Division euclidienne

Transcription

Spécialité TS
Divisibilité et congruences dans Z
Correction des exercices
2011-2012
Division euclidienne
Exercice 2 p 29
Les multiples de 53 sont de la forme 53×k avec k ∈ W.
Les multiples compris entre – 1027 et 1112 vérifient l'encadrement :
-1027
53k
Soit –
1027
k
53
Soit -19
k
1112
1112
53
20
40 entiers sont compris entre -19 et 20.
Il y a donc 40 multiples de 53 compris entre -1027 et 1112.
Exercice 6 p 29
a)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a3 + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b3
(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
b)
3 divise 3a²b + 3ab² car 3a²b + 3ab² = 3(a²b + ab²) et a²b + ab² est un entier.
Supposons que 3 divise a3 + b3
On utilise la propriété suivante :
Si c|a et c|b, alors c|(αa + β b)
Comme 3 divise a3 + b3 et 3 divise 3(a²b + ab²) alors 3 divise a3 + b3 + 3(a²b + ab²) = (a + b)3
Réciproquement, supposons que 3 divise (a + b)3
Comme 3 divise (a + b)3 et 3 divise 3(a²b + ab²) alors 3 divise (a + b)3 - 3(a²b + ab²) = a3 + b3
On a donc bien montré que 3 divise a3 + b3 si, et seulement si, 3 divise (a + b)3
Exercice 8 p 29
Si a divise n – 3 et a divise 2n + 1 alors a divise (2n + 1) – 2(n – 3)
Donc a divise 7.
Exercice 20 p 30
a) (n + 3)(2n – 7) + 15 = 2n2 – 7n + 6n – 21 + 15 = 2n² - n – 6.
1
Spécialité TS
b)
2011-2012
15
2n² - n – 6
= 2n – 7 +
n+3
n+3
Donc
2n² - n – 6
est un entier si et seulement si n + 3 divise 15.
n+3
C'est-à-dire si n + 3 = 3 ou n + 3 = 5 ou n + 3 = 15
Les entiers cherchés sont donc 0; 2 et 12.
Exercice 28 p 31
Soit n un entier qui répond à la question.
On a alors n = 7q + r avec q ∈ V et r ∈ V et 0
Si q = r alors n = 8q avec 0
r<7
q<7
Les entiers n cherchés sont donc 0; 8; 16;24; 32;40 et 48.
Exercice 38 p 31
a) On a a = 13q + 2 avec q ∈ V et b = 13q' + 11 avec q' ∈ V.
Alors : a + b = 13(q + q') + 13 = 13(q + q'+ 1)
Donc le reste de la division euclidienne de a + b par 13 est 0.
b) On a aussi : a² = (13q + 2)² = 169q² + 52q + 4 = 13(13q + 4) + 4
Donc le reste de la division euclidienne de a² par 13 est 4.
2
Spécialité TS
2011-2012
PGCD
Exercice 49 p 32
a) PGCG(n;3n) = n car n divise 3n.
b) PGCD(n;n²) = n car n divise n².
Exercice 53 p 32
On nomme a et b les deux entiers naturels cherchés avec a > b.
En reprenant les notations de la démonstration du cours de l'algorithme d'Euclide, on
construit les suites d'entiers naturels (rn) et (qn ) à partir de divisions euclidiennes
successives comme suit :
r0 = b
r1 = a – b×q0
r2 = r0 - r1×q1
r3 = r1 - r2×q2
r4 = r2 – r3q3
(rn) est une suite d'entiers naturels strictement décroissante.
Comme l'algorithme d'Euclide contient 3 restes non nuls, on doit avoir r4 = 0.
Comme PGCD(a;b) = 11 alors r3 = 11
Comme r4 = 0 alors r2 = r3×q3
Donc r3 divise r2.
On peut prendre r2 = 22.
On a alors r1 = r3 + r2×q2 = 11 + 22×q2
On peut prendre q2 = 1.
On a alors r1 = 33
D'où : b = r0 = r2 + r1×q1 = 22 + 33×q1.
On a alors b = 22 + 33 = 55
3
Spécialité TS
2011-2012
a = r1 + b×q0 = 33 + 55×q0
D'où a = 33 + 55 = 88.
