Transformation de Fourier

Chapitre 1
Transformation de Fourier
1.1
Introduction
Sur Rn (n ≥ 1), on considère la mesure de Lebesgue normalisée
1
n dλn
(2π) 2
dmn =
où λn est la mesure de Lebesgue classique sur Rn . Les espaces Lp (1 ≤ p < ∞) que l’on considère (normés
par dmn ) concernent des fonctions définies sur Rn , à valeurs complexes. On note pour f ∈ Lp (Rn , C) :
!"
%f %p =
p
Rn
|f | dmn
# p1
.
On définit aussi la convolution de deux fonctions f et g par la formule suivante (tant que les intégrales
mentionnées existent)
"
"
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y)dmn (y) =
f (y)g(x − y)dmn (y), x ∈ Rn .
(1.1)
Rn
Rn
Proposition 1.1. Si f ∈ L1 (Rn ) et g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞), alors f ∗ g ∈ Lp (Rn ) et on a
%f ∗ g%p ≤ %f %1 %g%p .
Preuve. On utilise l’inégalité de Hölder, avec
$"
$
$
$
Rn
On a alors
"
Rn
|f ∗ g(x)|p dmn (x)
1
p
+
1
p!
= 1,
$
$
α(x)β(x)dµn (x)$$ ≤ %α%Lp (Rn ,dµn ) %β%Lp! (Rn ,dµn ) .
(1)
≤
(2)
≤
(3)
≤
(4)
"
Rn
"
Rn
"
Rn
!"
Rn
!% "
"
Rn
p!
1 dµn
p
p!
p
!
& 1! % "
p
Rn
& p1 #p
|g(x − y)| dµn (y)
dmn (x)
p
%f %1 |g(x − y)|p |f (y)|dmn (y)dmn (x)
#
" !"
p
|g(x − y)| dmn (x) |f (y)|dmn (y)
Rn
≤
%f %1p
(5)
1+ p!
%f %1 p
≤
#p
|g(x − y)||f (y)|dmn (y) dmn (x)
Rn
Rn
%g%pp ,
2
ce qui donne le résultat car 1 + pp! = p. L’inégalité (1) provient de la définition de la convolution et de
l’inégalité triangulaire. L’inégalité (2) est obtenue en appliquant l’inégalité de Hölder pour la mesure
dµn = |f |dmn et les fonctions α = g(x − ·) et β = 1. L’inégalité (3) est obtenue en remplaçant la mesure
µn par sa valeur. On obtient l’inégalité (4) en appliquant le théorème de Fubini et enfin, l’inégalité (5)
provient du fait que la norme Lp d’une fonction reste inchangée par translation.
Pour ξ ∈ Rn (ξ = (ξ1 , ...ξn )), on note eξ la fonction définie sur Rn à valeurs dans C par eξ (x) = eiξ·x =
exp(i(ξ1 x1 + ... + ξn xn )), x ∈ Rn . Cette famille de fonctions vérifie
eξ (x + y) = eξ (x)eξ (y) et eξ (x) = ex (ξ)
pour tous x, y, ξ ∈ Rn .
Définition 1.2. Pour f ∈ L1 (Rn ), la transformée de Fourier de f est la fonction fˆ (notée aussi Ff )
définie par
"
"
fˆ(ξ) =
f e−ξ dmn =
f (x)e−iξ·x dmn (x), ξ ∈ Rn .
Rn
Rn
Remarque 1.3. L’intégrale intervenant dans la définition de la transformée de Fourier de f a un sens en
tout point puisque f ∈ L1 (Rn ) et que |e−ξ f | = |f | pour tout ξ ∈ Rn .
Lemme 1.4. Pour f ∈ L1 (Rn ) et t ∈ Rn , on a fˆ(ξ) = (f ∗ eξ )(0).
Preuve. En effet, on a pour tout t ∈ Rn
"
"
f (x)eξ (0 − x)dmn (x) =
(f ∗ eξ )(0) =
Rn
Rn
f (x)e−ξ (x)dmn (x) = fˆ(ξ).
Pour x ∈ Rn , on note τx l’opérateur de translation par x : τx (f )(y) = f (y − x) pour (presque) tout
y ∈ Rn .
On appelle multi-indice un n−uplet α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn . On note |α| (longueur du multi-indice α)
la quantité |α| = α1 + ... + αn . On note Dα la dérivée “αième” : Dα = ∂xα11 ...∂xαnn . Pour simplifier des
notations futures :
!
# !
#
1 αn
1 α1
−|α| α
Dα = i
D = α1 ∂x1 ... αn ∂xn .
i
i
On a alors Dα eξ = ξ α eξ pour tout ξ ∈ Rn , où ξ α = ξ1α1 ...ξnαn .
Théorème 1.5. Soit f, g ∈ L1 (Rn ), x ∈ Rn et λ > 0. On a
(i) F(τx f ) = e−x Ff ;
(ii) F(ex f ) = τx (Ff ) ;
(iii) F(f ∗ g) = (Ff )(Fg) ;
(iv) si on note fλ (x) = f ( λx ), x ∈ Rn , alors F(fλ )(ξ) = λn (Ff )(λξ) pour tout ξ ∈ Rn .
Preuve. Provient directement de la définition de la transformation de Fourier.
On désigne par C0 (Rn ) l’espace vectoriel des fonctions continues bornées sur Rn (à valeurs dans C) qui
tendent vers 0 à l’infini. Muni de la norme infinie, cet espace est un espace de Banach (à vérifier).
