suites - XMaths

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SUITES
Exercice 01
(voir réponses et correction)
C1
C
D
On considère un carré ABCD de coté c = 4.
On appelle A1, B1, C1 et D1, les points situés respectivement
sur [AB], [BC], [CD], [DA] à la distance 1 de A, B, C, D
(voir figure ci-contre).
D1
1°) Expliquer pourquoi A1B1C1D1 est un carré.
2°) On appelle A2, B2, C2 et D2, les points situés
respectivement sur [A1B1], [B1C1], [C1D1], [D1A1] à la
distance 1 de A1, B1, C1, D1.
Refaire un dessin et construire le carré A2, B2, C2 et D2.
B1
3°) On réitère ainsi le procédé.
Construire les carrés A3B3C3D3 , A4B4C4D4 , A5B5C5D5
4°) On note a0, a1, a2, a3, a4, a5 les aires et c0, c1, c2, c3, c4, c5
les longueurs des côtés des carrés ABCD, A1B1C1D1 ,
B
A2B2C2D2 , A3B3C3D3 , A4B4C4D4 , A5B5C5D5 .
A
A1
Justifier, par un raisonnement géométrique que les suites de nombres a0, a1, a2, a3, a4, a5 et c0, c1, c2, c3,
c4, c5 sont décroissantes.
5°) Donner des valeurs (éventuellement approchées) de a0, a1, a2, a3, a4, a5 et c0, c1, c2, c3, c4, c5
6°) Créer sur calculatrice ou ordinateur un programme permettant d'obtenir les différentes valeurs cn.
On réitère indéfiniment le procédé, quelle conjecture peut-on faire ?
Exercice 02
L'étude des paramécies a montré qu'elles se reproduisent par divisions transversales.
En 24 heures, chaque paramécie se divise en 3.
A la date 0, on dénombre dans une solution 1 million de paramécies.
On note un le nombre (exprimé en millions) de paramécies dans la solution à la date n (exprimée en jours).
1°) Déterminer u0 ; u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6
2°) Donner l'expression de un+1 en fonction de un .
3°) Donner, sans justification, l'expression de un en fonction de n.
Exercice 03
Une personne a placé sur un compte le 01/01/2010 un capital de 10 000 euros. Ce compte produit des
intérêts de 4 % par an. Chaque année les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent, à leur tour,
générateurs d'intérêts.
Pour n entier naturel, on appelle Cn le capital au 1er janvier de l'année (2010 + n). On a ainsi C0 = 10 000 .
1°) Calculer C1 et C2 .
2°) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé C3 ; C4 ; … C9 . Interpréter ce résultat.
3°) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
4°) Écrire un algorithme permettant de calculer n'importe quelle valeur de Cn à partir de la donnée de n.
Retrouver ainsi la valeur de C10.
5°) On suppose maintenant qu'au 1er janvier de chaque année, à partir du 01/01/2011, la personne rajoute
1 000 euros sur son compte. (Ce compte produit toujours des intérêts de 4 % par an)
a) Calculer C1 et C2 .
b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
c) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé C3 ; C4 ; … C9 .
d) En utilisant un programme sur calculatrice ou ordinateur, déterminer à partir de quelle année le capital
initial aura été multiplié par 5.
Retrouver ce résultat en utilisant un fichier de tableur.
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1ère S − Suites
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I Définition
Définition
Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN , ou sur l'ensemble des
entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 .
L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou un (c'est la notation indicielle).
n est appelé l'indice ou le rang du terme un.
La suite est notée (un)n∈IN ou (un)n³n .
0
Exemples
n .
n2 + 1
Cette suite est définie par la donnée explicite de un pour tout entier n.
On peut calculer facilement un terme quelconque :
u0 = 0 = 0 ; u10 = 10 = 10
; u3254 = 3254
02 + 1
102 + 1 101
32542 + 1
2°) On considère la suite (un)n³1 définie par u1 = 2 et la relation un+1 = -3un + 1 pour tout n ³ 1 .
La suite est définie par son premier terme u1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant
de passer d'un terme au terme suivant.
