L`équation de la chaleur 1 Introduction 2 Description physique

L’équation de la chaleur
Marguerite GISCLON
UMPA, CNRS-UMR no 128,
Ecole Normale Supérieure de Lyon,
46, allée d’Italie
69364 LYON CEDEX 07
FRANCE
H. Brézis, “Analyse fonctionnelle, Théorie et applications”, Masson
T. W. Körner, “Fourier Analysis”, Cambridge University Press
Laurent Schwartz, “Méthodes mathématiques pour les sciences physiques”, Hermann
A. C. Zaanen, “Continuity, Integration and Fourier theory” Springer Verlag
Pour la science, dossier hors série, janvier 1994, “les mathématiciens”
1
Introduction
L’équation de la chaleur en une dimension est donnée par l’équation différentielle partielle
suivante :
∂u
∂2u
(x, t) = c 2 (x, t), x ∈ R, t > 0,
∂t
∂x
où c > 0 est une constante donnée, u est une fonction inconnue réelle de deux variables x
et t. L’équation de la chaleur est l’exemple le plus simple d’une équation parabolique. En
général, les équations aux dérivées partielles sont classées en trois catégories : elliptique,
parabolique et hyperbolique.
Ici, u = u(x, t) est la température dans un conducteur d’une dimension. La valeur de
u(x, t) dépend du temps t ≥ 0 et de la position x. En général, la valeur de u(x, t) en t = 0
est donnée.
Nous voulons donc résoudre le problème de Cauchy :

∂u
∂2u


(x, t) = c 2 (x, t), x ∈ R, t > 0,

∂t



2
∂x
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
Description physique
Considérons une barre de longueur illimitée. Pour décrire l’équation de la chaleur, supposons
que le conducteur a une petite section d’aire ∆s.
pic
Figure 1:
La quantité de chaleur à travers la section au point x est (en accord avec l’expèrience)
∂u
en x. La quantité de chaleur dans la
approximativement proportionnelle au gradient
∂x
1
direction des x croissants pendant un court temps ∆t est
−k
∂u
∆s∆t
∂x
où k est une constante strictement positive dépendant du matériau. Notons que la positivité
de k est en accord avec le fait que la chaleur circule du chaud vers le froid. Evidemment,
∂u
∂u
supposons que u et
ne changent pas rapidement, k
est la quantité de chaleur par
∂x
∂x
seconde et par unité d’espace ciculant le long des x dans la direction négative.
Cherchons comment varie au cours du temps la température u aux différents points de
la barre. Ecrivons l’équation des échanges de chaleur de l’intervalle [a, b].
La quantité totale de chaleur sortant de [a, b] au temps ∆t est approximativement
−k[(
∂u
∂u
)(b, t) − ( )(a, t)]∆s∆t
∂x
∂x
(1)
D’un autre côté, supposons que b − a est si petit que ∂u
∂t (x, t) est presque constant pour
∂u
∆t, la même quantité totale de chaleur
x ∈ [a, b], l’augmentation de température étant
∂t
sortante est approximativement égale à
−k1 (b − a)∆s
∂u
∆t
∂t
(2)
où k1 est une constante strictement positive, la chaleur spécifique par unité de volume.
En général, la quantité spécifique cg est donnée par unité de masse donc si le matériau
a la densité ρ alors k1 = ρcg .
On écrit ensuite que les deux termes (??) et (??) sont égaux, on divise par ∆s∆t(b − a)
et on fait tendre b − a vers zéro d’où
∂u
k ∂2u
=
.
∂t
k1 ∂x2
3
Historique sur l’analyse de Fourier
Le baron Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre 1768-Paris 1830) était obsédé par l’étude
de la chaleur, le sujet “chaud” de l’époque. Il suivit en 1798 l’expédition de Napoléon en
Egypte. De retour en France (vers 1801), il concentra son activité sur les mathématiques
et enseigna l’analyse à l’Ecole Polytechnique. Vers 1802-1804, il trouva l’équation de la
propagation de la chaleur dans les corps solides ; en 1807, il mit au point une méthode pour
la résoudre : l’analyse de Fourier. Il utilisa sa technique mathématique pour élucider de
nombreux exemples de propagation de la chaleur (cf le paragraphe ??).
