Partie A Partie B

TS Spécialité mathématiques
Corrigé du devoir à la maison n°3
Partie A
1. (a) 6 = 1 + 2 + 3 donc 6 est un nombre parfait.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 donc 28 est un nombre parfait.
(b) 6 = 21 (21+1 − 1), avec 21+1 − 1 = 3, donc 21+1 − 1 est un nombre premier.
28 = 22 (22+1 − 1), avec 22+1 − 1 = 7, donc 22+1 − 1 est un nombre premier.
2. (a) Les diviseurs propres de a sont 1 ; 2 ; 22 ... 2n−1 ; 2n et p ; 2p ; 22 p... 2n−1 p.
Leur somme est : S = 1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 + 2n + p + 2p + 22 p + ... + 2n−1 p
n
2
n−1
S = (1 + 2 + 22 + ... + 2n−1
)
! + 2 ) + p(1 + 2 + 2 + ... + 2
n+1
n
1−2
1−2
S=
+p
1−2
1−2
n+1
n
S=2
− 1 + p(2 − 1)
(b) Si on a de plus p = 2n+1 − 1, alors S = 2n+1 − 1 + (2n+1 − 1)(2n − 1) = (2n+1 − 1)(1 + 2n − 1)
Donc S = (2n+1 − 1)2n .
(c) D'après la question précédente, si a = 2n p avec p = 2n+1 − 1, alors la somme des diviseurs de a est
S = 2n (2n+1 − 1), donc S = a.
Conclusion : si le nombre a est de cette forme, alors c'est un nombre parfait.
3. Si un nombre peut d'écrire sous la forme 2n (2n+1 − 1) où 2n+1 − 1 est un nombre premier, alors ce nombre est
un nombre parfait.
Pour n = 4, a = 16 × 31, et 31 est bien premier, donc a = 496 est un nombre parfait.
Pour n = 6, a = 64 × 127, et 127 est bien premier, donc a = 8128 est un nombre parfait.
Partie B
1. En divisant a par la plus grande puissance possible de 2, on obtient a = 2n b. Si b était pair, alors on pourrait
encore diviser par 2, ce qui est en contradiction avec le fait qu'on a utilisé la plus grande puissance possible.
2. (a) Comme l'indique l'énoncé, on note d1 , d2 ,... dp les diviseurs de b. 1 est un diviseur de b, donc l'un des di
est égal à 1.
Alors l'ensemble des diviseurs de a est d1 ; 2d1 ; 22 d1 ... 2n−1 d1 ; 2n d1 ; d2 ; 2d2 ; 22 d2 ... 2n−1 d2 ; 2n d2 ;...dp ;
2dp ; 22 dp ... 2n−1 dp ; 2n dp .
Leur somme est :
s(a) = d1 + 2d1 + 22 d1 + ... + 2n−1 d1 + 2n d1 + ... + dp + 2dp + 22 dp + ... + 2n−1 dp + 2n dp
s(a) = d1 (1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 + 2n ) + d2 (1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 + 2n ) + ... + dp (1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 + 2n )
s(a) = (1 + 2 + 22!+ ... + 2n−1 + 2n )(d1 + d2 + ... + dp )
1 − 2n+1
s(a) =
(d1 + d2 + ... + dp )
1−2
s(a) = (2n+1 − 1)s(b) (par dénition de s(b), d1 + d2 + ... + dp = s(b))
(b) a est un nombre parfait si s(a) = 2a (en eet, s(a) est la somme de tous les diviseurs positifs de a et non
pas de tous les diviseurs propres).
3. (a) s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)s(b) = 2 × 2n b
s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)s(b) = 2n+1 b
s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)s(b) = 2n+1 b − b + b
s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)s(b) = (2n+1 − 1)b + b
s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)s(b) − (2n+1 − 1)b = b
s(a) = 2a ⇐⇒ (2n+1 − 1)(s(b) − b) = b
(b) Comme n > 1, 2n+1 − 1 > 3, donc si b = (2n+1 − 1)(s(b) − b), alors (s(b) − b) est un diviseur de b (c'est
même un diviseur strict de b).
(c) Montrons que s(b) − b = 1.
Raisonnons par l'absurde. Supposons que s(b) − b est un diviseur de b diérent de 1.
Alors b = k × (s(b) − b), et on a alors au moins 4 diviseurs de b : 1, b, k et s(b) − b.
Donc s(b) > 1 + b + k + s(b) − b = s(b) + k + 1. C'est évidemment absurde.
C'est donc que s(b) − b = 1, soit s(b) = b + 1.
Montrons que cela implique que b est premier.
Supposons que b est composé, on a alors b = kn avec k > 1 et n > 1. Alors on a : s(b) > 1 + k + n + b > b + 1.
Ceci est en contradiction avec l'hypothèse initiale.
On a bien montré que b est un nombre premier.
Enn on a vu que s(b) − b = 1, ce qui assure b = (2n+1 − 1)(s(b) − b) = 2n+1 − 1.
(d) En conclusion, on a bien montré que tout nombre parfait pair est de la forme 2n (2n+1 − 1) où 2n+1 − 1 est
un nombre premier.