dossier de candidature a un poste de maitre de conference

DOSSIER DE CANDIDATURE A UN POSTE DE MAITRE DE
CONFERENCE
MARCHAND FABIEN
7 ruelle des Saules
91400 ORSAY
Curriculum Vitae:
Activités d’enseignement:
Publications:
Activités de recherche:
Résumé des travaux:
..................
..................
..................
..................
..................
1
p.3
p.5
p.6
p.7
p.8
2
Curriculum Vitae de
Fabien Marchand
Nationalité française.
Né le 08 juillet 1978 à Saint-Germain en Laye (78).
état civil: célibataire.
Adresse professionnelle :
Université d’Evry
Laboratoire d’analyse et probabilités,
Département de mathématiques
Bd Francois Mitterrand
91025 Evry cedex.
email : [email protected]
page web: http://www.maths.univ-evry.fr/pages-perso/marchand/index.html
Cursus universitaire
2003-2006 :
Thèse de mathématiques au laboratoire de mathématiques d’Evry.
Intitulé : “Application de techniques d’analyse harmonique réelle à l’étude d’une classe
d’équations quasi-géostrophiques”.
Directeur : Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Professeur à l’université d’Evry.
Soutenance : 30 Novembre 2006
obtenue avec la mention très honorable et félicitations du jury.
2002-2003 :
DEA de maths pures à Orsay obtenu avec mention très bien, cours suivis:
- analyse harmonique réelle par G. David
- introduction à l’équation de Schrödinger par C. Zuily
- analyse harmonique réelle par G. Alexopoulos
- introduction à l’étude mathématique des fluides géophysiques par I. Gallagher
Mémoire de DEA sous la direction de P.G. Lemarié-Rieusset: Espace BM O−r et
application aux paramultiplicateurs.
2001-2002 :
Préparation et obtention de l’agrégation à l’ENS Cachan.
2000-2001 :
Deuxième année de magistère et maı̂trise de maths pures à Paris XI
modules suivis: probabilités, distributions, problèmes d’évolution et géométrie.
Reçu au concours de troisième année à l’ENS Cachan.
Mémoire de maı̂trise sous la direction de F. Leroux: les ensembles de Cantor du plan
sont homéomorphes.
1999-2000 :
Première année de magistère et Licence de maths fondamentales à Paris XI
modules suivis: topologie et calcul différentiel, équations différentielles, fonctions
holomorphes, algèbre, calcul intégral et probabilités.
Mémoire pour le magistère sous la direction de J.P. Kahane: travail sur un article de
S. Jaffard portant sur l’analyse multifractale et la conjecture de Frisch et Parisis.
Stage de magistère dans une unité Inserm; le stage a été suivi de vacations.
1996-1999 :
Classes préparatoires (MPSI, MP et MP? ).
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Emplois
2006-2007 : Poste de demi-ATER à Evry.
2003-2006 : Allocataire de recherche à Evry et moniteur à Paris XI.
2001-2003 : Elève normalien à l’ENS de Cachan.
2000-2001 : Vacations dans une unité Inserm de l’hôpital Lariboisière (traitement du
signal pour des électrocardiogrammes de souris).
Compétences en informatique
Linux, Matlab et Maple.
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Activités d’enseignement
Enseignements à l’université
2003-2004: Deug S3 SMP (2ème année physique), algèbre et géometrie.
2004-2005: Deug S4 MIAS (2ème année maths-info), analyse et algèbre.
2005-2006: Licence S4 PC (2ème année physique), analyse de Fourier pour la physique.
2006-2007: L3 maths (3ème année maths), topologie.
IUP génie des matériaux (3ème année), équations différentielles et séries de Fourier.
L2 (physique-chimie), équations différentielles.
L2 (physique-chimie), réduction de matrices.
Autres enseignements
2001-2006
Interrogateur en classes préparatoires (HEC, PCSI, PC* et MP*) aux Lycées
Decourt, Fénelon Sainte-Marie (Paris) et Blaise Pascal (Orsay).
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Liste des publications
Articles publiés ou acceptés pour publication
Marchand, F., Lemarié-Rieusset, P.G. , Solutions auto-similaires non-triviales pour
l’équation quasi-géostrophique dissipative critique, C. R. Acad. Sci. Paris, 341 (2005),
pp. 535-538.
Marchand, F., Propagation of Sobolev regularity for the critical dissipative quasigeostrophic equation, Asymp. Analysis, 46 (2006), pp. 275-293.