Il remplaçait une fonction unique, mais difficile à décrire mathématiquement, par une
série beaucoup plus maniable de fonctions sinus ou cosinus, dont la somme reconstituait
la fonction initiale. L’analyse de Fourier défiait les théories mathématiques auxquelles ses
contemporains adhéraient sans réserve. Au début du XIX siècle, nombre de mathématiciens
parisiens parmi lesquels Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1797),
Biot (1744-1862) et Poisson (1781-1840) n’acceptaient pas la conjecture de Fourier. Leonhard Euler (1707-1783) releva des lacunes dans la théorie de Fourier. Aussi, lorsque Fourier
exposa sa conjecture lors d’une réunion de l’Académie des sciences, Lagrange se leva et
déclara la tenir pour fausse. Mais, l’Académie lui décerna un prix en 1811 pour sa théorie
2
mathématique des lois de propagation de la chaleur et sa vérification expérimentale. Les
importantes réserves émises en retardèrent la publication jusqu’en 1815. Ce ne fut qu’en
1822 qu’elle parut sous une forme achevée dans son livre “théorie analytique de la chaleur”.
En dépit de ces objections, la mathématicienne Sophie Germain (1776-1831) et l’ingénieur
Claude Navier étendirent la théorie de Fourier à d’autres domaines que la transmission de
chaleur. La question de la convergence de la série de Fourier réapparut à la fin du XIX
siècle, lors de tentatives pour prédire les mouvements des marées. L’analyse de Fourier reste
inapplicable à certaines fonctions inhabituelles par exemple celles qui possèdent un nombre
infini de sauts infinis sur un intervalle fini.
De vastes domaines nouveaux des mathématiques ont été développés à partir de recherches
pour savoir si la série de Fourier de telle ou telle fonction donnée est convergente. Un exemple en est la théorie des fonctions généralisées ou distributions à laquelle s’attachent les
noms de George Temple, Jan Mikunski et Laurent Schwartz (1915- ).
La théorie de Laurent Schwartz nous permet d’utiliser l’analyse de Fourier pour résoudre
des équations mettant en jeu des concepts intuitifs tels que point massif, point chargé, dipôle
magnétique ou charges concentrées sur une poutre.
Après environ deux siècles de développement, la théorie de l’analyse de Fourier est à
présent solidement structurée et bien comprise.
4
Conducteur circulaire de longueur 2π
Nous discutons maintenant la température dans un conducteur circulaire de longueur 2π
ou de façon équivalente (voir la figure ??) le cas où nous avons une température u(x, t) de
période 2π en x ∈ R.
3
pic
Figure 2:
Théorème 1 Soient c une constante strictement positive et f une fonction continue 2π
périodique sur R.
Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, x ∈ R satisfaisant
∂ 2 u ∂u
1. u(x, t) est 2π périodique en x, ∀ t > 0 ;
,
existent comme fonctions continues
∂x2 ∂t
sur x ∈ R, t > 0.
2.
∂2u
∂u
(x, t) = c 2 (x, t), t > 0, x ∈ R.
∂t
∂x
3.
lim ||u(., t) − f (.)||∞ = 0.
t→0+
La fonction f détermine la température au temps t = 0.
Démonstration
Nous commençons par supposer qu’il existe une fonction u(x, t) satisfaisant les conditions
mentionnées dans le théorème pour t > 0, x ∈ R. Nous explicitons ensuite u(x, t) puis nous
montrons que u(x, t) trouvé satisfait les conditions du théorème.
