Calcul vectoriel en Physique

Dans le cadre de notre travail au sein du groupe I.RE.M.“Liaison
Mathématiques-Sciences
physiques
Lycée”, il nous est apparu intéressant de
porter à la connaissance de nos collègues de mathématiques
d’enseignement
une séance
de physique utilisant des outils mathématiques
en l’occurence,
ici, le calcul vectoriel. On espère ainsi aider à l’interdisciplinarité
suggérée par
les programmes de mathématiques.
Ce texte se compose de trois parties
-
:
la première expose ce qui est fait en cours de physique
- la deuxième témoigne des difficultés rencontrées
- la troisième est constituée de quelques remarques faites par les
professeurs de mathématiques.
1 Étude du mouvement
plan incliné
d’un skieur
sur un
en lè_.
L’étude du bilan des forces sur un système débute au niveau première S
dans le cours de Sciences Physiques où elle constitue une part importante des
connaissances à acquérir.
A ce niveau, le programme
ne précise pas de façon explicite la manière
dont on doit exploiter la relation vectorielle qui relie ces forces dans le cas d’un
mouvement rectiligne uniforme pour lequel:
remarque..
relation
vectorielle
d’enseigner
traiter
Les programmes
C Fext
= 6
en classe de terminale,
ce type d’exercice.
de physique
n’imposent
Dans la pratique,
il semble
c F,,, = 0
rien sur l’exploitation
en, raison
indispensable
de ce qu’il
de la
est prévu
aux proj&seurs
de physique
de
On peut donc se placer dans un cadre géométrique
méthode
de décomposition
de ces
forces
dans
et envisager
des
la
directions
données.
On peut également utiliser la méthode
les coordonnées
des vecteurs-force
directions précédentes.
analytique
analytique
en faisant intervenir
dans un système d’axes défini à partir des
Néanmoins, vu l’utilisation systématique
qui sera faite dans une large part du programme
de la méthode
de terminale S et
d’autre part vu les grandes difficultés qu’ont les élèves pour faire le lien entre les
deux méthodes, il nous paraît nécessaire que l’élève arrive en terminale avec une
maîtrise correcte de la méthode analytique.
Exercice proposé aux élèves ‘:
Donnée :
intensité du champ de pesanteur terrestre
g = 9,8 N.Kg -1
Un skieur, de masse m = 90 kg est tiré par un téléski, sur une pente rectiligne,
faisant un angle a = 15” avec l’horizontale. On néglige la résistance de l’air.
Son mouvement est supposé rectiligne et uniforme.
La perche à laquelle il est accroché fait un angle p = 40 o avec la pente.
( voir schéma)
1”) Faire le bilan des forces extérieures appliquées au skieur.
2”) On néglige dans un premier temps, les frottements entre la neige et
les skis. Déterminer dans ce cas toutes les caractéristiques
des forces extérieures
exercées sur le skieur.
3”) On ne néglige plus la force due aux frottements entre les skis et la
neige. Elle est parallèle à la pente et de sens inverse au mouvement du skieur.
Sa valeur est
:
Rn étant la valeur de la
Rt = p Rn avec ,U= 0,05
réaction normale exercée par la neige sur les skis.
Déterminer à nouveau, toutes les caractéristiques
des forces ,extérieures
appliquées au skieur.
Solution :
1”) Bilan
- système
:
des forces
extérieures
appliquées
au skieur
:
le skieur (avec son équipement)
- référentiel terrestre considéré comme galiléen.
- bilan des forces extérieures exercées sur le système
:
(voir schéma 1)
* poids du skieur p
* force exercée par la perche sur le skieur F
* action du sol sur le skieur R,
R = R, + R, avec:
l?,, réaction normale exercée par la neige sur les skis et
R, frottements entre la neige et les skis.
-<.
schéma 1
2”) Caractéristiques
skieur
des forces
extérieures
dans le cas où il n’y a pas de frottement
les skis
exercées
entre
sur le
la neige
et
:
Les frottements entre la neige et les skis étant négligés ii,= 6, les seules forces
intei-venant sont
schéma 2
:
p,
6,
R,,
(voir schéma 2)
F
~
,
l
R_
>I~_
l
~_;
verticale
oblique faisant un perpendiculaire à la piste
passant par G angle de 40” avec i (nernendiculaire à l’axe
x%, donc direction de y’y
l’axe XIX
car il n’y a pas de
frottement.)
droite
d’action
vers le haut, à
droite
A(voisin de G sur
le schéma)
à déterminer
P=mg
I
~
vers le haut
inconnu (force répartie)
i
à
déterminer
/ P=90 * 9,s
a) Résolution
par la méthode
vecteurs
de décomposition
:
On remplace chaque force par ses composantes normales et tangentielles.(
schéma 3 et schéma 4)
Principe de l’inertie
dont on déduit
Ft + 6, = 0
P+F+R,=O
:
:
et
l&+F;=kP,
P,+F,+R,
=o
=F,
lF,+F,,+k,=6+F,+R,
En appliquant la trigonométrie
=-P,,
des
soit F,+R,,=P,~
dans le triangle rectangle on obtient
R,, =P~osa-
:
Fsinp
voir
schéma 3
schéma 4
b) Résolution
Principe de l’inertie
:
par la méthode
/
dite “des projections”
:
P+F+l?,,=O
- uroiections sur l’axe x’x:
:
valeurs algébriques : Px + Fx+ Rnx = 0.
