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Corrigé 2009
Mathématiques BTS Groupement A1
Proposition de corrigé réalisé par les membres du site http://www.aidexam.com
Exercice 1 :
m
o
Partie A :
1. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre
Dans cette question
 P(5)
donc
x
e
id
a)
b) La démarche utilisée est la suivante :
:
tt p
Alors prenons
Alors prenons no = 9
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
2. La loi de Poisson est approximée par une loi normale de paramètres
:
é
T
a)
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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b)
m
o
)
x
e
id
donc,
:
tt p
Partie B :
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
1. Y suit une loi binomiale.
a) Ses paramètres sont :
é
T
On peut également calculer
b)
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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2.
a) La loi de probabilité de Z est une loi binomiale.
b)
m
o
Partie C :
1.
x
e
id
a)
b)
:
tt p
2.
a)
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
é
T
b)
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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Exercice 2
Partie A :
Soit s1 (t ) +
∫
t
0
s1 (u )du = U (t )
1. On applique les transformations directement :
S1 ( p ) +
m
o
S1 ( p ) 1
=
p
p
pS1 ( p ) + S1 ( p ) = 1
( p + 1) S1 ( p) = 1
Donc : S1 ( p ) =
2. On retourne à l’originale de S1(p) :
s1 (t ) = e − tU (t )
Partie B :
Soit s2 (t ) +
∫
t
0
s2 (u )du = U (t ) − U (t − 1)
:
tt p
a) Représentation graphique de e2 :
h
c
lé
é
g
r
a
x
e
id
1
p+ 1
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
é
T
b) On applique les transformations directement :
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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S 2 ( p) +
S2 ( p) 1 1 − p
= − e
p
p p
pS 2 ( p ) + S 2 ( p ) = 1 − e − p
pS 2 ( p ) + S 2 ( p ) = 1 − e − p
( p + 1) S 2 ( p) = 1 − e − p
m
o
1 − e− p
S 2 ( p) =
p+ 1
c) Retour à l’original
x
e
id
a)
s2 (t ) = e − tU (t ) − e − ( t − 1)U (t − 1)
s2 (t ) = e − tU (t ) − e − t + 1U (t − 1)
b)
-
Pour t < 0 :
On a U (t ) = U (t − 1) = 0 , donc on a bien s2 (t ) = 0
-
:
tt p
Pour 0 ≤ t < 1 :
w
// w
.c
m
a
.a
w
On a U (t ) = 1 et U (t − 1) = 0 , donc on a bien s2 (t ) = e − t
-
Pour t ≥ 1 :
h
r
su
On a U (t ) = U (t − 1) = 1 , donc s2 (t ) = e − e − t + 1 = e − t − e × e − t = − e − t ( e − 1)
−t
On a bien s2 (t ) = − e − t ( e − 1)
é
g
r
a
d) Sens de variation de la fonction s2 sur l’intervalle ]1 ; + ∞ [ :
h
c
(
é
l
Sur cet intervalle : s2 (t ) = − e − t ( e − 1)
)
Donc s '2 (t ) = − − e − t ( e − 1) = e − t ( e − 1)
é
T
e − 1 ≈ 1.72 > 0 et e − t > 0 , donc s '2 (t ) > 0 , ce qui signifie que s2 (t ) est strictement croissante sur l’intervalle
]1 ; + ∞ [
e)
s 2 (1+ ) − s 2 (1− ) = − e − 1 ( e − 1) − e − 1 = − e × e − 1
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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s 2 (1+ ) − s 2 (1− ) = − 1
m
o
x
e
id
:
tt p
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
é
T
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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f)
a)
t
s2(t)
1
-0,63
1,1
-0,57
1,5
-0,38
2
-0,23
2,5
-0,14
m
o
b) Document réponse figure 2 :
x
e
id
Partie C :
Soit s 3 (t ) +
∫
t
0
:
tt p
s 3 (u )du = U (t ) − U (t − 1) + U (t − 1.1)
1.
a)
-
Sur ]- ∞ ; 0[ :
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
U (t ) = U (t − 1) = U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 0
On a bien e3 (t ) = e 2 (t )
-
h
c
lé
Sur [0 ; 1[ :
U (t ) = 1 et U (t − 1) = U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 1
é
T
On a bien e3 (t ) = e 2 (t )
-
Sur [1 ; 1.1[ :
U (t ) = U (t − 1) = 1 et U (t − 1.1) = 0 , donc e3 (t ) = 0
On a bien e3 (t ) = e 2 (t )
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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En conclusion on a bien e3 (t ) = e 2 (t ) sur l’intervalle ]- ∞ ; 1.1[
m
o
x
e
id
:
tt p
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
.c
m
a
.a
w
h
r
su
é
T
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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b) Pour t ≥ 1 :
On a U (t ) = U (t − 1) = U (t − 1.1) = 1 , donc e3 (t ) = 1
c) Représentation graphique de e3 :
m
o
x
e
id
w
// w
.c
m
a
.a
w
2. Sens de variation de la fonction s3 sur l’intervalle ]1.1 ; + ∞ [ :
(
−t
1.1
Sur cet intervalle s 3 (t ) = e 1 − e + e
(
−t
1.1
Donc s' 3 (t ) = − e 1 − e + e
)
(1 − e + e ) = 1.29 > 0
1.1
− e− t < 0
é
g
r
a
:
tt p
)
h
r
su
Par conséquent, s ' 3 (t ) < 0 , ce qui signifie que s3(t) est strictement décroissante sur l’intervalle ]
1.1 ; + ∞ [
h
c
lé
3.
é
T
(
) (
s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = e − 1.1 1 − e + e 1.1 − − e − 1.1 ( e − 1)
)
s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = e − 1.1 − e × e − 1.1 + 1 + e × e − 1.1 − e − 1.1
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
s 3 (1+ ) − s 3 (1− ) = 1
9/10
4.
a)
t
s3(t)
1,1
0,43
1,5
0,29
2
0,17
2,5
0,11
b) Document réponse figure 3 :
x
e
id
:
tt p
h
c
lé
é
g
r
a
w
// w
m
o
.c
m
a
.a
w
h
r
su
é
T
Correction Maths BTS Groupement A1 2009
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