Chap 20 triangle rectangle et cercle

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE
I Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle :
1) Démonstration :
B
Un triangle ABC rectangle en A a été tracé (ses
mesures sont sans importance).
Sur celui-ci, construis la médiatrice (d) de [AB],
elle coupe [AB] en K et [BC] en O .
On va démontrer que O est le centre du cercle
circonscrit à ABC.
K
O
A
C
Où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle d’après la définition ?
…… les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit ………….
Données de l’énoncé :
- ABC triangle rectangle en A ce qui signifie : (AB) ⊥ (AC)
- (d) médiatrice de [AB] ce qui signifie : (d) ⊥ (AB)
- (d) coupe [AB] en K ce qui signifie : K milieu de [AB]
- (d) coupe [BC] en O ce qui signifie : O est sur la médiatrice de [AB]
Démontrons que O est sur une deuxième médiatrice du triangle ABC, par exemple, celle de [BC].
Quelle est la définition de la médiatrice ? ……..la médiatrice est une droite qui passe par le milieu d’un
segment et qui lui est perpendiculaire …………………………….
Comme O est sur [BC], il suffit de démontrer que O est le milieu de [BC].
On a les données suivantes : (AB) ⊥ (AC) et (d) ⊥ (AB)
Or……………… si 2 droites sont ⊥ à une même 3ème alors elles sont // entre elles ……………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Donc : (d) // (AC)
On a les données suivantes : (d) // (AC) et ….K milieu de [AB] ………………………..
Or…………… dans un triangle si une droite passe par le milieu d’un côté et est // à un autre alors elle coupe le
3ème en son milieu ………………………………………….
Donc : O est le milieu de [BC] et par suite O est sur la médiatrice de [BC].
Donc O appartient à deux médiatrices du triangle ABC, c’est donc le centre du cercle circonscrit.
:
Si un triangle est rectangle alors le milieu de l'
hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit .
:
…Si un triangle est rectangle alors le cercle circonscrit a pour diamètre l'
hypoténuse de ce triangle
2) Exercice type :
Soit un triangle EFG rectangle en E, tel que FG = 6 cm
Soit I le milieu de [FG].
1)
2)
3)
4)
Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG.
Quelle droite particulière du triangle EFG est représentée par (EI) ?
Calcule la longueur de [EI].
F
Enonce une propriété.
E
I
G
Données : EFG triangle rectangle en E, tel que FG = 6 cm et I milieu de [FG].
1) On a : EFG triangle rectangle en E et I milieu de [FG]
Or : Si un triangle est rectangle alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce
triangle.
Donc : I est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG.
2) (EI) est la médiane issue de E du triangle EFG car elle passe par un sommet et le milieu u côté opposé.
1
1
3) I est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG ce qui veut dire que EI = FI = GI = FG = × 6 = 3.
2
2
4) Propriété : Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la
longueur de l’hypoténuse.
Réciproquement : Si dans un triangle, une médiane a pour longueur la moitié du côté opposé à son sommet
alors ce triangle est rectangle.
II Réciproque :
1) Activité :
Dans chaque cadre ci-dessus,
trace un cercle et un de ses
diamètres que tu nommeras [AB].
Choisis sur chaque cercle
un point C distinct de A et de B.
A
A
O
O
B
B
C
C
Quelle est la nature du triangle ABC ? ………un triangle rectangle en C………………………………
On peut démontrer ce résultat à l’aide des propriétés de la droite des milieux et du parallélisme.
K le milieu de [AC].Tu vas d’abord démontrer que (AC) ⊥ (OK). Tu vas démontrer ensuite que (BC) // (OK). Tu vas démontrer enfin
que (BC) ⊥ (AC).
2) Propriété :
:
Si l'
un des côtés d’un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle
A
…C est un point du cercle de diamètre [AB]……..
O
Angle droit
alors d’après la propriété
ABC est rectangle en C………………..
A
B
C
3) Exercice type :
Soit un triangle ABC. Le cercle
segment [BC] en H.
de diamètre [AB] coupe le
1) Démontre que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
2) Démontre que le cercle circonscrit au triangle ACH a
pour diamètre [AC].
Données : ABC triangle.
cercle de diamètre [AB].
C
H
B
coupe le segment [BC] en H.
1) On a : cercle de diamètre [AB] et H ∈ .
Or : si dans un triangle, l’un des côtés est le diamètre du cercle circonscrit à ce triangle alors ce triangle est
rectangle.
Donc : ABH est un triangle rectangle en H, d’où (AH) ⊥ (BH) et évidemment puisque H ∈ [BC],
(AH) ⊥ (BC).
2) On a : (AH) ⊥ (BC) et AHC triangle rectangle en H.
Or : si un triangle est un rectangle alors le cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse de ce triangle.
Donc : le cercle circonscrit au triangle ACH a pour diamètre [AC].