Mathématiques 7 année Module 4 Le cercle et l`aire Durée

Transcription

Mathématiques
7e année
Module 4
Le cercle et l’aire
Durée approximative : 20 heures
[C]
[L]
[RP]
[V]
Communication
Liens
Résolution de problèmes
Visualisation
[CE] Calcul mental et estimation
[R] Raisonnement
[T] Technologie
Programme d’études – Mathématiques 7e année
Module 4
129
130
Module 4
Module 4- Le cercle et l’aire
Module 4 Aperçu
Introduction
Les élèves étudieront plusieurs idées importantes se rapportant aux cercles et à leurs aires. Le
développement de formules du calcul de l’aire dans ce module s’effectuera à partir de for
mules de calcul de l’aire de formes géométriques, qui ont été présentées au cours des années antérieures.
Des activités d’exploration seront utiles pour renforcer la compréhension de ces nouvelles formules. Voici
ce qui est important dans ce module :
• Le nombre π et le fait qu’il représente le rapport de la circonférence de n’importe quel cercle sur le
diamètre de ce même cercle.
• La conservation de l’aire; un objet peut être di visé en un nombre infini d’objets plus petits qui
peuvent être réarrangés. L’aire combinée de ces objets plus petits reste égale à l’aire de l’objet
original.
• Des objets peuvent être créés au moyen d’un vaste éventail de techniques.
• L’aire (qui est bidimensionnelle) se calcule en multipliant deux quantités unidimensionnelles
ensemble.
• Un graphique circulaire est une méthode d’organisation et de représentation des données. On
l’utilise pour comparer les parties d’un tout avec ce tout. Deux graphiques circulaires l’un à côté de
l’autre peuvent servir à comparer des parties de deux touts distincts, par exemple le pourcentage de
voitures bleues en Nouvelle-Écosse et le pourcentage de voitures bleues à Terre-Neuve et au
Labrador.
Contexte
Les élèves étudieront plusieurs définitions géométriques ainsi que le mode de construction de divers objets
géométriques. Ils utiliseront une gamme d’outils et de techniques pour réaliser ces constructions. Ce module
met l’accent sur l’exploration et la création pratique.
Les élèves établiront les formules de calcul de l’aire du triangle, du parallélogramme et du cercle. On ne leur
donnera pas directement ces formules. Des activités d’exploration seront utilisées afin que les élèves
puissent apprendre et comprendre la conservation de l’aire. Ces activités permettront aux élèves de
généraliser des formules donnant la surface du triangle, du parallélogramme et du cercle.
Les élèves collecteront des données, les organiseront puis les utiliseront pour créer des graphiques
circulaires. Ils utiliseront des graphiques circulaires pour résoudre des problèmes.
Pourquoi ces concepts sont-ils importants?
L’acquisition d’une bonne compréhension du cercle et de l’aire permettront aux élèves :
• De se rendre compte que l’on trouve des cercles partout, que ceux-ci soient créés par l’homme ou
existent naturellement.
• D’être prêt à travailler avec des cylindres et des sphères dans les années suivantes.
• De comprendre le concept de dimension, la longueur et la largeur étant unidimensionnelles, la
surface étant bidimensionnelle et le volume étant tridimensionnel. Les élèves seront mieux capables
de comprendre les concepts d’aire d’une surface et de volume ainsi que ce qui les différencie.
• De comprendre les informations qu’ils voient dans les médias et les divertissements.
« Ne dérangez pas mes cercles! » [Traduction] Archimède (environ 287-212 av. J.-C.)
Module 4
131
Domaine : La forme et l’espace (la mesure)
Résultat d’apprentissage général: Résoudre des problèmes à
l’aide de mesures directes ou indirectes
Résultats d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir :
7FE1. Démontrer une
compréhension du cercle en:
- décrivant les relations
entre le rayon, le
diamètre et la
circonférence de cercles;
- établissant la relation
entre la circonférence et
pi;
- déterminant la somme
des angles au centre d’un
cercle;
- construisant des cercles
d’un rayon ou d’un
diamètre donné;
- résolvant des problèmes
qui comportent des
rayons, des diamètres et
(ou) des circonférences
de cercles.
[C, L, R, V]
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
Les élèves ont étudié les concepts du cercle, de l’aire et du périmètre
au cours des années précédentes. On suppose que les élèves peuvent :
• reconnaître des cercles, des triangles et des parallélogrammes;
• calculer l’aire d’un rectangle;
• mesurer un périmètre en unités linéaires et mesurer une aire en
unités carrées.
Un cercle est constitué de tous les points dans un plan situé à une
même distance d’un point donné appelé centre.
Le rayon est la distance du centre
d’un cercle à n’importe lequel de
ses points.
Le diamètre est un segment de
droite passant par le centre du
cercle et dont les extrémités se
terminent sur le cercle. Le
diamètre est deux fois plus long
que le rayon.
La circonférence d’un cercle est la longueur du contour ou le
périmètre d’un cercle.
Pi, π , est défini comme étant le rapport de la circonférence sur le
diamètre.