En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient :
u1+1 = -3u1 + 1 c'est-à-dire u2 = -3u1 + 1 donc u2 = -3 x 2 + 1 = -5
1°) On considère la suite (un)n∈IN définie par un =
Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence mais avec n = 2, on obtient :
u2+1 = -3u2 + 1 c'est-à-dire u3 = -3u2 + 1 donc u3 = -3 x (-5) + 1 = 16
Pour calculer u50, il faudra calculer de proche en proche tous les termes u4 , u5 , u6 ... , u49 , u50 .
Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utiles pour donner des valeurs approchées.
Remarque
Une suite comportant un nombre fini de termes peut aussi être définie par un tableau de valeurs.
Par exemple :
0
1
2
3
4
5
6
n
un
2
6
7
10
21
-5
-15
Exercice 04
Calculer dans chacun des cas les cinq premiers termes de la suite (un) définie par :
1°) un = n + 1 pour n ∈ IN
n2 + 1
2°) u0 = 1 et un+1 = 2un pour tout n ∈ IN
3°) u1 = -2 et un+1 = 2un + 1 pour tout n ∈ IN*
4°) un =
n2 + 1 pour tout n ∈ IN
5°) un = 2n pour tout n ∈ IN
Exercice 05
On considère la suite (un) définie par un = -3n + 5 pour tout n ∈ IN.
Donner l'expression en fonction de n de : un+1 ; un + 1 ; un+2 ; u2n ; un2
Exercice 06
;
u2n+1
On considère la suite (un) définie par un = 7 - 3n pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u0 ; u1 ; u2 ; u3 .
2°) Montrer que la suite (un) vérifie la relation de récurrence : un+1 = un - 3 .
1ère S − Suites
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Exercice 07
On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 = 3 - 2un pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u1 ; u2 ; u3 .
2°) Montrer que pour tout n ∈ IN un+2 = 4un - 3 .
Définition
On appelle représentation graphique d'une suite (un) l'ensemble des points du plan de coordonnées (n ; un) .
Exercice 08
Représenter graphiquement la suite (un)n∈IN définie par
Exercice 09
un = 2n - 3 .
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et un+1 = 2un + 1 pour tout n ∈ IN.
Représenter graphiquement la suite (un) pour 0 £ n £ 4
II Suites monotones
Définition
Soit la suite (un)n³n
0
.
On dit que (un) est croissante si :
On dit que (un) est décroissante si :
On dit que (un) est stationnaire si :
pour tout n ³ n0
pour tout n ³ n0
pour tout n ³ n0
un+1 ³ un .
un+1 £ un .
un+1 = un .
Remarques
●
●
●
●
On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des
inégalités strictes.
Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone.
Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni
l'un ni l'autre). Cette étude peut se faire en calculant la différence un+1 - un et en déterminant si cette
différence a un signe constant.
La définition d'une suite croissante (ou d'une suite décroissante) n'est pas identique à la définition d'une
fonction croissante. Dans le cas d'une suite on compare deux termes consécutifs un et un+1, dans le cas
d'une fonction on compare les images de deux réels quelconques a et b.
Exercice 10
On considère la suite (un) définie par un = n2 + 2n pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u0 ; u1 ; u2 ; u3 ; u4 . Que pensez-vous du sens de variation de la suite (un) ?
2°) a) Déterminer un+1 en fonction de n, et en déduire que un+1 - un = 2n + 3
pour tout n ∈ IN.
b) Démontrer que la suite (un) est croissante.
Exercice 11
Dans chacun des cas, calculer les quatre premiers termes de la suite (un)n∈IN puis étudier son sens de
variation en justifiant soigneusement.
1°) un = n2
2°) un = -2n+3
3°) un = (-1)n
4°) un = 1
n+1
Exercice 12
Dans chacun des cas étudier le sens de variation de la suite :
1°) (2n2 - 1)n∈IN
2°)  n 
3°) (n2 + n)n∈IN
n + 1n∈IN
1ère S − Suites
n 
n2 + 1n³1
4°) 
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Propriété
(voir justification 01)
Soit (un) une suite croissante :
Soit (un) une suite décroissante :
Exercice 13
si n ³ p , alors un ³ up .
si n ³ p , alors un £ up .
