Mathématiques

Classe : 3A/B
DM 4
Correction
Mathématiques
Monsieur Maîtrechien veut aménager un enclos rectangulaire pour son chien. Il dispose de 21 m
de grillage qu’il imagine utiliser ainsi : le mur du jardin formera un côté de l’enclos et le grillage
les trois autres côtés.
Pour cela il a placé un premier piquet en A contre le mur. il hésite maintenant sur
l’emplacement du piquet B. En effet, il se demande si l’aire de l’enclos est toujours la même
quelle que soit la distance AB.
Partie I
1. Faire un schéma en vue de dessus.
2. L’aire de l’enclos est-elle toujours la même quelle que soit la distance AB ? Faire un
pronostic.
Il semblerait que l’aire change quand x change...
3. Vérifier ce pronostic en calculant l’aire pour AB = 2m puis pour AB = 3m.
A ABCD  AB BC
A ABCD  AB BC
 2 (21 2 2)
 3 (21 23)
 2 (21 4)
 3 (21 6)
 217
 315
 34 m 2
 45 m 2
4. Monsieur Maîtrechien veut en savoir plus sur la façon dont varie l’aire en fonction de AB.
Pour cela, il note AB = x et il écrit l’aire de l’enclos en fonction de x. Ecrire cette formule.
A ABCD  AB BC
 x  (21 2 x)
5. Contrôler si la formule du 3. donne bien l’aire de l’enclos quand x vaut 2m puis quand x vaut
3m.
Vu ci-dessus.
3ème
Partie II
Monsieur Maîtrechien veut que son chien ait le plus de place possible. Il a utilisé un tableurgrapheur pour faire afficher sur la première ligne des valeurs de x et sur la deuxième les valeurs
correspondantes de l'aire. Une valeur est effacée.
x
f(x)
1
19
2
34
3
45
4
52
5
55
6
54
7
49
8
...
9
27
10
10
1. Utiliser les valeurs indiquées par le tableur pour compléter:
f(4) = 52 f(5) = 55.
L’image de 6 est 54. L’antécédent de 49 est 7.
2. Calculer la valeur de l’aire pour x = 8.
Pour x = 8 on remplace dans la formule précédente :
f (8)  8(21 28)
 8 (2116)
 40 m 2
3. Quelle est la valeur maximum de l'aire lue dans le tableau?
La valeur maximale de l’aire lue dans le tableau est 55.
4. Pour quelle valeur de x est-elle trouvée?
On trouve cette valeur pour x = 5.
5. Est-on sûr que c'est la plus grande valeur possible de l'aire, quelle que soit la valeur de x?
Non, car il manque peut être des valeurs intermédiaires dans le tableau.
Partie III
Monsieur Maîtrechien a fait afficher, à l'aide du tableur, la courbe représentant la fonction f qui
à x fait correspondre l'aire de l'enclos.
55
47
34
2
3ème
2,5
3,3
7,5
8,5
Rappel : une lecture graphique doit être accompagnée d’un tracé sur le graphique.
1. Lire sur le graphique et compléter:
f(2,5) = 40
f( 2) = 34 et f( 8,5) = 34
2. Lire sur le graphique l'image de 3,3 puis le(s) antécédent(s) de 45.
f(3,3) = 47
les antécédents de 45 sont : 3 et 7,5
3. Lire sur le graphique quelle semble être la valeur maximum de l'aire.
La valeur maximum de l'aire semble être 55.
4. Est-on sûr que c'est le maximum quelle que soit la valeur de x?
On n’est pas sûr du résultat quand à son exactitude qui dépend de la précision du graphique.
En revanche on est sûr que c’est un maximum vu la forme de la courbe qui ne prend que des valeurs
inférieures à celle-ci.
3ème