Théorème 1.6. L’application F : f (→ fˆ est linéaire continue de L1 (Rn ) dans C0 (Rn ).
Preuve. Il est clair que F est linéaire. On a d’autre part l’estimation immédiate suivante
|fˆ(ξ)| ≤ %f %1 ,
f ∈ L1 (Rn ), ξ ∈ Rn .
Montrons maintenant que la transformée de Fourier d’une fonction de L1 est bien dans C0 . D’une part,
si f ∈ L1 (Rn ), alors fˆ est continue sur Rn . En effet, comme pour tout x ∈ Rn , pour tout ξ0 ∈ Rn ,
e−ξ (x) − e−ξ0 (x) −−−→ 0,
ξ→ξ0
3
on a d’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue
fˆ(ξ) − fˆ(ξ0 ) −−−→ 0.
ξ→ξ0
D’autre part, d’après le théorème de Riemann-Lebesgue, on a fˆ(ξ) −−−−→ 0 dans C. Ceci se montre par
|ξ|→∞
exemple en remarquant que
fˆ(ξ) = −F(τ
πξ
|ξ|2
f )(ξ),
ξ ∈ Rn ,
où τy désigne la translation de vecteur y. On a donc
&
1%
F(f ) − F(τ πξ f ) (ξ)
|fˆ(ξ)| ≤
|ξ|2
2
&
1 %
≤
F f − τ πξ f (ξ)
|ξ|2
2
d’où pour tout ξ ∈ Rn , on a
|fˆ(ξ)| ≤
'
1'
'
'
'f − τ πξ2 f ' −−−−→ 0.
|ξ|
2
1 |ξ|→∞
Pour une démonstration de ce dernier point, voir Exercice 1.19. Ainsi, fˆ ∈ C0 (Rn ). Ce qui achève la
démonstration de la continuité de F : L1 → C0 .
1.2
On pose
L’espace des fonctions à décroissance rapide
Sn = {f ∈ C ∞ (Rn ); sup sup (1 + |x|2 )N |(Dα f )(x)| < ∞};
|α|≤N x∈Rn
Sn est l’ espace vectoriel des fonctions de classe C ∞ à décroissance rapide, ou encore espace de Schwartz.
Cet espace n’est pas normé, mais on peut y définir une topologie grâce à la famille séparante de seminormes
pN (f ) = sup sup (1 + |x|2 )N |(Dα f )(x)|, f ∈ Sn , N ∈ N.
Il est facile de voir que
|α|≤N x∈Rn
Cc∞ (Rn )
⊂ Sn , et donc que Sn est dense dans Lp (Rn ) pour tout 1 ≤ p < ∞.
Théorème 1.7. L’espace Sn muni de cette famille de semi-normes {pN , N ∈ N} est complet (c’est un
espace de Fréchet).
Preuve. La preuve de ce théorème est vue en Travaux Dirigés. La famille de semi-normes {pN , N ∈ N}
permet de définir une distance sur Sn :
d(f, g) =
∞
(
N =0
2−N
pN (f − g)
,
1 + pN (f − g)
f, g ∈ Sn .
On peut prendre à la place de 2−N n’importe quel terme général d’une série qui converge vers 1. Muni
de d, Sn est un espace vectoriel métrique.
2
Exemple 1.8. Pour tout a > 0, la fonction ψa : Rn → C définie par ψa (x) = e−a|x| appartient à Sn .
Lemme 1.9. Soit ψ = ψ 12 . Alors on a ψ̂ = ψ et
ψ(0) =
"
Rn
ψ̂ dmn .
x2
Preuve. Il est facile de voir que ψ(x) = e(x1 )...e(xn ) où e : R → C est défini par e(x) = e− 2 pour x ∈ R.
On peut donc se contenter de la dimension 1. On sait (cours de Fourier de licence) que ê = e (se
) démontre
via des équations différentielles ou le théorème des résidus).
Comme,
par
définition,
ê(0)
=
e dm1 , en
R
)
échangeant e et ê (qui sont égaux), on obtient e(0) = R ê dm1 . On passe alors facilement à la dimension
n grâce à la remarque au début de cette preuve.
4
Proposition 1.10. Soit f ∈ Sn . Pour tout α ∈ Nn , on a
F(Dα f )(ξ) = ξ α (Ff )(ξ)
et
F(x (→ (−x)α f (x))(ξ) = Dα (Ff )(ξ).
Preuve. En d’autre termes, la transformation de Fourier “échange” la multiplication par ξ α et la dérivation Dα (au signe près !). Pour montrer la première égalité, on remarque (d’après le Lemme 1.4) que
Ff (ξ) = f ∗ eξ (0). Ainsi, on a, d’après le point (iii) du Théorème 1.5 et car Dα f ∗ g = f ∗ Dα g tant que
ces convolutions ont un sens,
F(Dα f )(ξ) = ((Dα f ) ∗ eξ )(0) = (f ∗ (Dα eξ ))(0) = (f ∗ (ξ α eξ ))(0) = ξ α Ff (ξ),
en utilisant le fait que Dα eξ = ξ α eξ . Pour montrer la deuxième égalité du théorème, on utilise les mêmes
outils et on a
"
Dα (Ff )(ξ) = Dα,ξ (f ∗ eξ )(0) = Dα,ξ
f (0 − x)eξ (x)dmn (x)
Rn
"
"
=
f (−x)Dα,ξ (ex (ξ))dmn (x) =
f (−x)xα eξ (x)dmn (x)
=
Rn
Rn
((x (→ (−x)α f (x)) ∗ eξ )(0) = F(x (→ (−x)α f (x))(ξ),
où Dα,ξ désigne la dérivée “α”-fois par rapport à la variable ξ.