1°) Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =
x .
x+1
2°) Soit n ∈ IN . Justifier que f(n) £ f(n + 1) .
3°) Soit (un) la suite définie par un = n pour n ∈ IN.
n+1
En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (un).
Propriété
(voir démonstration 02)
Soit n0 ∈ IN .
Si f est une fonction croissante sur [n0 ; +∞[, la suite (un)n³n définie par un = f(n) est une suite croissante.
0
Remarques
●
●
On a une propriété identique avec une fonction décroissante.
La condition est suffisante, mais n'est pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors
que la fonction ne l'est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous)
La fonction n'est pas croissante
La suite est croissante
Exemple
On a démontré dans l'exercice 13 que la suite (un) définie pour tout n ∈ IN par un =
justifiant que la fonction x ֏
Exercice 14
n
est croissante en
n+1
x
est une fonction croissante sur [0 ; +∞[.
x+1
Dans chaque cas étudier le sens de variation de la suite en utilisant une fonction f :
1°) (2n2 - 1)n∈IN
2°)  2n 
3°) (n2 + n)n∈IN
n + 2n∈IN
Exercice 15
4°)  n 
n2 + 1n³1
On considère la suite (un) définie par un = 2n + 1
n+2
1°) Montrer que pour tout n ∈ IN , on a 0 < un < 2 .
2°) Montrer que la suite (un) est strictement croissante.
3°) Démontrer que pour n suffisamment grand on a un > 1,999 .
Que peut-on penser des valeurs de un quand n devient infiniment grand ?
Exercice 16
On considère la suite (un) définie par u1 = 0 et un+1 = un + 1 pour tout n ³ 1 .
n
1°) Calculer u2 ; u3 et u4 .
2°) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
3°) Existe-t-il une valeur de n pour laquelle un > 10 ? (On pourra utiliser un algorithme)
1ère S − Suites
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III
Suites arithmétiques - suites géométriques
Exercice 17
Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération :
Type 1 : Salaire annuel de 23 000 euros avec augmentation du salaire annuel de 500 euros tous les ans.
Type 2 : Salaire annuel de 21 000 euros avec augmentation annuelle du salaire de 4%.
1°) On note u0 le salaire annuel initial, et un le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération
de type 1. Donner les valeurs de u0, u1, u2 .
2°) On note v 0 le salaire annuel initial, et vn le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération
de type 2. Donner les valeurs de v 0, v1, v 2 .
3°) Donner une expression générale de un et vn en fonction de n. Calculer u5 et v 5 ; u10 et v 10.
4°) Le nouvel employé compte rester 8 ans dans l'entreprise. Quel type de rémunération va-t-il choisir ?
Définition
On dit qu'une suite (un)n³n est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que :
0
pour tout n ³ n0,
un+1 = un + r.
on dit alors que le réel r est la raison de la suite arithmétique (un).
On dit qu'une suite (un)n³n est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que :
0
pour tout n ³ n0,
un+1 = un x q.
on dit alors que le réel q est la raison de la suite géométrique (un).
Exemple
La suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ...
La suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48...
est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3 .
est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2 .
Remarques
●
●
Lorsqu'une suite est arithmétique on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante.
Pour justifier qu'une suite (un) est arithmétique, on peut démontrer que pour tout entier n, la différence
un+1 - un est une constante r.
Lorsqu'une suite est géométrique on passe d'un terme au suivant en multipliant une constante.
u
Pour justifier qu'une suite (un) est géométrique, on peut démontrer que pour tout entier n, le quotient n+1
un
est une constante q.
Exercice 18
Les nombres suivants peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ou d'une suite
géométrique. Si c'est le cas, donner la raison de la suite.
