Chapitre 2.7 –La formule des opticiens

Chapitre 2.7 – La formule des opticiens
La vergence
La vergence est l’aptitude d’une lentille à faire dévier un faisceau de lumière issue d’un objet (réel ou
virtuelle) permettant la formation d’une image nette (réelle ou virtuelle). Elle sera positive si le
faisceau converge davantage et sera négative si le faisceau diverge davantage. On peut associer la
vergence à une distance portant le nom de distance focale uniquement pour une lentille mince 1
entourée d’air ( n1 = n2 = 1 ).
Dans un cas plus général, on peut établir la position p d’un objet avec la formation d’une image en
position q grâce à la vergence V d’une lentille mince entouré de deux milieux n1 et n2 grâce à
l’équation
n1 n2
+ =V
p q
où
V : La vergence de la lentille mince en dioptries ( D )
n1 : Indice du milieu incident à la lentille.
n2 : Indice du milieu à la sortie de la lentille.
p : Position de l’objet par rapport à la lentille.
q : Position de l’image par rapport à la lentille.
Le calcul de la vergence d’une lentille mince
La vergence d’une lentille plongée dans un milieu n1 et n2 peut
être déterminée 2 par les deux courbures RA et RB de la lentille
grâce à l’équation suivante :
n1 n2
+ =V
p q
où
1
2
avec
V =
nL − n1 nL − n2
−
RB
RA
V : La vergence de la lentille mince ( m −1 ).
n1 : Indice du milieu incident.
n2 : Indice du milieu transmis.
nL : Indice de réfraction de la lentille.
RA : Rayon de courbure du côté A (m).
RB : Rayon de courbure du côté B (m).
e
n1
n2
objet
réel
P
p
A B
nL
image
finale
Q
q
Convention :
R > 0 : Courbure convexe au passage
de la lumière.
R < 0 : Courbure concave au passage
de la lumière.
Ce sujet est traité dans la section 2.6 - Les lentilles minces.
Cette démonstration est disponible dans le livre de référence à la section 2.10 - La vergence des lentilles.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Preuve :
À partir de la position d’un objet p et de la position de son image q après deux déviations sur deux
dioptres d’une lentille de largeur e plongé dans deux milieux d’indice de réfraction n1 et n2 , évaluons
la vergence V de la lentille en fonction des rayons de courbure RA et RB de la lentille afin de satisfaire
la relation
n1 n2
+ =V .
p q
Évaluons l’expression de la déviation #1 des rayons
provenant de l’objet réel en position P sur le dioptre
A. Cela va produire une image intermédiaire en
position Q’:
n1 n2 n2 − n1
+
=
p q
R
⇒
n1 (nL ) (nL ) − n1
+
=
(RA )
p
q
⇒
n − n1
n1 nL
+
= L
RA
p D
e
n1
image
intermédiaire
virtuelle à A
Q'
n2
objet
réel
P p
D
A
nL
(Indice réfraction et R = RA )
(1)
(Si l’image est virtuelle, q = − D )
e
Évaluons l’expression de la déviation #2 des rayons
provenant de l’objet intermédiaire P’ sur le dioptre
B. Cela va produit l’image finale en position Q :
n1
objet
intermédiaire
réel à B
P'
B
D+e
n1 n2 n2 − n1
+
=
R
p q
⇒
(nL )
p
+
n2 n2 − (nL )
=
(RB )
q
image
finale
réelle
n2
nL
Q
q
(Indice réfraction et R = RB )
⇒
nL
n
n − nL
+ 2 = 2
± (D ± e ) q
RB
(Si l’objet inter. est réel, p = D + e )
⇒
nL
n
n − nL
+ 2 = 2
(2)
±D q
RB
(Appro. lentille mince, e ≈ 0 )
Additionnons nos deux équations (1) et (2) afin de reformer l’équation des lentilles minces :
(1) + (2)
⇒
⇒
⇒
 n1 nL   nL
n2   nL − n1   n2 − nL 
 (Additionner (1) + (2))
 p +  D + ± D + q  =  R  +  R

 
 
A
B
 

n1 nL  nL  n2 nL − n1  nL − n2 
 (Factoriser négatif)
+
+ −
=
+  −
+
p  D   D q
RA
RB 

n − n1 nL − n2
n1 n2
−
+
= V où V = L
RA
RB
p q
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■
(Simplifier)
Page 2
La formule des opticiens
La formule des opticiens est une formule permettant d’évaluer la distance
focale f d’une lentille mince en fonction de l’indice de réfraction du verre nL
et des deux rayons de courbure de la lentille RA et RB . L’application de cette
équation est strictement réservée aux lentilles de grand rayon de courbure
plongées dans un milieu d’indice de réfraction n = 1 (comme l’air) pour
respecter l’approximation des rayons paraxiaux :
1 1 1
+ =
p q f
avec
 1
1
1 

= (nL − 1)
−
f
 RA RB 
f : Distance focale de la lentille mince ( m −1 )
nL : Indice de réfraction de la lentille
RA : Rayon de courbure du côté A (m)
RB : Rayon de courbure du côté B (m)
où
Verre correcteur prêt à être taillé.
Exemple : Lentille divergente
nL
n =1
A
Convention :
• R > 0 : Courbure convexe au passage de la lumière.
• R < 0 : Courbure concave au passage de la lumière.
RA < 0
n =1
B
RB > 0
Preuve :
À partir de la formule de la vergence d’une lentille mince, remplaçons les indices de réfraction n1 et n2
par l’indice de l’air et réécrivons l’équation :
•
n1 n2
+
=V
p q
• V =
nL − n1 nL − n2
−
RA
RB
⇒
1 1
+ =V
p q
⇒
V =
⇒
 1
1 
V = (nL − 1)
−

 RA RB 
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■ (1)
nL − (1) nL − (1)
−
RB
RA
■ (2)
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Situation 1 : Une lentille plan-concave. On désire construire une
lentille mince plan-concave en verre (n = 1,5 ) qui possède une
distance focale de -20 cm lorsqu’elle est entourée d’air. On désire
déterminer le rayon de courbure de la face concave.
nL
A B
nL
A B
Appliquons la formule des opticiens afin d’isoler le rayon de courbure de la lentille plan-concave.
Prenons le côté concave comme face incidente aux rayons :
 1
1
1 

= (nL − 1)
−
f
 RA RB 
⇒
 1
1
1 

= (nL − 1)
−
f
 RA (∞ ) 
(Remplacer RB = ∞ )
⇒
1
1
= (nL − 1)
f
RA
(Simplifier)
⇒
RA = (nL − 1) f
(Isoler RA )
⇒
RA = ((1,5) − 1)(− 0,20 )
(Remplacer valeurs numériques)
⇒
RA = −0,10 m
(Évaluer RA )
On peut remarquer que le sens de la lentille n’affecte pas la distance focale résultante de la lentille. Les
règles de signe associées aux rayons de courbure permettent à la formule des opticiens d’être
symétrique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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