π=
Circonférence
Diamètre
Remarque : ce rapport devrait être découvert à la suite d’une
investigation.
Pi, π , est un nombre décimal non périodique, infini, qui ne peut pas
être exprimé sous forme d’une fraction (c’est-à-dire un nombre
irrationnel).
Pi, π = 3,1415926535897932384626433832795... La valeur de π
est souvent arrondie à 3,14, bien que la plupart des calculatrices aient
un bouton π . Toutefois, pour les estimations, les élèves peuvent
utiliser 3 comme valeur approximative de π .
132
Module 4
Domaine: La forme et l’espace (la mesure)
Stratégies d’évaluation
Module 4
Ressources/Notes
133
spécifiques
Remarque :
entre le rayon, le
diamètre et la
pi;
cercle;
diamètre donné;
qui comportent des
de cercles.
[C, L, R, V]
(suite)
Indicateur de rendement
7FE1.1 Illustrer et
expliquer que le diamètre
d’un cercle donné est égal
au double de son rayon.
134
La circonférence, le rayon et le diamètre sont mesurés en unités
linéaires telles que le mm, le cm, le m, le km. etc.
Les angles sont mesurés en degrés, une révolution complète est
égale à 360o.
OA , OB , OC sont des rayons.
AC est le diamètre.
AC est égal à deux fois la longueur de OA , OB
ou OC .
Le diamètre est toujours égal à deux fois le
rayon.
Ou d = 2r .
Il est important d’étudier la relation entre le diamètre et le rayon
d
dans les deux sens soit d = 2r et = r .
2
Module 4
Ressources/Notes
Journal
1. Faites une liste des sports dans lesquels des cercles jouent un
rôle important. Estimez le rayon de chacun des cercles que vous
décrivez.
2. Répondez aux questions suivantes en vos propres mots.
A. Avez-vous besoin de matériel de manipulation pour
mesurer chacune des trois grandeurs (rayon,
circonférence, diamètre)?
B. Si vous connaissez le rayon, que pouvez-vous faire pour
obtenir le diamètre?
C. Si vous connaissez le diamètre, que pouvez-vous faire
pour obtenir le rayon?
*Chenelière Mathématiques 7
Leçon 4.1
Module 4: Le cercle et l’aire
GE: ProGuide, p. 4–6
FR : 4.10, 4.15, 4.24
FRO 19
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 130–132
Cahier d’activités et
d’exercices – FR : p. 80–81
* Légende
GE : Guide d’enseignement
(ProGuide)
ME : Manuel de l’élève
FR : Feuille reproductible
FRO : Feuille reproductibleOutil
Module 4
135
spécifiques
entre le rayon, le
diamètre et la
pi;
cercle;
diamètre donné;
qui comportent des
de cercles. [C, L, R, V]
(suite)
7FE1.2 Tracer un cercle
dont le rayon ou le
diamètre est donné, avec
ou sans l’aide d’un
compas.
136
Bien qu’il existe de nombreuses manières de tracer un cercle
parfait, certaines d’entre elles fonctionnent mieux que d’autres
dans certaines situations. Voici quelques techniques :
Méthode 1 (sans compas, en se servant du diamètre)
Trouvez un objet parfaitement rond ayant la taille souhaitée. Le
bord extérieur devrait être lisse et sans bosses.
Placez cet objet sur une feuille de papier et maintenez-le
fermement avec une main pendant que vous tracez avec l’autre.
Méthode 2 (sans compas, en se servant du rayon)
Attachez un morceau de ficelle à la partie inférieure d’un crayon.
Maintenez avec vos doigts la ficelle à une distance du crayon égale
au rayon.
Pressez sur la ficelle contre le papier à l’endroit où le centre du
cercle doit se trouver. Tracez autour du centre tout en maintenant
la ficelle tendue et le crayon vertical.
Module 4
Ressources/Notes
Crayon et papier
Exercez-vous à tracer des cercles avec un compas. Tracez un cercle
ayant un rayon de 10 cm, un autre ayant un rayon de 5 cm et un
autre ayant un rayon de 3 cm.
Technologie/Ressources Web (en anglais)
1. Étudiez aussi la Circle Song au site :
http://www.teachertube.com/view_video.php?viewkey=2fca331
343d8eade9ec2
L’adresse du site est : www.teachertube.com
2. Étudiez aussi la conversation sur les cercles au site :
http://www.teachertube.com/view_video.php?viewkey=6ef15c2
72415206e1028
L’adresse du site est : www.teachertube.com
3. Étudiez aussi les exemples d’agroglyphe (crop circle) au site :
http://youtube.com/watch?v=9bmrN9rIdro
L’adresse du site est : www.youtube.com
Chenelière Mathématiques 7
Leçon 4.1
(suite)
Module 4
137
spécifiques
Méthode 3 (avec un compas, en utilisant le rayon)
entre le rayon, le
diamètre et la
pi;
cercle;
diamètre donné;
qui comportent des
de cercles. [C, L, R, V]
(suite)
7FE1.2 Tracer un cercle
dont le rayon ou le
diamètre est donné, avec
ou sans l’aide d’un
compas. (suite)
138
Fixez un
crayon taillé
dans la pince
d’un compas
de façon que la
pointe du
compas et la
pointe du
crayon
soient au
même niveau
lorsque le
compas est
fermé.