1°) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9
2°) 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162
3°) 45 ; 40 ; 35 ; 30 ; 25
4°) 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11
5°) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1
2 4 8 16
Exercice 19
Les suites définies sur IN par
un = 2n - 3
;
vn = 1 + n
n+2
;
wn = 5 x 3n
sont-elles arithmétiques ? géométriques ?
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Propriétés
Soit (un)n∈IN une suite arithmétique de raison r.
Pour tout entier n et tout entier p , on a
Soit (un)n∈IN une suite géométrique de raison q # 0.
un = up + (n - p) r
un = up x q(n-p)
Pour tout entier n et tout entier p , on a
Cas particuliers
Si (un)n∈IN est arithmétique de raison r , on a :
Si (un)n∈IN est géométrique de raison q , on a :
Exercice 20
un = u0 + n r ;
un =
u0 x qn
;
un = u1 + (n - 1) r
un =
u1 x q(n-1)
pour tout n ∈ IN
pour tout n ∈ IN
(un)n∈IN désigne une suite arithmétique de raison r.
●
Sachant que r = 3 et u0 = -10, calculer u12 .
●
Sachant que r = 2 et u4 = 10, calculer u0 et u22 .
●
Sachant que u4 = 18 et u2 = -12, calculer r et u0 .
●
Sachant que u1 = π et u3 = 2 - π , calculer u2 et u5.
(un)n∈IN désigne une suite géométrique de raison q.
●
Sachant que u1 = 3 et q = -2, calculer u3 et u6 .
●
Sachant que u2 = 4 et u3 = 9, calculer u4 et u0.
Exercice 21
●
●
Trouver toutes les suites arithmétiques (un)n∈IN telles que u0 = 1 et u3 = 5.
Trouver toutes les suites géométriques (un)n∈IN telles que u0 = 1 et u2 = 1.
Exercice 22
Soit (un)n∈IN une suite arithmétique. Montrer que pour tout entier naturel n : 2 x un+1 = un + un+2
En déduire que dans une suite arithmétique, tout terme (sauf le premier) est la moyenne du terme le
précédant et du terme le suivant.
Propriétés
●
●
La somme des n premiers termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 est :
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)
2
La somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme 1 est :
n
1 + q + q2 + … + qn-1 = 1 - q
1-q
Remarques
●
●
La deuxième formule n'est pas utilisable si q = 1, mais dans ce cas la valeur de la somme est évidente.
n+1
On a 1 + q + q2 + … + qn = 1 - q
(Il s'agit dans ce cas d'une somme de n+1 termes)
1-q
Exercice 23
(un) désigne la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r .
1°) Écrire un algorithme permettant de calculer pour tout entier n, en fonction des valeurs de u0 et de r la
somme S = u0 + u1 + … + un
2°) On suppose dans cette question que u0 = 3 ; r = 1 et n = 10.
3
a) Vérifier, en utilisant cet algorithme, que l'on obtient S ≈ 51,333333.
b) Donner, en la justifiant, la valeur exacte de S.
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Exercice 24
(un) désigne la suite géométrique de premier terme u0 et de raison r .
1°) Écrire un algorithme permettant de calculer pour tout entier n, en fonction des valeurs de u0 et de q la
somme S = u0 + u1 + … + un
2°) On suppose dans cette question que u0 = 4 ; q = 3 et n = 10.
5
a) Vérifier, en utilisant cet algorithme, que l'on obtient S ≈ 9,9637203
b) Donner, en la justifiant, la valeur exacte de S.
Propriété (voir démonstration 05)
Une suite arithmétique de raison r est
● croissante si r ³ 0
Exercice 25
●
décroissante si r £ 0
●
stationnaire si r = 0
1°) Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 1,15.
a) Calculer u1 ; u2 ; u3 .
b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (un).
2°) Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 0,98.
b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (un).
3°) Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison -2.
b) Que peut-on dire du sens de variation de la suite (un) ?
Propriété (voir démonstration 06)
Une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q est :
• monotone si q ³ 0 (le sens de variation dépend alors du signe du premier terme et du signe de q-1)
• non monotone si q < 0 .
Exercice 26
Cet exercice a pour but d’étudier l’évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation
de nature expérimentale.