Corollaire 1.11. L’espace de Schwartz Sn est invariant par la transformation de Fourier.
Preuve. Il faut montrer que si f ∈ Sn , alors fˆ ∈ Sn . Dans un premier temps, montrons que si f ∈ Sn ,
alors fˆ ∈ C ∞ (Rn ). D’après la Proposition 1.10, on a pour tout α ∈ Nn
Dα (fˆ) = F(x (→ (−x)α f (x)).
D’après la définition de Sn , si f ∈ Sn , alors g : x (→ (−x)α f (x) aussi, donc g est en particulier
dans L1 (Rn ). D’après le Théorème 1.6, on sait donc que ĝ ∈ C0 (Rn ). Ainsi, pour tout α ∈ Nn , on a
Dα (fˆ) ∈ C (Rn ), ce qui montre bien que fˆ ∈ C ∞ (Rn ). Il faut alors montrer que pour tout N ∈ N, on a
sup sup (1 + |ξ|2 )N |(Dα fˆ)(ξ)| < ∞.
(1.2)
|α|≤N ξ∈Rn
Soit N ∈ N. Pour a ∈ [1, +∞[, on a
(1 + a)N =
N
(
k=0
Dans (1.2), on peut toujours remplacer sup par
ξ∈Rn
donc la fonction
k k
a ≤ 2N aN .
CN
sup
ξ∈Rn ,|ξ|≥1
(1.3)
. En effet, on vient de montrer que fˆ ∈ C ∞ (Rn ),
ξ (→ (1 + |ξ|2 )N |(Dα fˆ)(ξ)|
est continue, donc bornée sur la boule unité {ξ ∈ Rn ; |ξ| ≤ 1}. D’autre part, en utilisant (1.3), montrer
(1.2) en remplaçant supξ∈Rn par supξ∈Rn ,|ξ|≥1 revient à montrer
sup
sup
|α|≤N ξ∈Rn ,|ξ|≥1
|ξ|2N |(Dα fˆ)(ξ)| < ∞.
Soit β ∈ Nn . On a pour tout ξ ∈ Rn , d’après la Proposition 1.10
%
&
ξ β Dα fˆ(ξ) = F Dβ (x (→ (−x)α f (x)) (ξ).
(1.4)
Comme f ∈ Sn , la fonction Dβ (x (→ (−x)α f (x)) appartient aussi à %l’espace de Schwartz S
& n , donc
1
n
α
en particulier à L (R ). D’après le Théorème 1.6, on en déduit que F Dβ (x (→ (−x) f (x)) est une
fonction bornée sur Rn . Ainsi, on a
$
$
$
$
sup $ξ β (Dα fˆ)(ξ)$ ≤ Mα,β ,
ξ∈Rn ,|ξ|≥1
5
où Mα,β ne dépend que des multi-indices α, β ∈ Nn . Comme il n’y a qu’un nombre fini de multi-indices
α, β ∈ Nn tels que |α| ≤ N et |β| = 2N , on a alors
$
$
$
$
sup sup
sup $ξ β (Dα fˆ)(ξ)$ < ∞.
|α|≤N |β|=2N ξ∈Rn ,|ξ|≥1
Pour montrer (1.4) il suffit alors de montrer que pour ξ ∈ Rn (avec |ξ| ≥ 1), on a
|ξ|2N ≤ cN sup |ξ β |,
|β|=2N
avec cN une constante ne dépendant que de N . Ceci est vérifié. En effet, pour ξ ∈ Rn , on note
|ξj | = max{|ξk |; 1 ≤ k ≤ n}
et on choisit β tel que βk = 0 si k += j et βj = 2N . On a alors
nN |ξ β | = nN |ξj2N | = (n|ξj |2 )N ≥ (|ξ1 |2 + ... + |ξn |2 )N = |ξ|2N ,
ce qui donne l’inégalité annoncée avec cN = nN .
Le produit scalaire dans L2 (Rn ) est noté ,·, ·- ; il est défini par
"
,f, g- =
f (x)g(x) dmn (x), f, g ∈ L2 (Rn ).
Rn
La notation z pour z ∈ C désigne le conjugué de z.
Théorème 1.12 (Parseval, Plancherel). La transformation de Fourier est un isomorphisme isométrique
de Sn sur lui-même si on munit Sn de la topologie induite par celle de L2 (Rn ). La transformation inverse
est donnée par
F −1 (f )(x) = F(f )(−x), x ∈ Rn , f ∈ Sn .
Preuve. D’après le Corollaire 1.11, on a F : Sn → Sn ; cette application est linéaire. D’autre part, pour
f, g ∈ Sn on a en utilisant le théorème de Fubini,
"
"
fˆg dmn =
f ĝ dmn .
(1.5)
Rn
Rn
*x+
En appliquant (1.5) à x (→ g(x) = φ λ pour λ > 0 et où φ ∈ Sn , on obtient en utilisant le point (iv)
du Théorème 1.5
! #
"
"
"
%y&
ξ
n
ˆ
f
φ̂(y) dmn (y) =
f (x)λ φ̂(λx) dmn (x) =
f (ξ)φ
dmn (ξ).
λ
λ
n
n
n
R
R
R
On a
et
"
f
"
fˆ(ξ)φ
Rn
Rn
%y&
λ
φ̂(y) dmn (y) −−−−→ f (0)
λ→∞
"
Rn
φ̂(y)dmn (y)
! #
"
ξ
fˆ(ξ)dmn (ξ).
dmn (ξ) −−−−→ φ(0)
λ→∞
λ
Rn
Ces deux quantités sont donc égales. En prenant pour φ la fonction ψ du Lemme 1.9, on obtient alors
que
"
f (0) =
fˆdmn .