Marchand, F., Paicu, M., Remarques sur l’unicité pour le système de Navier-Stokes
tridimensionnel, à paraı̂tre au CRAS.
Version électronique disponible à l’adresse http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2007.01.014
Marchand, F., Existence and regularity of weak solutions for the Quasi-Geostrophic
equations with initial data in Lp or in Ḣ −1/2 , à paraı̂tre dans Comm. Math. Phys.
Article soumis
Marchand, F., Weak-strong uniqueness criterions for the critical dissipative quasigeostrophic equation.
Article en cours de rédaction
Marchand, F., On the spatial decay of weak solutions to the quasi-geostrophic equation.
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Activités de recherche
Exposés
02/2007 : Séminaire d’EDP de l’université de Lyon 1, Lyon.
12/2006 : Séminaire d’analyse non-linéaire de l’ENS, Paris.
12/2006 : Présentation d’un poster au colloque ”Perspectives en dynamique des fluides”,
EPFL Lausanne.
29 Mars 2006 : Groupe de travail en analyse, université d’Evry.
Participations à des colloques et séjours à l’étranger
18-25 janvier 2007 : Invitation à l’université de Monastir, Tunisie.
5-8 décembre 2006 : Participation à la conférence ”Perspectives en dynamique des
fluides” au Centre Interfacultaire Bernouilli Ecole Polytechnique de Lausanne, Suisse.
5-9 juin 2006 : Participation au GDR ”Analyse des Équations aux Dérivées Partielles”,
Evian, France.
15 octobre- 30 novembre 2005 : Séjour à l’université de Bloomington, Indiana, USA.
6-10 juin 2005 : Participation au GDR ”Analyse des Équations aux Dérivées Partielles”,
Forges-Les-Eaux, France.
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Résumé de la thèse
Titre de la thèse: Application de techniques d’analyse harmonique réelle à
l’étude d’une classe d’équations quasi-géostrophiques
La thèse a été soutenue le 30 novembre 2006 devant le jury composé de :
M. Radjesvarane Alexandre
M. Thierry Cazenave
M. Peter Constantin
M. Raphaël Danchin
Mme Isabelle Gallagher
M. Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Rapporteur
Rapporteur
Directeur de thèse
L’objet de ma thèse est l’étude des équations dites quasi-géostrophiques suivantes:

 ∂t θ + u · ∇θ + kΛ2α θ = 0 dans R+ × R2
u = −R⊥ θ = −(−R2 θ, R1 θ)
(QG)α
(1)

θ(0, ·) = θ0
∂
∂
où R1 , R2 sont les transformées de Riesz Rj = Λj = (−∆)j 1/2 et 0 < α ≤ 1. Le scalaire k
est positif et dans le cas k = 0 le système sans dissipation sera noté (QG). Le scalaire θ
représente la température d’un fluide marin ou atmosphérique (sous certaines hypothèses
physiques [16]) et u sa vitesse qui est de divergence nulle.
L’équation (QG), introduite par Constantin, Majda et Tabak en 1994 [4], a une structure très similaire à celle des équations d’Euler en dimension trois. Outre son intérêt
en météorologie et en océanographie, c’est par conséquent un bon modèle d’étude pour
les équations d’Euler tridimensionelles. L’équation avec dissipation variable a été ensuite
introduite par Constantin et Wu [5] dans le but d’observer la puissance minimale de
laplacien nécessaire à l’analyse de l’équation. D’autre part, le terme de diffusion dans
l’équation (QG)1/2 modélise le phénomène de pompage d’Eckmann observé dans les fluides quasi-géostrophiques.
Dans une première partie ([14]) je m’intéresse à la question de l’ existence globale de
solutions faibles pour les équations avec et sans dissipation. La méthode de construction
de telles solutions consiste à résoudre un problème approché et à passer à la limite pour
obtenir une solution de notre équation. La difficulté principale liée à cette méthode consiste à effectuer le passage à la limite dans le terme non-linéaire puisque les convergences
mises en jeux sont très faibles. La deuxième partie ([15]) contient deux résultats d’unicité
pour les solutions faibles de l’équation avec dissipation critique (α = 1/2). Un de ces
résultats montre que l’on peut construire une unique solution faible si la donnée initiale
est petite en norme L∞ . Dans une troisième partie ([13]), j’étudie l’existence globale,
pour l’équation critique (QG)1/2 , de solutions ayant une régularité Sobolev donnée sous
une condition de petitesse (en norme L∞ ) de la donnée initiale. Sont ici généralisés des
résultats de Constantin, Cordoba et Wu [3], Cordoba A. et Cordoba D. [6] et Wu [18].