Vérification :
a
b
r
88
55
33
55
33
22
33
22
11
22
11
0
Remarques :
•
Il existe bien sûr plusieurs couples solutions (a;b) (une infinité en fait)
•
Dans la solution proposée les différents entiers construits :
11 – 22 – 33 – 55 – 88 forment les premiers termes d'une suite de Fibonacci.
Exercice 54 p 32
a) D'après le lemme d'Euclide, on a PGCD(n; 2n + 5) = PGCD(n; 2n + 5 – 2n) = PGCD(n;5)
Démonstration détaillée :
Désignons par E l’ensemble des diviseurs communs à n et 2n + 5 et par E’ l’ensemble des
diviseurs communs à n et 5.
• Si d ∈ E, alors d divise n et 2n + 5 donc 2n + 5 – 2 × n
c’est-à-dire d divisant n et 5 appartient à E’.
• Si d ∈ E’, alors d divise n et 5 donc 2 × n + 5, d divisant n et 2n + 5 appartient à E’.
• Tout élément de E est élément de E’ et réciproquement
d’où E = E’ et donc les plus grands éléments de chacun de ses deux ensembles sont
égaux : PGCD(n ; 2n + 5) = PGCD(n ; 5).
b) Si n est un multiple de 5 alors 5 divise n et PGCD(n;5) = 5
Donc PGCD(n;2n + 5) = 5
Exercice 59 p 32
1) Si d | 7n² + 4 et d | n² + 1 alors d | 7(n² + 1) – 7n² + 4
4
Spécialité TS
2011-2012
Donc d | 3
Tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3.
2) a)
Si PGCD(a;b) = 3 alors 3 divise n² + 1.
Donc il existe un entier naturel k tel que n² + 1 = 3k
b)
Les restes possibles de la division euclidienne de n par 3 sont 0, 1 ou 2.
1er cas : n = 3q avec q ∈ V
n² + 1 = 9q² + 1 = 3(3q²) + 1 : n² + 1 n'est pas un multiple de 3.
2ème cas : n = 3q + 1 avec q ∈ V
n² + 1 = 9q² + 6q + 2 = 3(3q² + 2q) + 2 : n² + 1 n'est pas un multiple de 3.
2ème cas : n = 3q + 2 avec q ∈ V
n² + 1 = 9q² + 12q + 5 = 3(3q² + 4q + 1) + 2 : n² + 1 n'est pas un multiple de 3.
Conclusion : n² + 1 n'est pas un multiple de 3
Comme tout diviseur de commun à a et b est un diviseur de 3, alors leur plus
grand diviseur commun est aussi un diviseur de 3.
Les diviseurs de 3 dans V sont 1 et 3.
Donc PGCD(a;b) = 1 ou 3
Or comme on a montré que dans 2)a) PGCD(a;b) = 3
3 divise n² + 1
Par contraposition, comma 3 ne divise pas n² + 1 alors PGCD(a;b) ≠ 3.
Donc PGCD(a;b) = 1
Donc a et b sont premiers entre eux.
Exercice 65 p 33
a) a = (n - 1)(n + 3) et b = (n + 1)(n + 3)
b) PGCD(n + 1;n – 1) divise n + 1 et n – 1.
Donc PGCD(n + 1;n – 1) divise (n + 1) – (n – 1)
Donc PGCD(n + 1;n – 1) divise 2
Donc PGCD(n + 1,n – 1) = 1 ou 2
5
Spécialité TS
2011-2012
Si n est pair alors n – 1 et n + 1 sont deux entiers impairs consécutifs et PGCD(n + 1,
n – 1) = 1
Si n est impair alors n – 1 et n + 1 sont pairs et PGCD(n + 1; n – 1) = 2.
c) PGCD(a;b) = PGCD((n+3)(n-1);(n+3)(n+1)) = (n+3)×PGCD(n+1;n-1)
Si n est pair alors PGCD(a;b) = n + 3
Si n est impair alors PGCD(a;b) = 2(n + 3)
Exercice 73 p 33
On pose x = 8x' et y = 8y' avec x' et y' deux entiers premiers entre eux.
(En effet PGCD(x;y) = 8
PGCD(8x';8y') = 8
On a alors x² - y² = 5440
PGCD(x';y') = 1)
(x + y)(x – y) = 64×85
64(x' + y')(x' – y') = 64×85
(x' + y')(x' – y') = 85
Or 85 = 1×85 = 5×17, donc les couples (x';y') sont solutions des 2 systèmes :
x'

