Chapitre 8. Mouvement circulaire uniforme

CHAPITRE 8
UNIFORME.
: LE MOUVEMENT CIRCULAIRE
1. Définitions
Comment peut-on décrire le mouvement d’une
voiture roulant à vitesse constante dans un virage,
de l'extrémité d'une pale d'une éolienne, d’un
satellite en orbite autour de la terre, ou même de la
Terre autour du Soleil ? On peut donner un premier
élément de réponse à cette question en assimilant
ces mouvements à des cercles ou des arcs de
cercles, parcourus à vitesse constante.
Ce
mouvement hypothétique pour lequel la trajectoire
est circulaire et l'intensité de la vitesse est
constante est appelé mouvement circulaire uniforme
(MCU). Bon nombre de mouvements rencontrés dans
la nature s'en approchent suffisamment pour en
justifier l'étude.
Pour en faciliter la description, nous opterons pour
la définition suivante. Un mobile est animé d'un
mouvement circulaire uniforme (MCU) s’il se déplace
sur un cercle en parcourant des arcs de longueurs
égales en des temps égaux.
Il découle de la définition du mouvement circulaire
uniforme que la longueur de l'arc parcouru est
proportionnelle au temps.
Dès lors, la vitesse
linéaire est une constante du mouvement et peut
être déterminée en considérant n'importe quel
intervalle de temps. Lorsque l'intervalle de temps
considéré est égal à la période de rotation, la
longueur de l'arc de cercle parcouru est égale à la
circonférence du cercle. L'expression de la vitesse
linéaire est alors
v=
2 R
T
(8.2)
L'unité SI de la vitesse linéaire est le m/s.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire (aussi appelée fréquence
angulaire), notée ω, est l’amplitude en radians de
l’angle au centre ∆α balayé par le mobile par unité
de temps (figure 8.2). Il s'agit donc du rapport
=

t
(8.3)
Dans le cas d'un MCU cette grandeur est constante.
Figure 8.1 Définition du MCU
Deux constantes fondamentales d'un tel mouvement
sont le rayon R du cercle décrit par le mobile et
période de rotation (temps que dure un tour
complet) notée T.
2. Vitesse linéaire et vitesse angulaire
Deux concepts de vitesse s'avèrent utiles pour
décrire les mouvements circulaires uniformes : la
vitesse linéaire et la vitesse angulaire.
Vitesse linéaire
La vitesse linéaire est la longueur d’arc de cercle ∆s
parcourue par unité de temps, il s'agit donc du
rapport :
s
v=
t
Figure 8.2. Vitesse angulaire
Le mobile faisant un tour de cercle en une période,
un angle de 2π radians est balayé en un temps T. La
vitesse angulaire est donc
=
2
T
(8.4)
L'unité SI de la vitesse angulaire est le rad/s.
On déduit des expressions (8.2) et (8.4), la relation
entre vitesse angulaire et linéaire:
v=⋅R
(8.5)
(8.1)
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Exemple numérique
L’aiguille des heures d’une montre mesure 7mm.
Que valent la vitesse linéaire et la vitesse angulaire
de son extrémité ? Le temps pour faire une tour
complet est T = 12h = 43200s.
La vitesse linéaire est donc :
−3
−6
v=2 R/ T =2⋅7⋅10 / 43200≃1,02⋅10 m / s
La vitesse angulaire est de :
−4
= 2 /T =2 / 43200≃1,45⋅10 rad / s
La vitesse angulaire d’une aiguille des heures est la
même pour toutes les montres et horloges. La
vitesse linéaire, par contre, dépend de la longueur
de l’aiguille.
3. Accélération centripète
3.1. Orientation du vecteur accélération
Bien que la vitesse linéaire soit constante, ce
mouvement n’étant pas rectiligne, la direction du
vecteur vitesse varie au cours du temps. Il existe
dès lors une accélération.
Afin de déterminer
l'orientation du vecteur accélération, construisons
le vecteur accélération moyenne sur un intervalle de
t e m p s [t,t'] relativement petit.