Enfin, la quatrième et dernière partie ([12]) contient des résultats d’existence de solutions
auto-similaires pour les équations quasi-géostrophiques (QG)α avec 1/2 ≤ α ≤ 1. Le
cas sous-critique est similaire à celui des équations de Navier-Stokes [2] alors que le cas
critique est nettement plus délicat. Dans chaque cas sont donnés des exemples de données
initiales homogènes donnant naissance à une solution auto-similaire.
8
1
Solutions faibles pour (QG) et (QG)α
Dans ce chapitre, je traite la question de l’existence globale de solutions faibles pour les
équations (QG) et (QG)α pour des données initiales dans les espaces de Lebesgue Lp ou
dans l’espace de Sobolev Ḣ −1/2 . Formellement, les solutions de l’équation sans dissipation
(QG) vérifient les conservations suivantes:
kθ(t)kp = kθ0 kp
pour tout p ≥ 1,
kθ(t)kḢ −1/2 = kθ0 kḢ −1/2 .
Compte tenu de ces conservations, il est naturel de se poser la question suivante: à partir
d’une donnée initiale θ0 appartenant à Lp ou Ḣ −1/2 , peut-on construire une solution faible
globale ? Dans le cas p = 2, Resnick a donné une réponse affirmative à cette question
(voir [17]) en considérant l’équation sur le tore bidimensionnel. Nous avons pu étendre ce
résultat à d’autres valeurs de p et obtenir plus précisement le résultat suivant:
Théorème 1. Soit T ∈ (0, ∞], p > 4/3 et θ0 ∈ Lp (R2 ); il existe une solution faible θ sur
(0, T ) × R2 de l’équation (QG) qui appartient à L∞ ((0, T ), Lp ) et qui vérifie
kθ(t)kp ≤ kθ0 kp
pour tout t ∈ (0, T ).
La méthode de construction (méthode de Leray [11]) consiste à résoudre une équation
approchée puis à effectuer un passage à la limite pour obtenir une solution de (QG).
C’est dans ce dernier point que se concentrent les difficultés (voir [7] et [8]) puisque les
convergences faibles mises en jeux ne permettent pas, a priori, de passer à la limite dans le
terme non-linéaire. La démonstration de ce résultat repose sur une formule de réécriture
de la non-linéarité de façon judicieuse, c’est une formule de répartion des dérivées qui est
liée à la structure très particulière de cette non-linéarité. Cette formule permet en outre
de définir la non-linéarité lorsque θ ∈ L∞ ((0, T ), Lp ) pour 4/3 < p < 2.
Lorsque l’on rajoute de la dissipation à notre système, on peut résoudre le problème
et obtenir l’existence de solutions faibles Ḣ −1/2 . De plus, pour une donnée initiale dans
Lp , on retrouve la plage p > 4/3 pour laquelle on peut construire des solutions faibles et
l’on peut aussi traiter le cas p = 4/3 comme conséquence du cas Ḣ −1/2 :
Théorème 2. Soit T ∈ (0, ∞], 0 < α ≤ 1.
(i) Si θ0 ∈ Lp , 4/3 ≤ p < ∞, il existe une solution faible θ sur (0, T ) × R2 de l’équation
(QG)α telle que θ ∈ L∞ ((0, T ), Lp ) et vérifiant l’inégalité:
Z tZ
p
kθ(t)kp + pk
sgn(θ)|θ|p−1 Λ2α θdxds ≤ kθ0 kpp
(2)
0
pout tout t ∈ (0, T ).
(ii) Si θ0 ∈ Ḣ −1/2 (R2 ); il existe une solution faible θ sur (0, T ) × R2 de l’équation (QG)α
telle que θ ∈ L∞ ((0, T ), Ḣ −1/2 ) ∩ L2 ((0, T ), Ḣ α−1/2 ) et vérifiant l’inégalité:
Z tZ
2
(3)
kθ(t)kḢ −1/2 + 2k
|Λα−1/2 θ|2 dxds ≤ kθ0 k2Ḣ −1/2 .
0
R2
pour tout t ∈ (0, T ).