Ajustez l’angle
des branches de
façon à ce que
l’ouverture
donne le rayon
souhaité. Veillez
à ce que
l’articulation soit
bien serrée afin
que le rayon ne
change pas
lorsque vous
tracez le cercle.
Appuyez sur le
compas afin que
la pointe reste à
l’endroit où vous
voulez avoir le
centre du cercle.
Abaissez
doucement la pointe du crayon sur le papier. Maintenez le compas
droit à sa partie supérieure. Tournez le compas pour que le crayon
trace un cercle.
Module 4
Ressources/Notes
Leçon 4.1
(suite)
Module 4
139
spécifiques
Les indicateurs de rendement suivants sont traités ensemble.
- décrivant les relations entre
le rayon, le diamètre et la
- établissant la relation entre
la circonférence et pi;
- déterminant la somme des
angles au centre d’un
cercle;
diamètre donné;
qui comportent des rayons,
des diamètres et (ou) des
circonférences de cercles.
[C, L, R, V]
(suite)
Indicateurs de rendement
7FE1.3 Illustrer et expliquer
que la circonférence d’un
cercle donné est
approximativement le triple
de son diamètre.
7FE1.4 Expliquer que pour
tout cercle, pi est le rapport
de la circonférence au
diamètre (
C
), dont la valeur
d
est approximativement égale
à 3,14.
7FE1.5 Résoudre un
problème contextualisé
donné comportant des
cercles.
140
Circonférence : La circonférence d’un cercle est la
longueur du contour ou le périmètre du cercle.
Pour une circonférence de C unités, et un diamètre
de
d unités ou un rayon de r unités, C = π d ou
Rappel
C = 2π r .
Le concept de pi ayant une valeur très proche de 3 peut être très
bien exploré avec l’activité ci-dessous. Cette activité figure à la
page 133 du manuel mais il manque une colonne pour le calcul
du rapport de la circonférence sur le diamètre; la table ci-dessous
comporte cette colonne.
En dehors de cette adaptation, l’activité du manuel devrait être
effectuée de la façon indiquée.
Objet
Circonférence
Rayon
Diamètre
C
d
Boîte de
conserve
Assiette
Frisbee
Fournissez ces objets ou d’autres objets ronds aux élèves et
demandez-leur d’effectuer les mesures nécessaires pour remplir
la table. Ils peuvent utiliser leurs connaissances des indicateurs
de rendement précédents et calculer certaines des grandeurs en
effectuant une mesure avec du matériel de manipulation.
En fin de compte, nous voulons que les élèves réalisent que le
rapport est une valeur constante proche de 3. Le rapport
3,141592... est π .
On encourage d’utiliser une calculatrice pour déterminer la
valeur du rapport dans cette activité et dans tout autre exercice
ultérieur.
Module 4
Ressources/Notes
Activité de groupe
Les élèves peuvent jouer au jeu appelé La manie des cercles
(feuille reproductible 4.6).
Organisateur graphique (pliable)
L’enseignant peut choisir d’utiliser un organisateur pliable à 3
onglets pour aider les élèves à organiser leurs notes. (Se reporter à
l’annexe 4-A (version française à venir) pour des instructions sur la
manière de créer cet organisateur pliable) www.ed.gov.nl.ca/edu/.
Journal/Entrevue
Posez aux élèves les questions suivantes :
A. Quelle est la meilleure estimation de la circonférence d’un Leçon 4.1
cercle ayant un diamètre de 12 cm? Justifiez votre choix.
(suite)
(i) 6 cm
(ii) 18 cm
(iii) 36 cm
B. Quelle est la meilleure estimation de la circonférence d’un Chenelière Mathématiques 7
Leçon 4.2
cercle ayant un rayon de 10 cm? Justifiez votre choix.
(i) 30 cm
(ii) 60 cm
(iii) 90 cm
Papier et crayon
FR : 4.16, 4.25
1. Jackie construit une table de salle à manger ronde autour de
FRO 20
laquelle 12 personnes pourront s’asseoir. Elle veut que chaque
CD-ROM Module 4 FR
personne dispose autour de la table d’un espace de 60 cm le
long de sa circonférence. Déterminez le diamètre de la table de
ME: p. 133–137
salle à manger.
Une entreprise fabrique des assiettes ayant un diamètre de 30 cm.
d’exercices – FR :
Elle désire avoir un bord en or autour de chaque assiette.
pp. 82–83
Déterminez la longueur une bordure dorée pour un service de 8
assiettes. Si la bordure coûte 4 $ par cm, quel serait le coût pour
toutes les assiettes (exemple avec un niveau de difficulté plus
élevé)?
Module 4
141
spécifiques
7FE2. Développer et
appliquer une formule pour
déterminer l’aire de :
- triangles;
- parallélogrammes;
- cercles.