Rn
En écrivant cette même égalité en remplaçant f par τ−x f , on obtient, en utilisant le point (i) du
Théorème 1.5
"
"
!
f (x) = (τ−x f )(0) =
τ−x f dmn =
ex fˆ dmn .
Rn
Rn
6
Ainsi, F est inversible, son inverse est donné par
"
F −1 (g)(x) =
gex dmn = F(g)(−x).
Rn
La transformation de Fourier vérifie alors F(Ff )(x) = f (−x) = fˇ(x) et (F −1 f )(x) = (Ff )(−x) pour
tout x ∈ Rn . D’autre part, on a
"
"
* +
(1)
(2)
,Ff, Fg- =
f (x)F ĝ (x) dmn (x)
(Ff )(t)(Fg)(t) dmn (t) =
n
Rn
"R
"
(3)
(4)
−1
=
f (x)(F(F (g))(x) dmn (x) =
f (x)g(x) dmn (x)
Rn
(5)
=
Rn
,f, g-.
La première égalité provient de la définition du produit scalaire. La deuxième égalité vient (1.5). La
troisième égalité est obtenue en remarquant que ĝ = F −1 (g). La quatrième égalité provient de F ◦F −1 =
id. La cinquième égalité provient de la définition du produit scalaire. Ainsi, on a la formule de Parseval
,f, g- = ,Ff, Fg- pour tous f, g ∈ Sn , qui implique aussi la formule de Plancherel %f %2 = %Ff %2 en
posant f = g.
1.3
Transformation de Fourier sur L2
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à la transformation de Fourier de fonctions de L2 (Rn ). La principale
difficulté provient du fait que pour une fonction de L2 (Rn ), l’intégrale définissant la transformée de
Fourier dans la Définition 1.2 n’est pas convergente. Cependant, le Théorème 1.12 nous permet d’étendre
la transformation de Fourier sur L2 (Rn ).
Corollaire 1.13 (du Théorème 1.12). La transformation de Fourier F s’étend en un isomorphisme
isométrique de L2 (Rn ) sur lui-même. Son inverse est donnée par
Rn / x (−→ F −1 (f )(x) = F(f )(−x),
f ∈ L2 (Rn ).
(1.6)
Preuve. Provient de la densité de Sn dans L2 (Rn ) et des formules de Parseval et Plancherel. En effet,
soit f ∈ L2 (Rn ) et soit (fk )k∈N une suite de Sn qui converge vers f dans L2 (Rn ), c’est-à-dire que
lim %fk − f %2 = 0.
n→∞
Alors (Ffk )k∈N est une suite de Cauchy dans L2 (Rn ). En effet,
(1)
(2)
(3)
%Ffk − Ff% %2 = %F(fk − f% )%2 = %fk − f% %2 −−−−−→ 0.
k,%→∞
L’égalité (1) vient de la linéarité de la transformation de Fourier F sur Sn . L’égalité (2) vient du
Théorème 1.12 de Parseval-Plancherel pour les fonctions de Sn . Enfin, la convergence (3) vient du fait
que, comme (fk )k∈N est convergente, c’est une suite de Cauchy. Ainsi, comme L2 (Rn ) est complet, on en
déduit que la suite (Ffk )k∈N est convergente. Il faut encore montrer que la limite de (Ffk )k∈N ne dépend
(2)
(1)
que de f , et donc qu’elle est indépendante du choix de la suite (fk )k∈N . Soit (fk )k∈N et (fk )k∈N deux
(b)
(a)
suites de Sn qui convergent vers f dans L2 (Rn ). On veut montrer qu’alors (Ffk )k∈N et (Ffk )k∈N
convergent vers la même limite. On a
%
& (2)
(1)
(3)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
%Ffk − Ffk %2 = %F fk − fk %2 = %fk − fk %2 −−−−→ 0.
k→∞
L’égalité (1) vient de la linéarité de F sur Sn . L’égalité (2) vient du Théorème 1.12 et la convergence (3)
provient du fait que les deux suites ont même limite dans L2 (Rn ). On note alors la limite commune Ff et
on l’appelle la transformée de Fourier de f . On a bien F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ). On montre alors facilement,
en utilisant les propriétés de F sur Sn (Théorème 1.12) que F est un isomorphisme isométrique sur
L2 (Rn ), dont l’inverse est donné par (1.6).
7
)
Remarque 1.14. Attention, pour f ∈ L2 (Rn ), l’intégrale
f e−t dmn n’a pas de sens. La transformée
Rn
)
de Fourier de f est donc donnée par une intégrale Rn prise en un sens généralisé :
"
Ff (ξ) = L2 − lim
f e−ξ dmn
R→∞
Bn (0,R)
où Bn (0, R) est la boule dans Rn de centre 0 et de rayon R, et de même pour la transformée de Fourier
inverse.
