Classe PC Dupuy de Lôme

Troisième partie
1.1
Lo
ri e
Système à deux trous d’Young
Présentation du dispositif
y
S
a
b
Ecr
an
lom
e.f
r-
x
PC
1
nt
Exemple de dispositif interférentiel : Trous
d’Young
z
uy
de
Les points d’égale intensité décrivent sur cet écran des hyperboles. Cependant, pour une région peu
étendue autour de l’axe Ox et pour une distance écran-sources grande devant les dimensions de l’écran,
on pourra assimiler ces hyperboles à des segments.
Par des considérations de symétrie, ces segments sont parallèles au plan médiateur des sources.
Trous d’Young
Ce système de deux ouvertures quasi-ponctuelles éclairées par une source monochromatique peut être modélisé par deux sources secondaires cohérentes
cp
ge
d
up
Délocalisation des interférences
Les franges d’interférence sont observables sur l’écran quelque soit la position de
celui-ci par rapport aux trous d’Young. Elles sont donc non localisées.
Étude de la figure d’interférence
On admet que les franges d’égale intensité sont des segments sur l’écran 2. Il
suffit alors de rechercher leur intersection
avec l’axe de l’écran.
On considère dans cet exemple de calcul
deux sources cohérentes synchrones.
(Cela est obtenu en plaçant la source
primaire sur l’axe des systèmes de
trous d’Young)
S1
b
D
b
√
a
2
=−
2
2
1
2
√
1 4
2 2
D 2 + (x +
a
2
2
)
lom
e.f
r-
1
I
Lo
ri e
a
Æ
= (S2 M ) − (S1 M ) = S2 M − S1 M = D 2 + (x − ) −
¿
¿
a 2 Á
a 2
Á ⎛
⎞ Á ⎛x + ⎞
Á
x
−
Á ⎜
a
⎟ Á
⎟
Á +⎜
= D:Á
Á
À ⎜ D ⎟ = − :D : : :x
À +⎜ D ⎟ −Á
⎠
⎠
⎝
⎝
Æ
nt
x
b
M
Différence de marche en
Première méthode
S2
1.3
M
PC
1.2
a:x
D
Deuxième méthode
● Principe de retour inverse : on peut raisonner en partant de M et en allant vers les sources
uy
de
● Théorème de Malus : les surfaces d’onde sont ortogonales aux rayons. On en déduit que les chemins
optiques (M S2 ) et (M I ) sont égaux. Par conséquent, la différence de marche entre les deux rayons
Æ = (IS1 ).
● Vu que D >> x et D >> a, l’arc de cercle S1 I peut s’apparenter à un segment. On peut alors en
déduire S2 I = a:sin
On retrouve bien Æ ≡ ±
D
a:x
D
Franges d’interférence et Interfrange
ge
d
1.4
x
up
● D’autre part tan ≡ =
2
1
● Les sources secondaires étant cohérentes : En M (x) de l’écran : I (x) = :I0 : [ + os ('2 )]
● Ces sources secondaires étant synchrones : '2 =
2::Æ
0
cp
● D’après la définition de l’ordre d’interférence : Æ = p:0
Pour un point d’observation M (x), l’ordre d’interférence a donc pour expression p =
a:xp
D:0
On peut s’intéresser à deux franges lumineuses successives, correspondant donc à deux valeurs entières
successives de l’ordre d’interférence.
D:0
D:0
et xp±1 = (p ± ) :
Elles sont donc définies par xp = p:
a
1
a
La distance entre ces deux franges successives a donc pour expression : i = ∣xp±1 − xp ∣ =
a
i correspond à la distance séparant deux franges successives.
:D
i= 0
a
2
Lo
ri e
nt
Interfrange
L’interfrange
0 :D
Fentes d’Young et trous d’Young
lom
e.f
r-
PC
Nous avons considéré pour notre modélisation du système que chaque trou d’Young se comportait
comme une source secondaire ponctuelle idéale émettant dans toutes les directions.
Ceci ne pourrait être obtenu qu’en considérant le rayon extrêmement faible du trou, au prix d’une
diminution importante de l’intensité.
On peut observer l’intensité lumineuse obtenue sur l’écran en présence d’un seul trou :
Cas idéal
Cas réel
Modulation de la figure d’interférences
Les franges d’interférences dues à la présence de deux sources sont modulées par
la figure de diffraction correspondant à chacune des sources.
3
Élargissement spatial de la source
3.1
Modification des franges d’interférences par déplacement transversal de
la source
uy
de
Différence de marche
On ne considère plus la source primaire sur l’axe des trous d’Young.
