de Hn
(c) On pose Gn = Hn − 5 . Montrer que la suite (Gn ) est une suite géométrique.
En déduire Hn en fonction de n
Hervé Gurgey
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4 mai 2009
Travaux pratiques
terminale S3
Dissolution
Lorsqu’une substance se dissout,on peut considérer que la vitesse de dissolution est proportionnelle
à la quantité qui reste à dissoudre.
On place donc 10 kg de sel à l’instant t = 0 dans une grande quantité d’eau,et on note f (t) la quantité
de sel dissoute à l’instant t
1. Ecrire une équation différentielle vérifiée par f
2. Sachant que le premier kilo est dissout en 5 minutes, déterminer la fonction f
3. Au bout de combien de temps la moitié du sel a-t-elle été dissoute ?
Hervé Gurgey
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4 mai 2009