dm10-arithm - joffrempsi1

D.M. 10 : Fonctions arithmétiques : ϕ, µ, d
Ji?ûKiB[m2b k
Avant de répondre aux questions du sujet de Centrale lire les commentaires et approfondissements du verso.
1
P`H
JS
Un exercice d’oral de Centrale : 30 min. de prép. 30 min.
de passage
AM/B+i`B+2 /Ƕ1mH2`
.Mb +2 bmD2i- ԝ /ûbB;M2 mM 2MiB2` bi`B+i2K2Mi TQbBiB7X
RX *v+HB+BiûX aQBi Ӽ ਼
mM ;`QmT2 2i Ԗ ୩ ӼX
X JQMi`2` [m2 HǶTTHB+iBQM ԕւ ԝ ‫ ޓ‬Ԗ։ /2 ඹ p2`b Ӽ 2bi mM KQ`T?BbK2 /m ;`QmT2 ඹ p2`b H2 ;`QmT2
Ӽ ਼
X
#X .QMM2` mM2 +QM/BiBQM Mû+2bbB`2 2i bm{bMi2 TQ`iMi bm` ԕւ TQm` [m2 Ԗ 2M;2M/`2 ӼX
+X Zm2 T2mi@QM /B`2 bm` Ԗ bB ԕւ MǶ2bi Tb BMD2+iBp2 \ 2i bB /2 THmb Ԗ 2M;2M/`2 Ӽ \
kX AM/B+i`B+2 /Ƕ1mH2`X PM `TT2HH2 [m2 HǶBM/B+i`B+2 /Ƕ1mH2` /2 ԝ- MQiû2 ᆃԝ
- 2bi H2 MQK#`2 /Ƕ2MiB2`b Ԛ ୩ << ԝਲ>>
T`2KB2`b p2+ ԝX
X *H+mH2` ᆃ
- ᆃ
2i ᆃԟ
TQm` ԟ T`2KB2`X
#X 1tTHB[m2` TQm`[mQB HǶH;Q`Bi?K2 bmBpMi 7QM+iBQMM2 2M 2t?B#Mi mM BMp`BMi /2 #Qm+H2 +Ƕ2bi@¨@/B`2 mM2
T`QT`Bûiû ԅ Ԙ
[mB 2bi pû`B}û2 ¨ +?[m2 ûiT2 /2 H #Qm+H2 T`BM+BTH2X
/27 T`2Kp2+UMV,
]]]_2MpQB2 H HBbi2 /2b 2MiB2`b y I4 F I M T`2KB2`b p2+ M]]]
B7 M 44 R,
`2im`M (y)
i#H2 4 (y) Y (R 7Q` B BM `M;2UR-MV)
O Q#D2+iB7 7BMH, i#H2(B) 44 R bbB T;+/UM-BV 44 R
7Q` B BM `M;2Uk- Mffk Y RV,
B7 i#H2(B) 44 R M/ MWB 44 y,
7Q` F BM `M;2UR- UM@RVffB Y RV,
i#H2(F B) 4 y
`2im`M (B 7Q` B BM `M;2UR-MV B7 i#H2(B) 44 R)
+X ú+`B`2 mM2 7QM+iBQM Svi?QM T?BUMV [mB `2iQm`M2 HǶBM/B+i`B+2 /Ƕ1mH2` /2 HǶ2MiB2` ԝ `2T`ûb2Miû T` HǶQ#D2i
Tvi?QM MQKKû M 2M miBHBbMi H 7QM+iBQM T`2Kp2+X
/X *H+mH2` ᆃ ੉ 2i ᆃ
ᆃ
X Zm2 +QMD2+im`2x@pQmb \ h2bi2x pQi`2 +QMD2+im`2 p2+ /Ƕmi`2b
2t2KTH2bX
2X .ûKQMi`2` +2ii2 +QMD2+im`2X
jX *QMpQHmiBQMX PM MQi2 HǶTTHB+iBQM ?#Bim2HH2 bm` HǶ2bT+2 ජත੨\Ј^ /2b TTHB+iBQMb /2 ත ੨ \^ p2`b ජX .2
THmb- TQm` /2mt TTHB+iBQMb ԕ 2i Ԗ /2 ජත੨\Ј^ - QM /û}MBi H +QMpQHû2 /2 ԕ 2i Ԗ T` H 7Q`KmH2 ,
૙ԝ ୩ ත ੨ \^ ԕ ਗ਼ Ԗԝ
௽ ԕԓ
Ԗ ॼ ԝ ॽ
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տ]։
X JQMi`2`- 2M `TT2HMi Q`H2K2Mi iQmb H2b TQBMib KBb M2 /ûiBHHMi [m2 +2mt [mB bQMi MQM@i`BpBmt- [m2
ජත੨\Ј^ ਗ਼
2bi mM MM2m +QKKmiiB7 2i T`û+Bb2` HǶûHûK2Mi M2mi`2 /2 ਗ਼ [mǶQM MQi2 ᅩX
#X PM MQi2` R HǶTTHB+iBQM +QMbiMi2 bm` ත ੨ \^ û;H2 ¨ R 2i A/ HǶûHûK2Mi /2 ජත੨\Ј^ /û}MB T` ԝ ‫ ޓ‬ԝX PM
/K2i [m2 ֺ ਗ਼ ᆃ *EX
PM /û}MBi H 7QM+iBQM ᅲ ୩ ජත੨\Ј^ BMbB , bB ԝ 2bi /BpBbB#H2 T` mM +``û /2 MQK#`2 T`2KB2`- ᅲԝ
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ਲ
ֆ - Qɍ Ԛ 2bi H2 MQK#`2 /2 /BpBb2m`b T`2KB2`b /2 ԝX