Enfin, lorsque la donnée initiale est dans Lp , il n’est pas clair que les solutions faibles
que l’on sait construire aient une régularité Sobolev (positive). Nous avons pu montrer
que lorsque p > max(2, 1/α), il y a un effet régularisant local:
9
Théorème 3. Soit T ∈ (0, ∞], 0 < α ≤ 1, p ∈ (max(2, 1/α), ∞) et θ0 ∈ Lp (R2 ); les
solutions faibles θ construites au théorème 2 vérifient l’estimation uniformément locale:
Z
T
0
Z
|Λα (θ)|2 dxdt < ∞
sup
x0 ∈R2
0
(4)
|x−x0 |<1
0
0
pour tout T ∈ (0, T ], T < ∞.
0
0
0
α
En particulier, θ ∈ L2 ((0, T ), Hloc
) pour tout T ∈ (0, T ], T < ∞.
2
Unicité pour l’équation critique
La méthode de Leray pour construire des solutions faibles est très puissante puisqu’elle
permet de construire des solutions globales en temps pour des données initiales (de faible
régularité) arbitrairement grandes; mais son grand défaut est qu’elle ne donne pas, a
priori, l’unicité de ces solutions dans la mesure où il y a un processus d’extraction de
sous-suites convergentes. Dans ce chapitre je m’intéresse à des critères d’unicité de type
fort-faible pour l’équation (QG)1/2 . Rappelons que pour le cas sous-critique (1/2 < α ≤ 1)
Constantin et Wu ont obtenu, dans [5], un analogue du théorème de Serrin (pour les
équations de Navier-Stokes) en testant l’unicité sur la norme Ḣ −1/2 . Ce résultat implique
2
notament que pour toute donnée initiale appartenant à Ḣ −1/2 ∩ Lp , avec p ≥ 2α−1
, les
solutions faibles que l’on sait construire sont uniques dans la classes des solutions-Ḣ −1/2 :
Définition 1. Une solution-Ḣ −1/2 sur (0, T ) de l’équation quasi-géostrophique, (QG)α ,
avec donnée initiale θ0 ∈ Ḣ −1/2 est une solution faible θ de (QG)α vérifiant l’inégalité
d’énergie
Z Z
t
|Λα−1/2 θ|2 dxds ≤ kθ0 kḢ −1/2
kθ(t)kḢ −1/2 + 2k
(5)
0
pour tout t ∈ (0, T ).
Pour le cas critique α = 1/2, j’ai pu montrer dans un premier temps qu’une condition
de petitesse sur la norme L∞ (BM O) permettait d’avoir la même conclusion:
Théorème 4. Soit θ0 ∈ L∞ ∩ Ḣ −1/2 , on suppose qu’il existe une solution θ de l’équation
(QG)1/2 sur (0, T ) de donnée θ0 telle que:
θ ∈ L∞ ((0, T ), Ḣ −1/2 ) ∩ L2 ((0, T ), L2 ) ∩ L∞ ((0, T ), BM O)
vérifie l’égalité dans (5). De plus, il existe une constante positive D∞ telle que si
kθkL∞ (BM O) < D∞ k,
θ est l’unique solution-Ḣ −1/2 de (QG)1/2 sur (0, T ) avec donnée initiale θ0 .
En particulier, pour les solutions vérifiant le principe du maximum kθ(t)k∞ ≤ kθ0 k∞ pour
tout t ∈ (0, T ), la condition de petitesse de la norme L∞ (BM O) est une conséquence de
la petitesse de la norme L∞ de la donnée initiale.
Le point délicat dans la preuve de ce théorème réside dans l’observation que le produit
entre une fonction L2 et une de ses transformées de Riesz appartient à l’espace de Hardy
H1 . L’intérêt de l’espace H1 vient du fait qu’il permet alors d’effectuer des dualités avec
l’espace BM O qui apparaı̂t naturellement comme image par les transformée de Riesz de
l’espace L∞ .
Enfin, j’ai pu déduire de ce résultat une sorte d’analogue du théorème de Von-Wahl:
10
Théorème 5. Soit θ0 ∈ L∞ ∩ Ḣ −1/2 , toute solution θ de l’équation (QG)1/2 sur (0, T ) de
donnée initiale θ0 ∈ Ḣ −1/2 telle que:
θ ∈ L∞ ((0, T ), Ḣ −1/2 ) ∩ L2 ((0, T ), L2 ) ∩ C([0, T ), CM O)
vérifie l’égalité dans (5) et est l’unique solution-Ḣ −1/2 de (QG)1/2 sur (0, T ) de donnée
initiale θ0 .
Dans l’énoncé précédent, CM O désigne l’adhérence des fonctions test dans BM O. La
construction de solutions faibles appartenant à l’espace C([0, T ), CM O) est alors une
question naturelle ouverte (voir le projet de recherche).
