IUP GEII

Licence SPI – Automatique 1
Travaux dirigés
2013-2014
TD 3 : Modélisation de la dynamique d’un propulseur sur un
pendule simple
On réalise un banc d’essai constitué d’un pendule simple à
l’extrémité duquel est positionné un propulseur à hélice constitué
d’un moteur brushless de masse m=54g.
L’objectif est de réaliser la régulation de la position angulaire  du
bras à une valeur désirée d à l’aide de la force de poussée u
générée par le moteur et de la mesure d’angle délivrée par un
capteur à effet hall placé au niveau de la liaison pivot.
Le propulseur est commandé par un microcontrôleur.
Moteur brushless miniature
monté sur le banc d’essai
Microcontrôleur commandant
le propulseur
Schéma de principe du banc d’essai
S
1. Le bras du pendule est de longueur l.
Définition : Le moment cinétique évalué en un point O, dans le référentiel R du point
matériel de masse m est : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On rappelle que l’expression de la vitesse tangentielle vt s’écrit : ⃗⃗⃗
Montrez que le moment cinétique du point M par rapport au point O a pour expression :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗
2. Déterminez les expressions des moments exercées par les forces u , P et r au point
d’attache O en appliquant la formule ⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où représente le produit
vectoriel.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( )
∑ ⃗⃗ ( )
3. Le théorème du moment cinétique énonce que :
En appliquant le théorème du moment cinétique au système, montrez que l’équation
différentielle qui régit le mouvement du propulseur est donnée par :
Thibaut Raharijaona – 2013-2014 Site de Montperrin Aix en Provence
( )
4. On désire réguler la position du propulseur à la position angulaire d , quelle est
l’expression de la commande ueq lorsque l’équilibre est atteint ?
5. Pour étudier le comportement dynamique de propulseur autour de la position angulaire
désirée d , on introduit les notations suivantes :
  d   , où  est un petit angle autour de d .
u  u eq  v , où v est l’amplitude de la commande autour de ueq.
Quelle est l’équation différentielle qui régit le mouvement du propulseur autour de la
position d’équilibre d ?
6. Quelle est l’expression de la fonction de transfert G  p  
A  p
où   p   TL  t 
V  p
et V  p   TL v  t  ?
7. Quels sont les pôles de la fonction de transfert G(p) ?
8. Si l’entrée de commande v(t) est une impulsion quelle est l’expression de la
transformée de Laplace A(p) ?
9. Quelle est l’expression mathématique de la réponse temporelle   t  ?
10. Donnez une allure de   t  ?
11. Quelle est la signification de ce dernier tracé ?
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