Systèmes Dynamiques [3mm] Analyse et
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Systèmes Dynamiques [3mm] Analyse et
Plan du cours Plan de la séance 1 Introduction + Calcul différentiel 2 Exercices de Calcul différentiel (3h de TD) 3 Théorie générale des ED : 4 Cas linéaire autonome : 5 Linéarisation du flot 2 Équations linéaires (non autonomes) 3 Conséquences Différentielle du flot Équations affines Cas des ED linéaires périodiques x 0 (t) = Ax (t) Linéarisation & ED linéaires non autonomes δx 0 = Df (x (t)) · δx 6 x 0 (t) = f x (t) 1 & x 0 (t) = A(t)x (t) Équilibres et stabilité, x 0 = f (x ) vs δx 0 = Df (x0 ) · δx 1 / 16 2 / 16 Rappels sur le flot Proposition x 0 (t) = f x (t) , Flot = application φt : v C 1 sur Ω f Supposons xv (·) définie sur [0, t] (ED) Alors φt définie sur V ⊂ Ω voisinage de v , et φt : V −→ φt (V) (= voisinage de xv (t)) 7−→ xv (t), où xv (·) = sol. maximale de (ED) t.q. xv (0) = v . Ex (cas linéaire) : Si f (x ) = Ax , ( ⇔ t ∈ Jv ). est une bijection continue. Autrement dit, φt = e tA v 7→ xv (·) est continue sur V. [dépendance continue / cond. initiales] 3 / 16 4 / 16 Linéarisation du flot Plan de la séance Déf : L’équation linéarisée autour d’une sol. x (·) : J → Rn est y 0 (t) = Df x (t) · y (t), t∈J Théorème 1 Linéarisation du flot 2 Équations linéaires (non autonomes) 3 Conséquences Différentielle du flot Équations affines Cas des ED linéaires périodiques φt de classe C 1 et Dφt (v ) · δv = y (t), où y (·) solution de ( y 0 (s) = Df xv (s) · y (s) y (0) = δv v 7→ xv (·) est différentiable sur V Autrement dit, [dépendance différentiable / cond. initiales] Remarque : Forme de l’équation linéarisée : y 0 (t) = A(t)y (t) où A(t) = Df x (t) → ED linéaire non autonome 6 / 16 5 / 16 Existence et unicité ED linéaires x 0 (t) = A(t)x (t), Données : • • t∈J x 0 (t) = A(t)x (t), (ED) J intervalle de R, A : J → Mn (R) de classe • I sous-intervalle de J • ∀t ∈ I, (ED) Soit E l’ensemble des solutions de (ED). Ck, Proposition x (·) : I → Rn dérivable t.q. Solution : t∈J E est un espace vectoriel de dimension n. x 0 (t) = A(t)x (t). Déf : RA (t, s) : Rn −→ Rn x0 7−→ x (t), Théorème (Existence et unicité globales) Soient t0 ∈ J et x0 ∈ Rn . Il existe une unique solution x (·) de (ED) t.q. Résolvante = application linéaire où x (·) solution de (ED) t.q. x (s) = x0 . x (t0 ) = x0 . −→ Cette solution est définie sur tout l’intervalle J. RA (t, s) matrice (n × n) inversible. Solution générale de (ED) : 7 / 16 x (t) = RA (t, t0 ) x (t0 ) 8 / 16 Propriétés de la résolvante ∀ t0 ∈ J, RA (·, t0 ) = la solution de ∂ R (t, t ) = 0 A ∂t A(t) RA (t, t0 ) Moralité ; Il suffit de connaître RA (t, s) RA (t0 , t0 ) = I si A(·) est C k , alors t 7→ RA (t, t0 ) est C k+1 . Problème : en général, on ne sait pas la calculer ∀ t0 , t1 , t2 ∈ J, MAIS RA (t2 , t0 ) = RA (t2 , t1 ) ◦ RA (t1 , t0 ); on peut dire beaucoup de choses qualitativement Exemple : cas autonome Si A(t) ≡ A, RA (t, s) = e (t−s)A . 10 / 16 9 / 16 Plan de la séance Exemples tr A(t) ≡ 0 car −→ =⇒ det RA (t, s) ≡ 1, det RA (t, t0 ) = exp Z t tr A(u) du (voir TD). t0 RA (t, s) préserve le volume 1 Linéarisation du flot 2 Équations linéaires (non autonomes) 3 Conséquences Différentielle du flot Équations affines Cas des ED linéaires périodiques A(t) antisymétrique (pour tout t) =⇒ −→ RA (t, s) = rotation (pour tous t, s) kx (t)k constant Attention : en général, les valeurs propres de A(t) ne donnent AUCUNE indication sur les solutions 11 / 16 12 / 16 Différentielle du flot Exemple d’application : Champs à divergence nulle Rappel : divf (x ) = Dφt (v ) · δv = y (t), où y (·) solution de ( divf (x ) ≡ 0 y 0 (s) = Df xv (s) · y (s) y (0) = δv Conséquence : y (t) = A(t)y (t) Alors où =⇒ det Dφt (x ) = det R(t, 0) = 1 Soit Γ domaine de Rn , vol(Γ) = A(t) = Df xv (t) R Γ dµ. Transport de Γ par (ED) = φt (Γ), Soit R(t, s) = résolvante de l’ED linéarisée 0 ∂f1 ∂fn (x ) + · · · + (x ) = tr Df (x ) ∂x1 ∂xn Z Z vol φt (Γ) = dµ = φt (Γ) Dφt (v ) = R(t, 0) divf (x ) ≡ 0 =⇒ det Dφt (x )dµ. Γ vol φt (Γ) = vol(Γ). 13 / 16 14 / 16 ED linéaires périodiques ED affines x 0 (t) = A(t)x (t) + b(t) (cf TD) x 0 (t) = A(t)x (t) (ED) où A(·) T -périodique, Théorème (Variation de la constante) ∀t ∈ R c-a-d A(t + T ) = A(t) ∀t Propriété de la résolvante Toute solution de (ED) satisfait RA (t + T , s + T ) = RA (t, s) Z t x (t) = RA (t, t0 ) x (t0 ) + t0 RA (t, s) b(s)ds. Conséquence Comportement de x (t) quand t → +∞ ⇐⇒ celui de RA (T , 0)N x (0) quand N → +∞ où RA (t, t0 ) résolvante de x 0 (t) = A(t)x (t). Preuve. Poser y (t) = RA (t, t0 )−1 x (t) et dériver ... −→ dépend du module des valeurs propres de RA (T , 0) 15 / 16 (cf. TD) 16 / 16