Comme u(x, t) converge uniformément vers f (x) quand t tend vers zéro, en notant la
série de Fourier de u(x, t)
X
Cn (t) exp(inx)
n∈Z
et
X
fˆ(n) exp(inx)
n∈Z
la série de Fourier de f on trouve que Cn (t) tend vers
1
fˆ(n) =
2π
Z
2π
f (y) exp(−iny)dy
0
quand t tend vers zéro ∀ n.
Comme
1 2π
Cn (t) =
u(x, t) exp(−inx)dx,
2π 0
en utilisant l’équation de la chaleur, deux intégrations par parties et le fait que u est 2π
périodique en x nous obtenons que Cn (t) vérifie l’équation différentielle suivante :
Z
Cn0 (t) = −n2 c Cn (t)
que nous résolvons
Cn (t) = Cn (t0 ) exp(−cn2 (t − t0 )), t ≥ t0 > 0.
4
Comme Cn (t0 ) tend vers fˆ(n) quand t0 tend vers zéro, nous trouvons
Cn (t) = fˆ(n) exp(−cn2 t), t > 0.
Ainsi,
u(x, t) =
X
fˆ(n) exp(−cn2 t) exp(inx), t > 0, x ∈ R,
(3)
n
vérifie l’équation de la chaleur d’où le 2) du théorème.
Puis,
Z
1 2π X
[ exp(in(x − y)) exp(−cn2 t)]f (y)dy
u(x, t) =
2π 0
n
= pt ∗ f (x, t)
R 2π
=
0
où
pt (x) =
pt (x − y)f (y)dy, t > 0, x ∈ R,
1 X
exp(inx) exp(−cn2 t), t > 0.
2π n
(4)
Remarque :
la solution u est de classe C ∞ pour x ∈ R et t > 0 ce qui montre que l’équation de la
chaleur a un effet fortement régularisant sur la donnée initiale f .
Pour démontrer le 3) du théorème, nous allons écrire u(x, t) d’une aute manière mais
pour cela écrivons d’abord pt d’une autre manière.
Exercice 1 Si
g(x) = exp(−αx2 )
où α > 0 est une constante donnée alors la transformation de Fourier de g est
r
ĝ(x) =
π
x2
exp(− ).
α
4α
Lemme 1 Si g est mesurable sur R, si g 0 est continue telle que
n=+∞
X
g 0 (x + 2πn)
n=−∞
converge uniformément sur [0, 2π], si
n=+∞
X
g(x0 + 2πn)
n=−∞
converge en au moins un point x0 alors
X
n
g(x − 2πn) =
1 X
ĝ(n) exp(inx)
2π n
a lieu uniformément sur R.
5
On applique ce lemme avec la fonction g de l’exercice ?? où α =
1
4ct ,
t > 0, c > 0 d’où
1 X
1
pt (x) = √
exp(−
(x − 2πn)2 ).
4ct
2 πct n
En utilisant deux changements de variable et le fait que f est 2π périodique, nous trouvons
u(x, t) = √
Posons β =
√1
4ct
√1
π
> 0. Comme
R
1
4πct
exp(−
R
Z
y2
)f (x + y)dy.
4ct
2 y 2 )dy
R β exp(−β
1
u(x, t) − f (x) = √
π
Lemme 2 La fonction Kβ (x) =
Z
= 1, on écrit
β exp(−β 2 y 2 )[f (x + y) − f (x)]dy.
R
√1 β exp(−β 2 x2 )
π
est une approximation de l’identité.
Démonstration
La fonction Kβ vérifie les trois propriétés demandées :
1. Kβ (x) ≥ 0,
2.
R
3.
R
R Kβ (x)dx
= 1,
|x|≥x0 Kβ (x)dx tend vers zéro quand β tend vers l’infini ∀ x0 > 0 par convergence
dominée.
Pour montrer que u(x, t) converge uniformément vers f (x) quand t tend vers zéro, c’està-dire quand β tend vers l’infini, on utilise le fait que f est continue et le 3) du lemme ??
c’est-à-dire pour ε > 0 donné,
ε
∃ y0 > 0, ∀ y, |y| ≤ y0 , |f (x + y) − f (x)| ≤ , ∀ x ∈ R
2
et
∃ β0 ,
4.1
Z
|y|≥y0
Kβ (y)dy ≤
ε
, ∀ β ≥ β0 .