On dépose un morceau de viande sur un comptoir l’été à 14 h 00, la température avoisine les 35°C. Ce
morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les
15 minutes.
On note u0 le nombre de bactéries à 14 h 00, u1 le nombre de bactéries à 14 h 15, u2 le nombre de bactéries
à 14 h 30, et un le nombre de bactéries n quarts d’heure après 14 h 00, n étant un entier naturel.
1°) Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le
temps de l’expérience) :
Heure
Rang : n
Nombre de
bactéries un
14 h 00
0
14 h 15
1
14 h 30
2
14 h 45
3
15 h 00
4
100
2°) Si un est le nombre de bactéries à un moment déterminé, un+1 correspond au nombre de bactéries 15
minutes plus tard. Quelle est la relation entre un et un+1 ?
3°) Préciser la nature de la suite (un) définie précédemment et sa raison.
4°) Exprimer un en fonction de n.
5°) Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00.
6°) On estime qu’à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau
impropre à la consommation pour l’être humain.
Jusqu’à quelle heure, arrondie au quart d’heure, l’être humain peut-il consommer sans risque le morceau
de viande ?
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Exercice 27
Le tableau ci-dessous indique le nombre d’exploitations agricoles en France entre 1955 et 2000.
Année
Rang n de l'année
Nombre d’exploitations (en milliers)
1955
0
2280
1970
15
1588
1988
33
1017
2000
45
664
(Source INSEE)
1°) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n
est modélisé par la suite arithmétique (un) de premier terme u0 = 2280 et de raison -36.
b) Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
c) Déterminer l'expression de un en fonction de n.
En déduire les valeurs de u15 ; u33 et u45 .
d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir pour 2015.
2°) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n
est modélisé par la suite géométrique (vn) de premier terme v 0 = 2280 et de raison 0,973.
a) Calculer v 1 ; v 2 ; v 3 . (les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche)
b) Justifier que ce modèle correspond à une variation relative constante d'une année sur l'autre.
Quelle est cette variation relative ?
c) Déterminer vn en fonction de n.
En déduire les valeurs de v 15 ; v 33 et v45 .
d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir pour 2015.
Exercice 28
On considère la suite (un) définie par u0 = 8 et un+1 = 2un - 3 pour tout n ∈ IN .
1°) Calculer u1 ; u2 ; u3 ; u4 .
2°) Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ IN par vn = un - 3.
Exprimer vn+1 en fonction de un+1 . Puis exprimer vn+1 en fonction de un.
En déduire enfin l'expression de v n+1 en fonction de vn.
Que peut-on dire de la suite (vn) ?
3°) Donner l'expression de v n en fonction de n , en déduire l'expression de un en fonction de n.
Retrouver avec cette expression les valeurs de u1 ; u2 ; u3 ; u4 données à la première question.
Justifier que tous les nombres un, sauf u0 ont une écriture décimale se terminant par le chiffre 3.
Exercice 29
1°) Un capital C est placé à un taux d'intérêt de 8% par an.
Quel est le nombre N d'années au bout duquel ce capital aura doublé ?
2°) Même question pour un taux d'intérêt de 3,15 % , pour un taux d'intérêt de 2,5%.
3°) Écrire un programme sur calculatrice ou sur ordinateur permettant de trouver le nombre N à partir d'un
taux d'intérêt t .
Exercice 30
On considère la suite (un) définie par u1 = 0 et un+1 = un + 1 pour tout n ³ 1 .
n
1°) Calculer u2 ; u3 et u4 .
2°) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
3°) En utilisant un tableur déterminer les valeurs de un pour n allant de 1 à 1000.
Que deviennent les valeurs de un quand n augmente indéfiniment.
4°) Écrire un algorithme permettant de trouver à partir de quel rang n la valeur de un est supérieure à un
nombre M donné. Utiliser cet algorithme avec M = 10, M = 100, M = 1000.
5°) Reprendre les questions précédentes avec la suite (vn) définie par
v1 = 0 et vn+1 = vn + 1 pour tout n ³ 1
n2
1ère S − Suites
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