Introduction à l`équation de Dirac

Transcription

Equation de Schrödinger
Première théorie relativiste : l’équation de Klein-Gordon
L’équation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la théorie de Dirac
Couplage avec l’électromagnétisme
Introduction à l’équation de Dirac
Ch. Chatelain
Groupe de Phys. Stat., LPM
13 novembre 2008
Ch. Chatelain
Sommaire
1
1
2
3
4
5
6
Ch. Chatelain
Equation de Schrödinger (1926)
−
~2
∂φ
∆φ(~r , t) + V (~r , t)φ(~r , t) = i~ (~r , t)
2m
∂t
L’interprétation de Born
ρ(~r , t) = ||φ(~r , t)||2
conduit à la loi de conservation
∂ρ
+ div ~j = 0
∂t
pour la densité de courant
~ ∗ − φ∗ ∇φ
~
~j = i~ φ∇φ
2m
Ch. Chatelain
Particule libre :
~2
∂φ
∆φ(~r , t) = i~ (~r , t)
2m
∂t
Par séparation des variables, il vient la solution
−
1
~
φ(~r , t) = √ e i(k.~r −Et/~)
V
où le vecteur d’onde ~k est relié à l’énergie par
E=
~2 k 2
2m
Dans l’interprétation de de Broglie, ~p = ~~k
E=
Ch. Chatelain
p2
2m
Intermède : le formalisme tensoriel
1
x 0 = ct
B x1 = x C
B
C,
=@
x2 = y A
3
x =z
0
x
µ
xµ =
`
x1 = −x
x0 = ct
x2 = −y
x3 = −z
´
Les formes linéaires (vecteurs cotangents, covecteurs ou 1-formes)
permettent de définir un produit scalaire de manière naturelle :
xµ x
µ
=
`
−x
ct
−y
0
ct
´B x
B
−z
@ y
z
1
C
C = c2t2 − x2 − y 2 − z2
A
invariant de Lorentz. Le choix du dual détermine le produit scalaire. A
tout vecteur, on peut associer une 1-forme
20
`
ct
−x
−y
−z
´
1
6B 0
B
=6
4@ 0
0
0
−1
0
0
Ch. Chatelain
0
0
−1
0
10
0
ct
B
0 C
CB x
0 A@ y
−1
z
13t
C7
C7
A5
⇔ xµ = gµν x
ν
L’objectif est d’obtenir la relation de dispersion relativiste
E 2 = p 2 c 2 + m2 c 4
En électromagnétisme, l’équation des ondes
1 ∂2
∆ − 2 2 Ex = 0 ⇔ ∂µ ∂ µ Ex = 0
c ∂t
est invariante sous les transformations de Lorentz et conduit à la relation
de dispersion
ω 2 = k 2 c 2 ⇔ kµ k µ = 0
Ch. Chatelain
Par analogie, on pose l’équation de Klein-Gordon pour une particule libre
m2 c 2
1 ∂2
2
−~ ∆ − 2 2 φ(~r , t) + m2 c 2 φ(~r , t) = 0 ⇔ ∂µ ∂ µ φ + 2 φ = 0
c ∂t
~
Les ondes planes sont solutions :
1
~
φ(~r , t) = √ e i(k.~r −Et/~)
V
où le vecteur d’onde ~k est relié à l’énergie par
E 2 = ~2 c 2 k 2 + m2 c 4 ⇔ kµ k µ =
m2 c 2
~2
Comme attendu, dans l’interprétation de de Broglie, ~p = ~~k,
E 2 = p 2 c 2 + m2 c 4
Ch. Chatelain
Pas d’état fondamental !
p
E = ± ~2 c 2 k 2 + m 2 c 4
E
+mc2
0
2
−mc
Le couplage avec le champ électromagnétique rend la théorie instable !
Ch. Chatelain
Contrairement à l’équation de Schrödinger, l’équation de Klein-Gordon ne
conduit pas à une loi de conservation pour
ρ(~r , t) = ||φ(~r , t)||2
L’interprétation de Born n’est plus valable !
On retrouve une loi de conservation pour

