Taux de croissance Compléments de cours au chapitre 1

Taux de croissance
Compléments de cours au chapitre 1
Caroline De Paoli
Cours de TQF - février 2009
Un des objectifs principaux lorsqu’on a une série de données qui varient
dans le temps est de comprendre le taux de variation ou taux de croissance
que suit la variable considérée, soit sur la période complète, soit sur une
partie de la période considérée. Par ailleurs, de façon à pouvoir comparer les
taux de variation de plusieurs séries de données, il faut obtenir des taux de
croissance comparables : pour ce faire, on veut avoir des taux de croissance
annuels.
Avec le fichier du cours, on a trois objectifs :
1. calculer le taux de croissance du CAC40 sur la période complète
2. calculer le taux de croissance mensuel moyen
3. projeter l’évolution récente du CAC40 sur les mois à venir pour faire
une prévision de croissance, en comprenant que la prévision dépend de
l’hypothèse que l’on fait sur la façon dont le futur va ou non ressembler
au passé. Dans le cas développé en classe, on suppose que le CAC40
dans les 6 mois à venir va évoluer en moyenne comme dans les six
derniers mois.
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Calcul du taux de croissance sur la période
complète
En classe, nous avons vu 3 méthodes équivalentes et alternatives pour
calculer un taux de variation ou taux de croissance 1 que l’on note rtot .
– on calcule la variation en pourcentage en prenant les données ”brutes”
contenues dans la colonne du cours.
rtot =
2696, 92 − 4790, 66
= −0, 437
4790, 66
On obtient la variation en pourcentage en multipliant par 100 : −0, 437∗
100 = −43, 7%
– on utilise les indices établis en prenant comme période de référence la
période initiale. Cette méthode n’est pas développée dans l’exemple du
CAC40, par contre nous l’avons vu sur l’exemple du taux de change en
classe.
Calculons l’indice if ev09/f ev08 . Nous avons
if ev09/f ev08 =
2696, 92
= 0, 5629
4790, 66
C’est un indice en base 1. Cela signifie que le CAC40 en février 2009
vaut 56,29% du CAC40 de février 2008. Pour obtenir le taux de variation, on utilise la formule :
taux de variation=indice sur la période initiale-1
Nous avons donc rtot = 0, 5629 − 1 = 0, 437
– On utilise les indices glissants ou indices instantanés.
Dans le cours on a vu que
if ev09/f ev08 =
if ev09/jan09 ∗ ijan09/dec08 ∗ idec08/nov08 ∗ inov08/oct08 ∗ ioct08/sep08
∗isep08/aou08 ∗ iaou08/jui08 ∗ ijui08/juin08 ∗ ijuin08/mai08 ∗ imai08/avr08
∗iavr08/mar08 ∗ imar08/f ev08
On obtient donc if ev09/f ev08 en multipliant les valeurs de la colonne
”indice” entre eux. On a if ev09/f ev08 = 0, 5629 d’où rtot = −0, 437.
1. Remarque : s’agissant de données financières, on peut aussi appeler ça un taux de
rentabilité.
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Remarque : certains d’entre vous ont remarqué que ce chiffre de rtot −
43, 7% ne correspond pas à un taux de variation annuel car il est construit à
partir des données sur 13 mois (de février 2008 à février 2009 inclus). C’est
donc, pour etre très précis, le taux de croissance de la période complète et
non le taux de croissance annuel. Le taux de croissance annuel est calculé en
prenant les valeurs comprises entre mars 2008 et février 2009, c’est à dire en
omettant la première. Essayer de recalculer ce taux. Réponse : rtotann −42, 7%.
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Calcul du taux de croissance mensuel moyen
La colonne des rentabilités instantanées donne le taux de variation effectif
du CAC40 d’un mois sur l’autre. Chercher le taux de croissance mensuel
revient à résumer les informations contenues dans cette colonne en une seule.
Il s’agit bien d’une moyenne, mais pas d’une moyenne arithmétique. On ne
peut donc pas l’obtenir en faisant la somme des variations et en divisant par
le nombre d’observations.
Le taux de croissance mensuel, rmens est le taux tel que, si le CAC40 avait
varié chaque mois de rmens , on obtiendrait à la fin de la période une variation
totale égale à la variation totale observée, c’est à dire rtot = −43, 7%.
On pose le problème ainsi :
(1 + rmens )13 = 1 + rrt ot
d’où
rmens = (1 + rrtot )1/13 − 1 = −0, 0432
Interprétation : si tous les mois entre février 2008 et février 2009 le CAC40
avait perdu exactement 4,32%, à la fin de la période on observe bien une perte
totale égale à celle observée, soit −43, 7%. C’est donc bien la perte mensuelle
moyenne.
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Un peu de prévision : calcul du taux de
variation annuel attendu.
Bien sûr, on ne sait pas ce qui va se passer dans les mois à venir, mais il
est légitime de faire un exercice en partant de l’hypothèse : et si... le CAC40
se comporte dans les mois à venir comme par le passé, que peut-on attendre
comme taux de croissance dans 6 mois ?
Pour pouvoir comparer des taux de variation, on a dit qu’on veut un taux
annuel. On cherche donc à calculer le taux de variation annuel du CAC40 en
septembre 2009 (donc par rapport au CAC40 en septembre 2008) si le taux
de croissance pendant les six prochains mois est égal au taux de croissance
des six derniers mois.
Etape 1 : calcul du taux de croissance des 6 derniers mois, r6mois : on applique
la même méthode que celle développée au 1. et on calcule
r6mois =
2696,92−4032,1
4032,1
= −0, 3984
Interprétation : le CAC40 a perdu 39,8% au cours des six derniers mois.
Etape 2 : calcul du taux de croissance annuel prévisionnel, rprev :
On applique la même méthode que celle développée au 2. On se demande
quel taux de croissance au final on aura si on a par deux fois (6 mois puis 6
mois) −39, 8% :
(1 + r6mois )2 = (1 + rprev )
d’où
rprev = (1 + r6mois )2 − 1 = −0, 638
Interprétation : si le CAC40 perd entre février 2009 et septembre 2009
autant qu’il a perdu entre septembre 2008 et février 2009, on aura subi en
septembre 2009, par rapport à septembre 2008, une perte globale de 63,8%.
Exercice complémentaire : calculer rprev (i) sous l’hypothèse que le CAC40
se stabilise au cours des six prochains mois à sa valeur de février 2009 et (ii)
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sous l’hypothèse que le taux moyen de croissance au cours des six prochains
mois soit égal au taux de croissance moyen entre février 2008 et juillet 2008
(avant le gros de la crise). Réponses : (i) −39, 8% (ii) −45, 2%
Remarque : on peut comparer rprev et rtotann . Le fait que rprev soit plus
faible que rtotann signifie que le plus gros de la baisse du CAC40 a eu lieu
pendant la deuxième période servant de calcul à rtotann . Comprenez-vous
pourquoi ?
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Colonne du logarithme
Il faut retenir que
– la colonne ”logarithme” est obtenue en prenant le logarithme népérien
de l’indice glissant et non pas du cours.
– Pourquoi donner les valeurs en logarithme ? parce que si le taux de
croissance est suffisamment petit, on peut approximer le taux de croissance de la série initiale (du CAC40) par la somme des logarithmes de
l’indice. Ici, la somme de la colonne des logarithmes donne −0, 57 qui
est l’approximation (pas très satisfaisante) de rt ot.
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