[L, R, RP, V]
L’aire peut être définie comme étant la mesure de l’espace à
l’intérieur d’une région ou le nombre d’« unités » carrées
nécessaires pour couvrir cette région.
Il est essentiel que les élèves comprennent la notion de
conservation de l’aire. Elle signifie qu’un objet conserve sa taille
lorsque son orientation est modifiée, ou encore lorsqu’il est divisé
en plus petites parties et que ces parties sont réarrangées.
7FE2.1 Illustrer et
expliquer comment on
peut déterminer l’aire
d’un parallélogramme à
partir de l’aire d’un
rectangle.
7FE2.2 Généraliser une
règle pour créer une
formule permettant de
déterminer l’aire de
parallélogrammes.
7FE2.3 Résoudre un
problème donné
comportant l’aire de
triangles, de
parallélogrammes et/ou de
cercles.
142
Aire d’un parallélogramme
Les élèves devraient se rendre compte que l’aire d’un
parallélogramme est identique à l’aire du rectangle associé
(rectangle ayant la même base et la même hauteur). Les élèves
devraient être capables de déterminer la base ou la hauteur à partir
de l’aire et de l’autre dimension. Ils devraient se rendre compte
que plusieurs parallélogrammes peuvent avoir la même aire.
Le diagramme ci-dessus correspond à une activité exposée à la
page 139 du manuel de l’élève. Cette activité établit la formule de
l’aire d’un parallélogramme en se conformant à la règle de
conservation de l’aire.
Remarque :
Les élèves devraient savoir que pour un rectangle,
Aire = (base )(hauteur ) . Les élèves peuvent exprimer cette notion
sous la forme longueur x largeur.
Cette activité permet de déterminer que l’aire du parallélogramme
associé est aussi donnée par la formule Aire = (base )(hauteur ) .
Module 4
Ressources/Notes
Papier et crayon
1. Demandez à l’élève de tracer sur du papier quadrillé un
parallélogramme ayant une aire de 24 cm2. Demandez-lui
ensuite de créer trois autres parallélogrammes dont la base a une
longueur différente, mais qui ont la même aire.
Étudiez aussi l’aire d’un parallélogramme au site :
A. http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=108
B. http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?id=47
L’adresse du site Web est : www.illuminations.nctm.org
Leçon 4.3
FR : 4.17, 4.26
FRO 23
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 139–142
pp. 84–86
Module 4
143
spécifiques
- triangles;
- cercles.
[L, R, RP, V] (suite)
7FE2.4 Illustrer et
expliquer comment on peut
déterminer l’aire d’un
triangle à partir de l’aire
d’un rectangle ou d’un
parallélogramme.
7FE2.5 Généraliser une
règle pour créer une
formule permettant de
déterminer l’aire de
triangles.
7FE2.3 Résoudre un
problème donné
triangles, de
cercles.
144
Les élèves devraient s’apercevoir que l’aire d’un triangle est égale à la
moitié de l’aire du parallélogramme associé. Ils devraient aussi être
capables d’associer cette idée à la relation entre les formules de calcul de
l’aire d’un parallélogramme et d’un rectangle. Les élèves peuvent utiliser
cette relation pour trouver l’aire d’un triangle. Ils devraient comprendre
que, tant que la base et la hauteur sont les mêmes, les aires de triangles
visuellement différents sont aussi les mêmes.
A=
bh
2
ou
r
Remarque : À la page 143 du manuel, il y a une activité Explore qui
approfondit le concept que l’aire d’un triangle est la moitié de l’aire du
parallélogramme associé. Une activité semblable de développement du
même concept utilisant des rectangles est présentée ci-dessous.
Explore : Détermination de l’aire d’un triangle.
1. Sur du papier quadrillé, tracez un rectangle ayant une base de 8 unités
et une hauteur de 5 unités.
2. Découpez ce rectangle avec des ciseaux.
3. Comptez le nombre de carrés dans le rectangle et demandez aux élèves
de noter que le nombre de carrés est l’aire du rectangle. Ceci renforce
l’idée d’unités carrées pour la mesure des aires.
4. Tracez une diagonale d’un coin du rectangle au coin opposé. Dites aux
élèves que cette droite s’appelle une diagonale. Découpez la feuille le
long de la diagonale pour diviser le rectangle en deux. Quelles sont les
formes qui ont été créées?
5. Placez ces deux formes l’une sur l’autre. Comment se comparentelles?
6. Comment l’aire d’un triangle se compare-t-elle à l’aire du rectangle
original?
7. Demandez aux élèves de suggérer une formule de l’aire d’un triangle
en leur rappelant que l’aire d’un rectangle est A = bh .
8. Demandez aux élèves d’inscrire leurs formules et de discuter en
groupe de leurs similarités et/ou différences.
Module 4
Ressources/Notes
Papier et crayon
1. Daniel vient d’acheter un voilier
d’occasion dont il faut remplacer
deux voiles. De combien de toiles
Daniel aura-t-il besoin s’il remplace
la voile A?
2. De combien de toiles à voile
Daniel aura-t-il besoin s’il remplace la voile B?