 ρ = i~ φ ∂φ∗ − φ∗ ∂φ
2m ∂t
∂t
⇔ j µ = i~ (φ∂ µ φ∗ − φ∗ ∂ µ φ)
~ ∗ − φ∇φ
~ ∗
 ~j = − i~ φ∇φ
2m
2m
mais ρ n’est pas strictement positive comme attendu !
Théorie incohérente ?
Ch. Chatelain
Dirac pose une équation du premier ordre
~ + mc 2 βφ = i~ ∂φ
i~c(~
α.∇)φ
∂t
Pour une particule libre
1
~
φ(~r , t) = √ e i(k.~r −Et/~)
V
il vient
−~c α
~ .~k + mc 2 β = E
⇔ E 2 = ~2 c 2 (~
α.~k)2 + m2 c 4 β 2 − 2mc 3 ~(~
α.~k)β
Pour retrouver E 2 = p 2 c 2 + m2 c 4 , il faut
(~
α.~k)2 = 1,
β 2 = 1,
(~
α.~k)β = 0
Contradictoire si αi et β sont des scalaires !
Ch. Chatelain
αi et β ne sont pas des scalaires mais des matrices !
E 2 = ~2 c 2 (~
α.~k)2 + m2 c 4 β 2 − mc 3 ~(~
αβ + β~
α).~k
avec (algèbre de Clifford)
β 2 = 1,
αi β + βαi = {αi , β} = 0,
{αi , αj } = 2δi,j
pour que
(~
α.~k)2 =
X
i,j
(αi ki )(αj kj ) =
X
αi2 ki2 +
i
X
(αi αj + αj αi )ki kj
i,j<i
On peut écrire l’équation de Dirac sous la forme
−i~cγ µ ∂µ φ + mc 2 φ = 0
en introduisant les quatres matrices de Dirac
αi = −(γ 0 )−1 γ i ,
β = (γ 0 )−1
dont l’algèbre est {γ µ , γ ν } = 2g µν
Ch. Chatelain
X
i
ki2
Il existe des solutions pour des matrices 4 × 4. φ possède donc quatre
composantes φi :
4
X
−i~c
(γ µ )ij ∂µ φj + mc 2 φi = 0
j=1
Représentation de Pauli-Dirac
1 0
0
γ =
,
0 −1
~γ =
0
−~σ
~σ
0
où on introduit les matrices de Pauli
„
σx =
0
1
1
0
En posant φ =
µ
«
„
,
σy =
0
i
−i
0
«
„
,
σz =
1
0
0
−1
«
φ1
φ2
, l’équation de Dirac devient
2
i~cγ ∂µ φ = mc φ ⇔
1
~ 2 + mc 2 φ1 = 0
i~ ∂φ
σ .∇φ
∂t = −i~c~
∂φ2
~ 1 − mc 2 φ2 = 0
i~ ∂t = −i~c~σ .∇φ
Ch. Chatelain
Représentation de chiralité
0 1
γ0 =
,
1 0
0
−~σ
~σ
0
1
−1
φ1
φ2
~γ =
En posant
φ=
φL
φR
1
=√
2
1
1
l’équation de Dirac devient
i~cγ µ ∂µ φ = mc 2 φ ⇔
R
~ R + mc 2 φL = 0
σ .∇φ
i~ ∂φ
∂t = +i~c~
∂φL
~
i~ ∂t = −i~c~σ .∇φL + mc 2 φR = 0
Système d’équations différentielles couplées !
Ch. Chatelain
Sous une transformation de Lorentz, les coordonnées se transforment
µ
µ
x µ → x 0 = Λµν x ν ,
Λµν =
∂x 0
∂x ν
où Λµν est la matrice de passage. On postule la loi de transformation de φ
X
φi (x) −→ φ0i (x 0 ) =
Dij (Λ)φj (x)
j
Pour un scalaire
φ(x)
θ
Dij (Λ) = δi,j
φ ’(x’)
Pour un champ 4-vectoriel
x’
x
θ
Dij (Λ) = Λi j
O
Ch. Chatelain
∂ 0 0
φ (x ) + mc 2 φ0 (x 0 ) = 0
∂x 0 µ
∂φ ∂x ν
−i~cγ µ D(Λ) ν 0µ + mc 2 D(Λ)φ(x) = 0
∂x ∂x
ν
∂φ
−1
−i~cD (Λ)γ µ D(Λ) ν Λ−1 µ + mc 2 φ(x) = 0
∂x
−i~cγ µ
⇔
⇔
On retrouve alors l’équation de Dirac à condition que
ν
D −1 (Λ)γ µ D(Λ) Λ−1 µ = γ ν ⇔ D −1 (Λ)γ µ D(Λ) = Λµν γ ν
φ n’est donc pas un 4-vecteur:
D(Λ) ∼ ±Λ1/2
Une rotation de 4π est nécessaire pour que φ0 = φ !
Ch. Chatelain
Représentation de chiralité

