y - Guillaume Speurt

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Résistance des matériaux, 2007
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Introduction
Définitions, hypothèses
Torseurs des efforts intérieurs
Principe d’équivalence
Moments d’une aire, moments statiques,
moments d’inertie
Traction et Compression
Bernoulli, St-Venant
Variation de températures
Pression interne
Force centrifuge
Influence du poids propre
Etat de contraintes
Cercle de Mohr
Energie de déformation
Etat bidimensionnel des contraintes
Axes et cercles de Mohr principaux
P.-E. Bourban, ResMat
Résistance des matériaux, 2007
Cisaillement
Etat de contraintes, énergie de déformation
Torsion circulaire
Etat de contraintes, isostatiques, énergie de déformation
Flexion
Rappels de statique, hyperstatique
Flexion simple, états de contraintes, déformations
Méthode des équations différentielles, déformées
Critères de performance
Concentrations de contraintes
Les limites de l’élasticité
Etudes de cas :
Rails, sertissage à chaud, corde d’escalade, réservoirs
sous pression, goupilles,
arbres creux, ressorts hélicoïdaux, poutres, etc….
Bibliographie
• A. Bazergui et al, Résistance des matériaux, Presses Internationales Polytechnique, Montréal, 2002
• W.A. Nash , Résistance des matériaux, Schaum's, ed. McGraw-Hill, 1998
• F. Frey, Traités de Génie Civil, PPUR
• M. Del Pedro, T. Gmur, Eléments de mécanique des structures, PPUR
• M.F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, 1992 et Traité des Matériaux, PPUR
• J.E. Gordon, Structures et matériaux, Pour la Science, 1994
• P. Agati, F. Lerouge, M. Rossetto, Résistance des matériaux, Dunod, 1999
• J. Goulet, J.-P. Boutin, Aide-mémoire, Résistance des matériaux, Dunod Paris, 1998
• + cf Bibliothèques
Introduction
Structures complexes de l’ingénierie
Théorie de l’élasticité
Résistance des matériaux
Mécanique des corps solides déformables
Détermination des contraintes et déformations
Calculs rigoureux
Difficultés mathématiques
Simplifications, expériences,comparaisons
Solutions utilisables
Elasticité (Hooke)
!
Concentrations de contraintes
+ plasticité
+ fluage, +fatigue, +endommagement….
Objectifs
Matériaux
Géométrie initiale
Température
Effets extérieurs
σ ε
Conception
• structures
• joints
(équilibre ou pas)
Valeurs et
leurs variations avec
position x,
temps t,
Température T…
Plasticité,
fluage,
fatigue…
Géométrie
résistante
σcrit , εcrit
Dimension critique
Approches
•
Théorie de l’élasticité
1. Relations σ(ε)
2. Conditions aux limites
⇒ analyse de cas particuliers
•
Résistance de matériaux
1. Cas simples d’efforts intérieurs
correspondant à des état de σ
typiques ( traction, flexion…)
2. Etude de cas complexes en les
combinant
S’appuie sur des essais expérimentaux
⇒ Caractérisation mécanique des
matériaux
⇒ Essais sur pièces réelles pour
vérification
Hypothèses (I)
• •
• •
• La continuité de la matière
Matière
solide et
continue
⇒
Atomes
Macro
P1
• L’homogénéité
P1
•
P2
•
P2
Homogène
• L’isotropie
P1
•
Isotropie
P1≠P2
P1=P2
interface
Hétérogène
