Réviser les suites_Terminale

REVISER LES SUITES
EXERCICE 1
Calculer les quatre premiers termes de chaque suite suivante :
1) ‫ ݑ‬est la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ‫ݑ‬௡ = ሺ݊ + 1)ଶ .
‫ݒ‬ଵ = 1
.
2) ‫ ݒ‬est la suite définie par : ൜
‫ݒ‬௡ାଵ = −2‫ݒ‬௡ + 9
3) ‫ ݓ‬est la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ‫ݓ‬௡ = 3௡ାଵ .
EXERCICE 2
1) On considère la suite arithmétique ‫ ݑ‬de 1er terme ‫ݑ‬଴ = 10 et de raison ‫ = ݎ‬−2. Calculer ‫ݑ‬ଶହ .
ଵ
2) On considère la suite géométrique ‫ ݒ‬de 1er terme ‫ݒ‬ଵ = 2 et de raison ‫ = ݍ‬ଶ. Calculer ‫ݒ‬ଵ଴ .
3) ‫ ݓ‬est une suite arithmétique telle que ‫ݓ‬ଶହ = 57,65 et ‫ݓ‬ଷଽ = 88,03. Calculer le 1er terme ‫ݓ‬଴ et la
raison ‫ݎ‬.
4) ‫ ݌‬est une suite géométrique à termes strictement positifs telle que ‫݌‬ସ = 0,84 et ‫ = ଺݌‬5,25. Calculer
le 1er terme ‫݌‬଴ et la raison ‫ݍ‬.
EXERCICE 3
Medhi place la somme de 1 200€ à la banque à intérêts composés au taux annuel de 5%.
1) Calculer le capital dont il dispose à la fin de la 6ème année.
2) Au bout de combien d’années disposera-t-il d’un capital supérieur à 5 000€ ?
EXERCICE 4
Lucie place une somme de 1 000€ au taux simple annuel de 5%.
1) Calculer le capital dont elle dispose à la fin de la 4ème année.
2) Au bout de combien d’années doublera-t-elle son capital ?
CORRECTION
EXERCICE 1
Calcul des quatre premiers termes de chaque suite suivante :
1) ‫ ݑ‬est la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ‫ݑ‬௡ = ሺ݊ + 1)ଶ .
Ici, ‫ ݑ‬est une suite fonctionnelle ; pour calculer chaque terme on remplace ݊ par le rang voulu.
‫ = ࢔ݑ‬ሺ࢔ + 1)ଶ
donc
2) ‫ ݒ‬est la suite définie par : ൜
‫ݑ‬଴ = ሺ0 + 1)ଶ = 1² = 1
‫ݑ‬ଵ = ሺ1 + 1)ଶ = 2² = 4
‫ݑ‬ଶ = ሺ2 + 1)ଶ = 3² = 9
‫ݑ‬ଷ = ሺ3 + 1)ଶ = 4² = 16.
‫ݒ‬ଵ = 1
.
‫ݒ‬௡ାଵ = −2‫ݒ‬௡ + 9
Ici, ‫ ݒ‬est une suite définie par récurrence ; les termes se calculent par cascade.
Le premier terme est ‫ݒ‬ଵ = 1
‫ݒ‬௡ାଵ = −2‫ݒ‬௡ + 9 donc
si ݊ = 1
si ݊ = 2
si ݊ = 3
alors
alors
alors
‫ݒ‬ଵାଵ = ‫ݒ‬ଶ = −2‫ݒ‬ଵ + 9 = −2 × 1 + 9 = 7
‫ݒ‬ଶାଵ = ‫ݒ‬ଷ = −2‫ݒ‬ଶ + 9 = −2 × 7 + 9 = −5
‫ݒ‬ଷାଵ = ‫ݒ‬ସ = −2‫ݒ‬ଷ + 9 = −2 × ሺ−5) + 9 = 19.
3) ‫ ݓ‬est la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ‫ݓ‬௡ = 3௡ାଵ .
Ici, ‫ ݓ‬est une suite fonctionnelle ; pour calculer chaque terme on remplace ݊ par le rang voulu.
‫ݓ‬௡ = 3௡ାଵ
donc
‫ݓ‬଴ = 3଴ାଵ = 3
‫ݓ‬ଵ = 3ଵାଵ = 3² = 9
‫ݓ‬ଶ = 3ଶାଵ = 3ଷ = 27
‫ݓ‬ଷ = 3ଷାଵ = 3ସ = 81
EXERCICE 2
1) On considère la suite arithmétique ‫ ݑ‬de 1er terme ‫ݑ‬଴ = 10 et de raison ‫ = ݎ‬−2.
Pour calculer ‫ݑ‬ଶହ on utilise la formule ࢛࢔ = ࢛૙ + ࢔ × ࢘ avec ݊ = 25 et ‫ = ݎ‬−2.
Donc ࢛૛૞ = ‫ݑ‬଴ + 25 × ሺ−2) = 10 − 50 = −૝૙.
ଵ
2) On considère la suite géométrique ‫ ݒ‬de 1er terme ‫ݒ‬ଵ = 2 et de raison ‫ = ݍ‬ଶ.
