propositions de sujets pour un exposé du séminaire de la détente

PROPOSITIONS DE SUJETS POUR UN
EXPOSÉ DU SÉMINAIRE DE LA DÉTENTE
MATHÉMATIQUE
le fichier pour ceux qui sont intéressés pour faire un exposé au
séminaire mais ne peuvent pas se décider sur un sujet
si vous voulez faire un exposé, écrivez-nous:
[email protected]
Intelligence artificielle, jardinage et l'équation de Poincaré
L'idée initiale dans la conception d'algorithmes d'intelligence artificielle au jeu d'échecs est de
demander à l'ordinateur d'explorer toutes les possibilités des deux joueurs jusqu'à un nombre de
coups prescrit N, d'évaluer les positions et de remonter l'arbre en supposant que chaque joueur
joue le coup qui forcera la meilleure issue. Malheureusement comme le nombre de coups est, par
exemple, souvent supérieur à 10, la complexité de cet algorithme est d'au moins 10^N. Pour
espérer explorer des positions plus lointaines, des raffinements sont proposés, dont le plus
classique est l'algorithme « alpha-beta ». Cet algorithme élague l'arbre des possibilités, réduisant
ainsi la complexité de l'algorithme. Il serait intéressant d'expliquer l'algorithme et d'en étudier la
complexité moyenne. Cette étude fait intervenir des probabilités ainsi que l'équation fonctionnelle
de Poincaré.
Mots clef : Algorithmique, Probabilités
Ressources :
https://chessprogramming.wikispaces.com
J. Pearl, The Solution for the Branching Factor of the Alpha-Beta Pruning Algorithm and its
Optimality
G. Baudet, On the branching factor of the Alpha-Beta pruning algorithm
La vie dans S^3
Dans son livre d'introduction à la topologie tridimensionnelle, Thurston décrit le point de vue d'un
habitant de la sphère, du tore et de l'espace hyperbolique tridimensionnels. Plusieurs vidéos ont
été réalisées à ce sujet dans le cas de complémentaires de noeuds. L'objet de cet exposé serait de
tenter de donner une vision intuitive de la géométrie de ces espaces, d'un point de vue intrinsèque.
Mots clef : Topologie, Géométrie
Ressources :
http://www.youtube.com/watch?v=AGLPbSMxSUM
W. Thurston, Three-dimensional Geometry and Topology, Vol.1
Autour de la quasi-périodicité
Imaginez un pendule avec une période (1!) dont la masse contient un pendule de période (2!) dont
la masse contient un pendule de période (3!) et ainsi de suite. Vous venez en fait de construire la
limite projective des R/((n!)Z). Peut-on définir la masse du « pendule limite » ? Quelle serait sa
trajectoire ? Serait-elle périodique ? Le phénomène de quasi-périodicité apparaît dans différents
domaines en mathématiques, notamment dans le mot de Fibonacci et les pavages de Penrose.
L'objet de l'exposé serait de dégager ce phénomène dans différents objets et, si possible, de les
mettre en relation. Par exemple, les pavages de Penrose sont l'analogue du mot de Fibonacci en
plus haute dimension.
Mots clef : Pavages, Quasi-périodicité
Fractales et calcul numérique
Choisissez un polynôme réel de degré 3. L'algorithme de Newton permet d'approximer ses racines
en choisissant un point de départ sur le plan et en le laissant converger vers l'une des trois.
Maintenant coloriez chaque point du plan selon la racine vers laquelle ils convergent. Si vous
avez bien choisi votre polynôme, vous verrez apparaître trois zones du plan, imbriquées et
entrelacées de manière fractale. Cette figure possède plusieurs propriétés remarquables, qui
pourraient être discutées lors d'un exposé.
Mots clef : Fractales, Numérique, Dynamique
Dessinez votre nom avec un automate
Commencez par assembler des barres rigides pour former un mobile articulé. Une fois le mobile
assemblé, secouez-le et étudiez l'espace des positions balayées par un point de la structure.
Quelles figures peut-il tracer ? Le théorème de Kempe donne une réponse plutôt satisfaisante à
cette question.
Mots clef : Géométrie, Algèbre
th
Ressources : A.B. Kempe, On a General Method of describing Plane Curves of the n degree by
Linkwork
Le tambour de Chladni
Placez une poignée de sable sur un tambour et faites le vibrer régulièrement. Selon les fréquences
de vibration et selon la forme du tambour, vous verrez différentes formes apparaître. D'où
viennent-elles ? Voilà une question pour un analyste ! On modélise la surface du tambour comme
la solution d'une EDP. Lors du mouvement, le sable s'accumule sur les zones du tambour qui
vibrent le moins, c'est-à-dire l'ensemble nodal de la solution de l'EDP. L'exposé pourrait se centrer
sur les raisons du choix de ce modèle et esquisser les idées entrant en jeu lors de la résolution du
problème.
