Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4.
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Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4.
1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD1 : Echantillonnage Exercice 1. 1. On souhaite échantillonner un signal réel à temps continu à la cadence de 8000 échantillons par seconde. Décrire les tâches à réaliser. 2. On échantillonne à 500 échantillons par secondes un signal réel à temps continu qui est la somme de 3 sinusoïdes de fréquences respectives 50 Hz, 100 Hz et 300 Hz. A partir de ces échantillons on reconstruit par le ltre de reconstruction parfaite un signal à temps continu. Quel est le signal obtenu ? Exercice 2. Soit x(t) = 5cos(2π2000t) + 1cos(2π5000t) un signal analogique échantillonné à la fréquence 8 kHz. 1. Tracer le spectre du signal échantillonné jusqu'à la fréquence 20 kHz. 2. Un ltre passe-bas de fréquence de coupure 4 kHz est utilisé pour reconstruire le signal original, tracer le spectre du signal reconstruit. Exercice 3. Un son composé de deux sinusoïdes, respectivement à 100 et 500 Hz, est enregistré, numérisé et stocké (dans un chier). La fréquence échantillonnage est de 600 Hz. Lorsqu'on rejoue ce chier son, qu'entend-on ? Exercice 4. Soit un signal x(t) = a(t) + b(t), dont le spectre X(ν) est représenté sur la gure 1. Le signal a(t) est un signal apériodique d'énergie nie font le spectre correspond à la partie continue de X(f)(spectre de support borné [-ν0 ; ν0 ]. 1. Donner l'expression de b(t). 2. On échantillonne x(t) à la fréquence νe = 3ν0 . (a) Représenter le spectre du signal échantillonné. 2 Figure 1 Spectre de x(t) (b) Représenter le spectre du signal reconstruit xrec (t), obtenu par ltrage passe-bas de fréquence de coupure 32 ν0 . (c) Exprimer xrec (t) en fonction de a(t). Expliquer brièvement ce qui s'est passé. Exercice 5. Soit un signal analogique à temps continu xa (t) dont la TF Xa (f ) est à support bornée dans l'intervalle [-F,F] (gure 1). On échantillonne idéalement le signal à la fréquence Fe = 1/Te = 9F . 1. Représenter graphiquement Xe (f ) pour F ∈ [−30F, 30F ]. 2. On échantillonne maintenant un signal à temps continu de la forme xa (t) = Acos(2πf0 )(t) + c0 . La suite des échantillons ainsi obtenue constitue la séquence x(n) = xa (nTe ). Déterminer l'expression de x(n). Calculer et représenter sa TF pour −1 ≤ f ≤ 1. 3. Le signal continu xa (t) est échantillonné cette fois-ci à l'aide d'un Échantillonneur-Bloqueur. (a) Représenter le signal h(t) permettant d'obtenir x1 (t) à partir du signal échantillonné idéal xe (t) (b) Calculer la TF x1 (t) en fonction de Xa (f ) ; représenter le graphique du spectre X1(f). Qu'est ce que vous en déduisez de cette opération d'échantillonnage 1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD2 : Echantillonnage & Quantication Exercice 1. Le signal analogique xa (t), déni comme ayant un spectre triangulaire de fréquence maximale F = 5kHz, module en amplitude une porteuse sinusoïdale de fréquence f0 = 110kHz . On désire transmettre le signal modulé en amplitude, les échantillons étant émis sous forme numérique. La fréquence d'échantillonnage est appelée Fe . 1. En appliquant le théorème d'échantillonnage de Shannon, trouver le nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde. 2. On échantillonne de façon idéal le signal modulé en amplitude à la fréquence Fe = 40kHz . (a) Dessiner l'allure du spectre du signal échantillonné. (b) Qu'obtient-on en ltrant ce signal échantillonné idéal avec un ltre dont la bande passante s'étend de 105 à 115 kHz. (c) Qu'obtiendrait-on en ltrant le signal échantillonné idéal avec un ltre passe-bande idéal de fréquences de coupure Fc = 20kHz ? (d) Conclure sur l'intérêt de cette méthode. Discuter les problèmes liés aux imperfections de l'échantillonnage et à la stabilité des fréquences. 