Rendement
Activité intitulée Area Diagram, qui a pour but d’étudier les aires
des rectangles et des triangles. (Se reporter à l’annexe 4-B.)
(version française à venir)
1. Activité Triangle Explorer de calcul de l’aire à :
http://www.shodor.org/interactivate/activities/TriangleExplorer
L’adresse du site Web est : www.shodor.org
2. Le site pour l’étude des triangles dont la base et la hauteur sont
constantes mais dont les formes sont différentes :
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=106
L’adresse du site Web est : www.illuminations.nctm.org
Module 4
Leçon 4.4
FR : 4.18, 4.27
FRO : 23, 25
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 143–147
pp. 87–89
145
spécifiques
- triangles;
- cercles.
Les élèves ont souvent tendance à mémoriser des formules que
nous utilisons en géométrie ou dans d’autres secteurs des
mathématiques sans vraiment les comprendre. La présente activité
se penche sur l’estimation de l’aire d’un cercle sans l’utilisation
d’une formule. Le développement d’une formule suivra. Cette
activité est exposée à la page 151 du manuel. Toutefois, elle
devrait se dérouler bien avant le développement de la formule de
l’aire du cercle. Ainsi qu’on peut le voir dans le texte, il s’agit
d’un objectif d’évaluation qui précède le développement de la
formule.
Activité
7FE2.6 Illustrer et
expliquer comment on
peut estimer l’aire d’un
cercle sans avoir recours à
une formule.
1. Chaque élève devrait avoir un morceau de
papier quadrillé.
2. En se servant d’un compas, chaque élève
dessine un cercle sur le papier quadrillé.
3. Chaque élève compte le nombre de carrés
à l’intérieur du cercle et estime l’aire.
4. Chaque élève trace un carré à l’extérieur
du cercle et calcule l’aire du carré.
5. Chaque élève trace un carré à l’intérieur
du cercle et calcule l’aire du carré.
6. Estimez l’aire du cercle en fonction du
carré intérieur et du carré extérieur. (Piste :
faites la moyenne des aires des deux carrés.)
7. Discutez des avantages et des inconvénients de cette méthode
de mesure de l’aire du cercle.
146
Module 4
Stratégies d’évaluation et d’apprentissage
Ressources/Notes
Activité de groupe (version française à venir)
Téléchargez la feuille de travail Estimating Areas of Circles. (Se
reporter à l’annexe 4–C.)
www.ed.gov.nl.ca/edu/
On développe la formule donnant l’aire du cercle en découpant un
cercle en de nombreuses sections « triangulaires » égales et en
agençant ces sections pour qu’elles aient approximativement la
forme d’un parallélogramme. La formule sera d’autant plus exacte
que le nombre de sections sera grand car l’espace à l’intérieur du
parallélogramme se « remplira ».
Mathématiquement, ceci est appelé la méthode
d’exhaustion. Cette méthode peut aussi être
utilisée pour estimer l’aire d’un cercle.
Demandez aux élèves d’estimer l’aire d’un cercle
en utilisant un octogone comme repère.
Remarquez que l’octogone remplit mieux le cercle
que le carré.
Il est nécessaire d’avoir un sac d’haricots pour la
partie suivante.
Demandez aux élèves de remplir le cercle avec le
plus grand nombre possible
d’haricots. Comme les haricots ont
une forme courbée, ils devraient
mieux remplir l’espace à l’intérieur
du cercle que l’octogone.
Leçon 4.5
FR : 4.19, 4.28
FRO 22
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 148–152
pp. 90–92
Placez les haricots utilisés par les élèves sur les carrés. Ces carrés
sont les quatre carrés du diagramme. On peut les appeler carrés-r,
car leurs côtés sont égaux au rayon du cercle. Comptez maintenant
le nombre de petits carrés couverts par les haricots pour obtenir une
estimation de l’aire du cercle.
Les élèves devraient avoir couvert plus de 3 des plus grands carrés.
En utilisant cette méthode, ils obtiennent une estimation d’environ
3 carrés-r.
Ceci est semblable à la formule connue de l’aire du cercle et donne
une estimation raisonnable.
Module 4
147
spécifiques
7FE2 Développer et
- triangles;
- cercles.
7FE2.7 Appliquer une
formule pour déterminer
l’aire d’un cercle donné.
7FE2.3 Résoudre un
problème donné
triangles, de
cercles.
Les élèves devraient établir la formule de l’aire du cercle en
étudiant le rapport entre un cercle coupé en petits morceaux égaux
et un parallélogramme. Le travail exploratoire effectué par les
élèves pour estimer les aires des cercles constitue aussi un
fondement au développement de la formule de l’aire du cercle.
L’activité Explore de la page 148 du manuel de l’élève est le
modèle figurant dans de nombreux manuels de cours et dans de
nombreux sites Web. L’activité Explore permet d’obtenir la
formule A = π r 2 .
ATTENTION : Les élèves N’ONT PAS encore étudié les
puissances ou les exposants. Lorsque nous établissons la
2
formule A = π r , on doit la présenter sous la forme
A = π × r × r . Le manuel de l’élève donne A = π r 2 , et
les enseignants devraient donc prendre des précautions
lorsqu’ils utilisent cette notation. Les élèves devraient
avoir vu cette notation lorsqu’ils ont étudié les unités
d’aire. Il ne s’agit pas d’un résultat spécifique.