Preuve. Soit (fk )k∈N une suite de Sn qui converge vers f dans L2 (Rn ). On a alors pour k ∈ N et R > 0,
pour presque tout ξ ∈ Rn
"
%Ff −
f e−· dmn %2
Bn (0,R)
'
'
'"
'
"
"
'
'
'
'
(1)
'
'
'
'
≤ %Ff − Ffk %2 + 'Ffk −
fk e−· dmn ' + '
fk e−· dmn −
f e−· dmn '
'
'
' Bn (0,R)
'
Bn (0,R)
Bn (0,R)
2
'"
'
'" 2
'
'
'
'
'
(2)
'
'
'
'
≤ %f − fk %2 + '
fk e−· dmn ' + '
(fk − f )e−· dmn '
' Rn \Bn (0,R)
'
' Bn (0,R)
'
2
2
'"
'
"
'
(3)
√ '
'
'
f e dmn +
(fk − f )e−· dmn '
≤ %f − fk %2 + 2 '
' Rn \Bn (0,R) k −·
'
Bn (0,R)
2
'
'"
"
(4)
√ '
'
'
≤ %f − fk %2 + 2 '
' n fk e−· dmn + n f χBn (0,R) e−· dmn '
R
(5)
≤
(6)
≤
(7)
≤
R
2
√ '
'
%f − fk %2 + 2 'Ffk − F(f χBn (0,R) )'2
√
√
%f − fk %2 + 2%F(fk − f )%2 + 2%F(f χRn \Bn (0,R) )%2
√
√
(8)
(1 + 2)%f − fk %2 + 2%f χRn \Bn (0,R) %2 −−−−−−−−→ 0.
k→∞,R→∞
La première inégalité est obtenue en introduisant dans la quantité à estimer la fonction fk . La deuxième
inégalité provient de la linéarité et de l’isométrie
de
)
) F, )de l’expression de la transformée de Fourier de
fk ∈ Sn sous forme intégrale (et du fait que Rn − K = Rn \K ) et enfin de la linéarité de l’intégrale pour
√
1
le dernier terme. L’inégalité (3) provient de a+b ≤ 2(a2 +b2 ) 2 )pour a, b) > 0. L’inégalité (4) est obtenue
en regroupant les intégrales faisant intervenir fk et en écrivant K f = Rn (χK f ) où χK est la fonction
caractéristique de l’ensemble K. On reconnaı̂t alors les expressions intégrales des transformées de Fourier
de fk ∈ Sn et de f χBn (0,R) ∈ L1 (Rn ) pour obtenir l’inégalité (5). L’inégalité (6) provient de l’écriture
f = f χBn (0,R) + f χRn \Bn (0,R) et de l’inégalité triangulaire. L’inégalité (7) utilise le Corollaire 1.13, le
fait que F est isométrique sur L2 (Rn ). Enfin, la convergence (8) est immédiate puisque la suite (fk )k∈N
converge vers f dans L2 (Rn ) et car le reste d’une intégrale convergente tend vers 0.
La plupart des propriétés de la transformation de Fourier dans l’espace de Schwartz Sn se transmettent
donc à la transformation de Fourier dans L2 (Rn ) par densité. En voici un échantillon (certainement non
exhaustif).
Proposition 1.15. (i) Pour f ∈ L2 (Rn ) et x ∈ Rn , on a
F(τx f ) = e−x F(f )
et
F(ex f ) = τx F(f ).
(ii) Pour f ∈ L2 (Rn ) et λ > 0, on a
F(fλ )(ξ) = λn (F(f ))(λξ)
où fλ (x) = f ( λx ) pour x ∈ Rn .
8
(iii) Pour f ∈ L2 (Rn ) et g ∈ L1 (Rn ), on a
F(f ∗ g) = F(f )F(g)
(iv) Pour f, g ∈ L2 (Rn ), on a
F(f g) = F(f ) ∗ F(g),
ce qui implique en particulier que la convolution de deux fonctions de L2 (Rn ) appartient à C0 (Rn ).
Preuve. Pour les points (i) et (ii), les propriétés ont été montrées pour des fonctions de L1 (Rn ) dans le
Théorème 1.5, elles sont donc en particulier vraies pour des fonctions de l’espace de Schwartz. On sait
d’autre part que Sn est dense dans L2 (Rn ). Ainsi pour tout f ∈ L2 (Rn ), il existe une suite (fk )k∈N de
fonctions de Sn qui converge vers f dans L2 (Rn ). On a alors pour tout k ∈ N et pour tout x ∈ Rn
%F(τx f ) − ex F(f )%2
(1)
≤
%F(τx f ) − F(τx fk )%2 + %F(τx fk ) − ex F(fk )%2 + %ex F(fk ) − ex F(f )%2
≤
%F(τx f ) − F(τx fk )%2 + %ex (F(fk ) − F(f ))%2
≤
%F(τx (f − fk ))%2 + %F(fk − f )%2
≤
%τx (f − fk )%2 + %f − k − f %2
≤
2%f − fk %2 −−−−→ 0.
(2)
(3)
(4)
(5)
k→∞
La première inégalité vient de l’inégalité triangulaire. La deuxième inégalité est en fait une égalité puisque
comme fk ∈ Sn , on a F(τx fk ) = ex F(fk ). La troisième inégalité est aussi une égalité car pour toute
fonction mesurable g, on a |ex g| = |g|. La quatrième inégalité provient du fait que F est isométrique sur
L2 (Rn ) (Corollaire 1.13). Enfin, la cinquième égalité provient du fait que la norme Lp est inchangée par
translation. Ce qui montre la première partie du point (i). Pour l’autre partie, il suffit d’utiliser ce qu’on
vient de démontrer et d’appliquer F −1 à l’égalité.
Le point (ii) se montre de la même manière, en approchant une fonction f ∈ L2 (Rn ) par une suite de
fonctions (fk )k∈N de Sn .