3. La question précédente a montré que l'on peut dans certains cas échantillonner un signal à une fréquence très inférieure à la fréquence de Shannon. On cherche dans cette question des relations générales pour le sous-échantillonnage. (a) En écrivant qu'après échantillonnage les multiples bandes de fréquence issues du repliement ne se chevauchent pas, trouver deux inégalités que doivent satisfaire les fréquences f0 , F et Fe . Ces inégalités font intervenir un nombre entier n. ( Il sut d'écrire que la nième image et la (n+1)ième images de la bande centrée sur −f0 doivent encadrer la bande centrée sur f0 . 2 (b) Calculer la valeur maximale de n en fonction de F et f0 . Exercice 2. Le signal analogique xa (t), déni comme ayant un spectre triangulaire de fréquence maximale F = 5kHz, module en amplitude une porteuse sinusoïdale de fréquence f0 = 110kHz . On désire transmettre le signal modulé en amplitude, les échantillons étant émis sous forme numérique. La fréquence d'échantillonnage est appelée Fe . 1. En appliquant le théorème d'échantillonnage de Shannon, trouver le nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde. 2. On échantillonne de façon idéal le signal modulé en amplitude à la fréquence Fe = 40kHz . (a) Dessiner l'allure du spectre du signal échantillonné. (b) Qu'obtient-on en ltrant ce signal échantillonné idéal avec un ltre dont la bande passante s'étend de 105 à 115 kHz. (c) Qu'obtiendrait-on en ltrant le signal échantillonné idéal avec un ltre passe-bande idéal de fréquences de coupure Fc = 20kHz ? (d) Conclure sur l'intérêt de cette méthode. Discuter les problèmes liés aux imperfections de l'échantillonnage et à la stabilité des fréquences. 3. La question précédente a montré que l'on peut dans certains cas échantillonner un signal à une fréquence très inférieure à la fréquence de Shannon. On cherche dans cette question des relations générales pour le sous-échantillonnage. (a) En écrivant qu'après échantillonnage les multiples bandes de fréquence issues du repliement ne se chevauchent pas, trouver deux inégalités que doivent satisfaire les fréquences f0 , F et Fe . Ces inégalités font intervenir un nombre entier n. ( Il sut d'écrire que la nième image et la (n+1)ième images de la bande centrée sur −f0 doivent encadrer la bande centrée sur f0 . (b) Calculer la valeur maximale de n en fonction de F et f0 . Exercice 3. Soit un signal x(t) à temps continu, centré de bande 7kHz. On l'échantillonne à la fréquencefe = 1/Te . On note xe (n) = xa (nT e) puis on le quantié de façon uniforme sur N = 8 bits. On Px la puissance du signal xe (t) et on choisit le pas de quantication √ à pouvoir représenter les amplitudes √ q de façon de xe (n) comprise entre −4 Px et −4 Px . Par conséquent : √ 8 Px q= N 2 3 1. Quelle est la fréquence d'échantillonnage la plus faible qui évite le repliement de spectre ? 2. Quel est le débit binaire obtenu en sortie du quanticateur pour la fréquence d'échantillonnage de la question (1). 3. On note ye (n) la valeur en sortie du quanticateur et on pose ϵ(n) = xe (n) − ye (n). On admet que l'erreur de quantication ϵ(n) est un processus aléatoire blanc, dont la loi est uniforme entre (-q/2, q/2). Montrer que le rapport signal sur bruit (RSB) de quantication, mesuré en dB, est une fonction linéaire croissante du nombre bits N. Remarque ? 1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD3 : Transformations de Fourier discrétisées Exercice 1. On considère le signal à temps continu x(t) = exp(−kt)1[0,∞[ (t) avec k > 0. On note X(F) sa transformée de Fourier. 1. Déterminer l'expression X(F) de sa transformée de Fourier. En déduire, en fonction de k, la valeur de la fréquence qui correspond à | X(0) |2 /2 2. En échantillonne x(t) à la fréquence Fe = 1/Te . On note xe (n) = x(nTe ) la suite de ses échantillons et Xe (f ) la TFTD de Xe (f ). Qu'observe-ton ? 