1) Proportion (« rapport d`une partie au tout ») 2) Comparaison de

1ère STG
PROPORTIONS ET POURCENTAGES
2/6
1) Proportion (« rapport d’une partie au tout »)
La proportion (ou fréquence) d’une sous population A dans une population E (dite de
référence) est le nombre :
p=
n
n
A
E
où nA est l’effectif de A et nE celui de E.
Propriété :
0 ≤ p ≤ 1
Exemple : parmi les entiers de 1 à 10 (nE = 10), les multiples de 3 sont : 3,6 et 9 : ils y en a nA
3
60
= 4. Leur proportion parmi les entiers de 1 à 10 est donc p = = 0,6 =
= 60 %.
5
100
2) Comparaison de deux proportions
•
•
Lorsque deux proportions sont relatives à une même population de référence, ces
proportions et les effectifs correspondants sont rangés dans le même ordre.
Lorsque deux proportions sont relatives à des populations de référence différents,
ces proportions et les effectifs correspondant ne sont pas forcément rangés dans le
même ordre.
Exemple :
Une enquête établit que parmi un même ensemble de personnes, 20 % ont utilisé un
médicament A et 70 % un médicament B. L’ensemble de référence étant le même, on
peut dire que parmi ces personnes, il y en a plus qui prennent le médicament B que A.
L’enquête établit aussi que parmi les femmes de cet ensemble, 30 % ont utilisé le
médicament A, contre 25 % seulement parmi les hommes. Les ensembles de référence
sont différents ; on ne peut pas dire si le nombre de jeunes femmes ayant utilisé A est
supérieur ou inférieur au nombre correspondant d’hommes ayant utilisé A.
3) Réunion, intersection
Soient A et B deux sous populations d’une population de référence E.
Définitions :
1) la population A ∩ B est appelée intersection de A et de B : elle contient les
individus appartenant à A et à B.
1
1ère STG
PROPORTIONS ET POURCENTAGES
2/6
2) la population A ∪ B est appelée union de A et de B : elle contient les
individus appartenant à A ou à B.
Propriété : en notant pA la proportion de A dans E, pB la proportion de B dans E, pA ∩ B la
proportion de A ∩ B dans E, pA ∪ B la proportion de A ∪ B dans E, on a :
pA ∪ B = pA + pB − pA ∩ B
E
A
B
4) Sous populations disjointes
Définition : deux sous populations sont disjointes lorsque leur intersection est vide : c'est-àdire lorsqu’elles n’ont aucun individu en commun.
Propriété : si A et B sont disjointes dans E alors pA ∩ B = 0 et par conséquent :
pA ∪ B = pA + pB
E
A
B
2
1ère STG
PROPORTIONS ET POURCENTAGES
2/6
5) Proportion de proportion
Si p est la proportion de A dans E et p’ la proportion de E dans F, alors le proportion de A
dans F est pp’.
Exemple :
3
sont des femmes. Parmi ces femmes, 4 % sont rousses.
4
Ainsi, la proportion des femmes rousses par rapport à tout le groupe est :
3
4
= 0,03 = 3 %.
×
4 100
Parmi un groupe de personnes,
6) Taux d’évolution
On considère des nombres réels strictement positifs Vi et Vf ; Vi est la valeur « initiale » et Vf
la valeur « finale » d’une grandeur qui évolue (prix, effectif,…).
Le taux d’évolution de Vi à Vf (ou variation relative) est le taux t =
V f − Vi
.
Vi
Le taux peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
Vi < Vf correspond à t > 0 : taux d’augmentation (ou de hausse)
Vi > Vf correspond à t < 0 : taux de diminution (ou de baisse)
Exemples :
Le pourcentage d’évolution de 2,5 à 10 est
10 − 2,5
= 3 = 300 % (hausse).
2,5
Le pourcentage d’évolution de 10 à 2,5 est
2,5 − 10
= - 0,75 = - 75 % (baisse).
10
Attention : un taux n’est pas une proportion (il n’est pas forcément compris entre 0 et 1)
Remarque : en langage courant, on utilise le mot « variation » sans autre précision, mais par
convention, une variation est toujours une variation relative.
3
1ère STG
PROPORTIONS ET POURCENTAGES
2/6
7) Coefficient multiplicateur
V f − Vi
est le taux d’évolution de Vi à Vf alors Vf = (1 + t) Vi .
Vi
(1 + t) est le coefficient multiplicateur de Vi à Vf .
Si t =
Démonstration : t =
V f − Vi
Vi
donc t Vi = Vf -Vi et Vi + t Vi = Vf d’où : ( 1 + t) Vi =Vf .
Propriétés :
Vi et Vf sont positifs donc (1 + t ) l’est aussi. Le coefficient multiplicatif est positif.
En cas de hausse, t > 0 donc (1 + t) > 1. En cas de hausse, le coefficient multiplicatif
est supérieur à 1.
En cas de baisse, t > 0 donc (1 + t) > 1. En cas de baisse, le coefficient multiplicatif est
inférieur à 1.
Exemple :
Le prix d’une TV LCD baisse de 17 %.
On a alors : t = - 17 % = - 0,17 ; c'est-à-dire (1 + t) = 1 – 0,17 = 0,83.
Sachant qu’il en coutait 1500 €, il coute désormais : 1500 × 0,83 = 1245 €.
8) Evolutions successives
Si on effectue une évolution de taux t1 puis de taux t2, alors le coefficient multiplicatif de
l’évolution totale de taux t est le produit des 2 coefficients multiplicatifs :
(1 + t) = (1 + t1) ( 1 + t2). On a alors : t = (1 + t1) (1 + t2) - 1 = t1 + t2 + t1 t2
Attention : ce taux (exprimé en pourcentage si besoin) n’est donc égal, en général, ni à la
somme, ni au produit des deux taux t1 et t2 !
Exemple :
Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 10 % donne t1 = - 10 % et t2 = 10 %.
Donc le coefficient multiplicatif global est : (1 + t) = ( 1 - 10 % ) ( 1 + 10 %) = 0,9 × 1,1 =
0,99. Donc le pourcentage global dévolution est t = 0,99 - 1 = - 0,01 = - 1 %.
Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 10 % donne une baisse de 1 % !
4
1ère STG
PROPORTIONS ET POURCENTAGES
2/6
9) Évolution réciproque
Si t =
V f − Vi
Vi
est le taux d’évolution de Vi à Vf alors le taux d’évolution réciproque t’ de
Vf à Vi est tel que : 1 + t’ =
On a alors : t’ = – 1 +
.
Exemple :
Une action a augmenté de 10 %. Le taux t’ d’évolution réciproque dont elle doit baisser
pour revenir à son cours initial est : t’ = – 1 +
= – 1 + - 9,09 %.
%
,
5