x'
+ y' = 85
– y' = 1
x' + y' = 17
ou 
x' – y' = 5
La résolution de ces deux systèmes conduit aux couples solution suivant :
(x';y') = (43;42) ou (x';y') = (11;6)
On vérifie que 42 et 43 d'une part et 6 et 11 d'autre part sont bien premiers entre
eux.
Les couples (x;y) solutions sont alors (x;y) = (344;336) ou (x;y) = (88;48).
Vérification :
•
344² - 336² = 5440 et PGCD(344;336) = 8
•
88² - 48² = 5440 et PGCD(88;48) = 8
Exercice 80 p 34
a) F =
n - 6 + 13 n – 6 13
13
=
+
=1+
n-6
n-6 n-6
n-6
Donc α = 1 et β = 13
6
Spécialité TS
2011-2012
b) F est un entier si n – 6 divise 13.
C'est-à-dire si n – 6 = 1 ou n – 6 = 13
Soit n = 7 ou n = 19
c) F n'est pas irréductible si PGCD(n + 7;n – 6) ≠ 1
Soit d = PGCD(n + 7;n – 6)
d divise n + 7 et d divise n – 6.
Donc d divise (n + 7) – (n – 6)
Soit d divise 13.
Donc d = 1 ou d = 13
Donc F n'est pas irréductible si d = 13.
13 divise n – 6; donc il existe un entier k tel que n – 6 = 13k
Soit n = 13k + 6 n ≥ 7 donc k ≥ 1.
7
Spécialité TS
2011-2012
Congruences
Exercice 82 p 34
a) 15123 = 3024×5 + 3
On écrit aussi 15123
3 (mod 5)
Le reste 3 correspond au point D.
Le point d'arrivée de M est donc le point D.
b) 15132 = 3026×5 + 2
On écrit aussi 15132
2 (mod 5)
Le reste 2 correspond au point C.
Le point d'arrivée de M est donc le point C.
Prolongement :
Avec la même méthode, déterminer le millionième chiffre du développement décimal du
1
rationnel .
7
1
≈ 0,142857 142857 142857 …..
7
Or 1 000 000 = 166666×6 + 4
Soit 1 000 000
4 (mod. 6)
1
Donc 8 est le millionième chiffre du développement décimal du rationnel .
7
Exercice 83 p 34
a) 27
5 [n]
27 = kn + 5 avec k ∈ W
kn = 22
n divise 22
Donc n = 2 ou 11 ou 22. (n ≥ 2)
b) 1000
1 [n]
1000 = kn + 1 avec k ∈ W
kn = 999
8
Spécialité TS
2011-2012
n divise 999
999 = 33×37
Donc n = 3 ou 9 ou 27 ou 37 ou 111 ou 333 ou 999.
c) 1331
0 [n]
1331 = kn avec k ∈ W
n divise 1331
1331 = 113
Donc n = 11 ou 121 ou 1331.
Exercice 87 p 34
Si n est un entier naturel impair alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k + 1.
Alors n² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
Or k(k + 1) est un nombre pair.
(En effet si k est pair alors k(k + 1) est pair et si k est impair k + 1 est pair donc k(k +
1) est encore pair.)
Donc il existe un entier naturel q tel que k(k + 1) = 2q
Donc n² = 8q + 1
Donc n² - 1 = 8q
Donc 8 divise n² - 1
Ou encore n²
1 [8].
Exercice 88 p 34
On utilise la propriété suivante :
Si n
a [mod m] alors n²
a² [mod m]
Par un raisonnement par disjonction des cas, présentons dans un tableau les restes de
la division euclidienne de n puis de n² par 5.
Reste de la division
0
1
2
3
4
0
1
4
9
16
euclidienne de n par 5
n²
? [mod 5]
9
Spécialité TS
0
1
4