4||f ||∞
Information sur le comportement de u(x, t) quand t devient grand
D’après la formule (??)
u(x, t) = fˆ(0) +
X
fˆ(n) exp(−cn2 t) exp(inx),
(5)
n6=0
la solution u(x, t) tend vers fˆ(0) quand t tend vers l’infini pour tout x (la convergence est
même uniforme en x).
Ce qui est important est de remarquer que fˆ(0) est la moyenne de f car
1
fˆ(0) =
2π
Z
2π
f (y)dy
0
donc la température se répartit uniformément quand t est grand.
6
4.2
Un cas de propagation
L’évolution des températures aux divers points d’un anneau de fer a été l’un des premiers
phénomènes analysés par la technique de Fourier.
Un cas de propagation particulièrement instructif et qui ne présente aucune difficulté de
calcul est donc le suivant : on place une flamme sous une région d’un anneau. Lorqu’une
partie de l’anneau est chauffé au rouge, on le retire du feu et on l’enfouit dans un sable
fin isolant. On mesure alors la répartition des températures tout autour de l’anneau et
son évolution dans le temps. Juste après le chauffage, la température est irrégulièrement
répartie : une moitié est uniformément chaude, l’autre uniformément froide et entre-elles,
la température décroit brutalement. Pour l’analyse, on déroule l’anneau et on mesure
la température en chaque point, pour obtenir une répartition de la température le long du
pourtour de l’anneau. Fourier proposa la décomposition de la répartition initiale discontinue
en une somme d’un grand nombre (éventuellement infini) de sinusoides, c’est-à-dire cette
répartition est décomposée en plusieurs courbes sinusoidales :
f (x) =
X
fˆ(n) exp(inx).
n∈Z
En additionnant 16 de ces courbes, on obtient une bonne approximation de la température
initiale.
A mesure que la chaleur se propage de la région chaude vers la région froide, les
températures s’égalisent peu à peu. Bientôt, la distribution de la chaleur sur l’anneau
est presque sinusoidale : le graphique représentant la valeur de la température en fonction
de la position sur l’anneau a une forme en S, analogue aux fonctions sinus ou cosinus. Ensuite, la sinusoide s’applatit graduellement jusqu’à ce que tous les points de l’anneau soient
à la même tempéraure.
4.3
4.3.1
Principes du maximum
Principe du maximum pour u(x, t)
Avec la formule (??), on a
R 2π
0
pt (x)dx = 1, d’où l’inégalité |u(x, t)| ≤ ||f ||∞ , ∀ x, d’où
||u(., t)||∞ ≤ ||f ||∞ , ∀ t > 0.
4.3.2
Principe du maximum pour u(x, t) − fˆ(0)
On a avec la même démonstration qu’au paragraphe ?? :
||u(., t) − fˆ(0)||∞ ≤ ||f − fˆ(0)||∞ .
4.4
Si f est paire
Proposition 1 Nous avons l’équivalence suivante :
f paire ⇔
∂u
(0, t) = 0, ∀ t > 0.
∂x
Démonstration
Commençons par démontrer l’implication f paire ⇒
7
∂u
∂x (0, t)
= 0, ∀ t > 0.
Nous avons
1
2π
fˆ(0) =
1
π
=
Z
π
f (y)dy
−π
Z
π
f (y)dy,
0
fˆ(−n) = fˆ(n)
=
1
π
Z
π
f (y)cos(ny)dy, n ≥ 1.
0
Avec la formule (??), nous obtenons
u(x, t) = fˆ(0) + 2
+∞
X
fˆ(n) exp(−cn2 t)cos(nx)
n=1
donc ∀ t > 0 u(x, t) est une fonction paire de x et
∂u
∂x
est impaire,
∂u
∂u
(0, t) = 0 =
(π, t), ∀ t > 0.