Il est important de souligner que le résulat de régularité de Caffarelli et Vasseur [1] ne
donne pas l’unicité des solutions faibles.
3
Propagation de la régularité Sobolev pour (QG)1/2
Lorsque α > 1/2, on sait montrer qu’une donnée initiale régulière donne naissance à une
solution de (QG)α , régulière pour tout temps. Plus précisément, on sait montrer que si
la donnée initiale a une régularité Sobolev H s , s > 0, alors il existe une solution faible L2
qui appartient à l’espace de Sobolev H s pour tout temps.
La question posée dans cette partie est la suivante: Si la donnée initiale est dans l’espace
de Sobolev H s , est-ce qu’il existe une solution globale de (QG)1/2 qui soit H s pour tout
temps? Sous des conditions de petitesse en norme L∞ de la donnée initiale Constantin,
Córdoba et Wu ([3], [18])et Córdoba A. et Córdoba D. [6]) donnent une réponse affirmative
pour certaines valeurs de s.
J’ai pu généraliser ces résultats à toute régularité Sobolev plus grande que −1/2 sous la
seule condition d’une donnée initiale petite en norme L∞ :
Théorème 6. Soit s > −1/2, il existe une constante C∞ indépendante de s telle que:
(i) Si −1/2 < s < 0, pour toute donnée initiale θ0 dans Ḣ −1/2 ∩ Ḣ s ∩ L∞ avec kθ0 k∞ <
C∞ k, il existe une Ḣ −1/2 -solution θ, de (QG)1/2 , de donnée initiale θ0 telle que θ ∈
Cb0 ([0, ∞), Ḣ s ) ∩ L2 ((0, ∞), Ḣ s+1/2 ) et
kθ(t, ·)kḢ s ≤ kθ0 kḢ s
pour tout t ∈ (0, ∞).
(ii) Si s ≥ 0, pour toute donnée initiale θ0 dans H s ∩ L∞ avec kθ0 k∞ < C∞ k, il existe une L2 -solution θ, de (QG)1/2 , de donnée initiale θ0 telle que θ ∈ Cb0 ([0, ∞), H s ) ∩
L2 ((0, ∞), Ḣ s+1/2 ) et
kθ(t, ·)kH s ≤ kθ0 kH s
pour tout t ∈ (0, ∞).
L’argument essentiel dans la preuve de ce théorème est l’estimation non-linéaire suivante:
Z
Λ2s θ R⊥ θ · ∇θdx kθk∞ kΛs+1/2 θk22 .
Cette estimation est assez difficile lorsque s est non-entier; une première difficulté vient
du fait que l’on n’a pas de formule de Leibniz pour des dérivations fractionnaires et une
autre vient toujours du fait que les transformées de Riesz ne sont pas bornées sur L∞ .
La démonstration s’appuie sur des découpages en fréquences (calcul paradifférentiel), un
subsitut à la formule de Leibniz pour la dérivation fractionnaire et l’utilisation de l’espace
11
de Hardy H1 .
Ce résultat et le résultat d’unicité énoncé dans le paragraphe précédent montrent que
l’équation (QG)1/2 est bien comprise sous la condition d’une donnée initiale petite en
norme L∞ .
Récemment, Kiselev, Nazarov et Volberg [9] ont montré, dans le cas d’une donnée
initiale périodique, que pour tout s > 2 on peut retirer l’hypothèse de petitesse sur la
donnée initiale.
4
Solutions autosimilaires pour (QG)1/2
Une solution auto-similaire d’une EDP d’évolution est par définition une solution invariante par le changement d’échelle de l’équation. L’intérêt de telles solutions vient
entre autres de leur relation avec d’éventuels attracteurs. Un des aspects important dans
la recherche de solutions auto-similaires est de bien choisir les espaces fonctionnels dans
lesquels on travaille. En effet, étant donné que la donnée initiale doit être une distribution
homogène, l’espace dans lesquel on considère la donnée initiale doit premièrement avoir
la même homogénéité que la donnée initiale et deuxièmement contenir des distributions
homogènes (par exemple les espaces de Lebesgue Lp ne contiennent pas de distributions
homogènes non triviales).