φ −→ D(Λ)φ = e
i
θ
σ .~
u
2~

√1+v0 /c
~v .~σ
2
2
1−v0 /c
0
0

√1−v0 2/c 2 ~v .~σ

1−v0 /c
φL
φR
pour une rotation d’axe ~u et d’angle θ et une transformation de Lorentz
d’axe ~v et de vitesse v0 .
Représentation de Pauli-Dirac

φ −→ D(Λ)φ = e
i
θ
σ .~
u
2~

√ v0 /c2
1
√ v0 /c2
1−v0 /c 2
Ch. Chatelain
1−v0 /c 2
~v .~σ
1
~v .~σ


φ1
φ2
Le spin est associé à la rotation des degrés de libertés internes du champ,
i.e. ses composantes.
Sous une rotation d’angle θ et d’axe ~u , un champ de 4-vecteur se
transforme comme
~
φ −→ φ0 (x 0 ) = e iθL.~u φ(x)
où ~L est l’opérateur moment cinétique de valeurs propres ±1, 0 (spin un).
Sous une rotation d’angle θ et d’axe ~u , le champ de Dirac se transforme
comme
~
σ
φL −→ φ0L (x 0 ) = e iθ 2 .~u φL (x)
Les valeurs propres de
~
σ
2
sont ±1/2 (spin un-demi).
Le champ de Dirac n’est pas un 4-vecteur mais un bispineur.
Ch. Chatelain
Solution de l’équation de Dirac pour une particule libre dans la
représentation de Pauli-Dirac:
i
X h
1
~
~
φ(~r , t) = √
φ+ α (~k)e −i(k.~r −ωt) uα (~k) + φ− α (~k)e i(k.~r −ωt) vα (~k)
{z
} |
|
{z
}
V
~
k,α=1,2
Energie positive
où
Energie negative
0
u1 (~
k) = p
u2 (~
k) = p
v1 (~
k) = p
v2 (~
k) = p
1
2m(mc 2 + ~ω)
1
2m(mc 2 + ~ω)
1
2m(mc 2 + ~ω)
1
2m(mc 2 + ~ω)
mc 2 + ~ω
~
σ .~
k
mc 2 + ~ω
~
σ .~
k
mc 2 − ~ω
−~
σ .~
k
mc 2 − ~ω
−~
σ .~
k
Ch. Chatelain
1
1
B 0 C
B
C
@ 0 A
0
0
1
0
!
B 1 C
−~
σ .~
k
B
C
@ 0 A
mc 2 − ~ω
0
1
0
0
!
B 0 C
~
σ .~
k
B
C
@ 1 A
mc 2 + ~ω
0
0
1
0
!
B 0 C
~
σ .~
k
B
C
@ 0 A
mc 2 + ~ω
1
−~
σ .~
k
mc 2 − ~ω
!
Paradoxe de Klein
Exemple classique de la marche de potentiel (avec V ' 2mc 2 )
V
P. Krekora, Q. Su, R. Grobe, Phys. Rev. Lett. 92, 040406 (2004)
Coefficient de réflexion r > 1 !
Ch. Chatelain
Interprétation des composantes du champ de Dirac
(représentation de Pauli-Dirac) :