3. On évalue la TFTD en ne prenant que les M premiers échantillons xe (0) à xe ((M − 1)). Quel eet cela a-t-il sur le spectre du signal Exercice 2. Soit la fonction périodique de période 1 dénie par X(f ) = 1[−b,b] (f ) avec avec 0 < b < 1/2 1. Déterminer la suite x(n) dont X(f) est la transformée de Fourier à temps discret. 2. En déduire la suite y(n) dont Y (f ) = (X(f − f0 ) + X(f + f0 ) est la transformée de Fourier à temps discret. Exercice 3. On considère un signal x(n) tel que x(n) = x∗ (−n). Noter que x(0) est réel. 1. Monter que sa TFTD X(f) est réel 2. Déterminer l'expression de la TFTD Y(f) de la suite dénie par : pour n > 0 x(n) y(n) = 0 x(0)/2 pour n = 0 0 sinon Partant de Y ∗ (f ), déduire la relation qui lie X(f) et Y(f). 1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD4 : Transformations de Fourier discrétisées Exercice 1. On observe N échantillons d'un signal discret : x(0), x(1), x(2), ..., x(N-1), dont on veut analyser le contenu fréquentiel. 1. Rappeler la dénition de la Transformée de Fourier à Temps Discret (TFTD) du signal x(n), n = 0, 1, ...., N-1. 2. Rappeler la dénition de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) X(k), k = 0, ...., N-1 du signal x(n), n = 0, 1, ...., N-1 et son lien avec la TFTD du même signal. 3. La DCT (Discrete Cosine Transform) est une transformée similaire à la TFD mais avec l'avantage d'avoir des valeurs réelles lorsque les signaux en considération sont eux mêmes réels. La DCT a de nombreuses applications pratiques et est, entre autres, utilisée en codage et traitement d'image et vidéo. Pour un signal réel à N échantillons x(n), n = 0, 1, ...., N-1 : , la DCT est dénie par : Exercice 2. On désire calculer N points du gain complexe d'un ltre linéaire invariant causal en utilisant la TFD. Le ltre est déni par une équation aux diérences de forme générale, soit : y(n) = M ∑ p=1 ap y(n − p) + Q ∑ bl x(n − l) l=R avec R>0 et Q>M pour un ltre causal 1. Donner l'expression du gain complexe H(f) du ltre 2. On veut calculer N points de gain complexe soit H(k/N), Déterminer l'expression de H(k/N) et monter que deux TFD d'ordre N permettent d'en eectuer calcul. 2 3. Exemple : soit le ltre y(n) = 0.5y(n − 1) + 0.2y(n − 2) − 0.1y(n − 3) + x(n − 1) + 2x(n − 2) . On veut calculer N =8 points de gain complexe. Déterminer les deux séquences an et bn que l'on devra utiliser pour le calcul des TFD. Comment faut-il procéder pour augmenter le nombre de points de gain complexe ? Exercice 3. La TFD directe d'une séquence x(n) peut se mettre sous la forme habituelle suivante : X(k) = N −1 ∑ kn x(n)wN ,0 < k < N − 1 (1) n=0 avec wN = e−j2π (2) On eectue une partition de la séquence x(n) en deux sous-séquences ap et bp dénies par : { ap = x(2p) bp = x(2p + 1) pour 0 < p < N/2 − 1 (termes de rang pair) pour 0 < p < N/2 − 1 (termes de rang impair) 1. Montrer que la TFD de x(n) se met alors sous la forme : XN (k) = AN/2 (k) + α(k, N )BN/2 (k), 0 < k < N − 1 (3) où AN/2 (k) et BN/2 (k) sont les TFD d'ordre N/2 respectives des séquences a(p) et b(p). Préciser l'expression du terme α(k, N ) 2. Vérier que :AN/2 (k) et BN/2 (k) sont des séquences de période N/2 et en déduire les relations suivantes : { XN (k) = AN/2 + α(k, N )BN/2 (k) pour 0 < k < N/2 − 1 (4) XN (N/2 + k) = AN/2 − α(k, N )BN/2 (k) pour 0 < k < N/2 − 1 (5) 3. Les relations (4) et (5) montrent que tous les points d'une TFD d'ordre N peuvent être calculés à l'aide de deux TFD d'ordre moitié N/2, lesquelles peuvent, de façon récursive, s'obtenir à l'aide de deux TFD d'ordre N/4, etc. On pose que l'ordre N est une puissance de 2, soit : N = 2q on peut alors poursuivre par récurrence la méthode de calcul jusqu'à l'ordre 2. Combien d'étapes de récurrence sont-elles nécessaires ? 