148
Module 4
Ressources/Notes
Papier et crayon
1. M. McGowan a fait une tarte aux pommes dont le diamètre est
25 cm. Il a coupé cette tarte en 6 portions égales. Trouvez l’aire
approximative de chaque portion.
2. Le rayon du bord extérieur de la pièce
de deux dollars est 14 mm et son rayon
intérieur est 8 mm. Quelle est l’aire du
bord extérieur (exemple avec un niveau
de difficulté plus élevé)?
Journal
La maman de Jackie a décoré la chambre à coucher de Jackie et a
placé un tapis rond sur le plancher à côté du lit. Jackie vient
d’étudier les cercles dans sa classe de mathématiques et s’est
demandé quelle était l’aire du tapis. L’étiquette du tapis dit qu’il a
60 cm de diamètre. Elle a effectué les calculs suivants :
Leçon 4.5
(suite)
Les calculs de Jackie sontils raisonnables?
Expliquez pourquoi ils le
sont ou non.
Organisateur graphique (pliable)
Pour l’organisateur graphique appelé organisateur pliable à trois
volets, se reporter à l’annexe 4–D (www.ed.gov.nl.ca/edu/).
Les élèves peuvent conserver leurs notes concernant les trois
formes traitées dans ce module soit les parallélogrammes, les
triangles et les cercles. Des sujets tels que l’estimation, les
définitions et les formules de calcul de l’aire pourraient être inclus
afin de pouvoir être consultés plus facilement et rapidement.
Module 4
149
Domaine: La statistique et la probabilité (l’analyse de données)
Résultat d’apprentissage général : Recueillir, présenter et
analyser des données afin de résoudre des problèmes.
spécifiques
7SP3. Construire, étiqueter
et interpréter des
diagrammes circulaires
pour résoudre des
problèmes.
[C, L, R, RP, T, V]
Les graphiques circulaires sont semblables aux graphiques à
barres car ils fournissent des informations classées en catégories.
Les graphiques circulaires sont différents des graphiques à barres
car ils présentent les catégories comme étant des parties ou des
pourcentages d’un tout. Rappelez que les graphiques à barres
indiquent le nombre d’éléments se trouvant dans la catégorie et
non pas la partie du tout représentée par la catégorie. Dans un
graphique circulaire, les catégories sont représentées par des
secteurs et dans un graphique à barres, elles sont représentées par
des barres.
7SP3.1 Trouver et
comparer des diagrammes
circulaires dans divers
médias imprimés et
électroniques tels que les
quotidiens, les magazines
et Internet.
7SP3.2 Identifier les
caractéristiques
communes de diagrammes
circulaires telles que :
- les titres, les étiquettes
ou les légendes;
- la somme des angles
au centre d’un cercle
est égale à 360o;
- les données sont
présentées sous la
forme de pourcentages
d’un tout et la somme
de ces pourcentages
est égale à 100 %.
150
Vous pouvez comparer deux touts au moyen de deux graphiques
circulaires. Par exemple, un graphique circulaire peut représenter
le pourcentage de chaque groupe d’âges de personnes à l’intérieur
d’une ville et l’autre peut fournir les mêmes renseignements pour
la province. Comme les graphiques circulaires indiquent des
rapports plutôt que des quantités, un petit ensemble de données
peut être comparé à un grand ensemble de données. Cela est
impossible avec les graphiques à barres. (Van de Walle et Lovin,
2006, p. 324).
Le titre, la légende et les étiquettes (illustrés clairement à la page
157 du manuel de l’élève) sont essentiels à l’interprétation des
graphiques circulaires. On utilisera autant que possible des
données réelles pour interpréter ou tracer des graphiques
circulaires. Lorsque l’on crée des graphiques circulaires, les
données devraient en règle générale être exprimées en
pourcentages.
La somme des pourcentages de toutes les parties est toujours
100 %. De même, la somme des angles au centre est toujours 360o.
Remarque : Dans ce programme d’études, l’élève doit expliquer au
moyen d’une illustration que la somme des angles au centre d’un
cercle est égale à 360o. Cette question est présentée brièvement à
la leçon 4.7 du manuel de l’élève.
Module 4
Ressources/Notes
Portfolio
À la page 160 du manuel, il y a une section Réfléchis, qui devrait
constituer une activité appropriée pour les besoins de la recherche
et de la comparaison de graphiques circulaires dans divers médias
imprimés et électroniques tels que les journaux, les magazines et
Internet.
Van de Walle and Lovin,
2006, p. 324
Papier et crayon
Pour l’activité intitulée Parties d’un graphique circulaire, se
reporter à l’annexe 4–E (version française à venir).
Parties d’un graphique circulaire
Titre
Légende
Leçon 4.6
FR : 4.20, 4.29
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 156–160
pp. 93–95
Mike est en 7e année et il étudie les graphiques circulaires. Il doit travailler
assidûment pour continuer d’avoir des bonnes notes. Il a décidé de répartir son
temps d’études et les noter dans la table ci-dessous.