S2
ge
d
b
d
Æ1
S1
b
Æ2
b
a
xs
up
b
b
x
S
M
J
I
D
cp
La différence de marche totale entre les chemins (SS1 M ) et (SS2 M ) correspond à Æ = Æ1 + Æ2
a:xs a:x
Par une analyse similaire au cas précédent, on obtient : Æ =
+
d
Position de la frange d’ordre d’interférence nul
Pour cette frange p =
0
→ Æ=
0 soit x0 = − Dd :xs
D
Association des deux sources primaires
Analyse qualitative
M
Lo
ri e
3.2.1
b
S′
x
S2
xs
b
b
b
lom
e.f
r-
S1
PC
S
a
3.2
nt
Translation des franges
Le déplacement des franges est homothétique au déplacement transversal de la
source, avec des sens opposés.
● Avec la source S seule :
2
1
2
Les deux ondes issues de S interfèrent en M : I = :I0 : [ + os (')] avec ' = ::p
● Avec la source S seule :
2
1
2
Les deux ondes issues de S ′ interfèrent en M : I ′ = :I0 : [ + os ('′ )] '′ = ::p′
● Avec les deux sources :
S ′ : Itot = I + I ′
uy
de
S et S ′ ne peuvent pas être cohérentes, les ondes issues de S n’interfèrent pas avec celles issues de
Source S seule :
Source S ′ seule :
Deux sources :
cp
ge
d
up
Sources primaires multiples
Lorsqu’un système interférentiel est éclairé par plusieurs sources primaires, l’intensité en M est obtenue
par la superposition des
franges d’interférences obtenues pour chacune des
sources prises séparément.
3.2.2
Critère de brouillage
Il y aura brouillage total des franges si l’intensité en un point M (x) devient indépendante de x.
Soit Itot = I + I ′ = I0 : [ + os ( ::p) + os ( ::p′ )] = C te
Cela sera obtenu si os ( ::p) = −os ( ::p′)
2
2
2
2
2
2
2
2
On doit donc avoir ::p = ::p′ + ( : )
1 +n n∈N
2
Lo
ri e
∣ p∣ =
Œ
nt
brouillage des franges
La multiplication des sources entraine une diminution du contraste en tout point
de la figure d’interférence. Il y aura brouillage pour deux sources si les ordres p et
p′ en M pour chacune de ces sources sont tels que
Le brouillage dépend donc de la distance séparant les deux sources, mais est indépendant du point sur
la figure d’interférence.
Cas d’une source étendue spatialement
PC
3.3
lom
e.f
r-
On considère désormais une source non ponctuelle de largeur L.
Il peut s’agir par exemple du tube d’une lampe à vapeur de sodium. Les dés-excitations des électrons
amenant à l’émission de photons se font de manière aléatoire, de sorte que cette source peut être vue
comme une somme de sources ponctuelles incohérentes entre elles.
On pourrait modéliser cette source par une quantité N très grande de sources ponctuelles
Brouillage par extension spatiale de la source
Il y aura brouillage des franges d’interférence pour une
source d’extension spatiale L si la différence des ordres
d’interférence p en un point M dus à deux points de
b
b
b
b
symétrie
L
b
b
b
b
b
b
L
2
est supérieure à
la source distants de
Ce brouillage est uniforme.
uy
de
b
Élargissement spectral d’une source
4.1
up
4
1
2
Cas du doublet du sodium
Æ
ge
d
Pour commencer, considérons un spectre comportant deux raies aux longueurs d’onde 0 ± .
Cette source peut être vue comme une superposition de deux sources ponctuelles S et S ′ , toutes les
deux situées en un même point de l’espace,
cp
● S émet à une longueur d’onde = 0 −
2
Æ
● S ′ émet à une longueur d’onde ′ = 0 +
2
Æ
2
Un dispositif de trous d’Young est situé entre la source et M . En ce point M
2
1
2
● Les deux ondes issues de S interfèrent : I = :I0 : [ + os (')] avec ' = ::p =
2
1
2
2::Æ (M )
● Les deux ondes issues de S ′ interfèrent : I ′ = :I0 : [ + os ('′ )] avec ' = ::p′ =
2::Æ (M )
′
● S et S ′ n’étant pas cohérentes, l’intensité globale correspondra à la somme des deux intensités :
2
2
Itot = :I0 : [ + os (') + os ('′ )]
Il y aura brouillage si cette intensité devient indépendante de la position du point M . Ce sera le cas si :
os (') = os ('′ )
′
Lo
ri e
nt
12 + n n ∈ N
1 1 Æ (M ):Æ
Or p = Æ (M ): ∣ − ∣ ≡
Ce qui correspond à ∣ p∣ =
20
4.2
Source à spectre de bande
PC
Source non monochromatique
L’intensité en un point M est la superposition des franges d’interférences en ce
point M obtenues pour chacune des composantes spectrales.
cp
ge
d
up
uy
de
lom
e.f
r-
La plupart des sources n’émettent pas un lumière monochromatique. On va ici considérer une source
émettant dans une bande spectrale centrée sur la longueur d’onde 0 et de largeur