∂x
∂x
Il n’y a pas de flux de chaleur à travers les sections en x = 0 et x = π.
Réciproquement, montrons que si
La formule (??) donne
∂u
∂x (0, t)
= 0, ∀ t > 0 alors f est paire.
∞
X
∂u
[fˆ(n) − fˆ(−n)] exp(−cn2 t)in
(0, t) =
∂x
1
qui est nulle par hypothèse. Alors fˆ(−n) = fˆ(n) ∀ n ≥ 1 et f est paire. .
4.5
Si f est impaire
Nous avons une proposition analogue à la proposition ?? :
Proposition 2 Nous avons les implications suivantes :
f est impaire
⇒ u(x, t) est impaire de x, ∀ t > 0
⇒ u(0, t) = 0 = u(π, t), ∀ t > 0,
⇒ u(0, t) = 0, ∀ t > 0,
⇒ f est impaire.
Démonstration
Supposons que f est impaire. On a
fˆ(0) = 0,
8
fˆ(−n) = −fˆ(n)
= − πi
Rπ
0
f (y)sin(ny)dy, n ≥ 1,
et donc d’après la formule (??),
u(x, t) = 2i
X
fˆ(n) exp(−cn2 t)sin(nx)
n≥1
=
Z π
2 X
f (y)sin(ny)dy)sin(nx)
exp(−cn2 t)(
π n≥1
0
est une fonction impaire de x, pour tout t > 0, donc u(0, t) = 0 = u(π, t).
Si f est impaire alors la température reste nulle au point 0 et π.
Réciproquement, montrons que si u(0, t) = 0, ∀ t > 0 alors f est impaire.
D’après la formule (??),
u(0, t) = fˆ(0) +
∞
X
[fˆ(n) + fˆ(−n)] exp(−cn2 t)
1
est nul par hypothèse pour tout t > 0, on trouve en posant z = exp(−ct)
fˆ(0) +
∞
X
2
[fˆ(n) + fˆ(−n)]z n = 0, 0 < z < 1,
1
et donc fˆ(0) = 0, fˆ(n) + fˆ(−n) = 0, ∀ n ≥ 1 donc f est impaire.
5
Tige de longueur finie
L’étude précédente peut paraitre restrictive, mais on peut aussi grâce à elle discuter le
comportement de la température dans une tige de longueur finie.
5.1
Problème de Dirichlet
La température à t = 0 est donnée et vérifie les mêmes conditions aux deux bouts de la tige.
La température aux deux bouts est égale à la même valeur α pour tout t > 0. Sans perte
de généralité, nous supposons que α = 0 et que la longueur de la tige est π. Précisément,
nous avons le théorème suivant :
Théorème 2 Soit la constante c > 0 donnée. Nous supposons que la fonction f donnée
est continue sur [0, π] et satisfait f (0) = f (π) = 0.
Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, 0 ≤ x ≤ π tel que
1.
∂ 2 u ∂u
, ∂t
∂x2
2.
∂u
∂2u
(x, t) = c 2 (x, t), ∀ 0 ≤ x ≤ π, ∀ t > 0,
∂t
∂x
existent et sont continues sur t > 0, 0 ≤ x ≤ π,
9
3. u(0, t) = u(π, t) = 0, ∀ t > 0,
4. lim ||u(., t) − f (.)||∞ = 0.
t→0
Démonstration
Nous supposons qu’il existe u(x, t) satisfaisant les conditions du théorème. Nous allons
∗ . Nous étendons u(x, t) et f (x) par imparité sur
construire un prolongement de u à R × R+
[−π, π] et à tout R par 2π périodicité.
Donc, nous sommes dans la situation du théorème ?? : il existe un unique u satisfaisant
1), 2), 3), 4). Comme f est impaire, nous avons (voir le paragraphe ??)