En vous servant des données de la table, étiquetez correctement le graphique
circulaire. Faites correspondre les pourcentages avec les secteurs correspondants
et choisissez un titre approprié pour nommer le graphique. Inscrivez la légende et
ombragez le graphique circulaire de la façon appropriée.
Mathématiques
Études sociales
Langue et arts
Sciences
Français
30 %
15 %
25 %
20 %
10 %
Module 4
Leçon 4.7
FR : 4.12, 4.21, 4.30
CD-ROM Module 4 FR
ME: p. 161–164
pp. 96–99
151
spécifiques
et interpréter des
pour résoudre des
problèmes.
[C, L, R, RP, T, V]
(suite)
7SP3.3 Exprimer les
pourcentages présentés
dans un diagramme
circulaire sous forme de
quantités afin de résoudre
un problème donné.
Dans le module 3, les élèves ont appris comment trouver le
pourcentage d’un nombre. Ils utiliseront cette compétence pour
résoudre des problèmes mettant en jeu des graphiques circulaires.
Les élèves devraient être capables d’interpréter un graphique
circulaire. Ils peuvent ensuite utiliser un pourcentage pour
déterminer quelle portion du groupe total correspond à ce
pourcentage.
Exemple :
Réacteurs nucléaires en exploitation en 2007
7SP3.4 Interpréter un
diagramme circulaire
donné afin de répondre à
des questions.
S’il y a en tout 435 réacteurs nucléaires en exploitation, combien y
en a-t-il aux États-Unis? (Piste : Calculez 24 % de 435.)
24 % équivaut à 0,24
Par conséquent, (0,24)(435) ≈ 104.
Il y a donc environ 104 réacteurs nucléaires aux États-Unis.
152
Module 4
Ressources/Notes
Papier et crayon
Pour l’activité intitulée Analyse des graphiques circulaires, se
reporter à l’annexe 4–F (version française à venir).
Leçon 4.6
Leçon 4.7
(suite)
Jan veut montrer que les ventes de lait au chocolat sont plus élevées
à la fin de la semaine, afin de commander plus de lait au chocolat
pour cette période. Il crée le graphique circulaire ci-dessus.
Analysez le graphique et répondez aux questions suivantes.
1. Quel pourcentage du lait est vendu le mercredi?
2. Identifiez un groupe de jours représentant environ la moitié du
total des ventes (il y a plusieurs réponses possibles).
Activité technique:
p. 165–166
3. A. Si un vendredi est un jour férié, expliquez comme cela
pourrait avoir une incidence sur la commande du lait au chocolat
de la semaine.
B. Dans une semaine régulière, 500 cartons de lait au chocolat
sont vendus. Combien devrait-on en commander si le vendredi
est un jour férié?
4. Si les ventes hebdomadaires de lait au chocolat s’élèvent à
200 $, à combien s’élèvent-elles le lundi?
5. Pourquoi les ventes de lait au chocolat augmentent
régulièrement à mesure que la semaine avance?
Module 4
153
spécifiques
Pourquoi un cercle a-t-il 360o?
- décrivant les relations entre
le rayon, le diamètre et la
- établissant la relation entre
la circonférence et pi;
- déterminant la somme des
angles au centre d’un
cercle;
diamètre donné;
qui comportent des rayons,
des diamètres et (ou) des
circonférences de cercles.
[C, L, R, V]
(suite)
Des peuplades anciennes qui vivaient en Mésopotamie
(maintenant le Sud de l’Iraq) ont inventé l’écriture, ont observé
les cieux et ont inventé un cercle de 360° pour décrire leurs
découvertes. Environ 3000 ans av. J.-C., les Sumériens ont
inventé l’écriture. Ils avaient aussi un calendrier datant de 2400
av. J.-C., qui divisait l’année en 12 mois de 30 jours chacun, ce
qui donnait 360 jours.
Ils ont observé la trajectoire circulaire annuelle du soleil dans le
ciel et ont déterminé qu’il fallait environ 360 jours pour le
parcours d’une année. Ils ont donc divisé la trajectoire circulaire
en 360 degrés pour suivre chaque jour le trajet complet du soleil.
C’est ainsi qu’ils en sont arrivés à un cercle de 360 degrés.
Le diagramme
n’est pas à
l’échelle
7FE1.6 Expliquer, à l’aide
d’une illustration, que la
somme des angles au
centre de tout cercle est
égale à 360o.
On notera que l’illustration est géocentrique et non pas héliocentrique
et qu’elle est donc inexacte. Toutefois, c’est de cette façon que la
majorité des anciens astronomes comprenaient le système solaire, ils
pensaient que le soleil tournait autour de la Terre.
Mais l’année a 365 jours et non pas 360. Il semble donc qu’il
manque cinq degrés. Pourquoi? Les normes des mesures
scientifiques de l’ancien temps n’étaient pas aussi précises
qu’elles le sont aujourd’hui. Trois cent soixante était aussi
facilement divisible en tiers, en quarts, en cinquièmes, en
sixièmes, etc. Cela facilitait les calculs effectués par les
mathématiciens.