Mots-clef : Ondes, Analyse, Laplacien
Ressources :
http://images.math.cnrs.fr/Les-figures-sonores-de-Chladni.html
http://images.math.cnrs.fr/Autour-des-surfaces-de-Willmore.html
et les liens en bas de page
La fibration de Hopf comme espace de modules de triangles complexes
Derrière ce titre un peu trop long se cache une idée simple. A quoi ressemble l'espace des triplets
de nombres complexes non-tous égaux ? Après quelques identifications que certains appelleront
naturelles, on tombe vite sur une application S^3->S^2 qui se révèlera être la fameuse fibration de
Hopf. Cet exposé serait une occasion de parler des différents visages de cette fibration, mais
surtout de la regarder sous cet angle original. Quelle serait l'image des triangles équilatéraux, des
triangles rectangles ? Etc.
Mots-clef : Nombres complexes, Géométrie, Algèbre
Ressources :
J.C. Hausmann, Triangles on planar Jordan C^1 curves
Dilemmes et démocraties
On parle souvent de « la Démocratie » comme d'un système de gouvernement bien précis. Mais
en fait, quand on en vient à choisir un mode de scrutin, les avis divergent rapidement. Un tour,
deux tours, liste de préférence ou un seul candidat, coalitions etc. Appliqués par une même
population, ces différents protocoles peuvent aboutir à des résultats très différents. Y a-t-il une
« meilleure » méthode ? Peut-on réconcilier les exigences de chacun en choisissant bien le mode
de scrutin ? Des mathématiciens se sont penchés sur le sujet et ont tenté d'apporter une réponse à
la question.
Mots-clef : Géométrie, Algèbre
Ressources :
http://images.math.cnrs.fr/La-democratie-objet-d-etude.html
et les liens en bas de page
Tapis roulants et groupe de Heisenberg
Imaginez que le sol autour de vous est couvert de tapis roulants infinis parallèles tels que la
vitesse relative d'un tapis roulant à celui de gauche est de 2km/h. Alors, la structure de vos
déplacements dans l'espace-temps est décrite par le groupe de Heisenberg. Ce groupe, pourtant
simple à définir, possède plusieurs propriétés remarquables. Par exemple, en un certain sens, il est
bidimensionnel, mais dans un autre, il est de dimension 3, et enfin, on peut le voir comme étant de
dimension 4 ! Par ailleurs, il décrit l'une des huit géométries élémentaires tridimensionnelles de
Thurston. Comment ce groupe apparaît il dans la parabole initiale ? Quel sens donner à ses
différentes dimensions ? Quelle est sa géométrie ? Autant de questions que vous pourrez explorer
à partir de ce sujet d'exposé.
Mots-clef : Géométrie, Algèbre, Groupes
Ressources : demander à Sébastien Martineau
Ombres insolites
Connaissant l'ombre d'un objet selon l'angle d'où vient la lumière, pouvez-vous le reconstruire ?
Toute ombre provient-elle d'un objet ? En imposant des contraintes sur l'objet, telles que la
convexité, la simple connexité etc. on obtient une foule de questions mathématiques, dont
certaines sont résolues et d'autres non. Les outils utilisés sont souvent ceux de la théorie
géométrique de la mesure.
Mots-clef : Théorie de la mesure, Géométrie
Ressources :
http://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.html
http://mathoverflow.net/questions/39127/is-the-sphere-the-only-surface-all-of-whose-projectionsare-circles-or-can-we (La réponse de Bill Thurston en particulier)
Problèmes de chapeaux
Personne ne connaît l'origine des problèmes de chapeaux (wikipedia suggère qu'ils seraient
apparus vers 1961). Les problèmes de chapeaux ont en commun qu'ils mettent en scène des
personnages portant un couvre-chef et doivent en deviner les caractéristiques. Souvent, il s'agit de
sages ou de prisonniers (l'un n'exclut pas l'autre!) qui doivent répondre correctement à une
question sous peine de mort. Il y a beaucoup de variantes différentes (nombre fini ou infini de
personnages, axiome du choix, réponse simultanée ou successive, etc.) et l'orateur pourrait
présenter celles qui l'inspirent le plus.
Mots-clef : Enigmes, Logique
Ressources :
T. Khovanova, A Line of Sages
E. Brown and J. Tanton, A Dozen Hat Problems
Pliages et découpages
Il est possible, à partir d'une série de pliages et d'un seul coup de ciseaux, de découper n'importe
quel polytope convexe dans une feuille de papier. C’est un théorème assez récent!
Mots-clef : Pliages, Géométrie
Ressources :
E. Demaine, M. Demaine, A. Lubiw, Folding and Cutting Paper
site web d’Eric Demaine http://erikdemaine.org