Z π
2 X
2
u(x, t) =
f (y)sin(ny)dy)sin(nx).
exp(−cn t)(
π n≥1
0
5.2
Le cas de la condition de Neumann
Une autre possibilité est de ne mettre aucune restriction sur la température initiale f exceptée la continuité sur [0, π]. Mais, nous supposons que
∂u
∂u
(0, t) =
(π, t) = 0, ∀ t > 0.
∂x
∂x
Supposons encore qu’il existe au moins un u(x, t) satisfaisant toutes les conditions.
Nous étendons u(x, t) et f (x) d’abord comme fonctions paires sur [−π, π] puis comme
fonctions 2π périodiques sur R. D’après le théorème ??, u(x, t) satisfait les conditons
d’existence et est déterminé de façon unique. Comme f est paire, nous obtenons sur [0, π]
(voir le paragraphe ??)
u(x, t) =
5.3
1
π
Z
π
f (y)dy +
0
X Z π
2 +∞
(
f (y)cos(ny)dy) exp(−cn2 t)cos(nx).
π n=1 0
Problème mixte
Nous mentionnons une autre variante dans laquelle nous supposons que u = 0 ∀ t > 0 en
un bout et que ∂u
∂x = 0, ∀ t > 0 à l’autre bout.
Sans perte de généralité, nous supposons que la longueur de la tige est π2 .
Alors, u(x, t) doit être défini pour x ∈ [0, π2 ] et t > 0 tel que
u(0, t) =
∂u π
( , t) = 0, ∀ t > 0.
∂x 2
Comme
lim ||u − f ||∞ = 0,
t→0
la température initiale satisfait f (0) = 0.
De façon similaire, nous étendons f et u sur [− π2 , π2 ] par imparité, sur [−π, π] tel que f
et u sont paires par rapport à − π2 et π2 et à R comme fonctions 2π périodiques.
10
6
Périodicité en temps
Dans les exemples mentionnés ci-dessus les fonctions sont périodiques en x et pas en t. Voici
un exemple dans lequel le phénomène décrit au moins approximativement est périodique en
temps. Ceci arrive quand nous essayons de trouver la température de la terre à une certaine
profondeur à partir de la température à la surface.
Supposons donc que la température de la surface est une fonction connue continue f (t)
du temps t ≥ 0 périodique d’une période d’un an.
pic
Figure 3:
Pour simplifier les formules, nous normalisons le temps tel que un an correspond avec
un intervalle de temps de longueur 2π.
La température u(x, t) à la profondeur x > 0 est 2π périodique en temps.
Comme dans les exemples précédents, nous supposons que
∂u
∂2u
(x, t) = c 2 (x, t), x > 0, t > 0,
∂t
∂x
2
∂ u
pour une constante c > 0 appropriée avec ∂u
∂t et ∂x2 continues. Alors, de façon similaire
u(x, t) converge vers f (t) quand x tend vers 0 (la convergence est uniforme par rapport à
t).
Finalement, il est raisonnable de supposer que u(x, t) est bornée
|u(x, t)| ≤ M, ∀ t, ∀ x,
car x vit dans un compact et u est périodique en t.
Comme pour tout x, u(x, t) et ∂u
∂x (x, t) sont continues, 2π périodiques, la série de Fourier
P
de u(x, t) Cn (x) exp(int) converge uniformément vers u(x, t) pour tout x. Comme u(x, t)
converge uniformément vers f (t) quand x tend vers 0, on trouve que Cn (x) tend vers fˆ(n)
quand x tend vers 0 pour tout n. Comme
Z
2π
u(x, t) exp(−int)dt,
2πCn (x) =
0
en utilisant l’équation de la chaleur, une intégration par parties et le fait que u est 2π
périodique en temps, nous trouvons
Cn00 (x) =
in
Cn (x)
c
= λ2n Cn (x),
donc
Cn (x) = An (x0 ) exp(λn (x − x0 )) + Bn (x0 ) exp(−λn (x − x0 )), ∀ x ≥ x0 > 0,
où x0 est fixé, avec An + Bn = Cn (x0 ).
