Proposition de stage - dept
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Proposition de stage Licence 3 - ENS Lyon Coloration douce d’un graphe Encadrant : Olivier Baudon, [email protected] Lieu : Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique (LaBRI), UMR CNRS 5800, Université de Bordeaux Sujet : Coloration douce La coloration douce d'un graphe, ou "soft coloration", consiste à colorier les sommets d'un graphe avec k couleurs, de façon à minimiser le nombre d'arêtes ayant leurs deux extrémités de la même couleur. Ce problème est évidemment proche de celui de la coloration classique des sommets d'un graphe, où l'on recherche le nombre minimum de couleurs pour colorier les sommets d'un graphe de façon à ce que deux sommets voisins n'aient pas la même couleur. La coloration douce a été essentiellement étudiée d'un point de vue algorithmique [1, 2]. Le cas de la coloration des arêtes a également été abordé [3]. L'objectif du stage est donc de faire un point sur ce qui a été fait, en particulier s'il existe des résultats sur certaines classes de graphes. La partie "recherche" consistera à regarder d'autres colorations, par exemple la coloration orientée [4]. Une coloration orientée est une coloration c des sommets d’un graphe G orienté telle que si uv est un arc de G, c(u) ≠ c(v) et pour tout autre arc xy, si c(x) = c(v), alors c(y) ≠ c(u). En d’autres termes, si dans G, il existe un arc orienté d’un sommet de couleur c1 vers un arc de couleur c2, alors c1 ≠ c2 et tout arc dont les extrémités sont coloriées c1 et c2 est orienté du sommet de couleur c1 vers le sommet de couleur c2. Un autre type de coloration intéressant à étudier est la coloration par somme. Dans une coloration par somme, on affecte des poids entre 1 et k sur les arêtes d’un graphe et l’on souhaite que la somme des poids des arêtes incidentes à un sommet forme une coloration propre (sans sommets voisins de même couleur) du graphe. Il est conjecturé qu’il est toujours possible d’y arriver avec k = 3 (1-2-3 conjecture [5]). Il serait donc intéressant de regarder le nombre minimum de conflits existant si on utilise uniquement les poids 1 et 2 sur les arêtes. Par exemple (exercice), la réponse est 1 pour les graphes complets. Références : [1] A Blum, New approximation algorithms for graph coloring, Journal of the ACM, 1994 [2] http://www.kestrel.edu/home/projects/ants/html/soft-graph-coloring/ [3] Chadi Kari, Yoo-Ah Kim, Seungjoon Lee, Alexander Russell, Minho Shin, Soft Edge Coloring, Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algorithms and Techniques, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4627, pp 189-203 [4] E. Sopena, Oriented graph coloring, Discrete Math. 229 (1-3), (2001), 359–369. [5] M. Karonski, T. Luczak, and A. Thomason, Edge weights and vertex colours, J. Combin. Theory Ser. B 91 (2004), 151–157.