P1 = P2
P1
P1 ≠ P2
•
•
P2
•
Anisotropie
P2
Hypothèses (II)
• Les déformations sont proportionnels aux contraintes
Hooke (1678)
σ = Eε
• Les déformations sont petites par rapport aux dimensions de l’objet étudié
σ
E
ε
Conditions d’équilibre de la statique
Σ F =0
Σ M =0
Définitions
forces surfaciques
σ ε
⎡N⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
forces externes locales F [ N ]
F1
F2
•
forces linéiques
forces massiques (gravité)
⎡N ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
⎡N⎤
⎢⎣ m3 ⎥⎦
forces électromagnétiques…
Efforts intérieurs
section
• Remplacer l’action de B par:
S
R = résultante des forces F
A
B
M = moment résultant appliqué au
centre de gravité de la section S
M
G
•
ri
•
R = Σ B Fi
R
Fi
M = Σ ri ∧Fi
Tenseurs des
efforts intérieurs
Efforts intérieurs
x, y , z > 0
M
Mf
M
→ M t torsion
→ M f flexion
Mt
x
N
T
R
R →
N
{
: traction, compression
effort normal
→
T{
efforttranchant dansOyz
y
z
: cisaillement
Efforts intérieurs
M fy
M fz
Mf
x
T
Tz
y
Ty
z
Contraintes
S
G
∆S
τy
y
Pa =
x
z
τz
σ: contrainte normale à ∆S
P
τ: contrainte tangentielle
P
{ = lim
Résultante
sur ΔS
↑
ΔP dP
=
ΔS dS
lim lorsque ΔS → 0
⎛ Kg
⎞
N
N
10N
5
;
MPa
=
;
1MPa
=
10bar;
1bar
=10
Pa;
=
=
10
MPa
=
100bar
⎟
⎜
⎝ mm 2 mm 2
⎠
m2
mm 2
Principe d’équivalence
L’action des forces intérieures spécifiques, c’est-à-dire des contraintes
agissant sur une section d’un solide en équilibre est équivalente à…
…l’action des forces extérieures appliquées sur l’une ou l’autre des parties
du solide séparées par la section considérée
Tenseurs des efforts intérieurs
N=
∫∫ σ ⋅ dS
S
Ty =
∫∫ τ
y
⋅ dS
z
⋅ dS
S
Tz =
∫∫ τ
S
M fy =
z•
∫∫ σ ⋅ z ⋅ dS
M fz
S
M f z = − ∫∫ σ ⋅ y ⋅ dS
S
Mt =
∫∫ (τ
S
z
⋅ y − τ y ⋅ z)dS
x
y
y
M fy
σ
z
Cas particuliers d’efforts intérieurs
Le tenseur se réduit à
• Traction/compression → si seulement si N ≠ 0
• Cisaillement → ssi T ≠ 0, τ
N >0 traction sur A de B
N<0 compression
σ constante sur S
constante en grandeur et direction sur S
• Torsion simple → ssi M t ≠ 0, composante tangentielle varie en intensité et direction
• Flexion simple → ssi
M f ≠ 0 et
T sont perpendiculaires
• Flexion pure → ssi M f ≠ f(x) = cste, T=0
Systèmes de masses coplanaires
• Moments statiques (1er ordre)
mi
M S = Σ mi ⋅ ri
M Sx = Σ m i ⋅ y i
I = Σ mi ⋅ ri
Ix = Σ m i ⋅ y i
ri = ri
2
Iy = Σ m i ⋅ x i 2
• Moment centrifuge ou produit d’inertie
Ix y = Σ m i ⋅ x i y i
ri
par rapport à Ox
•Moments d’inertie (2ème ordre)
2
y
O
G (ξ,η)
s
x
• Le Centre d’inertie G(ξ,η) est le point où la masse totale M donne le
même M S que celui des mi
M ⋅ s = Ms
⇒
Σ mi ⋅ x i M sy
ξ=
=
M
M
M sx
η=
M
Σ mi ⋅ ri
s=
Σ mi
y
mi
ri
G (ξ,η)
s
O
On peut montrer que M S est nul par rapport à un axe passant par G
x
Moments d’une aire plane
(caractéristiques géométriques des sections)
• Moments statiques
MS =
∫ r ⋅ dS
S
M Sx =
∫ y ⋅ dS
S
M Sy =
∫ x ⋅ dS
S
• Moments d’inertie
I=
∫r
S
Ix =
2
∫y
⋅ dS
2
⋅ dS
2
⋅ dS
S
Iy =
∫x
S
I = Ix + Iy = I polaire
S=
∫ dS
S
• Moment centrifuge
Ixy =
∫ x ⋅ y ⋅ dS
S
Exo: Centres d’inertie
B
y
x
G(ξ,η) =?