11
q
Remarquons que | exp(λn (x − x0 ))| = exp( |n|
2c (x − x0 )) tend vers l’infini quand x tend
vers l’infini alors que | exp(−λn (x − x0 ))| tend vers 0 quand x tend vers l’infini.
Avec de plus l’hypothèse u(x, t) ≤ M, ∀ x, t, on trouve que An = 0 donc
Cn (x) = Cn (x0 ) exp(−λn (x − x0 )), x ≥ x0 > 0.
En faisant tendre x0 vers 0, on trouve
Cn (x) = fˆ(n) exp(−λn x)
puis
u(x, t) =
X
Cn (t) exp(int)
n
=
X
fˆ(n) exp(−αn x) exp(int ± iαn x),
n
s
|n|
avec un signe − pour n > 0 et un signe + pour n ≤ 0.
2c
De la série de u(x, t), nous voyons que le nième terme fˆ(n) exp(int) dans la série de
Fourier pour la température à la surface est amortie par un facteur exp(−αn x) et le décalage
est de αn x car
X
f (t) =
fˆ(n) exp(int).
où αn =
n∈Z
Exercice 2 Si la température à la surface sur une période de un an est représentée par
f (t) = sin(t)
pic
Figure 4:
alors
u(x, t) = exp(−α1 x)sin(t − α1 x)
pic
Figure 5:
où α1 = √12c .
Maintenant soit x0 tel que α1 x0 = π. La température à la profondeur x0 est amortie
1
par un facteur exp(−π) (qui est approximativement
) et la phase est π.
25
√
π
Comme x0 =
= π 2c, la valeur de x0 dépend du matériau, mais la moyenne est à
α1
peu près de 4 mètres.
12
7
Tige infinie
Considérons maintenant une conduction de chaleur dans une tige infinie où encore la
température initiale est donnée.
Théorème 3 Soient f ∈ L1 (R) et c > 0 données.
Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, x ∈ R tel que ∂u
∂t ,
∂u
∂2u
∂2u
et satisfont ∂t = c ∂x2 avec ∂x2 continue en x, pour tout t.
De plus, les transformées de Fourier û,
||u − f ||1 tend vers 0 quand t tend vers 0.
d
∂2u
∂x2
,
c
∂u
∂t
∂2u
∂x2
existent en chaque point
existent et û satisfait
∂ û
∂t
=
c
∂u
∂t
et
Démonstration
Supposons l’existence d’une fonction u satisfaisant ces conditions, nous déterminons
explicitement u et prouvons que le u trouvé satisfait en effet toutes les conditions, ce qui
établit l’unicité.
Supposons donc l’existence d’au moins un u satisfaisant toutes les conditions mentionnées.
On applique la transformation de Fourier à l’équation de la chaleur, ce qui donne, grâce
aux hypothèses, l’équation différentielle suivante :
∂ û
= −cξ 2 û(ξ, t), ∀ ξ, t,
∂t
que l’on résoud
û(ξ, t) = û(ξ, t0 ) exp(−cξ 2 (t − t0 )), t ≥ t0 > 0.
Comme ||u − f ||1 tend vers 0 quand t tend vers 0, on obtient en faisant tendre t0 vers 0 :
û(ξ, t) = fˆ(ξ) exp(−cξ 2 t)
= fˆ(ξ)K̂β (ξ),
1
, β =
grâce à l’exercice ??, en notant α = 4ct
fondamentale de l’équation de la chaleur :
Kβ (x) = √
√
α et Kβ le noyau de Gauss, la solution
1
x2
exp(−
).
4ct
4πct
Comme û(ξ, t) = Kd
β ∗ f , on obtient
u(x, t) = √
1
4πct
Z
exp(−
R
y2
)f (x − y)dy, t > 0, x ∈ R.
