Corrigé des exercices facultatifs du TD 7
Transcription
Corrigé des exercices facultatifs du TD 7
ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 7 EXERCICE 5: Probabilités conditionnelles – Plus difficile D'après Mathématiques Terminale S obligatoire éditions Didier 2002. Un groupe de 22 personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B Le premier samedi, 8 personnes vont voir le film A, les autres vont voir le film B. Le deuxième samedi, 4 personnes décident de revoir le film A, 2 vont revoir le film B et les autres vont voir le film qu'ils n'avaient pas vu la semaine précédente. o n s o rt! 8 /2 2 A1 A le 1 e r s a m e d i 4 /8 = 1 /2 4 /8 = 1 /2 A2 A le 2 è m e sam edi B2 B le 2 è m e sam edi 1 4 /2 2 B1 B le 1 e r s a m e d i 6 /7 2 /1 4 = 1 /7 A2 A le 2 è m e sam edi B2 B le 2 è m e sam edi Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne du groupe: 1)Quelle est la probabilité que cette personne ait vu deux fois le film A P ( A1 ∩ A2) = (8/22) x (4/8) = 0,18 2) Quelle est la probabilité que cette personne ait vu deux fois le film B P ( B1 ∩ B 2) = (14/22) x (1/7) = 0,09 3) Quelle est la probabilité que cette personne ait vu les films A et B dans n'importe quel ordre Par complémentarité: P (( A1 ∩ B 2) ∪ ( B1 ∩ A2)) = 1 − ( P ( A1 ∩ A2) + P ( B1 ∩ B 2) = 1 – (0,18 + 0,09) = 0,73 ou directement P (( A1 ∩ B 2) ∪ ( B1 ∩ A2)) = (8/22)x(1/2) + (14/22)x(6/7) = 0,73 EXERCICE 6 – Probabilités conditionnelles – Plus difficile ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page2/6 D'après Mathématiques Terminale S obligatoire éditions Didier 2002. Quand on téléphone chez Camille, on a 9 chances sur 10 de tomber sur son répondeur. Elle l'utilise systématiquement lorsqu'elle est absente et 1 fois sur 3 lorsqu'elle est chez elle. 1)Appeler x la probabilité que Camille soit absente de chez elle, faire le schéma en arbre et calculer x. C a m ille x 1 -x a b s e n te p ré s e n te 0 1 1 /3 p a s d e ré p o n d e u r R e p o n d e u r 2 /3 p a s d e ré p o n d e u r ré p o n d e u r On sait que P(Répondeur) = 9/10 = 0,9 Or P(Répondeur) = x+(1/3)(1-x) donc x + (1/3) (1 – x ) = 0,9 soit x + 0,33 – 0,33 x = 0,9 0,67 x =0,9 – 0,33 0,67 x = 0,57 x = 0,57 / 0,67 = 0,85 2)Quelle est la probabilité de pouvoir parler avec Camille lorsqu'on l'appelle? C a m ille 0 ,8 5 0 ,1 5 a b s e n te 1 R epondeur p ré s e n te 0 d é c ro c h e 1 /3 ré p o n d e u r 2 /3 d é c ro c h e C'est qu'on a pas le répondeur et qu'elle est là, mais comme elle met toujours le répondeur quand elle s'absente, c'est la probabilité de ne pas avoir le répondeur: P(parler avec Camille) = P(pas de répondeur) = 1 – P(Répondeur) = 1 – 0,9 = 0,1 ou bien P(parler avec Camille) = (0,15 )(2/3) = 0,10 ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page3/6 3)Luc appelle Camille et il tombe sur le répondeur. Quelle est la probabilité qu'elle soit pourtant chez elle? On cherche P(Présente /Répondeur) P(Présente∩Répondeur) = (1/3) x 0,15 = 0,05 P(Répondeur) = 0,9 P(Présente/Répondeur) = P(Présente∩Répondeur) / P(Répondeur) = 0,05 / 0,9 = 0,056 moins de 6%...donc peu de chances qu'elle soit là répondeur branché, en fait elle n'est presque jamais là!!! EXERCICE 7 D'après Mathématiques Terminale S obligatoire éditions Didier 2002. Une maladie atteint 3% d'une population donnée. Un test de dépistage donne les résultats suivants: - chez les individus malades, 95% des tests sont positifs (les autres sont négatifs) - chez les individus non- malades, 99% des tes sont négatifs (les autres sont positifs) in d iv id u 3% 97% m a la d e 95% p o s it if s a in 5% n é g a tif 1% p o s it if 99% n é g a t if 1)Quelle est la probabilité d'avoir un test positif? Formule des probas totales, mais directement sur le schéma P(Positif) = 95% x 3% + 1% x 97% = 0,0382 2) quelle est la probabilité d'avoir un test négatif? P(négatif) = 1 – 0,0382= 0,9618 3)Quelle est la probabilité d'être malade alors que le test est négatif? P(Malade/Négatif) = P(Malade∩Négatif) / P(Négatif) P(Malade∩Négatif) = 5% x 3% = 0,0015 D'où P(Malade/Négatif) = 0,0015/0,9618 = 0,00156 Environ 1,6 ‰ (1,6 pour 1000) 4) quelle est la probabilité de ne pas être malade alors que le test