4. Calculer le nombre de multiplications et d'additions complexes requises pour un calcul de tous les points de TFD par relation (1).Quel est le gain de la FFT par rapport à la TFD. 1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD5 : Transformation en Z et ltrage Exercice 1. La moyenne de trois points qui se suivant est dénie comme suit 1 y(n) = [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] 3 où où x(n) est le signal d'entrée et y(n) est le signal de sortie. 1. Prouver que le système est linéaire 2. Trouver la réponse impulsionnelle h(n) de ce système 3. Le système est-il causal ? Exercice 2. Soit le système discret suivant : y(n) = 100 9 ∑ 0.4k x(n − k) k=0 1. Vériez que le système est linéaire et invariant. 2. Calculez la réponse à l'impulsion du système. 3. Le système est-il stable, causal ? 4. Calculer la sortie y(n) pour l'entrée x(n) = 0.2n u(n). 5. Donnez une équation aux diérences d'ordre un qui implante le même système discret (une équation aux diérences d'ordre un contient les termes y(n) et y(n-1). Exercice 3. La fonction de transfert d'un ltre numérique est donnée par : H(z) = 0.1 + 0.2z −1 1 − 0.9899z −2 2 Figure 1 Modules de la réponse en fréquence du ltre 1. Écrivez l'équation aux diérences de ce ltre 2. Calculez les pôles et les zéros de ce ltre, et dites s'il est stable ou instable (justiez). 3. Choisissez parmi les gures 1 suivantes celle qui représente le module de la réponse en fréquence de ce ltre (montré entre 0 et π ). Justiez. 4. En fonction de la réponse trouvée en (3) (et sans faire de calculs), dessinez le plus dèlement possible, en graduant bien les axes, le module de la réponse en fréquence (pour θ entre 0 et π ) du ltre dont la fonction de transfert est Exercice 4. Soit le système composé de deux ltres placés en cascade tel que représenté à la gure 2. Le premier ltre, désigné par H1 (z), est déni par l'équation aux diérences suivantes : Figure 2 Représentation schématique du système composé de deux ltres H1 (z) et H2 (z) v(n) = av(n − 1) − x(n) Le deuxième ltre, désigné par H2 (z), est lui aussi déni par une équation aux diérences qui prend la forme : 3 −1 y(n − 1) + v(n − 1) 2 1. Déterminez H(z), fonction de transfert du ltre global. y(n) = 2. Donnez tous les domaines de convergences possibles de H(z) en fonction de a. 3. Dans la suite, on suppose que le système est causal. Donnez une condition sur a pour que le système soit stable. 4. on suppose dans la suite que a = 1/2. Trouvez la réponse impulsionnelle h(n) du ltre globale. 1 Filière : GE Prof : B. HAJJI Niveau 4ème année Année 2014-2015 Traitement Numérique du Signal TD6 : Filtrage & Synthèse des ltres Exercice 1. On considère le système de ltrage numérique dont la représentation est donnée à la gure 1. Les convertisseurs Analogiques/Numériques et Numériques/Analogiques sont supposés idéaux et adaptés l'un à l'autre. La fonction de transfert du ltre H(z) est donnée par : Figure 1 Représentation schématique du système de ltrage numérique H(z) = 1 + 2z −2 + z −4 1. Indiquez avec les justications nécessaires la région de convergence de H(z).Qu'en déduisez-vous sur la stabilité du ltre ? Compte tenu de l'expression de H(z), le ltre est-il causal ? 2. trouvez l'expression de la réponse fréquentielle H(f) du ltre numérique. 3. Trouvez pour quelle(s) fréquence(s) d'échantillonnage Fe le système permet d'éliminer les composantes à 60 Hz présentes dans le signal d'entrée x(t). Exercice 2. Le but d'évaluer H(z), la fonction de transfert d'un ltre numérique ayant les caractéristiques suivantes : Passe-bas Fréquence de coupure : 0.2 Réponse maximale : 15 dB 2 Atténuation à la fréquence de coupure : 14 dB 1. Appliquez les techniques de l'invariance à l'impulsion à un ltre Butterworth d'ordre 1 pour obtenir H(z) et tracer le schéma du ltre 2. Soit la séquence x(n) obtenue en échantillonnant le signal analogique n xa (t) à un taux de 50000 échantillons/s : x(n) = xa ( 50000 ). Appliquez la séquence x(n) à l'entrée du ltre numérique H(z)est équivalent à ltrer xa (t) selon quelle fréquence de coupure ?