ଵ
Pour calculer ‫ݒ‬ଵ଴ on utilise la formule ࢜࢔ = ࢜૚ × ࢗ࢔ି૚ avec ݊ = 10 et ‫ = ݍ‬ଶ.
ଵ
ଵ ଽ
ଶ
ଵ
૚
Donc ࢜૚૙ = ‫ݒ‬ଵ × ሺଶ)ଵ଴ିଵ = 2 × ቀଶቁ = ଶవ = ଶఴ = ૛૞૟.
3) ‫ ݓ‬est une suite arithmétique telle que ‫ݓ‬ଶହ = 57,65 et ‫ݓ‬ଷଽ = 88,03.
Pour calculer la raison ‫ ݎ‬on utilise la formule ࢛࢔ = ࢛࢖ + ሺ࢔ − ࢖) × ࢘ avec ݊ = 39 et ‫ = ݌‬25.
Donc ‫ݑ‬ଷଽ = ‫ݑ‬ଶହ + ሺ39 − 25) × ‫ ݎ‬d’où ‫ݑ‬ଷଽ = ‫ݑ‬ଶହ + 14 × ‫ݎ‬.
On résout alors l’équation 88,03 = 57,65 + 14‫ ݎ‬donc ࢘ =
଼଼,଴ଷିହ଻,଺ହ
ଵସ
= ૛, ૚ૠ.
Comme ‫ݑ‬ଶହ = ‫ݑ‬଴ + 25 × 2,17 alors 57,65 = ‫ݑ‬଴ + 54,25 donc ࢛૙ = 57,65 − 54,25 = ૜, ૝.
4) ‫ ݌‬est une suite géométrique à termes strictement positifs telle que ‫݌‬ସ = 0,84 et ‫ = ଺݌‬5,25.
Pour calculer la raison ‫ ݍ‬on utilise la formule ࢖࢔ = ࢖࢓ × ࢗ࢔ି࢓ avec ݊ = 6 et ݉ = 4.
Donc ‫݌ = ଺݌‬ସ × ‫ି଺ ݍ‬ସ d’où ‫݌ = ଺݌‬ସ × ‫ ݍ‬ଶ .
ହ,ଶହ
On résout alors l’équation 5,25 = 0,84 × ‫ݍ‬² donc ‫ݍ‬² = ଴,଼ସ = 6,25 donc ࢗ = ඥ6,25 = ૛, ૞.
ହ,ଶହ
Comme ‫݌ = ଺݌‬଴ × ‫ ଺ ݍ‬alors 5,25 = ‫݌‬଴ × 2,5଺ donc ࢖૙ = ଶ,ହల = ૙, ૙૛૚૞૙૝.
EXERCICE 3
Medhi place la somme de 1 200€ à la banque à intérêts composés au taux annuel de 5%.
On retrouve ici une suite géométrique de 1er terme ‫ݒ‬଴ =1200 et de raison ‫ = ݍ‬1,05 ሺ1+0,05).
1) Capital dont il dispose à la fin de la 6ème année :
Comme ‫ݒ = ଺ݒ‬଴ × ‫ ଺ ݍ‬alors ‫ = ଺ݒ‬1200 × 1,05଺ ≈ ૚૟૙ૡ, ૚૚€
€.
2) Au bout de combien d’années disposera-t-il d’un capital supérieur à 5 000€ ?
Méthode : avec la calculatrice.
Comme ‫ݒ‬௡ = ‫ݒ‬଴ × ‫ ݍ‬௡ = 1200 × 1,05௡ alors on programme la suite et on fait afficher le tableau de
valeurs.
‫ݒ‬ଶଽ = 4939,40 et ‫ݒ‬ଷ଴ = 5186,30 donc le capital dépassera 5000€ au bout de 30 ans.
ans
EXERCICE 4
Lucie place une somme de 1 000€ au taux simple annuel de 5%.
On retrouve ici une suite arithmétique de 1er terme ‫ݑ‬଴ =1000 et de raison ‫ = ݎ‬50 ሺ0,05× 1000).
1) Capital dont elle dispose à la fin de la 4ème année :
Comme ‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬଴ + ݊ × ‫ = ݎ‬1000 + 50݊ alors ‫ݑ‬ସ = 1000 + 4 × 50 = ૚૛૙૙€.
2) Au bout de combien d’années doublera-t-elle son capital ?
Méthode 1: avec la calculatrice.
Comme ‫ݑ‬௡ = 1000 + 50݊ alors on programme la suite et on fait afficher le tableau de valeurs.
‫ݑ‬ଶ଴ = 2000 donc le capital doublera au bout de 20 ans.
Méthode 2: par calcul algébrique.
On cherche n tel que ‫ݑ‬௡ ≥ 2000 donc il faut résoudre l’inéquation 1000 + 50݊ ≥ 2000.
On trouve ݊ ≥
ଶ଴଴଴ିଵ଴଴଴
soit ࢔
ହ଴
≥ ૛૙. On retrouve la réponse.