Particule, spin ↑
 Particule, spin ↓ 


 Antiparticule, spin ↑ 
Antiparticule, spin ↓
pour une particule au repos. En mouvement, les composantes sont
mélangées.
Ch. Chatelain
Le problème de l’existence d’énergies négatives dans le spectre persiste !
X
H=
~ω (φ+ α )∗ φ+ α −φ− α (φ− α )∗
~
k,α=1,2
Solution : φ n’est pas une fonction d’onde mais un opérateur φ̂
1
φ̂(~r , t) = √
V
X h
~
k,α=1,2
~
~
φ̂+ α (~k)e −i(k.~r −ωt) uα (~k) + φ̂− α (~k)e i(k.~r −ωt) vα (~k)
|
{z
} |
{z
}
Energie positive
Energie negative
où
φ̂+ α (~k) détruit une particule de vecteur d’onde ~k et de spin α,
φ̂†+ α (~k) crée une particule de vecteur d’onde ~k et de spin α,
φ̂− α (~k) détruit une antiparticule de vecteur d’onde ~k et de spin α,
φ̂†− α (~k) crée une antiparticule de vecteur d’onde ~k et de spin α.
Ch. Chatelain
i
|0i Etat à zéro particule,
|(~k, α)i = φ̂†+ α (~k)|0i
Etat à une particule de vecteur d’onde ~k,
|(~k, α)i = φ̂†− α (~k)|0i
Etat à une anti-particule de vecteur d’onde ~k,
|(~k, α), (~k 0 , β)i = φ̂†+ α (~k)φ̂†+ β (~k 0 )|0i
Etat à deux particules de vecteur d’onde ~k et ~k 0 ,
|(~k, α); (~k 0 , β)i = φ̂†+ α (~k)φ̂†− β (~k 0 )|0i
Etat à une particule de vecteur d’onde ~k et une anti-particule ~k 0
Ch. Chatelain
Quelle est l’algèbre de ces opérateurs ? Contraintes :
- Eq. de Heisenberg ∂t φ̂ = −i[H, φ̂]
- Causalité
- Positivité de l’énergie
Relations d’anti-commutations :
{φ̂± α (~k), φ̂†± β (~k 0 )} = δα,β δ(~k − ~k 0 )
de sorte que
H
=
X
~ω φ̂†+ α φ̂+ α − φ̂− α φ̂†− α
~
k,α=1,2
=
X
~ω φ̂†+ α φ̂+ α +φ̂†− α φ̂− α − 1
~
k,α=1,2
Ch. Chatelain
Couplage au champ électromagnétique :
~
~p → ~p − q A,
H → H − qϕ
Pour l’équation de Schrödinger
−
~2
~ 2 φ(~r , t) + V + qϕ)φ(~r , t) = i~ ∂φ (~r , t)
~ − q A)
(−i~∇
2m
∂t
De la même manière pour l’équation de Dirac
~ + mc 2 βφ + qϕφ = i~ ∂φ
~ + q A)φ
cα
~ .(i~∇
∂t
⇔ cγ µ − i~∂µ − qAµ φ + mc 2 φ = 0
Ch. Chatelain
Courant électrique
ρc = −q t φ∗ β 2 φ
~j = q t φ∗ α
~φ
⇔ j µ = −q φ̄γ µ φ
Pour une particule libre dans la représentation de Pauli-Dirac
Z
X †
Q = ρd 3~r = −q
φ̂+ α φ̂+ α −φ̂†− α φ̂− α
~
k,α=1,2
Particules et anti-particules portent une charge de signe opposé.
Dans la limite non-relativiste, on peut négliger le couplage entre particules
et anti-particules. L’équation de Dirac conduit à l’équation de Pauli
1
∂φ
~ 2 − q ~σ .B
~ + qϕ φ
~ − q A)
'
(−i~∇
i~
∂t
2m
2m
Prochain séminaire !
Ch. Chatelain
Bibliographie
Tous les livres traitant de la théorie quantique des champs dédient un
chapitre à l’équation de Dirac. On pourra citer
Relativistic quantum mechanics, Greiner
Quantum field theory and particle physics, Kleinert
Quantum field theory, Ryder
An introduction to quantum field theory, Peskin-Schröder
Quantum field theorie, Itzykson, Zuber
Quantum field theory in a nutshell, Zee
The quantum theory of fields, Weinberg
Ch. Chatelain

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