DS N° 2

Année universitaire 2011-2012
Licence de Physique - S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 2, vendredi 13 janvier 2012, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
Les raisonnements et les résultats seront justifiés en au moins une phrase. Une suite de
calculs et d’équations sans texte d’accompagnement ne constitue pas une réponse valable.
1. Question de cours
a) Rappeler les quatre équations de Maxwell “dans le vide” permettant de déterminer les champs électrique
~ et magnétique B
~ en fonction des densités volumiques de charge ρ et de courant J~ totales.
E
b) Comment s’écrivent les équations de Maxwell “dans la matière” ? Définir soigneusement les nouveaux
~ et H
~ en fonction de E,
~ B,
~ de la polarisation P~ et de l’aimantation M
~ . On précisera bien la
champs D
nature des sources du champ. Quelles sont les deux équations communes avec les équations “dans le
vide” ? Pourquoi ?
~ et
c) Dans un milieu matériel linéaire, homogène, isotrope, comment peut-on écrire les expressions de D
~
H?
d) A l’aide des équations données dans la question précédente, écrire les relations de passage reliant les
~ B,
~ D
~ et H
~ de part et d’autre d’une interface séparant deux milieux matériels.
valeurs des champs E,
2. Champ électrique à l’intérieur d’une sphère polarisée uniformément On considère une sphère
de centre O et de rayon R portant une densité volumique de moment dipolaire P~ uniforme.
a) On a vu en cours qu’une distribution de moment dipolaire P~ dans un échantillon matériel était équivalente à une densité volumique de charge ρp et une densité surfacique de charge σp . Rappeler les expressions de ρp et σp en fonction de P~ . Que valent-elles dans le cas de la sphère polarisée uniformément ?
~ .
Pour un point M à la surface de la sphère, on notera θ l’angle entre P~ et OM
b) Rappel du principe de superposition : si la densité volumique de charge ρ1 engendre le champ E~1 et la
densité ρ2 engendre le champ E~2 , quel est le champ engendré par ρ1 + ρ2 ?
c) Expliquer pourquoi la distribution de polarisation uniforme étudiée ici peut être considérée comme la
superposition de deux distributions de charges de densités volumiques ρ0 et −ρ0 contenues dans deux
sphères décalées d’une distance δ suffisamment petite. Donner la relation entre P , ρ0 et δ.
d) Etablir l’expression du champ électrique à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée, portant une
densité de charge uniforme ρ.
e) En utilisant le résultat précédent, déduire l’expression du champ électrique à l’intérieur de la sphère
polarisée uniformément en fonction de P~ .
3. Polarisation d’orientation et absorption On considère ici un diélectrique dont la polarisation met
un certain temps à s’établir lors de l’application d’un champ électrique. C’est le cas notamment lorsque les
dipôles sont permanents et nécessitent un délai pour s’orienter dans la direction d’un champ appliqué.
~ en obéissant à :
On suppose que la polarisation P~ répond au champ E
τ
dP~ (t) ~
~
+ P (t) = ǫ0 χ0 E(t)
dt
~ statique. On suppose que P~ et E
~ sont initialement nuls et
a) On s’intéresse d’abord au cas d’un champ E
~
~
~
qu’à l’instant t = 0, le champ E passe de 0 à Estat . Donner l’expression de P~ en fonction du temps.
Quelle est la signification physique de τ ? De χ0 ?
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~
~ 0 e−iωt .
b) On considère maintenant la réponse P~ (t) = P~0 e−iωt à un champ électrique oscillant E(t)
=E
~
~
Montrer que l’on peut définir une susceptibilité χ(ω) par P (t) = ǫ0 χ(ω)E(t) et donner son expression.
c) En déduire que la permittivité relative ǫr (ω) = 1 + χ(ω) est complexe est peut s’écrire sous la forme
ǫr (ω) = ǫ′r (ω) + iǫ′′r (ω). Donner les expressions de ǫ′r (ω) et ǫ′′r (ω).
d) On suppose pour simplifier que χ0 ≪ 1. Dans ces conditions, donner l’expression approchée de l’indice
√
complexe n(ω) = n′ (ω) + in′′ (ω) = ǫr (ω). Donner l’allure des courbes n′ (ω) et n′′ (ω) et montrer
que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation ωm que l’on calculera.
