QCM Soit la fonction définie par est de la forme . La valeur de est : 3

QCM
Soit
la fonction définie par
est de la forme
L'image de 0 par
. La valeur de
-2
2
1
1,5
3
A (-1 ; 1)
B (-1 ; 5)
C (1 ; -18)
E (0 ; 3)
F (0 ; 2)
est :
La droite qui représente la fonction
L'antécédent de 4 par la fonction
La droite qui représente la fonction
PROBLEME 1
3
est :
passe par le point
est :
-5
coupe l'axe des ordonnées en
D (1,5 ; 0)
Les trois parties sont indépendantes
Partie 1
Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
Offre A : 1,20 € par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
Offre B : 0,50 € par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 €.
1. Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
Offre A : 30 x 1,20 = 36
Offre B : 30 x 0,5 + 35 = 50
30 morceaux coûtent 36 € avec l’offre A, et 50 € avec l’offre B.
2. a) Exprimer, en fonction du nombre de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
b) Exprimer, en fonction du nombre de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B.
1,2 x
0,5 x
+ 35
3. Soit et les deux fonctions définies par :
et
.
a) L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi.
« et sont toutes les deux des fonctions linéaires».
Cette affirmation est fausse, car n’est pas une fonction linéaire, mais une fonction affine.
b) Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal, les représentations graphiques des
fonctions et . On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.
90
85
35
10
0
10
75
100
4. Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
Les droites se croisent au point d’abscisse 50. Pour 50 morceaux, le prix sera le même : 1,2 x 50 = 60 ; 0,5 x 50 + 35 = 60.
5. Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
Offre A : 60 x 1,20 = 72 Offre B : 60 x 0,5 + 35 = 65 Si on achète 60 morceaux à l’année, l’offre B est la plus avantageuse.
6. Si on dépense 80 €, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?
x 0,5 + 35 = 80
0,5 = 80 – 35 = 45
= 45 0,5 = 90.
Avec 80€, on peut télécharger 90 morceaux à l’année avec l’offre B.
Partie 2
On admet qu'un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet)
1. Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d'une capacité de stockage de 256 Mo ?
256 3 = 85,333…
On peut stocker 85 morceaux de musique sur une clé USB de 256 Mo.
2. La vitesse de téléchargement d'un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s. (méga-octet par seconde)
Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes ?
2 min = 120 s 120 x 10 = 1 200
1 200 3 = 400
On peut télécharger 400 morceaux en 2 min.
Partie 3
Les créateurs du site réalisent une enquête de satisfaction auprès des internautes clients.
Ils leur demandent d'attribuer une note sur 20 au site. Le tableau suivant donne les notes de 50 internautes.
Note
6
8
10
12
14
15
17
Effectif
1
5
7
8
12
9
8
1. Calculer la note moyenne obtenue par le site. Arrondir le résultat à l'unité.
(6x1) + (8x5) + (10x7) + (12x8) + (14x12) + (15x9) + (17x8) = 6 + 40 + 70 + 96 + 168 + 135 + 136 = 651
651 50 = 13,02
La moyenne obtenue par le site est 13,02/20.
2. L'enquête est jugée satisfaisante si 55 % des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14.
Est-ce le cas? Expliquer pourquoi.
12 + 9 + 8 = 29
29 personnes sur 50, soit 58% des clients ont donné une note supérieure ou égale à 14.
L’enquête est donc satisfaisante.
PROBLEME 2
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. M est un point de [BC].
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.
Partie A
Justifier que :
1. BC = 5 cm
Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC =
BC = 5 cm.
2. Le quadrilatère APMQ est un rectangle
ABC est rectangle en A, donc
. Par construction, (PM) et (AP) sont perpendiculaires ; (QM) et (AC) aussi.
Or si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est un rectangle.
Donc APMQ est un rectangle.
3.
APQM est un rectangle donc ses côtés opposés sont parallèles : (PM) // (AC).
Dans le triangle BAC : P
[BA], M
[BC] et (PM) // (AC).
D’après le théorème de Thalès,
.
d’où
Partie B
On suppose dans cette partie que BM = 2 cm.
1. Calculer BP, PM puis en déduire AP.
donc
P
BP = 2 x 3
5 = 1,2 cm
et PM = 2 x 4
5 = 1,6 cm
[AB] donc AP = AB – BP = 3 – 1,2 = 1,8 cm.
2. Calculer l'aire du rectangle APMQ.
AP x PM = 1,8 x 1,6 = 2,88
L’aire du rectangle APMQ vaut 2,88 cm².
Partie C
On suppose dans cette partie que BM = cm avec 0 < < 5.
1. En utilisant la question 3. de la Partie A, exprimer BP et PM en fonction de .
donc
BP =
2. En déduire AP en fonction de .
3. Pour quelle valeur de
P
5 = 0,6 cm
et PM =
x4
5 = 0,8 cm
[AB] donc AP = AB – BP = 3 – 0,6
APMQ est-il un carré?
APMQ est un carré lorsque AP = PM, soit
4. On note
x3
3 – 0,6 = 0,8
3 = 0,8
+ 0,6
l'aire, en cm2 du rectangle APMQ. Justifier que
= AP x PM = (3 – 0,6 ) x 0,8 = 3 x 0,8 – 0,6 x 0,8 = 2,4 – 0,48 ²
5. On donne la représentation graphique de la fonction ci-contre:
a) En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de pour lesquelles l'aire du
rectangle APMQ est de 1 cm2.
L’aire du rectangle APMQ vaut 1 cm² lorsque vaut 0,4 ou 4,6 cm.
b) Déterminer graphiquement la valeur de pour laquelle
l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale.
L’aire est maximale lorsque vaut 2,5 cm, et vaut alors 3 cm².
3 = 1,4
.
=
=