.ûKQMi`2` [m2 ᅲ ਗ਼ *E ᆃX
kd Q+iQ#`2 kyR8 Ry,k8
kyR8@yR8@JS@Jik
1
2
Commentaires et approfondissements sur ce sujet
1) Le mot cyclicité au début du 1.1. peut étonner : que signifie-t-il ? Il fait référence à la notion
de groupe cyclique.
Définition – Un groupe (G, ⋅) est cyclique ssi G est fini et il existe un élément a de G tel que
G =< a > (on dit que a est un générateur de (G, ⋅) ou encore que a engendre G).
Si n est le cardinal de G, cela revient (cf. D.M. 9) à dire qu’il existe un a ∈ G d’ordre n.
Par exemple : (Un , ×) est cyclique puisqu’on a vu en cours que Un =< ω >.
Avec du recul sur ce qu’on vient de faire dans l’exercice de Centrale :
Question : montrer que si (G, ⋅) est un groupe cyclique de cardinal n, alors (G, ⋅) est isomorphe
à (Un , ×).
Autrement dit tous les groupes cycliques à n éléments sont des avatars des (Un , ×) ou si l’on préfère
la notation additive, des avatars de (Z/nZ, +) : pour les propriétés de groupes, on peut les identifier.
2) La question 2. e) est difficile sans indication. La réponse tourne autour du théorème chinois.
Il existe une façon sophistiquée mais très agréable de comprendre le théorème Chinois : si a
et b sont deux entiers naturels on peut considérer l’application : C ∶ Z/(ab)Z ↦ Z/aZ × Z/bZ,
x̄[ab] ↦ (x̄[a] , x̄[b] ), qui à une classe modulo ab associe le couple formé de la classe modulo a et de
la classe modulo b correspondantes.
(i) On met sur l’ensemble produit Z/aZ × Z/bZ, une loi + et une loi × qui consiste à faire
l’addition (resp. la multiplication) des couples entrées par entrées (comme la loi + sur R2 dans le
cours du C2).
On vérifie alors que (Z/aZ × Z/bZ, +, ×) est un anneau dont le 0 est (0̄[a] , 0̄[b] ), et dont l’unité
est (1̄[a] , 1̄[b] ) (vérification non demandée).
Montrer qu’un élément (x, y) ∈ Z/aZ × Z/bZ est inversible dans cet anneau si, et seulement si,
x est inversible dans Z/aZ et y est inversible dans Z/bZ.
(ii) Montrer que l’application C est un morphisme d’anneaux.
(iii) On suppose maintenant que a ∧ b = 1. Montrer que le théorème chinois dit que l’application
C est un isomorphisme d’anneaux.
(iv) En déduire, sous l’hypothèse du (iii), que ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
3) a) A l’oral, on ne demandait pas de tout justifier.. mais c’est les vacances, c’est de l’écrit,
alors faites vous plaisir et vérifiez tout, mais ne faites pas plusieurs fois la même chose...