dy
dS
y
H
x
O
4R
3π
R
x
O
Exo: Moment d’une aire plane
Moments d’inertie d’une section rectangulaire par rapport à O et G
Cas A: origine O’ sur un des sommets
y’
Ix' =
B
H
∫ y' ⋅dA = ∫
2
A
dy’
G
y’
O’
dA
H
x’
0
H B3
Iy' =
3
I = Ix' + Iy'
Ix' y' =
H B
∫ x'⋅y'⋅dA = ∫ ∫
A
BH 3
y' ⋅B ⋅ dy' =
3
2
0 0
B 2H 2
x'⋅y'⋅dx'dy'=
4
Moment d’une aire plane: translation des axes
Moment d’inertie d’une section rectangulaire par rapport à O et G
Cas B: origine O≡ G
Translation des axes
y
y
y'
dA
dy
H
O ≡G
B
x
⇒
O
δ
b
O’
r
r'
a
x’
r' = δ + r
x'= x + a
y'= y + b
x
Ix' =
∫ y' ⋅dA = ∫ (y + b) dA = ∫ y dA + 2b ∫ ydA + b ∫ dA
2
2
2
2
A
Ix' = Ix + 2b ⋅ M sx + b 2 A
Idem pour Iy’,
même raisonnement pour Ixy
Si O ≡ G centre d’inertie
⇒ Ms=0
2
3
⎛
⎞
B
⋅
H
H
BH 3
2
Ix = Ix' − b A =
− ⎜ ⎟ BH =
⎝2⎠
3
12
Ix' = Ix + b 2 A
Iy' = Iy + a 2 A
Ix' y' = Ixy + abA
B
a=
2
et
H
b=
2
⇒
B 3H
Iy = Iy' − a A =
12
B2 H 2 B H
Ixy = Ix' y' − abA =
−
BH = 0
4
2 2
2
Car les axes xy sont principaux d’inertie
Rotation des axes et moments principaux d’inertie
y
v
dA
x
u
r
y
v
A
u
θ
x
O
I u = ∫ v 2 dA
Rotation ≡
u = x cosθ + y sin θ
v = y cosθ − x sin θ
= cos 2 θ ∫ y 2 dA + sin 2 θ ∫ x 2 dA −2sin θ cos θ ∫ x ydA
= cos 2 θ I x + sin 2 θ I y − 2sin θ cos θ I xy
avec la trigonométrie
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
1
Ix +
I y − sin 2θ I xy
=
2
2
2
1
1
I u = (I x +I y ) + (I x −I y )cos 2θ − I xy sin 2θ
2
2
idem pour I v
Iv =
1
(I x +I y ) − 1 (I x −I y )cos 2θ + I xy sin 2θ
2
2
Rotation des axes et moments principaux d’inertie
I u et I v oscillent autour de la valeur moyenne
Ix + Iy
2
en dérivant I u et I v par rapport à 2θ :
−
d Iu
d Iv
=+
d (2θ )
d( 2θ)
les extrema sont donnés par
2I xy
d
= 0⇒tg 2θ = −
d( 2θ)
Ix − Iy
Cette relation est satisfaite pour 2 valeurs de θ entre 0 et π qui correspondent à 1 maximum I1 et
un minimum I2 qui sont les moments principaux d’inertie.
Les axes correspondant avec θ satisfaisant la relation sont les axes principaux d’inertie pour
lesquels le moment centrifuge I12 est nul par définition.
Moments d’inertie
• Moments statiques
MSx , MSy
• Moments d’inertie
Ix , Iy , Ip=Ix+Iy
• Moment centrifuge ou produit d’inertie
• Centre d’inertie G(ξ,η)
• Axes principaux d’inertie
Ixy
θ =0
Ix max=I1
Iy max=I2
tg2θ = −
θ =π
2 Ixy
Ix − Iy
Moments d’inertie
B
y
O
B
3
BH
Ix =
3
B3H
Iy =
H
3
B 2H 2
x Ix y = 4
y
O≡ G
y
y
π D4
64
=
4
Ix =
π
4
(R
e
H
x
Re
π R4
y
x’
O
B
Ri
x
Ix = Iy =
x
H
BH 3
Ix =
12
B 3H
Iy =
12
Ix y = 0
4
− Ri
4
)
BH 3
Ix =
4
⎛π 8 ⎞
Ix' = ⎜ − ⎟R 4
⎝ 8 9π ⎠
y
y
O
x
1
Ix = Iy = πR 4
8
Ix y = 0
O≡ G
x
BH 3
Ix =
36
x
Appuis 2D
Bedford, 2003
Appuis 3D
Bedford, 2003
Exercices: rappels de statique
Exercices: Moments

y - Guillaume Speurt

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