Le point (iii) se montre en deux temps de la façon suivante. Supposons d’abord que g ∈ Sn . Soit (fk )k∈N
une suite de Sn telle que
%fk − f %2 −−−−→ 0.
k→∞
On a alors pour tout g ∈ Sn , on a f ∗ g ∈ L (R ) et F(f )F(g) ∈ L2 (Rn ). Ainsi,
2
(1)
n
%F(f ∗ g) − F(f )F(g)%2
≤
%F((f − fk ) ∗ g)%2 + %F(fk ∗ g) − F(fk )F(g)%2 + %F(fk )F(g) − F(f )F(g)%
≤
%F((f − fk ) ∗ g)%2 + %(F(fk ) − F(f ))F(g)%2
≤
%(f − fk ) ∗ g%2 + %F(fk − f )%2 %F(g)%∞
≤
%f − fk %2 %g%1 + %fk − f %2 %g%1
≤
2%g%1 %fk − f %2 −−−−→ 0.
(2)
(3)
(4)
(5)
k→∞
La première inégalité vient de l’inégalité triangulaire. La deuxième inégalité est une égalité d’après le
point (iii) du Théorème 1.5 (car g ∈ Sn ⊂ L1 (Rn )). La troisième inégalité provient du fait que F est une
isométrie sur L2 (Rn ) et que pour φ ∈ L2 et ψ ∈ L∞ , on a φψ ∈ L2 et %φψ%2 ≤ %φ%2 %ψ%∞ . La quatrième
inégalité provient de la Proposition 1.1 avec p = 2 et du fait que F est isométrique sur L2 (Rn ), et du
Théorème 1.6. Pour passer du cas g ∈ Sn au cas g ∈ L1 (Rn ), on utilise la densité de Sn dans L1 (Rn ),
puisque toutes les inégalités ci-dessus ne font intervenir que la norme L1 de g.
9
Le point (iv) se montre lui aussi en deux temps, en utilisant le point (iii). Supposons d’abord que g ∈ Sn
et f ∈ L2 (Rn ). D’après le Théorème 1.12 et le Corollaire 1.13 et d’après le point (iii), on a
F(f g)
(1)
=
F(F(F −1 f ∗ F −1 g))
(2)
=
(F −1 f ∗ F −1 g)(−·)
(3)
=
F −1 (f (−·)) ∗ F −1 (g(−·))
(4)
=
F −1 (F(Ff )) ∗ F −1 (F(Fg))
(5)
=
Ff ∗ Fg.
La première égalité provient du point (iii) appliqué à ϕ = F −1 f et à ψ = F −1 g. La deuxième égalité
vient du fait que (F ◦F)(φ) = φ(−·). L’égalité (3) vient de (ϕ∗ψ)(−·) = ϕ(−·)∗ψ(−·) et de F −1 (f (−·)) =
(F −1 f )(−·). L’égalité (4) vient encore de (F ◦F)(φ) = φ(−·). Enfin, la dernière égalité vient de F −1 ◦F =
id. Ce qui montre (iv) pour g ∈ Sn et f ∈ L2 (Rn ). Le passage à f, g ∈ L2 (Rn ) se fait comme dans le
point (iii). Soit (gk )k∈N une suite de Sn qui converge vers g dans L2 (Rn ). Comme f, g ∈ L2 (Rn ), le
produit f g ∈ L1 (Rn ) et donc F(f g) ∈ C0 (Rn ) ; de plus, Ff, Fg ∈ L2 (Rn ), donc d’après l’inégalité de
Young, on a Ff ∗ Fg ∈ L∞ (Rn ). Ainsi on a
(1)
%F(f g) − Ff ∗ Fg%∞
≤
%F(f g) − F(f gk )%∞ + %F(f gk ) − Ff ∗ Fgk %∞ + %Ff ∗ Fgk − Ff ∗ Fg%∞
≤
%F(f (g − gk ))%∞ + %Ff ∗ (F(gk − g))%∞
≤
%f (g − gk )%1 + %Ff %2 %F(gk − g))%2
≤
2%f %2 %g − gk %2 −−−−→ 0.
(2)
(3)
(4)
(5)
k→∞
La première inégalité est obtenue en introduisant gk dans l’estimation cherchée et en appliquant l’inégalité
triangulaire. La deuxième inégalité est une égalité, elle vient de la linéarité de F pour le premier terme,
de ce qu’on vient de montrer pour f ∈ L2 (Rn ) et gk ∈ Sn pour le deuxième terme qui disparaı̂t, et de
la linéarité de la convolution et de F pour le troisième terme. La troisième inégalité vient du fait que
F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) (Théorème 1.6) et de l’inégalité de Young (voir Exercice 1.20) pour p = q = 2 :
si p1 + 1q ≥ 1 alors pour f ∈ Lp et g ∈ Lq , f ∗ g ∈ Lr avec 1r = p1 + 1q − 1 (Proposition 1.1 dans le
cas q = 1). Enfin, pour la quatrième inégalité, on utilise le fait que F est isométrique sur L2 (Rn ) et si
ϕ, ψ ∈ L2 (Rn ), alors ϕψ ∈ L1 (Rn ) et on a %ϕψ%1 ≤ %ϕ%2 %ψ%2 . La convergence (5) est immédiate par
définition de la suite (gk )k∈N .
Ainsi, on a pour f, g ∈ L2 (Rn ), si on pose ϕ = F −1 f et ψ = F −1 g, on a ϕ, ψ ∈ L2 (Rn ) et en appliquant
(iv), on obtient Fϕ ∗ Fψ = F(ϕψ). Comme ϕψ ∈ L1 (Rn ), par le Théorème 1.6, on a F(ϕψ) ∈ C0 (Rn ),
c’est-à-dire que Fϕ ∗ Fψ = f ∗ g ∈ C0 (Rn ).