154
Module 4
Ressources/Notes
Papier et crayon
1. Servez-vous d’un rapporteur et d’une règle pour créer et
classifier les angles suivants :
A. 30o
B. 107o
C. 180o
D. 220o
2. Dessinez un cercle en utilisant la méthode de votre choix et
trouvez son centre. Divisez ce cercle en 5 secteurs dont les
angles sont : 35o, 80o, 60o, 135o, 50o.
3. Plusieurs cercles sont divisés en 3 secteurs. Les angles au centre
de deux des secteurs sont donnés ci-dessous. Dans chaque cas,
déterminez la mesure du troisième angle au centre.
A. 55o, 117o
B. 91o, 74o
C. 1o, 163o
Leçon 4.7
Module 4: Le cercle et
l’aire
GE: ProGuide, pp. 35–38
FR 4.12, 4.21, 4.30
CD-ROM Module 4- FR
ME: pp. 161–164
pp. 96–99
Module 4
155
spécifiques
et interpréter des
pour résoudre des
problèmes.
[C, L, R, RP, T, V]
(suite)
7SP3.5 Créer et étiqueter
un diagramme circulaire
pour présenter un
ensemble de données avec
ou sans l’aide de la
technologie.
Remarque : Il est très important que la présentation et
l’interprétation des données soient traitées séparément. Lorsque
les élèves prennent le temps de créer des présentations de
données, ces présentations devraient aussi être utilisées pour
l’interprétation.
Le manuel de l’élève introduit cette idée au moyen d’un cercle
de pourcentage. Un cercle de pourcentage est un cercle divisé en
dixièmes, dans lequel chaque dixième est subdivisé en
centièmes.
L’aptitude à trouver le pourcentage d’un nombre et l’aptitude à
utiliser un rapporteur sont des compétences très utiles pour la
création traditionnelle de graphiques circulaires représentant des
données brutes.
La création d’un graphique circulaire avec un crayon et du
papier peut prendre beaucoup de temps et devrait toujours se
faire avec au moins une calculatrice servant à effectuer les
calculs laborieux des pourcentages et les conversions en degrés.
Une fois que les élèves ont dessiné des graphiques circulaires à
la main, on utilise la technologie pour en créer des nouveaux.
Les options technologiques sont, entre autres, Microsoft Excel,
divers sites Web et les calculatrices graphiques.
Une table de distribution des fréquences est utile pour organiser
les données lorsque l’on crée des graphiques circulaires.
Catégorie
(types de
tarte)
Pomme
Citron
Cerise
Noix de
coco
156
Fréquence
12
10
15
Fraction
du total
12/50
Fraction en
pourcentage
24%
% exprimé en
angle
(% × 360 )
o
o
86
13
Module 4
Activité de groupe
1. Toujours avec l’idée de faire appel à des données réelles ou
pertinentes pour les élèves, voici une liste d’enquêtes possibles
pouvant être effectuées dans une salle de classe pour créer un
graphique circulaire.
• Combien d’enfants y a-t-il dans votre famille?
• Quelle sorte d’animaux domestiques avez-vous?
• Durant quel mois êtes-vous né?
• Quelle est la couleur de vos yeux?
• Est-ce que le véhicule de votre famille est une voiture, un
camion, une camionnette ou un véhicule utilitaire?
• Quelle est votre équipe de hockey favorite?
Ressources/Notes
Leçon 4.7
(suite)
2. Formez un « graphique circulaire humain ». Demandez aux
élèves de choisir parmi quatre équipes de hockey celle qu’ils
préfèrent et de se regrouper pour que ceux qui préfèrent la même
équipe soient ensemble. Demandez aux élèves de former un cercle.
Fixez ensemble les extrémités de quatre longues ficelles en leur
milieu et tendez-les de façon à représenter des divisions (Van de
Walle et Lovin, 2006, p.324).
3. Demandez aux élèves de dessiner des graphiques à barres, de
les découper les barres et de les coller bout à bout avec du ruban
adhésif. Attachez les deux extrémités avec du ruban adhésif de
façon à former un cercle. Estimez où le centre du cercle se trouve,
dessinez des traits jusqu’aux points où les différentes barres se
terminent et tracez un cercle autour. Il est maintenant possible
d’estimer les pourcentages. (Van de Walle et Lovin, 2006, p.324).
Technologie/Ressources Web (disponibles en anglais et en français)
1. Un site Web utile pour trouver des statistiques est le site Web
de Statistique Canada :
www.statcan.ca
2. Pour créer des diagrammes à secteurs, visitez le site de la
Bibliothèque virtuelle en mathématiques :
http://nlvm.usu.edu/fr/NAV/frames_asid_183_g_2_t_1.html
L’adresse du site Web est :
http://www.nlvm.usu.edu/fr/nav/vlibrary.html
Module 4
157
158
Module 4

Mathématiques 7 année Module 4 Le cercle et l`aire Durée

Transcription

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