est positif? P(Sain/Positif) = P(Sain∩Positif) / P(Positif) ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page4/6 P(Sain∩Positif) = 97% x 1% = 0,0097 D'où P(Sain/Positif) = 0,0097/0,0382 = 0,2539 Environ 25% EXERCICE 8- Probabilités conditionnelles D'après Gérald Baillargeon. Probabilités et Statistiques Editions SMG Selon un des responsables de l'information du sevice de la région de Laval, 4% des personnes contrôlées lors des barrages routiers excèdent la norme légale du taux d'alcoolémie.. Selon les statistiques de la police: - 95 fois sur 100, l'alcootest se révèle positif lorsqu'une personne dépasse la norme légale - 98 fois sur 100, l'alcootes se révèle négatif lorsqu'une personne ne dépasse pas la norme légale - Quelle est la probabilité qu'une personne devant se soumettre à l'alcootest excède réllement la norme légale lorsque l'alcootest est positif? individu 4% 96% Taux d'alcoolémie trop fort 95% positif T aux d'alcoolémie légal 5% 2% négatif 98% positif négatif P(Alcoolémie trop fort / Test positif) = P(Alcoolémie trop forte ∩ test positif) / P(Test positif) = 0,04 * 0,95 / (0,04 * 0,95 + 0,96 * 0,02) = 0,038 / 0,05720 = 0,66 EXERCICE 9 - Probabilités conditionnelles D'après Gérald Baillargeon. Probabilités et Statistiques Editions SMG a) Un distributeur canadien d'appareils scientifiques pour les laboratoires environnementaux, industriels et pharmaceutiques recherche fréquemment des personnes expérimentées dans la vente d'instrumentation de haute technologie. D'après les responsable des ressources humaines de cette firme, 80% des candidatures sont en mesure de combler efficacement les postes disponibles alors que 20% ne peuvent le ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page5/6 faire adéquatement. Pour assurer une meilleure sélection, un test d'aptitude a été préparé par la compagnie de manière telle qu'une personne pouvant oeuvrer efficacement au sein de la compagnie a 85% de chances de réussir ce test alors qu'une personne ne pouvant combler un poste efficacement n'a que 20% de chances de résussite. Personne 80% 20% non Compétente Compétente 85% test positif 15% test négatif 20% test positif 80% test négatif a) Quelle est la probabilité de réussir le test d'aptitude? P ( test positif) = 0,80 * 0, 85 + 0,20 * 0,20 = 0,72 (formule des probabilités totales) b) Quelle est la probabilité que cette personne passe avec succès le test d'aptitude et ne puisse œuvrer efficacement au sein de la compagnie? P (Non compétente ∩ Test positif) = 0,20 * 0,20 = 0,04 c) Une personne n'a pas réussi le test d'aptitude. Quelle est la probabilité que cette personne ait quand même été efficace au sein de la compagnie? P ( Compétente / Test négatif) = P(Compétente ∩ test négatif) / P(Test négatif) = 0,80 * 0,15 / (1 – 0,72) = 0,43 EXERCICE 10 – Dans le sondage précédent, on interroge les sujets sur deux croyances - Le paradis : globalement 30% des sujets disent y croire (évènement P) - L’enfer 15% des sujets disent y croire (évènement E) - 10% des sujets disent croire aux deux On assimile probabilité et pourcentage. Faire un schéma en « patates ». ADP1 © Mireille Lagarrigue Université Paris Descartes 2009-2010 Licence de Psychologie Page6/6 15% 30% Paradis Enfer 15-10=5% les deux 30-10=20% 10% 1) Les évènements P et E sont-ils indépendants ? P(P)*P(E)=0.30*0.15=0.045=4.5% P(P∩E)=10% Donc P(P∩E)≠P(P)*P(E) les évènements ne sont pas indépendants, ils sont dépendants 2) Quelle est la probabilité pour qu’une personne croyant au paradis croie aussi à l’enfer P ( E ∩ P ) 10% 1 P( E / P) = = = = 0.33 = 33% P( P) 30% 3 3) Quelle est la probabilité pour qu’une personne qui ne croit pas au paradis croie à l’enfer ? P ( E ∩ nonP ) 5% 5 P ( E / nonP ) = = = = 0.0714 = 7.14% P (nonP ) 70% 70 4) Formaliser les probabilités recueillies et calculées en les indiquant sur les flèches de l’arbre ci-dessous non E non P Enfer (E) 0 /7 65 Enfer(E) 2/3 1/3 Paradis (P) 0. 70 5/70 0. 30 Croyance non E 5) Sachant qu'une personne interrogée ne croit pas à l’enfer, quelle est la probabilité pour qu’elle ne croie pas non plus au paradis ? P (nonP ∩ nonE ) 0.70 * (65 / 70) P (nonP / nonE ) = = = 0.7647 ≈ 76% P (nonE ) 1 − 0.15