Il existe plusieurs approches possibles pour aborder le problème de l’existence de solutions
similaires. L’approche développée par Cannone et Planchon [2] pour montrer l’existence
de solutions auto-similaires aux équations de Navier-Stokes consiste à faire fonctionner un
théorème de point fixe dans un espace adapté aux solutions auto-similaires, elle ne permet
de construire des solutions auto-similaires qu’à donnée initiale petite. J’ai utilisé cette
approche pour construire des solutions auto-similaires pour les équations sous-critiques
(calculs similaires aux équations de Navier-Stokes) et pour l’équation critique:
Théorème 7. Soit F1/2 l’espace de Banach des fonctions f (t, x) localement intégrable sur
0,1 < ∞ et sup
1,∞ < ∞.
]0, +∞[×R2 telles que supt>0 kf (t, .)kḂ∞
t>0 tkf (t, .)kḂ∞
Il existe 1/2 > 0 et C1/2 > 0 telles que, si θ0 vérifie
kθ0 k∞ + kR1 θ0 k∞ + kR2 θ0 k∞ < 1/2 ,
il existe une unique solution θ de (QG)1/2 telle que
kθ − e−tΛ θ0 kF1/2 ≤ C1/2 (kθ0 k∞ + kR1 θ0 k∞ + kR2 θ0 k∞ ).
Si de plus θ0 est supposée homogène de degré 0, alors la solution θ est auto-similaire.
Le point essentiel ici est que le point fixe est obtenu sur la fluctuation θ − e−tΛ θ0 qui
0,1
est légèrement plus régulière que la tendance e−tΛ θ0 (l’espace Ḃ∞
est inclus dans L∞ et
les transformées de Riesz y sont bornées).
References
[1] Caffarelli L., Vasseur A., Drift diffusion equations with fractionnal diffusion and
the quasi-geostrophic equation, arXiv, 2006.
[2] Cannone, M., Planchon, F., Self-similar solutions for Navier-Stokes equations in
R3 , Comm. Partial diff. eq., 21 (1996), pp. 179-193.
[3] Constantin, P., Córdoba, D., Wu, J., On the critical dissipative quasigeostrophic
equation, Indiana Univ. Math. J., 50 (2001), pp. 97-107.
12
[4] Constantin, P., Majda, A., Tabak,E. , Formation of strong fronts in the 2-D
quasigeostrophic thermal active scalar, Nonlinearity, 7 (1994), 1495–1533.
[5] Constantin, P., Wu, J., Behavior of solutions of 2D quasi-geostrophic equations,
Siam J. Math. Anal., 30 (1999), pp. 937-948.
[6] Córdoba, A., Córdoba D., A maximum principle applied to Quasi-Geostrophic
equations, comm. in math. phys., 249 (2004), pp. 511-528.
[7] Delort, J.-M., Existence de nappes de tourbillon en dimension deux, J. Amer. Math.
Soc., 4 (1991), pp. 553-586.
[8] DiPerna, R., Majda, A., Oscillations and concentrations in weak solutions of the
incompressible flow equations, Comm. Math. Phys., 108 (1987), pp. 667-689.
[9] Kiselev A., Nazarov F., Volberg A., Global well-posedness for the critical 2D
dissipative quasi-geostrophic equation, arXiv, 2006.
[10] Lemarié-Rieusset, P.G., Recent developments in the Navier-Stokes problem,
Chapman and Hall, Research Notes in Maths. 431 (2002).
[11] Leray J., Sur le mouvement d’un fluide visqueux remplissant l’espace, Acta Math.,
63 (1934), pp. 194-248.
[12] Marchand, F., Lemarié-Rieusset, P.G. , Solutions auto-similaires non-triviales
pour l’équation quasi-géostrophique dissipative critique, C. R. Acad. Sci. Paris, 341
(2005), pp. 535-538.
[13] Marchand, F., Propagation of Sobolev regularity for the critical dissipative quasigeostrophic equation, Asymp. Analysis, 46 (2006), pp. 275-293.
[14] Marchand, F., Existence and regularity of weak solutions for the Quasi-Geostrophic
equations with initial data in Lp or in Ḣ −1/2 , à paraı̂tre dans Comm. Math. Phys.
[15] Marchand, F., Weak-strong uniqueness criterions for the critical dissipative quasigeostrophic equation, soumis.
[16] Pedlosky, J., Geophysical Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, (1987).
[17] Resnick, S., Dynamical Problem in Nonlinear Advective Partial Differential Equations, Ph. D. thesis University of Chicago, 1995.
[18] Wu, J., The Quasi-geostrophic equation and its two regularizations, Comm. partial
diff. eq., 27 (2002), pp. 1161 − 1181.
13