4ct
On prouve ensuite que u = Kβ ∗ f satisfait toutes les conditions mentionnées dans le
théorème grâce à la proposition suivante :
∂K
∂2K
Proposition 3 La fonction Kβ est de classe C ∞ pour x ∈ R et t > 0. De plus, Kβ , ∂xβ , ∂x2β
sont bornés et uniformément continus sur R et (Kβ )t→0 est une approximation de l’identité
(cf le lemme ??). On a
∂Kβ
∂ 2 Kβ
=c
, x ∈ R, t > 0.
∂t
∂x2
13
De plus, Kβ (.) tend vers δ0 quand t tend vers 0+ au sens suivant
∀ φ ∈ Cb (R), lim
Z
t→0+ R
Kβ (§)φ(§)d§ = φ(0).
(6)
R
La démonstration de cette proposition utilise Kβ (x) ≥ 0, R Kβ (x)dx = 1.
Remarquons que Kβ est paire et qu’en fait la formule (??) est vraie pour φ bornée sur
R, continue en 0.
7.1
Conservation de la “masse”
Proposition 4 Si f ∈ L1 (R) alors ∀ t ≥ 0, u(., t) ∈ L1 (R) et
R
R u(., t)dx
=
R
R f (x)dx.
La démonstration repose sur la formule
u(x, t) = Kβ ∗ f
et sur le théorème de Fubini.
7.2
Application
Weierstrass connaisssait bien la solution de l’équation de la chaleur donnée par le théorème
suivant :
Théorème 4 Supposons que f : R → C est une fonction bornée, uniformément continue.
∂2φ
Si φ(x, t) = f ∗ Kβ (x), t > 0, alors φ ∈ C ∞ (R, R+ ) avec ∂φ
∂t (x, t) = c ∂x2 (x, t) et φ(x, t)
tend vers f (x) uniformément en x quand t tend vers 0+ .
Voyons comment il utilisait ce théorème :
Théorème 5 (Théorème de Stone-Weiertrass)
Si g : [a, b] → C est continue et ε > 0, nous pouvons trouver un polynôme P tel que
sup |P (t) − g(t)| ≤ ε
t∈[a,b]
c’est-à-dire l’ensemble des polynômes réels est dense dans C([a, b]) pour tout intervalle compact [a, b] avec la topologie de la convergence uniforme.
Démonstration
1) Soit R = 1 + max(|a|, |b|).
Posons

F (t) =

g(t) si t ∈ [a, b],









 g(b)(b + 1 − t) si t ∈ [b, b + 1],



g(a)(t − a + 1) si t ∈ [a − 1, a],








0 sinon .
14
Donc, il existe F : R → C continue avec
F (t) =


 g(t) si t ∈ [a, b],

 0 si |t| ≥ R.
Donc F est automatiquement uniformément continue et bornée sur l’intervalle fermé borné
[−R, R] donc sur R, ce qui implique que F ∗ K 1 converge uniformément vers F sur R quand
η
η tend vers 0 (cf le théorème ??), c’est-à-dire il existe η = η(ε) > 0 tel que
ε
|F ∗ K 1 (t) − F (t)| < , ∀ t ∈ R.
η
2
r
Comme nr=0 xr! converge uniformément vers exp(x) sur tout intervalle [−S, S] si |x| ≤ S
et 2S ≤ n, il suit que
n
x2 1
1 X
(− 2 )r
Q2n (x) := √
η 2π r=0 2η r!
P
converge uniformément sur [−2R, 2R] vers
√1
η 2π
2
x
exp(− 2η
2 ) = K √1 (x). Comme
2η
F (x) = 0, ∀ |x| ≥ R,
il existe N tel que
ε
|F ∗ K √1 (t) − F ∗ Q2N (t)| ≤ , ∀ t ∈ [−R, R]
2
2η
puis
|F ∗ Q2N (t) − g(t)| ≤ ε, ∀ t ∈ [a, b].
Le polynôme F ∗ Q2N de degré 2N est finalement une bonne approximation de g sur [a, b].
15