Les vecteurs
vitesse instantanée aux instants t et t' sont
tangents à la trajectoire (perpendiculaires au rayon)
et ont la même longueur car l'intensité de la vitesse
est constante. Le vecteur accélération moyenne a la
même orientation que le vecteur variation de
vitesse.
Supposons que le vecteur accélération
moyenne corresponde au vecteur accélération
instantanée à un instant de l'intervalle [t,t'], il
semble judicieux de lui attribuer le milieu de
l'intervalle. Dès lors, en représentant le vecteur
accélération sur la position occupée par le mobile à
cet instant, on constate que celui-ci pointe vers le
centre du cercle, l'accélération est qualifiée de
centripète et est notée ac
Figure 8.4. Accélération centripète
3.2. Intensité du vecteur accélération
Sur la figure ci-dessous, sont représentées les
vecteurs vitesse instantanée du mobile ( 
v et v ' )
pour deux positions successives de celui-ci (M et
M') aux instant t et t' et le vecteur variation de
vitesse.
Les triangles CMM’ et M’PP’ sont
semblables. En effet, ces triangles sont isocèles et
les angles MCM' et PM'P' ont la même amplitude,
puisque leurs côtés homologues sont
perpendiculaires.
Figure 8.5. Intensité de l'accélération centripète
On a alors la relation de proportionnalité :
v
PP ' M ' P
v
=
⇔
=
MM ' CM
MM ' R
Isolons
 v dans la dernière égalité
 v=
Figure 8.3. Vecteur accélération moyenne
(8.6)
v⋅MM '
R
(8.7)
Au plus l'intervalle de temps est petit, au plus la
longueur MM ' est proche de celle de l’arc de
cercle 
MM ' ', donc de la distance parcourue par le
mobile dans cet intervalle de temps.
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MM ' ≃ 
MM ' =v  t .
(8.8)
En introduisant (8.8) dans (8.7), on obtient pour un
petit intervalle de temps
2
v⋅MM ' v⋅v⋅ t v ⋅ t
 v=
≃
=
R
R
R
(8.9)
v
t
(8.10)
En remplaçant  v par son expression (8.9) on
o b t ie n t u n e e xp r e s s i o n d e l ' i n t e n s it é d e
l'accélération centripète.
2
a c=
 v v ⋅ t v 2
=
=
 t  t⋅R R
L' intensité de la force centripète peut être
déterminée par la loi fondamentale de la dynamique
et la relation (8.12).
2
Par définition, l'intensité de l'accélération
instantanée est égale au rapport de la variation de
vitesse et de l'intervalle de temps lorsque celui-ci
tend vers zéro.
a c=
cercle que la pierre décrit. Cette force sert à
rendre la trajectoire courbe.
(8.11)
F c =m a c= m
v
2
=m  R
R
(8.13)
Souvent, lorsque l'on évoque la force exercée sur un
mobile animé d'un mouvement circulaire, on pense à
la force centrifuge ainsi appelée parce qu'elle
semble tirer le mobile dans le sens opposé au
centre. Cette force n’est pas réelle; il s’agit
seulement de l’inertie c.à.d. la tendance naturelle
des corps à poursuivre leur mouvement. Lorsque
nous faisons tourner une pierre au bout d’une corde
et que nous lâchons celle-ci, la pierre ne subit plus
l’action de la force centripète et poursuit son
mouvement rectiligne uniforme conformément au
principe d'inertie.
En utilisant la relation liant la vitesse linéaire et la
vitesse angulaire (8.5) on obtient
2
a c=
v
2
= R
R
(8.12)
4. Force centripète
Selon la loi fondamentale de la dynamique, les
vecteurs accélération et force ont la même
orientation. Dès lors, la force exercée sur le mobile
est également centripète et nous la notons
Fc .
Figure 8.7. Force centripète.
De même, lorsqu'une voiture démarre brusquement
nous avons l'impression qu'une force nous plaque
contre le siège. De nouveau, cette force n'est pas
réelle: il s'agit de la tendance naturelle de notre
corps à conserver son état de repos.
Figure 8.6. Force centripète.
Lorsqu’on veut faire tourner une pierre attachée au
bout d’une corde autour de soi, il faut sans cesse
tirer la corde vers soi, c’est-à-dire vers le centre du
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