3) b) La formule admise 1 ∗ ϕ = id s’écrit encore ∀ n ∈ N∗ , ∀ n ∈ N, ∑ ϕ(d) = n (formule de
d∣n
Möbius).
Avec cette égalité admise on sait que ϕ = id ∗1−1 où 1−1 désigne l’inverse de la fonction constante
égale à 1 pour la loi ∗.
Donc pour montrer l’égalité demandée, il suffit de montrer que µ = 1−1 .
N.B. Ceci rend l’introduction de cette fonction µ naturelle (plus que sa définition) : c’est
l’inverse de la fonction constante égale à 1 pour ∗.
4) Complément sur la fonction ϕ : en calculant ϕ(pα ) pour tout p ∈ P et α ∈ N∗ , montrer que
αr
1
si n ∈ N∗ admet la D.F.P. n = pα
1 . . . pr alors :
r
αi −1
i
ϕ(n) = ∏(pα
).
i − pi
i=1
3
Généralités sur les fonctions multiplicatives et preuve de
la formule de Möbius
Définition – une fonction f ∶ N∗ → N est faiblement multiplicative ssi pour tout a, b ∈ N∗ ,
a ∧ b = 1 ⇒ f (ab) = f (a)f (b).
a) Justifier que µ et ϕ sont faiblement multiplicatives.
2
b) Montrer que si f est faiblement multiplicative alors F ∶ N∗ → N, définie par ∀ n ∈ N∗ ,
F (n) = ∑ f (d) est encore faiblement multiplicative.
d∣n
c) En appliquant le résultat du b) à f = ϕ, montrer que F = id, autrement dit la formule de
Möbius ∀ n ∈ N∗ , n = ∑ ϕ(d) admise dans le sujet de Centrale.
d∣n
Indication – considérez les F (pα ) pour p ∈ P.
d) Si f = µ, que vaut la fonction F associé à f par la formule du b) ?
4
La fonction d : nombre de diviseurs
Pour tout n ∈ N∗ , on note d(n) le nombre de diviseurs de n.
β1
αr
βr
1
Or si n = pα
1 . . . pr la D.F.P. de n alors les diviseurs de n sont les p1 . . . pr avec 0 ≤ βi ≤ αi .
On en déduit immédiatement que le nombre de diviseurs de n est d(n) = (α1 + 1) . . . (αr + 1).
a) Justifier que la fonction d est faiblement mutiplicative.
b) Solution de l’exercice 11 pl. 16 (donc pas de travail à faire.. mais attention il y a un c) :
rappel de l’énoncé :
2
⎛
⎞
Montrer que ∑ d(k) = ∑ d(k)3 .
⎝k∣n
⎠ k∣n
Solution :
β1
αr
βr
1
Notons n = pα
1 . . . pr la D.F.P. de n. Alors les diviseurs de n sont les p1 . . . pr avec 0 ≤ βi ≤ αi .
On en déduit immédiatement que le nombre de diviseurs de n est d(n) = (α1 +1) . . . (αr +1). Ainsi :
2
⎛
⎞
∑ d(k)
⎝k∣n
⎠
=
⎛
⎞
(β1 + 1) . . . (βr + 1)
∑
⎝0≤β1 ≤α1 ,...,0≤βr ≤αr
⎠
2
2
⎞
⎛ αr
⎞
⎛ αr
=
∑ (β1 + 1) . . . ∑ (βr + 1)
⎠
⎝βr =0
⎠
⎝β1 =0
=
⎛ αr
⎛ αr
3⎞
3⎞
3
∑ (β1 + 1) . . . ∑ (βr + 1) = ∑ d(k)
⎝β1 =0
⎠ ⎝βr =0
⎠ k∣n
où pour le passage de l’avant dernière à la dernière ligne, on a utilisé le fait mieux connu que
m
2
m
( ∑ k) = ∑ k 3 , cf. chap. A.
k=1
k=1
c) Prolongement de ce même exercice (dur, oral ENS 2015) :
Déterminer les fonctions f ∶ N∗ → N∗ , vérifiant :
(i) ∀ m, n ∈ N∗ , (m ∧ n) = 1 ⇒ f (mn) = f (m).f (n),
2
(ii) ∀ n ∈ N∗ ,
⎛
⎞
3
∑ f (k) = ∑ f (k) .
⎝k∣n
⎠ k∣n
On pourra comparer à l’exercice correspondant du D.M. du chap. A.
3