~ = Ee
~ i(~k.~r−ωt) dans un milieu diélectrique
e) Etablir l’équation de propagation d’une onde plane du type E
d’indice n à partir des équations de Maxwell “dans la matière”, en l’absence de charges et de courants
libres.
f) Montrer que l’existence d’une partie imaginaire n′′ (ω) indique que l’onde plane est absorbée au fur et
à mesure de sa progression. Donner l’expression de la distance caractéristique d’absorption. Quelle est
sa valeur minimale, correspondant au maximum de la courbe d’absorption ?
4. Réflexion d’une onde monochromatique sur la surface entre deux diélectriques. Relations
de Snell-Descartes On étudie ici la réflexion d’une onde électromagnétique plane monochromatique
progressive
~1 = E
~ 01 ei(k~1~r−ω1 t) ,
E
se propageant initialement dans un milieu d’indice n et rencontrant l’interface avec un milieu d’indice n′ .
~ 1 (t) avec le diélectrique engendre une onde réfléchie
L’interaction de l’onde E
~2 = E
~ 02 ei(k~2~r−ω2 t)
E
et une onde transmise
~3 = E
~ 03 ei(k~3~r−ω3 t) ,
E
y
E1
k1
E2
i1
k2
i2
n
x
E3
n’
i3
k3
On supposera pour fixer les idées que l’onde incidente est polarisée perpendiculairement au plan d’incidence.
Au niveau de l’interface, on peut décomposer tout vecteur en une composante tangentielle (parallèle à
l’interface) et une composante normale.
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a) Quelle est la structure d’une onde plane progressive monochromatique ? Quelle est la relation entre ωi
et ki = ||~ki || ?
b) Quelles sont les relations de passage entre les composantes du champ total électrique total de part et
d’autre de l’interface. Expliquer pourquoi l’une des deux relations ne fournit aucune information.
c) On s’intéresse plus particulièrement à la relation de passage pour les composantes tangentielles. Montrer que pour qu’elle soit valable à tout temps, il faut nécessairement que ω1 = ω2 = ω3 . Justifier
physiquement ce résultat. Quelles sont alors les relations entre k1 , k2 , et k3 ?
d) De même, montrer que pour que la relation de passage soit vraie en tout point ~r de l’interface (donc, tel
que ~r.~n = 0 où ~n = ~ey est le vecteur normal à la surface), il faut que (~k2 − ~k1 ).~r = (~k3 − ~k1 ).~r = 0.
e) Montrer que cela implique que ~k2 et ~k2 sont combinaisons linéaires de ~k1 et ~n. En déduire la première
loi de Descartes : les rayons réfléchis et réfractés sont dans le plan d’incidence.
f) Montrer que les résultats du d) impliquent que ~k1 , ~k2 et ~k3 ont même composante tangentielle.
g) Déduire des résultats des questions c) et f) les relations entre angles d’incidence i1 , de réflexion i2 et de
réfraction i3 (deuxièmes lois de Descartes).
h) Expliquer à partir des lois de Descartes pourquoi on peut observer un phénomène de réflexion totale si
n > n′ et dans quelles conditions.
i) Justifier pourquoi, même en cas de réflexion totale, il doit y avoir une onde réfractée. Montrer que les
relations entre les normes de ~k1 et ~k3 ainsi qu’entre leurs composantes tangentielles (cf. questions c)
et f)) peuvent être simultanément vérifiées si on suppose que ~k3 = ik3′′~ex + k3′ ~n où ~ex est le vecteur
unitaire tangent à la surface et dans compris dans le plan d’incidence.
j) De quelle manière varie l’amplitude de l’onde réfractée lorsqu’on s’éloigne de la surface ? Justifier
l’appellation d’onde évanescente.
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