1.4
Théorème de Paley-Wiener
Une fonction f continue sur un ouvert Ω de Cn est holomorphe dans Ω si elle est holomorphe en chaque
variable séparément. Une fonction holomorphe sur Cn tout entier est dite entière. Un point z ∈ Cn s’écrit
z = (z1 , ..., zn ) avec zk ∈ C pour tout k = 1, ..., n. Si zk = xk + iyk avec xk , yk ∈ R pour tout k = 1, ..., n,
on note z = x + iy avec x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn et y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn ; x = 1(z) et y = 2(z) sont les
parties réelle et imaginaire de z. Pour un multi-indice α ∈ Nn et pour ξ ∈ Rn , on note pour z ∈ Cn
1
1
|z| = (|z1 |2 + ... + |zn |2 ) 2 , |2(z)| = (y12 + ... + yn2 ) 2 ,
z · ξ = z1 ξ1 + ... + zn ξn , ez (ξ) = eiz·ξ .
z α = z1α1 ...znαn ,
Lemme 1.16. Soit f une fonction entière sur Cn nulle sur Rn . Alors f = 0 sur Cn .
10
Preuve. En dimension n = 1, ce résultat est connu ; en effet, une fonction holomorphe non nulle n’admet
que des zéros isolés. Soit maintenant f une fonction comme dans l’énoncé du lemme. Pour 1 ≤ k ≤ n,
on note Pk la propriété : si z ∈ Cn a au moins k coordonnées réelles, alors f (z) = 0. La propriété Pn
est l’hypothèse ; en effet, si z ∈ Rn , alors f (z) = 0. Supposons que pour un 1 ≤ k ≤ n, Pk est vraie.
Soit a ∈ Cn avec au moins k − 1 coordonnées réelles. On peut supposer que a1 , ..., ak−1 sont réels. Alors
la fonction gk : C → C définie par gk (λ) = f (a1 , ..., ak−1 , λ, ak+1 , ...an ) est holomorphe sur C et d’après
Pk , gk (s) = 0 pour tout s ∈ R ; ainsi, gk n’a pas que des zéros isolés et donc gk (λ) = 0 pour tout λ ∈ C :
gk (ak ) = 0. Ce qui montre alors que la propriété Pk−1 est vraie. Après n itérations, on montre donc que
P0 est vraie, ce qui prouve le lemme.
Théorème 1.17 (Paley-Wiener). Soit φ ∈ Cc∞ (Rn ) ayant son support inclus dans la boule de Rn de
centre 0 et de rayon R notée Bn (0, R). On note
"
f (z) =
φ(t)ez (ξ) dmn (ξ) z ∈ Cn .
(1.7)
Rn
Alors f est entière et pour tout N ∈ N, il existe une constante γN telle que
|f (z)| ≤ γN (1 + |z|)−N eR|'(z)| ,
z ∈ Cn ,
N ∈ N.
(1.8)
Inversement, si une fonction entière f vérifie (1.8), alors il existe φ ∈ Cc∞ (Rn ) telle que (1.7) soit
vérifié.
Lemme 1.18. Pour une fonction entière vérifiant (1.8), on a pour tout ξ ∈ Rn
"
"
f (x + iy)e−ξ (x + iy) dmn (x),
pour tout y ∈ Rn .
f (x)e−ξ (x) dmn (x) =
Rn
Rn
Preuve. On montre que l’intégrale
"
f (x1 + iη, z2 , ..., zn ) exp{−i(ξ1 (x1 + iη) + ξ2 z2 + ... + ξn zn )} dm1 (x)
R
est indépendante de η pour tous ξ ∈ Rn et z2 , ..., zn ∈ C. Pour voir que c’est le cas, prenons un chemin
rectangulaire dans le plan (x1 , y1 ) ∈ R2 :
Γr
= {−r ≤ x1 ≤ r, y1 = 0} ∪ {x1 = r, 0 ≤ y1 ≤ η}
∪{r ≥ x1 ≥ −r, y1 = η} ∪ {x1 = −r, η ≥ y1 ≥ 0}.
Comme la fonction z1 (→ f (z1 , z2 , ..., zn ) exp{−i(ξ1 z1 + ξ2 z2 + ... + ξn zn )} est holomorphe dans C,
son intégrale le long de Γr est nulle pour tout r > 0. En faisant tendre r vers l’infini, on en déduit
le lemme, après avoir remarqué que les intégrales sur les deux verticales {x1 = r, 0 ≤ y1 ≤ η} et
{x1 = −r, η ≥ y1 ≥ 0} tendent vers 0 lorsque r tend vers l’infini (cela provient de la majoration (1.8)
pour f ).
Preuve du théorème 1.17. (a) Pour ξ ∈ Bn (0, R), on a
|eiz·ξ | = e−y·ξ ≤ e|y||ξ| ≤ eR|'(z)| .
Ainsi, la fonction à intégrer dans (1.7) est une fonction de L1 (Rn ) pour tout z ∈ Cn et est bien définie sur
Cn . La continuité de f est claire ainsi que son holomorphie en chacune des variables zk ∈ C, k = 1, ..., n.
Une (plusieurs) intégration(s) par parties donne(nt)
"
α
(Dα φ)(ξ)ez (ξ) dmn (ξ), z ∈ Cn .
z f (z) =
Rn
On a donc
|z α ||f (z)| ≤ %Dα φ%1 eR|'(z)| ,
z ∈ Cn ,
ce qui donne la formule (1.8) (avec par exemple α = N et γN = %φ%1 + %Dα φ%1 ).