euclidienne de n² par 5
2011-2012
4
1
(car 9
4
(car 16
[mod 5])
1
[mod 5])
Les restes possibles dans la division euclidienne de n² par 5 sont donc 0, 1 ou 4.
Présentons dans un tableau les restes de la division euclidienne de n puis de n3 par 7.
euclidienne de n par 7
n3
? [mod 7]
0
1
2
3
4
5
6
0
1
8
27
64
125
216
1
6
1
6
6
Car 64
Car 125
Car 216
1 [7]
6 [7]
[7]
3
euclidienne de n par
0
7
1
Car 8
1 [7]
Car 27
6 [7]
Les restes possibles dans la division euclidienne de n3 par 7 sont donc 0, 1 ou 6.
Exercice 91 p 34
a) 20
1 [5]
21
2 [5]
22
4 [5]
23
3 [5]
24
1 [5]
Soit k ∈ V, 24k
Alors 24k+1
1k
1 [5]
2 [5], 24k+2
4 [5], 24k+3
b) 2917 = 5×583 + 2 donc 2917
Donc 2917541
3 [5]
2 [5]
2541 [5]
Or 541 = 4×135 + 1
Donc 2917541
2 [5]
10
6
Spécialité TS
2011-2012
Exercice 101 p 35
82000 = (23)2000 = 26000 = 25×1200 = (25)1200
Or 25 = 32 et 32
10 [11] ou encore 32
Donc (25)1200
(-1)1200 [11] soit 82000
Donc 8×82000
8 [11]
Soit 82001 – 8
0 [11]
-1 [11].
1 [11]
Donc 82001 – 8 est divisible par 11.
Exercice 105 p 35
1) 20
1 [5]
21
2 [5]
22
4 [5]
23
3 [5]
24
1 [5]
Soit k ∈ V, 24k
Alors 24k+1
1k
1 [5]
2 [5], 24k+2
4 [5], 24k+3
3 [5]
2) a)
•
Si n = 4k, alors 2n + 1 = 4×(2k) + 1 et 22n+1
n + 1 = 4k + 1 donc 2n+1
Donc 22n+1 – 2n+1 + 1
•
1 [5]
Si n = 4k + 1, alors 2n + 1 = 8k + 2 + 1 = 4×(2k) + 3 et 22n+1
Donc 22n+1 – 2n+1 + 1
3 [5]
2 [5]
3–4+1
0 [5]
Si n = 4k + 2, alors 2n + 1 = 8k + 4 + 1 = 4×(2k + 1) + 1 et 22n+1
n + 1 = 4k + 3 donc 2n+1
Donc 22n+1 – 2n+1 + 1
•
2 [5]
2–2+1
n + 1 = 4k + 2 donc 2n+1
•
2 [5]
2 [5]
3 [5]
2–3+1
0 [5]
3 [5]
11
Spécialité TS
n + 1 = 4k + 4 = 4(k + 1) donc 2n+1
Donc 22n+1 – 2n+1 + 1
3–1+1
2011-2012
1 [5]
3 [5]
2) b)
•
Si n = 4k, alors 2n + 1 = 4×(2k) + 1 et 22n+1
n + 1 = 4k + 1 donc 2n+1
Donc 22n+1 + 2n+1 + 1
•
2 [5]
2+2+1
Donc 22n+1 + 2n+1 + 1
0 [5]
3 [5]
2 [5]
3+4+1
8
3 [5]
n + 1 = 4k + 3 donc 2n+1
Donc 22n+1 + 2n+1 + 1
•
5
Si n = 4k + 1, alors 2n + 1 = 8k + 2 + 1 = 4×(2k) + 3 et 22n+1
n + 1 = 4k + 2 donc 2n+1
•
2 [5]
3 [5]
2+3+1
1 [5]
n + 1 = 4k + 4 = 4(k + 1) donc 2n+1
Donc 22n+1 + 2n+1 + 1
2 [5]
3+1+1
3 [5]
1 [5]
0 [5]
Tableau récapitulatif :
n = 4k
22n+1 – 2n+1 + 1
n = 4k + 1
n = 4k + 2
n = 4k + 3
1
0
0
3
0
3
1
0
?
22n+1 + 2n+1 + 1
?
12

Division euclidienne

Transcription

Documents pareils

correction Devoir libre 17 3èmes

correction

Avec la calculatrice speciale collège

QUELQUES EXERCICES EN PLUS (1) Montrer que si a|b et b|c

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2005

Contrôle 2 Exercice 1 : Déterminer toutes les solutions dans de l

Exercice E8

SUJET NATIONAL – BAC S - 2001 B) EXERCICE 2 : Partie

DM n°1 de Mathématiques – CORRECTION : Troisièmes 1

Terminales S Cahier de textes Spécialité Mathématiques Livre