On trouve
de la façon suivante :
P, = - P sina
- le signe de P, est déterminé graphiquement
- sa valeur est calculée en utilisant les relations trigonométriques
dans le
triangle rectangle.
De même pour F, et Rnx
On obtient:
:
F, = + F COS~
- P sina + F COS~=0
d’où
R,, =0
1
Psina=Fcosp
]
- Droiections sur l’axe v’v::
valeurs algébriques
Py + Fy + Rny = 0
:
Fy=+Fsin
avec Py=-Pcosa
fi
d’où
- P COSa + F sin p+ R, =0
.
-
Rny=+Rn
aDDlication numériaue
:
F = P sin 15” = 287,84 N
COS40”
soit
FI
R = P COS1_5”-F siu 40”= 660,39 N
3”) L’action
m
soit IR=660Nl
du sol sur le skieur
fait intervenir
supplémentaire
Principe de l’inertie
R,
P+F+R*,+R,=o
:
a) Résolution
par la méthode
vecteurs
F=l?, +P,
&t+F*+Ft+F”+iin+R,
F= F,+F,
lP,+F,++R,=O,iit+pt=-F,
soit
de décomposition
:
=o
soit R,+P,=F,
soit
F, =Psina+R,
soit F, + R, = P,
la force
R, =Fcosp-Psina
R, =Pcosa-Fsinp
des
schéma 5
remarque
:
comme Rt = p R,, on peut calculer Rt à l’aide de la relation
:
R,=pR,=p(Pcosa-Fsinp)
b) Résolution
Principe de l’inertie
:
par la méthode
P+F+l?,+R,=O
- oroiections sur l’axe x’x
valeurs algébriques
avec
P,=-Psino:
F,=+Fcosp
=0
- uroiections sur l’axe v’v
valeurs algébriques
:
:
P x+ Fx+Rtx+Rn,=
:
-Psina+Fcosp-Rt
dite “des projections”
0
Rnx = 0
1 Rt=Fcosp-Psina
:
Py+
Fy+Rty+Rny=
0
Rtx=
-Rt
(
:
avec
Py=-Pcosa
-Pcosa+
Fsinfl+Rn
Fy=+Fsin
=0
/3
Rny = + R,
Rty= 0
Rn =Pcosa-FsinB
Comme Rr = p Rn on a
R,=pR,
- anulication numériaue
Rt = F COS45” - P sin 1.5”
=p(Pcosa-Fsinp)
:
Rn = P
COS
15”. F sin 45”
Rt=I* Rn
Fcos 40” - P sin 15” =,u (PC~S lS’- F sin 40”)
On peut donc en tirer la valeur de F
F = P [ ~1COS15” + sin 15”)
COS 40” + p sin 40”
Calcul de Rn
:
Calcul de Rt
:
= 339,36 N
soit
R, = P COS15”- F sin 40” = 633,80 N
Rt= ,uR,
=0,05*634=
31,7N
1
F=339N
1
Rn=634NI
m
Cette valeur correspond à la valeur des forces de frottement.
Valeur de R
:
R* = Rt* + Rn’
R = 634,59 N
1
Calculons la valeur de l’angle fait parR avec la perpendiculaire
R= 635 NI
à la piste:
tan y = Rt/ Rn = 0,05 d’oit
11 Exemoles
mathématiaue
de difficultés
rencontrées
d’ordre
war les Dhvsiciens.
a) La détermination de l’angle entre P et P, pose le problème des
angles à côtés perpendiculaires
mathématique.
Cependant,
qui ne fait plus l’objet d’un enseignement
on peut raisonner comme le suggère la figure
1
suivante.
b) Le passage de
:
P,+F,+F,+F,+R,+R,=6
pose un problème de justification
à
P,+F,=O
et
P,+F,+ii,
aux professeurs de physique
,
=O
cependant les
élèves l’admettent facilement.
c) La trigonométrie élémentaire dans le triangle rectangle soulève des
difficultés. On peut noter que l’on demande implicitement
aux élèves de
travailler dans des triangles alors qu’ils voient des vecteurs (voir schéma)
d) Dans la résolution dite “des projections”, la principale difficulté pour
les élèves est la recherche des coordonnées des vecteurs.
111
Ouelques
enseignées
écarts
entre
les mathématiques
et les mathématiaues
utilisées
Dar les
physiciens.
a) Vocabulaire:
On pourra noter dans ce texte l’utilisation des mots
système
pente
valeur algébrique
valeur
b) Certains vecteurs en physique,
:
inconnu
ici par exemple F, ont un point
d’application localisé ( qui peut être difficilement déplacé
! )
alors que d’autres
comme R n’en ont pas.
Tous les vecteurs ont une droite d’action qu’il ne faut pas confondre avec la
direction.
c) Dans la résolution par décomposition
de vecteur, on notera l’usage
conjoint du cadre vectoriel et du cadre géométrique.
d) On laisse aux professeurs de mathématiques,
séance d’enseignement
livres de mathématiques.
le soin de comparer cette
de physique, avec certains exercices proposés dans les