CHAPITRE 10 : NOTION DE FONCTION

CHAPITRE 10 : NOTION DE FONCTION
Objectifs :
•
[3.110] Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données
ou une formule.
•
[3.111] Connaître et utiliser le vocabulaire : fonction, image, antécédent, courbe représentative, ...
•
[3.112] Connaître et utiliser la notation : x | f(x)
I. Définitions
Une fonction f est un procédé qui à un nombre x associe un nombre noté f(x).
On note : f : x | f(x)
on lit : la fonction f qui, à un nombre x, associe le nombre f(x).
Dans un repère choisi, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points M de coordonnées
M(x ; f(x)). On la note Cf
f(x)
M
x
Le nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f.
Le nombre x est un antécédent de f(x) par la fonction f.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ (l’ensemble des réels) par f(x) = 4 x 3−3 x 26 x
f  1  = 4 ×13 −3 ×12  6× 1= 7 donc l’image de 1 par f est 7 et la courbe Cf passe par le point A  1 ; 7 
II. Méthodes
a) Déterminer l'image ou un antécédent d'un nombre par une fonction définie par un tableau.
Exemple : On donne un tableau de valeurs de la fonction h. Quelle est l'image de 8 par la fonction h ? Trouve un
antécédent de − 125.
x
− 5,25
−3
− 1,75
0
2
5,5
8
h(x)
− 358
− 125
3
7
12,5
3
20
La deuxième ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la première ligne par la fonction h.
Pour trouver l'image de 8 : on cherche 8 sur la première ligne du tableau et on lit son image sur la deuxième
ligne ;
l'image
de
8
est
20
et
on
écrit
h(8) = 20.
On peut également noter h : 8
20.
Pour trouver le (ou les) antécédent(s) de − 125 : on cherche − 125 sur la deuxième ligne du tableau et on lit le
(ou les) antécédent(s) sur la première ligne ; un antécédent de − 125 est − 3 et on écrit h(− 3) = − 125 (ou h :
−3
− 125).
b) Déterminer l'image ou un antécédent d'un nombre par une fonction définie par une courbe.
Exemple 1 : On donne la courbe d'une fonction f. Détermine l'image de − 1.
y
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par
le point de coordonnées (− 1 ; 0).
2
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses et qui passe
par le point d'intersection de la courbe et de la droite
précédente.
1
x
1
−1
Elle coupe l'axe des ordonnées approximativement au point de
coordonnées (0 ; 2).
On en déduit que l'image de − 1 par la fonction
donc f(− 1) ≈ 2.
f est environ 2
Exemple 2 : On donne la courbe d'une fonction g. Détermine le (ou les) antécédent(s) de 5.
y
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant
par le point de coordonnées (0 ; 5).
5
− 2,3
On trace la (ou les) droite(s) parallèle(s) à l'axe des
ordonnées passant par le(s) point(s) d'intersection de la
courbe et de la droite précédente.
1
4
1
x
Ces parallèles (deux, ici) coupent l'axe des abscisses
approximativement aux points de coordonnées (4 ; 0) et
(− 2,3 ; 0).
Donc 5 a deux antécédents par la fonction
environ, 4 et − 2,3.
On écrit g(4) ≈ 5 et g(− 2,3) ≈ 5.
g qui sont,
c) Déterminer l'image ou un antécédent d'un nombre par une fonction définie par une formule.
Exemple : Soit la fonction f : x
3x2 − 7x  12. Quelle est l'image de − 5 ?
2
10 par la fonction f signifie qu'au nombre 2, la fonction associe le nombre 10. On dit que 10 est l'image de 2
par la fonction f et on note f(2) = 10.
x
3x2 − 7x  12 signifie qu'à tout nombre, ici noté x, la fonction f associe un unique nombre qui se calcule avec
cette formule : 3x2 − 7x  12. On dit que l'image de x par la fonction f est 3x2 − 7x  12 et on note aussi
f(x) = 3x2 − 7x  12.
Calcul de l'image de − 5 par f avec
f(x) = 3x2 − 7x  12.
f(− 5) = 3 × (− 5)2 − 7 × (− 5)  12
On remplace
f(− 5) = 75  35  12
On calcule.
x par − 5.
f(− 5) = 122
Donc l'image de − 5 par la fonction f est 122. On écrit aussi f(− 5) = 122.
f(x)
M
f(x)
x
x
f(x)
M
f(x)
x
f(x)
M
M
f(x)
M
x
M
x
f(x)
x
f(x)
M
x
x
f(x)
M
M
x
f(x)
M
x