11
(b) Inversement, soit f une fonction entière vérifiant (1.8). On pose
"
φ(ξ) =
f (x)e−ξ (x) dmn (x) = fˆ(ξ), ξ ∈ Rn .
Rn
On veut montrer que φ ∈ C ∞ (Rn ) et que φ(ξ) = 0 si |ξ| > R. D’après (1.8), la fonction
Rn / x (−→ (1 + |x|)k f (x)
est dans L1 (Rn ) pour tout k ∈ N. Ainsi, fˆ = φ ∈ C k (Rn ) pour tout k ∈ N, donc φ ∈ C ∞ (Rn ). D’autre
part, d’après le Lemme 1.18, on a pour tout y ∈ Rn
"
φ(ξ) =
f (x + iy)e−ξ (x + iy) dmn (x), ξ ∈ Rn .
Rn
Soit ξ ∈ Rn , ξ += 0. Soit y =
λξ
|ξ|
pour λ > 0. Alors on a ξ · y = λ|ξ| , |y| = λ et d’après (1.8)
|f (x + iy)e−ξ (x + iy)| ≤ γN (1 + |x|)−N e(R−|ξ|)λ .
Ainsi,
|φ(ξ)| ≤ γN e(R−|ξ|)λ
"
Rn
(1 + |x|)−N dmn (x),
où on a choisi N assez grand pour que l’intégrale ci-dessus converge (N = 2n) convient. Soit maintenant
|ξ| > R ; en faisant tendre λ vers l’infini, on a alors que φ(ξ) = 0, ce que l’on voulait montrer.
1.5
Proposition d’exercices
Exercice 1.19. Soit τy la translation de vecteur y ∈ Rn , c’est-à-dire que τy agit sur des fonctions
mesurables sur Rn de la façon suivante : pour f mesurable, τy f est la fonction mesurable définie sur Rn
par τy f (·) = f (· − y). Soit p ∈ [1, ∞[.
(i) Montrer que τy est linéaire continue sur Lp (Rn ). Montrer en particulier que pour f ∈ Lp (Rn ),
%τy f %p = %f %p .
(ii) Montrer que si f ∈ C (Rn ) ∩ Lp (Rn ), alors
%τy f − f %p −−−−→ 0.
|y|→0
(iii) En utilisant la densité de Sn dans Lp (Rn ), montrer que pour toute f ∈ Lp (Rn ), on a
%τy f − f %p −−−−→ 0.
|y|→0
(iv) Que se passe-t-il dans L∞ (Rn ) ?
Exercice 1.20 (Inégalité de Young). Le but de cet exercice est de montrer que pour p, q ∈ [1, ∞] avec
1
1
1
p
n
q
n
p + q ≥ 1 (avec la convention que ∞ = 0), on a pour f ∈ L (R ) et g ∈ L (R ), le produit de convolution
1
1
1
r
n
f ∗ g ∈ L (R ) avec r = p + q − 1 et on a l’inégalité
(1.9)
%f ∗ g%r ≤ %f %p %g%q.
(a) Traiter d’abord le cas q = 1 (voir Proposition 1.1).
(b) Pour p ∈ [1, ∞] et pour q = ∞, montrer l’inégalité de Young (1.9).
(c) Pour p, q ∈ [1, ∞] quelconques, écrire
|f (x − y)||g(y)| = |f (x − y)|1−α |f (x − y)|α |g(y)|,
x, y ∈ Rn
pour un α convenable et appliquer l’inégalité de Hölder afin de se retrouver dans le cas où q = 1.
12
Indications. Pour la question (c), choisir α = pr et appliquer l’inégalité de Hölder (pour l’intégration en
y) avec
!
|f (x − y)|1−α ∈ Lq (Rn ) et |f (x − y)|α |g(y)| ∈ Lq (Rn )
où q ( est l’exposant conjugué de q : 1q + q1! = 1. Montrer qu’alors on est ramené au problème où q vaut
1 et p est remplacé par rq ; on utilisera la question (a).
Exercice 1.21 (Formule sommatoire de Poisson). Soit S définie (formellement) par
S(ϕ) =
+∞
(
ϕ(n),
n=−∞
(a) Montrer que S ∈ S1( .
(b) Pour ϕ ∈ S1 , montrer que P ϕ : x (→
de période 1.
(c) Montrer que pour tout x ∈ R,
P ϕ(x) =
+∞
(
+∞
(
+∞
(
ϕ(n) =
n=−∞
n=−∞
ϕ(x + n) est une fonction de classe C ∞ sur R, périodique
n=−∞
+∞ !"
(
n=−∞
(d) En déduire que
ϕ : R → C.
1
−i2πkt
P ϕ(t)e
0
#
dt ei2πkx .
ϕ̂(n) pour tout ϕ ∈ S1 , et donc que l’on a l’égalité Ŝ = S.
Indication. Pour montrer (c), utiliser le théorème de Dirichlet sur la convergence de la série de Fourier
pour une fonction continue périodique, C 1 par morceaux.
Exercice 1.22. Soit f ∈ L1 (R) telle qu’il existe une constante c > 0 avec |f (x)| ≤ c e−
2
− x2
ce
2
− x2
. Montrer que f (x) = ae
pour un a ∈ R.
x2
2
et |fˆ(x)| ≤
Indication. On pourra montrer que fˆ admet un prolongement holomorphe à C tout entier et que z (→
z2
e 2 fˆ(z) est bornée sur C.
13