Cours Statistiques

STATISTIQUES
I . EFFECTIFS ET FREQUENCES

Les séries statistiques se présentent de deux façons :
Exemple 1 : Un tableau d’effectifs ni des valeurs xi
Exemple 2 : Un tableau d’effectifs ni des classes [ai ; bi[
On étudie l' âge des 25 élèves d’une terminale.
âge xi
effectif ni
17
13
18
6
19
5
On étudie la taille des 25 élèves d’une terminale.
20
1
Taille [ai ; bi[
effectif ni
[1,5 ; 1,6[
2
[1,6 ; 1,7[
14
Le centre de la classe [ai ; bi[ est ci 
Cette série est à valeurs isolées
[1,7 ; 1,8[
8
[1,8 ; 1,9[
1
ai  bi
2
Cette série est regroupée en classes
 A partir des effectifs, on peut calculer les effectifs cumulés.
L'effectif cumulé croissant de la valeur xi est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à xi .
L'effectif cumulé décroissant de la valeur xi est la somme des effectifs des valeurs supérieures ou égales à xi .

La fréquence d’une valeur est égale au rapport de son effectif sur l’effectif total :
p
n
N = n1+n2+…+np =  ni .
f i  i ; où N est l’effectif total :
N
i 1
A partir des fréquences, on peut calculer les fréquences cumulées.
La fréquence cumulée croissante de la valeur xi est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales à xi .
La fréquence cumulée décroissante de la valeur xi est la somme des fréquences des valeurs supérieures ou égales à xi .
Exemple 1 :
âge xi
effectif ni
effectif cc
effectif cd
fréquence fi
fréquence cc
fréquence cd
II.
Exemple 2 :
17
13
18
6
19
5
20
1
Taille [ai ; bi[
effectif ni
effectif cc
effectif cd
fréquence fi
fréquence cc
fréquence cd
[1,5 ; 1,6[
2
[1,6 ; 1,7[
14
[1,7 ; 1,8[
8
[1,8 ; 1,9[
1
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
Exemple 1 : On utilise le nuage de points
Exemple 2 : On utilise l’histogramme
Effectif
1 élève
10
5
1
17
âge
18
19
20
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
taille
On peut également représenter les courbes des fréquences cumulées croissantes et décroissantes.
1/3
Sur chaque intervalle, la courbe est un segment de droite. On suppose que la répartition est uniforme dans chaque
classe.
Fréquences cumulées
Exemple 2
1
0,5
0,1
1,5
Taille
1,6
1,7
1,8
1,9
III. MESURES CENTRALES
1. La moyenne
La moyenne x est donnée par la formule :
1er cas : Série à valeurs isolées
valeur xi
effectif ni
fréquence fi
x
x1
n1
f1
2ème cas : Série regroupée en classe
x2
n2
f2
…
…
…
xp
np
fp
c1
n1
f1
p
1
1
n1x1  n2 x2  ...  n p x p 
N
N
ou

centre ci
effectif ni
fréquence fi


x
ni xi
i 1
c2
n2
f2
…
…
…
1
1
n1c1  n2c2  ...  n p c p 
N
N
ou


p
x  f1 x1  f 2 x2  ... f p x p 

cp
np
fp
p
n c
i i
i 1
p
x  f1c1  f 2c2  ... f p c p 
fi xi
i 1
fc
i i
i 1
Calculer dans les deux exemples la moyenne de la série
Exemple 1 :………………………………………………………
Exemple 2 :………………………………………………………….
……….…………………………………………………………..
……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………
……………………………………………........................................
2. La médiane

Dans le cas d’une série statistique à valeurs isolées rangées dans l’ordre croissant, la médiane m est la valeur du
caractère qui partage cette série en deux ensembles de même effectif.

si N est impair (exemple N = 7) :
a1 a2 a3
a4 a5
a6 a 7

si N est pair (exemple N = 8) :
a1
a2
a3 a4
m = a4
Dans la pratique, si
si
N
2
N
2
m=
a5 a6
a7 a8
a4  a5
2
n'est pas un entier alors la médiane est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur à
est un entier alors la médiane est la demi-somme des valeurs de rang
N
2
et
N
2
N
2
et
+1.
Déterminer la médiane dans l’exemple 1………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2/3
âge xi
effectif ni
On étudie l'âge des élèves d'une autre terminale.
Déterminer l'âge médian des élèves de cette classe.
17
11
18
6
19
4
20
1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…..………………………………………………………………………………………...................................................................................

Dans le cas d'une série regroupée en classes, la médiane m est la valeur du caractère qui correspond à une
fréquence cumulée de 0,5.
Déterminer la classe dans laquelle se trouve la médiane dans l’exemple 2……………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..................................................................................
3. Les quartiles

On considère une série statistique à valeurs isolées rangées dans l'ordre croissant.
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur du caractère telle qu'au moins un quart des valeurs lui sont
inférieures ou égales.
Le troisième quartile est la plus petite valeur du caractère telle qu'au moins trois quarts des valeurs lui sont
inférieures ou égales.
plus petite valeur
Q1
au moins 25% des valeurs
m
Q3
au moins 50% des valeurs
Dans la pratique, Q1 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à
Q3 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à
plus grande valeur
au moins 25% des valeurs
N
4
et
3N
4
.
Déterminer le premier et troisième quartile dans l’exemple 1…………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………...................................................................................

Dans le cas d'une série regroupée en classes, le premier et troisième quartile sont les valeurs du caractère qui
correspondent à des fréquences cumulées croissantes respectives de 0,25 et 0,75.
Déterminer les classes dans lesquelles se trouvent les premier et troisième quartiles dans l’exemple 2 …………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
IV. MESURES DE DISPERSION

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.
Calculer dans les deux exemples l’étendue de la série
Exemple 1 :………………………………………………………..

Exemple 2 :…………………………………………………………
L'écart interquartile d'une série statistique est la différence entre le troisième et le premier quartile.
Calculer dans l'exemple 1 l’écart interquartile de la série.
Exemple 1 :……………………………………………………………………………………………………………………………………….
3/3